Musterlösung WdE WS 2011/2012 Aufgabe 1: Allgemeine

Musterlösung WdE WS 2011/2012 Aufgabe 1: Allgemeine Verständnisfragen (15P) Hinweis: Es können mehr als eine Antwort stimmen (die angegebene Punktzahl pro Frage erhält man nur bei Ankreuzen aller richtigen und keiner falschen Möglichkeit) 2P * a) Wie groß ist die bewegte Masse eines Photons der Frequenz f = 1,51015Hz?  1,110‐35kg  3,210‐38g  0,610‐35kg  2,110‐34kg * b) Wie groß ist die Wellenlänge von Licht, das beim Übergang von der N‐ auf die K‐Schale eines Wasserstoffatoms emittiert wird? 2P  205 nm  1,3 µm  97 nm  602 nm * c) Wie hoch muss die Kupferkonzentration CCu einer Cu‐Ni‐Legierung sein, damit bei 1200°C noch keine Schmelze auftritt? (Verwenden Sie Bild 1.22 im Skript) 2P  < 60%  > 60%  = 80% * d) Wie groß ist der Frequenzunterschied zwischen dem optischen und akustischen Phononen‐Zweig 1P einer linearen Kette mit den Massen M2 > M1 bei k= /2a (a = Atomabstand)?  1
1 
  2c

M
M
2 
 1
 2c
M1  M 2
 1
1 

 M
M 2 
1

 2c  
* e) Bei welchen Molekülen handelt es sich um gesättigte Kohlenwasserstoffe?  C12H26  C3H6  C7H8  CH4 1P * f) Wie groß ist der Anteil der Elektronen eines Metalls mit EF = 3eV, die thermische Energie auf‐
nehmen können bei T = 300K? 2P  0,2%  24%  2,6%  8,8% * g) Was für eine Elektronendichte besitzt ein Metall mit einer Fermi‐Energie von 4,8eV?  2,21015dm‐³  3,61032m‐³  5,21018cm‐³  4,81028m‐³ 1P * h) Wie groß ist die Londonsche Eindringtiefe, wenn die Dichte der supraleitenden Elektronen ns 2P 41028m‐³ beträgt?  2,4 m  27 nm  33 µm  4,2 cm * i) Welche Mechanismen tragen zur elektrischen Polarisation von Ammoniak‐Dampf (NH3) bei 1P  elektronische Polarisation  Orientierungspolarisation  ionische Polarisation  Paramagnetismus * j) Wie groß ist das gyromagnetische Verhältnis von Technetium (TC)?  1,8  3,2  1,4  2,0 2 1P Aufgabe 2: Wärmeleitung und Wärmekapazität von Metallen (25P) * a) Skizzieren Sie den Temperaturverlauf der molaren spezifischen Wärme eines Metalls (achten Sie auf die Einheiten der Achsen!). Geben Sie den Grenzwert für hohe Temperaturen an. Welchem Modell und welcher (Temperatur‐)Proportionalität entspricht der Verlauf bei niedrigen Temperaturen? (Skizze mit Beschriftung) /5P * b) Was folgt aus dem Temperaturverlauf der Wärmekapazität für die Wärmeleitfähigkeit, wenn die Temperatur T gegen 0 K geht? Argumentieren Sie mit einer geeigneten Formel. Da für die Wärmeleitfähigkeit 
1
C v l
3
gilt, mit der Wärmekapazität C, sinkt die Wärmeleitfähigkeit auf null für T gegen 0. (Begründung) /2P * c) Welches der drei Metalle, Gold (Au), Silber (Ag) und Kupfer (Cu), hat die höchste thermische Leitfähigkeit bei T = 300K? Argumentieren Sie mit einer geeigneten Formel und berechnen Sie die gesuchte höchste thermische Leitfähigkeit. Materialdaten: σAu = 4,55×105Ω‐1cm‐1; σAg = 6,25×105Ω‐1cm‐1; σCu = 5,81×105Ω‐1cm‐1 Die thermische Leitfähigkeit wird bei Metallen von den Elektronen dominiert. Nach dem Wiedemann‐Franz Gesetz gilt: el
 T
 2,44 10 8V ² / K ²
Daher hat Silber die höchste thermische Leitfähigkeit mit folgendem Wert: el
W
 2,44  10 8V ² / K ²   Ag  300 K  458
 T
K m
(Argumentation und Rechnung) 3 /3P Betrachten Sie nun den in Abbildung 1 gezeigten gebogenen Draht mit der Querschnittsfläche ADraht = 0,8cm². Durch den Draht fließt ab dem Zeitpunkt t = 0s ein konstanter Strom von 10A. Die Temperatur des Drahtes beträgt zu diesem Zeitpunkt T0 = 300K. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die elektrische Leitfähigkeit konstant bleibt! Abbildung 1: Der gebogene Draht eingeklemmt zwischen zwei Metallplatten ist gezeigt. * d) Um wieviel °C erwärmt sich der Draht der Länge L = 17cm nach 10 Stunden, wenn man davon ausgeht, dass die gesamte ohmsche Verlustleistung in Wärmeenergie umgewandelt und keine Wärme nach außen oder an die Platten abgegeben wird (adiabatisches System)? Der Draht soll aus Aluminium mit Al = 2,7g/cm³, Ar(Al) = 27 und Al = 3,5105 ‐1cm‐1 bestehen. Für die molare spezifische Wärme kann der Grenzwert bei hohen Temperaturen verwendet werden. Elektrische Verlustleistung: Pel  U  I  Rel  I 2 
l Draht
I2
 Al  ADraht Wärmeaufnahme pro Zeit:   T
A
  T
l
V
T
Q
 cm  Draht Al   3R  Draht Draht Al 
 C Al 
Ar , Al
t
t
t
Ar , Al
t
Gleichsetzen: Pel 
(Ansatz) Pel 
Q
t
Q
t
/3P /3P l Draht
l
 A

 I 2  t  3R  Draht Draht Al  T
 Al  ADraht
Ar , Al
 T 

Ar , Al  I 2  t

 Al   ADraht 2   Al  3R
27 g / mol  100 A2  36000s
 6,45K
g
J
1
5
2 2
 0,8cm  2 ,7 3 24,9
3,7  10
cm
  cm
mol  K


Es tritt eine Erwärmung um 6,45°C auf. (Rechnung) 4 * e) Ändert sich der Temperaturanstieg, wenn statt dem gebogenen ein gerader Draht der Länge 9cm mit demselben Durchmesser verwendet wird? Begründen Sie Ihre Antwort kurz. Nein, da der Temperaturanstieg T 
Ar , Al  I 2  t
 Al   ADraht 2   Al  3R
unabhängig von L ist, tritt der gleiche Temperaturanstieg auf! (Argumentation) /2P * f) Welcher Druck wird auf die Platten ausgeübt, wenn sich der gerade Draht aus Aluminium um 10 K erwärmt und eine Ausdehnung der Querschnittsfläche des Drahtes vernachlässigt wird? Für die 
e2
Wechselwirkungsenergien V(r) von Aluminium gilt:  2
V r   
4 0  r r
mit dem Gleichgewichtsabstand r0 = 0,24nm. Der Ausdehnungskoeffizient von Aluminium beträgt Al = 2,30×10‐5K‐1 Für den Spannungsdruck gilt:   E    T
Das Youngmodulus E folgt aus einem Potential V(r) allgemein (S.59 im Skript) E  n  m  n  
(Ansatz) Youngmodulus: E  1  2  1 
e2

 n 3
4 0 r0
e2
4 0

/2P /3P 1
N
 7  1010 2
4
r0
m
Spannungsdruck:   E    T  1,6 107
(Rechnung) N
m2
* g) Ordnen Sie anhand der Ausdehnungskoeffizienten die Metalle Au, Ag und Al nach der Höhe ihrer Schmelzpunkte und nennen Sie die genutzte Regel. Ausdehnungskoeffizienten: Al = 2,30×10‐5K‐1; Au = 1,42×10‐5K‐1; Ag = 1,95×10‐5K‐1 Gemäß der Grüneisen‐Regel verhalten sich die Schmelzpunkte invers zum Ausdehnungskoeffizienten: TAu > TAg > TAl Stark gebundene Stoffe dehnen sich schwächer aus! (Antwort) 5 /2P Aufgabe 3: Quantenkaskadenlaser (29P) Ein Quantenkaskadenlaser basiert auf Rekombinationsprozessen innerhalb eines Quantentopfes. Auf diese Art kann Licht im mittleren infraroten Spektralbereich erzeugt werden. Im Folgenden soll eine Material‐kombination aus GaInAs und AlInAs bei T = 300K betrachtet werden (siehe Abbildung 2). Materialdaten (T = 300K): NL*,GaInAs = 2,231023m‐3; NV*,GaInAs = 6,101024m‐3; NL*,AlInAs = 4,971023m‐3; NV*,AlInAs = 7,161024m‐3; meff,GaInAs= 0,043*m0; meff,AlInAs= 0,073*m0; EG,GaInAs = 0,74 eV; EG,AlInAs = 1,44 eV Abbildung 2: Der (Elektronen‐)Potentialtopf aus GaInAs/AlInAs ist gezeigt. *a) Berechnen Sie die intrinsische Ladungsträgerdichte von GaInAs und AlInAs bei T = 300K.  E 
ni  pi  N L  NV  exp  G 
 2 k BT 
(Ansatz) /1P /2P ni GaInAs   7,1  1011 cm 3
ni  AlInAs   1,5  10 6 cm 3
(Rechnung) *b) Grundlage für die Herstellung eines solchen Lasers ist InP. Berechnen Sie jeweils den elektr. Widerstand eines InP‐Quaders mit 2105µm² Fläche und 150µm Länge, im Falle einer n‐ bzw. p‐
Dotierung von 11017cm‐3. Für die Beweglichkeiten erhält man µn = 3400 cm²/Vs und µp = 200cm²/Vs. Rn   
l
l

A e  n  n  A
Rp   
l
l

A e pp  A
(Ansatz) Rn  0,14
R p  2,34
/1P /2P (Rechnung) 6 *c) Welche Elemente können als eindeutige (kein amphoterer Charakter) Donatoren und Akzeptoren für InP verwendet werden? Nennen Sie jeweils ein Beispiel und begründen Sie kurz ihre Antwort. p‐Dotierung: z.B. Zink, da Zink II‐wertig ist und somit beim Einbau auf einen Gruppe‐III‐Platz ein Elektron fehlt. n‐Dotierung: z.B. Schwefel, da Schwefel VI‐wertig ist und somit beim Einbau auf einen Gruppe‐V‐Platz ein überschüssiges Elektron an den Kristall abgegeben werden kann. (Antwort) /3P d) Berechnen Sie den energetischen Abstand der Fermi‐Energie EF bezüglich der Leitungs‐
bandunterkante EL und Valenzbandoberkante EV bei GaInAs, wenn man 11017cm‐3 hoch n‐dotiert (T = 300K). Aus Gleichung (6.13) folgt :  n 
 k BT  ln *   E L  E F
 NL 
 p
 k BT  ln *
 NV
2
pi
p
n
(Ansatz) /2P /1P  n 
 k BT  ln *   21meV
 NL 
 p 
 k BT  ln *   719meV
 NV 
(Rechnung) 
  E F  EV

* e) Betrachten Sie nun den in Abbildung 2 dargestellten Potentialtopf. Stellen Sie die zeit‐
unabhängige Schrödingergleichung für den GaInAs‐Bereich auf. Wie dick muss der Topf sein, damit die Übergangsenergie vom 2. auf 1. Quantisierungsniveau 7µm Wellenlänge entspricht? Verwenden sie zur Berechnung die Energie‐Eigenwerte des unendlich hohen Potentialtopfs. (Ansatz) 7 2 d 2

  x   E    x 
*
2
2m dx
1.24eV / µm
 2 2
4  1
E2  E1 

5µm
2m * a 2
/3P (Rechnung) a
 2 2
3

 12.2nm
E2  E1 2m*
/2P * f) Um einen Laserbetrieb zu erreichen, müssen sich im 2. Quantisierungsniveau mehr Elektronen befinden als im 1. Niveau. Berechnen Sie daher die Elektronendichte des 2. und 1. Quantisierungs‐
niveaus für T = 300K! Gehen Sie von einer Topfbreite a von 10nm aus. Das Fermi‐Niveau befindet sich 710meV oberhalb der Valenzbandoberkante EV. Verwenden Sie bei der Berechnung die Boltzmann‐
m
Näherung und die 2‐D Zustandsdichte: DE   eff
 ² a
2
E2Qe 
E1Qe 
 ²
2meff ,GaInAs a ²
 2 ²
2meff ,GaInAs a ²
22
12

n2Qe 
 E  EF
 


D
E
exp

k BT

E2 Qe  EL

dE


n1Qe 
 E  EF 
dE
DE  exp 
k BT 

E1Qe  EL

E L  EF  EG  710meV  30meV
(Ansatz) E2Qe 
E1Qe 
 2 ²
2meff ,GaInAs a ²
 2 ²
2meff ,GaInAs a ²
/4P 2 2  350meV
12  88meV
n2Qe
n1Qe
8 
 E  EF
  DE  exp 
k BT

E2 Qe  E L

 E  EF
  DE  exp 
k BT

E1Qe  E L

 m

 E  EF
dE   eff ,GaInAs
 k BT exp 
2
 a
k BT





 1,9 1011 cm 3
 E2 Qe  EL
 m

 E  EF
dE   eff ,GaInAs
 k BT exp 
2
 a
k BT





 4,9  1015 cm 3
 E1Qe  EL

(Rechnung) /5P * g) Das 1. Quantisierungsniveau wird in einem Quantenkaskadenlaser durch einen schnellen Rekombinationsprozess mit Phononen des optischen Zweigs entleert. Berechnen Sie die Phononenenergie des optischen Zweigs einer linearen Kette mit den relativen Atommassen M2 = 93, M1 = 75 und der Federkonstanten c = 161 N/m bei k = 0 in eV.
 1
1 


E Phonon     2c
M
M
2 
 1
(Antwort) /2P /1P  1
1 
  45meV  0,045eV

E Phonon     2c
 M1 M 2 
(Rechnung) 9 Aufgabe 4: BiFeO3 – Ein multiferroisches Material (31P) Multiferroische Materialien wie BiFeO3 besitzen ferroelektrische und ferromagnetische Eigenschaften und sind daher interessant für Speicher Anwendungen. Bei diesen Materialien handelt es sich hauptsächlich um Metalloxide mit Perowskit‐Struktur (siehe Abbildung 3). Relative Atommassen: O
Ar(Bi) = 209; Ar(Fe) = 56; Ar(O) = 16 Gitterkonstante: Fe
a0 = 3,9710‐10 m Bi
Atomradien: rBi = 1,610‐10 m; rFe = 1,410‐10 m rO = 6,010‐11 m Abbildung 3: Perowskit‐Elementarzelle von BiFeO3. * a) Bestimmen Sie die Zahl der nächsten Nachbarn ZNN des Bismutatoms (Bi) in der Mitte. Berechnen Sie die Dichte und Teilchendichte von BiFeO3. Umwieviel höher ist die Teilchendichte der Sauerstoffatome im Vergleich zu der von Bismut? 2
a0  Z NN  12
2
A 1  Ar ,Fe 1  Ar ,O  3  u
  r ,Bi
a03
nBiFeO3 
nO  3  nBiFeO3  3  nBi
d Z NN 
(Ansatz) 1
a03
/4P /2P kg
g
 8,3
m³
cm³
28
 1,60  10 m 3  1,60  10 22 cm 3
  8310
nBiFeO3
(Rechnung) 10 * b) Berechnen Sie die relative Permittivität aufgrund der elektronischen Polarisation. Verwenden Sie dazu die angegebenen Atomradien und berücksichtigen Sie die jeweilige Atomanzahl pro Elementarzelle. Falls Sie Aufgabe 4 a) nicht gelöst haben verwenden Sie die Teilchendichte n(BiFeO3) = 1,01022cm‐3.
  4R 3
r  1


3
 3  RO3
4  nBiFeO3  RBi3  RFe
nBi   Bi  nFe   Fe  nO   O
 1
1
4
3
 nBiFeO3  RBi3  RFe
 3  RO3
1  nBi   Bi  nFe   Fe  nO   O 
1
3
3


(Ansatz) /2P  Bi  4RBi3  5,15 10 29
3
 Fe  4RFe
 3,45  10  29
 O  4RO3  2,7110 30


3
4  nBiFeO3  RBi3  RFe
 3  RO3
nBi   Bi  nFe   Fe  nO   O
r  1
 1
 4,02
4
1
3
3
3
1
 nBiFeO3  RBi  RFe  3  RO
1  nBi   Bi  nFe   Fe  nO   O 
3
3


(Rechnung) /2P c) Welche weiteren Beiträge zur elektrischen Polarisation müssen bei dem Bi3+Fe3+O‐23 Kristall berücksichtigt werden, wenn die ferroelektrische Curie‐Temperatur überschritten ist? Welcher Beitrag ist für das Frequenzverhalten der Permittivität technisch (f < 100GHz) wichtig ? Weitere Beiträge : Ionische Polarisation (Ionenkristall) Orientierungspolarisation (Paraelektrischer Kristall) Frequenzverhalten : wird durch die Orientierungspolarisation dominiert (für den technisch wichtigen Bereich < 100GHz) (Antwort) 11 /3P * d) Welche Beiträge zur magnetischen Suszeptibilität müssen bei einem ferromagnetischen Metall oberhalb der Curie‐Temperatur beachtet werden? Nennen Sie den allgemein dominanten Beitrag. Folgende Beiträge zur magnetischen Suszeptibilität liegen in diesem Fall vor : ‐Diamagnetismus der Atomhüllen ‐Der Beitrag der Leitungselektronen (netto paramagnetisch) ‐Der Paramagnetismus der Atomrümpfe Der dominante Beitrag im Allgemeinen ist der Paramagnetismus (Antwort) /4P * e) Um die magnetischen Eigenschaften von BiFeO3 zu verbessern, wird der Kristall mit Dysprosium (Dy) dotiert. Dysprosium hat die Elektronenkonfiguration Dy: [Xe] 4f10 6s2. Die Elektronen der höchsten teilbesetzten Schale werden an den Kristall abgegeben. Skizzieren Sie für diesen Fall die Elektronenverteilung des (energetisch) höchsten teilbesetzten Orbitals und nennen Sie dessen Quantenzahlen n, l und m. Wie groß ist der Gesamtdrehimpuls J ? Elektronenkonfiguration von Dy2+ : [Xe] 4f10 Schemata des energetisch höchsten teilbesetzten Orbitals : Quantenzahlen der Elektronen des 4f‐Orbitals : n = 4 l = 3 m = ‐3, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, 3 J  S  L  2 6  8 (Antwort+Skizze) 12 /6P * f) Berechnen Sie die paramagnetische Suszeptibilität allein aufgrund des dotierten Dysprosiums (Dy) bei T = 300K. Beachten Sie, dass im Kristall für Dy L = 0 und S = 3 gilt. Zudem wurde so dotiert, dass nur jedes dritte Bismut‐Atom durch Dy ersetzt wurde. Hinweis: Verwenden Sie das Curie‐
Gesetz! L0 J S  g 2
Gyromagnetisches Verhältnis: Paramagnetische Suszeptibilität: para
 Dy

(Ansatz) nDy  g 2  µ0  J  J  1   B2
3k BT
/3P /2P nBiFeO3

para
Dy

3
 2 2  µ0  33  1   B2
3k B  300
 2,22  10 3
(Rechnung) * g) Skizzieren Sie den Temperaturverlauf der elektrischen und magnetischen Suszeptibilität von BiFeO3, wenn für die Ferroelektrizität und den Ferromagnetismus von BiFeO3 die gleiche Curie‐
Temperatur TC und Materialparameter C vorliegt. (Skizze) 13 /3P