Lösung

PD Dr. Peter Massopust
M.Sc. Andreas Bluhm
Vektoranalysis
Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 1 - Lösungsvorschläge
1. Zeige, dass R versehen mit
TR := {O ⊆ R : ∀ x ∈ O ∃ offenes Intervall I mit x ∈ I ⊆ O.}
ein topologischer Raum wird.
Lösung: Zu verifizieren sind die Axiome für einen topologischen Raum.
(a) ∅ und R sind in TR .
(b) Sei I eine beliebige Indexmenge und {Oi }i∈I ∈ TR . Betrachte ein beliebiges x ∈
S
Oi .
i∈I
Dann
∃j ∈ I, so dass x ∈ Oj . Da Oj ∈ TR , ∃ offenes Intervall I mit x ∈ I ⊆ Oj ⊆
S
Oi .
i∈I
(c) Sei {Oi : i = 1, . . . , n} eine endliche Familie von (nichtleeren) offenen Mengen aus TR .
n
n
T
T
Betrachte
Oi . Falls
Oi = ∅, dann ist der endliche Durchschnitt sicherlich in TR .
Falls
n
T
i=1
i=1
Oi 6= ∅ so gibt es ein x ∈
i=1
n
T
mit x ∈
n
T
Oi und offene Intervalle Ii ∈ Oi , i = 1, . . . , n,
i=1
Ii =: I. Der endliche Durchschnitt von nichtleeren offenen Intervallen ist
i=1
aber ein offenes Intervall.
2. Es sei (M, T ) ein topologischer Raum und N eine Untermenge von M .
(a) Zeige, dass durch
TN := {O ∩ N : O ∈ T }
eine Topologie, die sogenannte Relativ- oder Spurtopologie, auf N gegeben ist.
Lösung: Zu verifizieren sind die Axiome für einen topologischen Raum.
i. ∅ ∈ TN , da ∅ = ∅ ∩ N und N ∈ TN , da N = M ∩ N .
ii. Sei I beliebige Indexmenge und{Xi }i∈I
∈ TN . Dann ist Xi = Oi ∩ N , ∀i ∈ I.
S
S
S
S
S
Damit ist
Xi =
Oi ∩ N =
Oi ∩ N und, da
Oi ∈ T , ist
Xi ∈ TN .
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
iii. Sei {Xi : i = 1, . . . , n} eine endliche Familie von (nichtleeren) offenen Mengen
n
n
T
T
aus TN . Dann ist Xi = Oi ∩ N , ∀i = 1, . . . , n. Damit gilt:
Xi =
Oi ∩ N =
i=1
i=1
n
n
n
T
T
T
Oi ∩ N und, da
Oi ∈ T , ist
Xi ∈ TN .
i=1
i=1
i=1
(b) Eine Menge A ⊆ N heisst abgeschlossen in (N, TN ) wenn N \ A ∈ TN . Zeige, dass
A ⊆ N abgeschlossen in (N, TN ) genau dann ist, wenn eine abgeschlossene Menge
A0 ⊆ M existiert mit A = A0 ∩ N .
Lösung: Es gilt: A ⊆ N abgeschlossen in (N, TN ) ⇔ N \ A ∈ TN ⇔ N \ A = O ∩ N
mit O ∈ T ⇔ A = N \ (O ∩ N ) = N \ O = N ∩ (M \ O) mit M \ O abgeschlossen in
(M, T ).
(c) Man zeige, dass für M := R und T := TR , die Untermenge N := [0, 1) ⊂ R weder
offen noch abgeschlossen in (R, TR ) ist, aber bezüglich der Spurtopologie TN auf N
sowohl offen als auch abgeschlossen ist.
Lösung: N = [0, 1) ist nicht offen in TR , da für 0 ∈ N kein vollständig in N enthaltenes
Intervall existiert. N ist auch nicht abgeschlossen, da für 1 ∈ R\N = (−∞, 0)∪[1, ∞)
kein vollständig in R \ N enthaltenes Intervall existiert.
N is aber offen in der Spurtopologie, da N = [0, 1) = (−1, 1) ∩ N mit (−1, 1) ∈ T
ist. Auf ähnliche Weise erhält man, dass N abgeschlossen in der Spurtopologie ist:
N = [0, 1) = [0, 2] ∩ N mit [0, 2] abgeschlossen in T (R \ [0, 2] = (−∞, 0) ∪ (2, ∞)!).
3. Es sei (M, T ) ein topologischer Raum. B ⊆ T heisst Basis von T , wenn gilt
[
O∈T
=⇒ O =
B,
wobei B 0 ⊆ B.
B∈B0
Man finde eine Basis für (R, TR ).
Lösung: Es ist B := {I ⊆ R : I offenes Intervall}. Denn,
für O
S
S∈ TR beliebig, gilt: ∀x ∈ O
∃ offenes Intervall Ix : x ∈ Ix ⊆ O. Damit ist O =
{x} =
Ix .
x∈O
x∈O
4. Es sei I eine offenes Intervall und r : I → R+ eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige,
dass
M := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = r(z)2 , z ∈ I}
eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 ist.
Lösung: Benutze die lokale Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten des Rn durch
die Nullstellenmenge einer Submersion. Setze f (x, y, z) := x2 + y 2 − r(z)2 . Dann ist als
Punktmenge M = {(x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = 0}. Da r stetig differenzierbar ist, ist auch
f stetig differenzierbar. Desweiteren ist ∇f (x, y, z) = (2x, 2y, 2r(z)r0 (z)). Da r(z) > 0,
∀z ∈ I, folgt (0, 0, z) ∈
/ M , ∀z ∈ I. Damit ist rank Df (x, y, z) = 1 = 3 − 2 und M eine
2-dimensional Untermannigfaltigkeit des R3 .