Die Klein-Gordon Gleichung

Kapitel 5
Die Klein-Gordon
Gleichung
5.1 Einleitung
Die Gleichung für die Rutherford-Streuung ist ein sehr nützlicher
“Ansatz”, um die Streuung von geladenen Teilchen zu studieren.
Viele Aspekte sind aber nicht berücksichtigt, wie z.B.
1.
2.
relativistische Effekte
die Spins des Projektils und des Targets
Ein Problem ist, dass die Störungstheorie aus der Schrödinger-Gleichung hergeleitet wurde. Die Schrödinger-Gleichung ist nicht kovariant unter Lorentz-Transformationen
E=
∂ψ
p2
1 r2
=−
∇ψ
⇒ i
∂t
2m
2m
Wir bemerken, dass Zeit und Raum in dieser Gleichung nicht gleichberechtig behandelt werden, d.h., die Gleichung enthält die erste zeit-
Teilchenphysik
75
Die Klein-Gordon Gleichung
liche Ableitung der Wellenfunktion und die zweite Ableitung
bezüglich den räumlichen Koordinaten.
Diese Schrödinger-Gleichung wird deshalb als nicht angemessen
betrachtet, um relativistische Prozesse zu beschreiben.
5.2 Die Klein-Gordon-Gleichung
Wir können im Prinzip die Schrödinger-Gleichung einfach erweitern.
Um eine “relativistische” Schrödinger-Gleichung herzuleiten, beginnen wir mit der relativistischen Beziehung zwischen Energie und
Impuls:
E 2 = p2 + m 2
Wir vernachlässigen zuerst das Potential V und betrachten ein freies
Teilchen.
Wir benutzen den kanonischen Ansatz für die Energie- und ImpulsOperatoren: (Siehe Kap. 4.1.2)
r
r
∂
p → −i∇ und E → +i
∂t
Diese Operatoren wirken auf eine Wellenfunktion φ(x,t):
∂ 2φ 2 r 2
2
E = p +m ⇒ i
2 = i ∇ φ + m φ
∂t
2
76
2
2
2
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Die Klein-Gordon-Gleichung
oder
∂ 2φ r 2
− 2 + ∇ φ = m 2φ
∂t
relativistische Schrödinger - Gleichung
"Klein - Gordon" Gleichung
Wir bemerken, dass Zeit und Raum in der Klein-Gordon-Gleichung
gleichberechtig betrachtet werden, d.h. die Gleichung enthält die
zweite zeitliche und räumliche Ableitung der Wellenfunktion!
Diese Gleichung ist kovariant unter Lorentz-Transformationen. Wir
können diese Kovarianz expliziter machen.
Wir definieren den 4-Gradient
∂
 ∂ ∂ ∂ ∂ 
,
,
,

µ ≡ 
 ∂x 0 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 
∂x
Wir sind an den Transformationseigenschaften des 4-Gradients interessiert:
 ν′  
∂x
∂   ∂ ν α  ∂ 
∂
 µ 
=
Λ x 
µ =
 ∂x   ν ′   ∂x µ α   ν ′ 
∂x
∂x

 ∂x
 ∂ 
 ∂xα   ∂ 
ν
=
= Λν α  µ  
Λ


µ
 ∂x   ∂xν ′ 
 ∂xν ′ 
Wir vergleichen diese Transformation mit der inversen LorentzTransofmation eines kovarianten 4-Vektors (Siehe Kap. 2.3.6):
aµ = Λν µ ( aν )′
Teilchenphysik
Kovariant
77
Die Klein-Gordon Gleichung
Es folgt daraus, dass der Operator
∂
∂x µ
sich wie ein kovarianter 4-Vektor verhält.
Wir schreiben:

∂
 ∂ r
∂ µ ≡ ∂x µ =  ∂t , ∇ kovariant


r
∂ µ ≡ ∂ =  ∂ , −∇ kontravariant


∂x µ  ∂t
Vergleiche mit
r
x µ = ( t, x )
und
r
x µ = ( t, − x )
Mit dem kanonischen Ansatz für die Energie- und Impuls-Operatoren
r
r
∂
E → +i
und p → −i∇
∂t
können wir den Energie-Impuls 4-Vektor-Operator als
p µ → i∂ µ
schreiben.
Wir bemerken, dass
(p )
µ 2
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= m 2 = (i∂ µ ) = −∂ µ ∂ µ
2
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Die Klein-Gordon-Gleichung
wobei
∂2 r 2
∂ ∂ µ = 2 − ∇ = D′ Alembert - Operator
∂t
µ
Die Klein-Gordon-Gleichung ist gleich
−
∂ 2φ r 2
+ ∇ φ = m 2φ
∂t 2
wobei φ=φ(x,t). Wir können sie in der explizit kovarianten Form ausdrücken:
(∂ ∂
µ
µ
)
+ m2 φ( x µ ) = 0
"Klein - Gordon" Gleichung
(Kovariante Form)
Wir sprechen von expliziter Kovarianz, weil
1.
die Ruhemasse
m 2 = p µ pµ
2.
ein Skalar ist (sie wird als Skalarprodukt des Energie-Impuls 4Vektors definiert, und ist deshalb eine Invariante.)
der Operator
∂µ∂µ
auch ein Skalar ist.
Teilchenphysik
79
Die Klein-Gordon Gleichung
5.2.1 Skalares Feld
Die Klein-Gordon-Gleichung ist eine kovariante Gleichung:


µ
2
(2x3µ ) = 0
 ∂ ∂ µ + m
{  φ1
{
 invariant invariant Wellenfunktion
oder Feld
Die Wellenfunktion entspricht einer komplexen Zahl (C-Zahl) in
jedem Punkt der Raumzeit, der durch den 4-Vektor xµ bestimmt wird.
D.h. die Wellenfunktion beschreibt den Zustand des Systems in
jedem Punkt der Raumzeit.
Wir werden eine solche Funktion φ des Raumzeit 4-Vektors xµ als
Feld bezeichnen.
Wir können das Feld φ(xµ) bezüglich verschiedenen Beobachtern
betrachten. Wir sind in diesem Fall an der Lorentz-Transformation
des Feldes interessiert.
Das Feld kann bestimmte Transformationseigenschaften besitzen.
Ein Feld, das bezüglich jedem Beobachter denselben Wert hat in
jedem Punkt der Raumzeit, wird als skalares Feld bezeichnet:
 
φ ′ x µ′ = φ ( x µ )
 
Beispiel: das folgende Feld ist ein Skalarfeld (es ist invariant!)
r r
φ ( x µ ) = N e123µ = Ne ip ⋅x − iEt
− ip µ x
Invariante
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Die Klein-Gordon-Gleichung
wobei
E 2 = p2 + m 2
Die Phase des Feldes ist gleich dem Skalarprodukt zwischen zwei 4Vektoren. Sie ist deshalb eine Invariante. Das Feld definiert eine CZahl in jedem Punkt der Raumzeit. Diese Zahl ist dieselbe bezüglich
jedem Inertialsystem.
5.2.2 Intepretation der Klein-Gordon-Gleichung
Die Klein-Gordon-Gleichung entspricht der Wellengleichung eines
Feldes. Sie ist übereinstimmend mit der Relativitätstheorie und ist
explizit kovariant.
Wir müssen jetzt verstehen, ob man diese Gleichung als Ersatz für die
Schrödinger benutzen kann.
φ ist ein komplexes Skalarfeld. Aus der Klein-Gordon-Gleichung
folgt
∂ + m )φ = 0
(1∂ 44
2443
µ
2
µ
(
× − iφ *
)
⇒
∂ + m )φ = 0
(1∂ 44
42444
3
µ
2
*
µ
×( iφ )
Wir multiplizieren diese Gleichung mit –iφ* und iφ, und summieren:
(−iφ ∂ ∂ φ − iφ m φ ) + (iφ∂ ∂ φ
* µ
*
2
µ
µ
*
µ
)
+ iφm 2φ * = 0
oder
(−iφ ∂ ∂ φ ) + (iφ∂ ∂ φ ) = 0
* µ
Teilchenphysik
µ
µ
*
µ
81
Die Klein-Gordon Gleichung
Wir separieren die zeitliche und die räumliche Abhängigkeit:
−iφ *
r
r2 *
∂ 2φ *
∂ 2φ
* 2
i
+
i
∇
−
i
∇
+
φ
φ
φ
φ
φ =0
∂t 2
∂t 2
oder


* 

r 
r
r * 
∂φ 
∂  * ∂φ
*
iφ
−φ
  + ∇ −i φ ∇φ − φ∇φ  = 0
∂t  
∂t   ∂t
1442443
1442443




(
)
Wir vergleichen diese Gleichung mit der Kontinuitätsgleichung
(Siehe Kap. 4.1.4)
∂ρ r r
+ ∇⋅ j = 0
∂t
und definieren
r
r *
r
 * ∂φ
∂φ * 
*
−φ
ρ = i φ
 und j = −i φ ∇φ − φ∇φ
∂t 
 ∂t
(
Wir führen den Dichte-Strom 4-Vektor ein
r
∂µ j µ = 0
j µ ≡ ρ, j
und
1
424
3
( )
kovariante Kontinuitätsgleichung
Es gilt, (Siehe Anfang Kap. 5.2)
j µ = i(φ *∂ µφ − φ∂ µφ * )
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)
Die Klein-Gordon-Gleichung
Ebene Welle: (Skalarfeld)
φ ( x µ ) = Ne
− ip µ x µ
Wir berechnen den Dichte-Strom 4-Vektor
j µ = i(φ *∂ µφ − φ∂ µφ * ) = i N (e ipx ∂ µ e − ipx − e − ipx ∂ µ e ipx )
2
(
= i N e ipx (−ip µ )e − ipx − e − ipx (ip µ )e ipx
2
= 2i N (−ip µ )
)
2
= 2 N pµ
2
d.h.
Dichte ρ = 2 N 2 E

r
2 r
Strom j = 2 N p
Die Dichte verhält sich wie die zeitliche Komponente eines 4-Vektors, sie ist zur Energie proportional. Wir betrachten die folgende
Grösse:
r
r
d3x
Lorentz Boost
3r
3r
ρd x  
→ ρ′ d x ′ = γρ
= ρd 3 x
γ
d.h. das Produkt ρd3x ist, wie erwartet, invariant: wenn wir diese
Grösse als die Wahrscheinlichkeit interpretieren, das Teilchen in
einem Volumenelement d3x zu finden, dann muss diese Invarianz gelten.
Teilchenphysik
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Die Klein-Gordon Gleichung
Energie-Problem: Was sind die Energie-Eigenwerte der KleinGordon-Gleichung?
E = ± p2 + m 2
Es gibt zwei Arten von Lösungen:
E>0
oder
E<0
Die Lösungen mit negativer Energie sind problematisch:
1.
2.
wenn Lösungen mit negativer Energie existieren, werden
Übergänge des Systems zu niedriger und niedriger Energie möglich. Wie wird der Grundzustand definiert?
Wenn die Energie des Systems negativ ist, dann besitzt die Dichte
auch einen negativen Wert!
E < 0 ⇒ ρ < 0 !!!
Wir können deshalb die Grösse ρd3x nicht mehr als die Wahrscheinlichkeit definieren, das Teilchen in einem Volumenelement d3x zu finden, weil sie nicht immer positive Werte besitzt.
Das Feld φ in der Klein-Gordon-Gleichung kann nicht als die
Wellenfunktion eines einzigen Teilchens interpretiert werden!
Die Klein-Gordon-Gleichung entspricht nicht der relativistischen
Erweiterung der Schrödinger-Gleichung.
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