2.1.8 Satz Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig

2.1. Folgen und Grenzwerte
21
2.1.8 Satz Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.
Beweis. Nehmen wir an, eine Folge (an )n∈N konvergiere sowohl gegen a, als auch
gegen b, und a < b. Ist ǫ > 0 klein genug, so ist a + ǫ < b − ǫ. Genauer gilt dies, wenn
. Wählen wir, um sicher zu gehen, zum Beispiel ǫ = b−a
. Da limn→∞ an = a,
ǫ < b−a
2
4
erfüllen fast alle Folgenglieder an bis auf endlich viele Ausnahmen die Ungleichung
|an − a| < ǫ, das heisst a − ǫ < an < a + ǫ. Das Entsprechende gilt auch für b, das
heisst b − ǫ < an < b + ǫ für fast alle n. Weil ausserdem a + ǫ < b − ǫ, folgt daraus
an < an für fast alle n. Das ist aber unmöglich.
q.e.d.
Die Grenzwertbildung ist mit den Grundrechenarten verträglich. Genauer gilt
folgendes:
2.1.9 Satz Sind (an )n∈N , (bn )n∈N konvergente Folgen, so konvergieren auch die Folgen, gebildet aus den Summen, den Differenzen und den Produkten von an und bn ,
und
lim (an ± bn ) = ( lim an ) ± ( lim bn ) und
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = ( lim an ) · ( lim bn ) .
n→∞
n→∞
n→∞
Ist limn→∞ bn 6= 0, so ist bn 6= 0 für fast alle n und
an
limn→∞ an
lim
=
.
n→∞
bn
limn→∞ bn
Auf den Beweis dieser Grenzwertrechenregeln wollen wir verzichten. Stattdessen hier
einige Beispiele:
1
1
= lim ( )k = 0 und
k
n→∞ n
n→∞ n
• lim
1
1
lim √ k = lim ( √ )k = 0 für alle k ∈ N.
n→∞
n→∞
n
n
1 + 3 n12 + 2 n13
1
n3 + 3n + 2
= .
• lim
= lim
1
3
n→∞
n→∞
2n − 1
2
2 − n3
√ 5
3 + 4 √1n3 −
3 n + 4n − 1
• lim √ 5 √
= lim
n→∞
n→∞
1 − n12
n − n
1
√ 5
n
= 3.
Bei Quotienten von Nullfolgen kann sozusagen alles passieren, deshalb ist dort
Vorsicht angebracht. Hier dafür einige Beispiele:
2.1.10 Beispiele
• Sei an =
1
n
• limn→∞
und bn =
Aber umgekehrt ist
2
n
1
n
= 2.
1
. Dann ist
n2
1
an
n
=
1 = n.
bn
2
n
limn→∞
bn
an
= limn→∞
n
n2
= limn→∞
1
n
= 0.
Die Folge ( abnn ) ist also nicht konvergent.
22
Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen
• Die Folge ( 2n )n∈N hat keinen endlichen Grenzwert, weil die Zweierpotenzen
viel schneller wachsen als die natürlichen Zahlen. Genauer kann man durch
n
Induktion zeigen, dass 2n > n für n ≥ 5. Also wachsen die Folgenglieder
unbeschränkt. Man schreibt deshalb hier
n
2n
= ∞.
n→∞ n
lim
Die Grenzwertbildung ist auch mit der Relation ≤ verträglich.
2.1.11 Satz Sind (an )n∈N , (bn )n∈N konvergente Folgen mit an ≤ bn für alle n ∈ N,
so folgt
lim an ≤ lim bn .
n→∞
n→∞
Diese Aussage wird allerdings falsch, wenn wir ≤ durch < ersetzen. Zum Beispiel
ist 1 − n1 < 1 + n1 für alle n, aber limn→∞ (1 − n1 ) = 1 = limn→∞ (1 + n1 ).
Beweis. Beweisen wir die Aussage des Satzes durch Widerspruch. Angenommen, der
Grenzwert a der Folge an wäre echt grösser als der Grenzwert b der Folge bn . Setzen
wir ǫ := a−b
. Für dies ǫ ist sicher b + ǫ < a − ǫ. Für genügend grosse n müsste dann
4
gelten:
bn < b + ǫ < a − ǫ < an .
Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung.
q.e.d.
Ein sehr nützliches Kriterium für die Konvergenz einer Folge liefert der folgende
Vergleichssatz:
2.1.12 Satz Seien (an )n∈N , (bn )n∈N , (cn )n∈N drei Folgen mit an ≤ bn ≤ cn für alle
n ∈ N. Gilt limn→∞ an = limn→∞ cn = a, so folgt limn→∞ bn = a.
Beweis. Zu ǫ > 0 wählen wir einen Index n0 ∈ N, so dass sowohl a−ǫ ≤ an ≤ a+ǫ als
auch a−ǫ ≤ cn ≤ a+ ǫ für alle n ≥ n0 gilt. Daraus folgt a−ǫ ≤ an ≤ bn ≤ cn ≤ a+ ǫ
und daher |bn − a| < ǫ für alle n ≥ n0 . Damit ist die Konvergenz der Folge (bn )
gegen a gezeigt.
q.e.d.
Wir können diesen Satz zum Beispiel anwenden, um den Grenzwert der Folge
zu bestimmen. Mit vollständiger Induktion kann man zeigen, dass gilt:
n
( 2n! )n∈N
0≤
2n
4
≤
n!
n
2n
= 0.
n→∞ n!
für alle n ∈ N und daher lim
Eine weitere wichtige Anwendung ist die auf Potenzfolgen:
2.1.13 Satz Sei q ∈ R, |q| < 1. Dann gilt limn→∞ q n = 0.
Beweis. Es reicht zu zeigen limn→∞ |q|n = 0. Deshalb nehmen wir jetzt ohne Einschränkung an, dass q positiv ist. Aus q < 1 folgt 1q > 1 und daher können wir
2.1. Folgen und Grenzwerte
23
schreiben 1q = 1 + t, wobei t eine positive Zahl ist. Aus dem binomischen Lehrsatz
folgt für alle n durch Weglassen positiver Terme:
n
1
= (1 + t)n ≥ 1 + nt .
q
1
1
Daraus folgt 0 ≤ q n ≤ 1+nt
. Weiter wissen wir limn→∞ 1+nt
= limn→∞
folgt die Behauptung aus dem Vergleichssatz.
q.e.d.
1
n
1
+t
n
= 0. Also
Ein nützliches Konvergenzkriterium ist das folgende Monotoniekriterium:
2.1.14 Satz Eine monoton steigende (bzw. fallende), nach oben (bzw. unten) beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Supremum (bzw. Infimum).
Beweis. Sei (an )n∈N monoton wachsend und nach oben beschränkt, das heisst an ≤
an+1 ≤ M für alle n und eine feste reelle Zahl M. Dann hat die Folge eine kleinste
obere Schranke a := sup{an | n ∈ N}. Sei ǫ > 0. Weil a − ǫ keine obere Schranke für
die Folge (an ) ist, gibt es einen Index n0 ∈ N mit an0 > a − ǫ. Aus der Monotonie
folgt: a − ǫ < an0 ≤ an ≤ a < a + ǫ und damit |an − a| < ǫ für alle n ≥ n0 .
q.e.d.
Wie schon erwähnt, können wir jede Dezimalentwicklung einer positiven Zahl a
als eine solche monoton wachsende Folge auffassen, die gegen a konvergiert. Hier ist
ein weiteres Beispiel für eine monoton wachsende, beschränkte Folge:
P
2.1.15 Bemerkung Die Folge der Teilsummen sn := nk=1 k12 ist monoton
Psteigend
und durch 2 nach oben beschränkt, also existiert der Grenzwert limn→∞ nk=1 k12 .
Beweis. Durch vollständige Induktion kann man zeigen:
n
X
1
1
≤ 2 − < 2 für alle n ∈ N.
2
k
n
k=1
Also ist die Teilsummenfolge wie behauptet nach oben beschränkt. Ausserdem ist
q.e.d.
die Folge streng monoton wachsend, da k12 > 0 ist für alle k ∈ N.
Euler hat diese unendliche Reihe untersucht und festgestellt:
∞
X
1
π2
=
.
2
k
6
k=1
Die Berechnung dieses Grenzwertes ist aber nicht einfach und muss zunächst auf
später verschoben werden.
2.1.16 Bemerkung Die harmonische Reihe:
1 1
1
1+ + +···+ +···
2 3
n
hat keinen endlichen Grenzwert. Die Folge der Teilsummen sn :=
über alle Schranken hinaus.
Pn
1
k=1 k
wächst
24
Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen
Beweis. Um das einzusehen, fassen wir folgende Stammbrüche jeweils zusammen
und schätzen nach unten ab:
+ 41 ≥
1
+ · · · + 81 ≥
5
1
1
+ · · · + 16
≥
9
..
.
1
3
2
= 21
4
4
= 21
8
8
= 21
16
Pn
Daraus folgt s2n = 2k=1 k1 ≥ 1 + n· 21 für alle n. Also kann die Folge der Teilsummen
der harmonischen Reihe nicht nach oben beschränkt sein.
q.e.d.
Für rekursiv definierte Folgen, die monoton wachsen und beschränkt sind, kann
man den Grenzwert mithilfe der Rekursion konkreter bestimmen. Hierfür ein Beispiel.
2.1.17 Beispiel Die folgende rekursiv definierte Folge konvergiert gegen 2:
√
√
a1 := 2, an+1 := 2 + an für n ∈ N.
Beweis. Durch vollständige Induktion
zeigen wir zunächst: an < an+1 < 2 ∀n ∈ N.
p
√
√
√
n = 1: zu zeigen ist 2 < 2 + 2 < 2. Das ist äquivalent zu 2 < 2 + 2 < 4,
und also offensichtlich richtig.
√
n → n√+ 1: DiepInduktionsbehauptung
für
n
lautet
a
<
2 + an < 2. Daraus
n
√
√
folgt: 2 + an < 2 + 2 + an < 2 + 2 = 2. Das ist bereits die Behauptung für
n + 1.
Also ist die Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt und hat nach
dem Monotoniekriterium einen Grenzwert, etwa a. Aus der Rekursion folgt a2 =
limn→∞ a2n+1 = limn→∞
√ (2 + an ) = 2 + a, das bedeutet a = 2 oder a = −1. Weil
ausserdem a ≥ a1 = 2 sein muss, erhalten wir a = 2.
q.e.d.
Wir können nun auch eine Definition der Eulerschen Zahl e angeben.
2.1.18 Satz Die Folge der Zahlen an := (1 + n1 )n (n ∈ N) ist monoton wachsend,
die Folge der Zahlen bn := (1 + n1 )n+1 (n ∈ N) ist monoton fallend und es gilt:
2 ≤ (1 +
1 n
1
) ≤ (1 + )n+1 ≤ 4 für alle n ∈ N.
n
n
Die Folgen (an ) und (bn ) sind konvergent und haben denselben Grenzwert, den man
als die Eulersche Zahl e bezeichnet.
Die Folge der an lässt sich im Zusammenhang mit Zinseszinsrechnung folgendermassen interpretieren. Nehmen wir an, ein Kapital K werde während einer bestimmten Zinsperiode T zu 100% verzinst. Dann wird das Kapital nach Ablauf der
Zeit T verdoppelt. Zahlt man stattdessen aber bereits nach der Hälfte der Zeit T
den halben Zins aus und verzinst den Zwischenbetrag von K ·(1+ 12 ) nach Ablauf des
gesamten Zeitraums nochmals mit 50% Zins, beträgt das Kapital dann insgesamt
K(1 + 12 )(1 + 12 ) = K · 2, 25.
2.1. Folgen und Grenzwerte
25
Unterteilt man den Zeitraum T noch weiter in n Abschnitte (n ∈ N) und wird
das jeweilige Zwischenkapital am Ende jedes Teilabschnitts zu einem Zinssatz von
100
% verzinst, so beträgt das Kapital am Ende K · (1 + n1 )n . Der Grenzwert e =
n
limn→∞ (1 + n1 )n gibt also an, um welchen Faktor sich ein Kapital bei kontinuierlicher
Verzinsung vergrössern würde.
Auch die Folge der Zahlen bn hat etwas mit Zinseszins zu tun. Wenn man ein
Kapital bei einer Einteilung der Gesamtzeit in n Abschnitte bereits zu Beginn der
Zeit erstmals verzinst und zusätzlich nach Ablauf jedes einzelnen Abschnitts, insgesamt also (n + 1)-mal, und dabei jeweils den Zinssatz 100
verwendet, beträgt das
n
Kapital einschliesslich Zinseszins nach Ablauf der Gesamtzeit K · (1 + n1 )n+1 .
Beweis des Satzes: Nehmen wir an, die Monotonie der Folgen (an ) und (bn ) sei
gezeigt. Dann ergeben sich die behaupteten Schranken durch Einsetzen von n = 1.
Die mittlere Ungleichung folgt so:
(1 +
1
1
1
1 n+1
)
= (1 + )n · (1 + ) > (1 + )n .
n
n
n
n
Also ist die Folge (an ) durch 4 nach oben beschränkt und daher konvergent. Aus
den Grenzwertrechenregeln folgt jetzt
lim bn = lim (1 +
n→∞
n→∞
1 n+1
1
)
= lim an · lim (1 + ) = lim an .
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
Nun beweisen wir, dass die Folge (an ) streng monoton steigend ist. Diese Überlegung
ist etwas raffinierter. Zu zeigen ist für alle n ∈ N:
an = (1 +
n+1 n
1 n+1
1 n
) =(
) < (1 +
)
= an+1 ,
n
n
n+1
oder äquivalent:
1<(
n n
1 n+1
n+1−1 n
1 n+1
1 n
1 n+1
) (1+
)
=(
) (1+
)
= (1−
) (1+
)
.
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
Diese Ungleichung wiederum ist äquivalent zu:
(1 −
1 n+1
1 n+1
1
1
) < (1 −
) (1 +
)
= (1 −
)n+1 .
2
n+1
n+1
n+1
(n + 1)
Aber dies ist die Aussage der Bernoullischen Ungleichung 1 + (n + 1)t < (1 + t)n+1
1
für t = − (n+1)
2 . Damit ist die Behauptung gezeigt. Die Monotonie der Folge (bn )
zeigt man ähnlich.
q.e.d.
26
2.2
Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen
Funktionen
Ein zentraler Begriff der Mathematik ist der Begriff der Abbildung oder Funktion,
und dieses Konzept taucht in den verschiedensten Zusammenhängen auf. Wir haben
den Begriff bereits gebraucht, um die Abzählbarkeit definieren zu können. Jetzt
werden wir reellwertige Funktionen in einer reellen Variablen genauer unter die Lupe
nehmen.
Darunter versteht man Funktionen der Form f : D → W , wobei der Definitionsbereich D und die Wertemenge W jeweils Teilmengen von R sind. Häufig verzichtet
man auch auf die Angabe von W . Eine solche Funktion können wir bekanntlich in
einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem graphisch darstellen. Der
Graph der Funktion f ist definiert als
Graph(f ) := {(x, f (x) | x ∈ D} ⊂ R2 .
Man trägt also jeweils zu x ∈ D den Punkt mit den Koordinaten (x, f (x)) in das
Koordinatensystem ein.
2.2.1 Definition Eine Funktion f : D → W (D, W ⊂ R) heisst streng monoton
steigend auf M ⊂ D, falls f (x1 ) < f (x2 ) für alle x1 < x2 , xi ∈ M, und f heisst
streng monoton fallend , falls umgekehrt f (x1 ) > f (x2 ) für alle x1 < x2 , xi ∈ M.
Sei zum Beispiel f − : R≤0 → R≥0 , x 7→ x2 die Funktion, die durch Einschänkung
der Parabelfunktion auf negative Zahlen (oder Null) entsteht, und f + : R≥0 → R≥0 ,
x 7→ x2 , die Einschränkung auf nichtnegative Zahlen. Dann ist f − streng monoton
fallend, und f + streng monoton steigend.
Beobachtung: Ist eine Funktion f : D → R streng monoton steigend (oder fallend)
auf D, so ist sie injektiv, das heisst jeder Zahlenwert wird von der Funktion höchstens
an einer Stelle angenommen.
Beweis. Sei f streng monoton steigend, und nehmen wir an, f sei nicht injektiv.
Dann gäbe es zwei verschiedene Elemente x1 6= x2 mit f (x1 ) = f (x2 ). Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass x1 < x2 . Dann folgt aus der Monotonie
f (x1 ) < f (x2 ), ein Widerspruch.
q.e.d.
2.2.2 Satz Eine Funktion f : D → W ist genau dann bijektiv, wenn f umkehrbar
ist. Das bedeutet, es gibt eine Funktion g: W → D, die sogenannte Umkehrfunktion
von f , mit der Eigenschaft, dass g(f (x)) = x für alle x ∈ D und f (g(y)) = y für alle
y ∈ W . Sind D, W ⊂ R, so erhält man den Graphen von g durch Spiegelung des
Graphen von f an der Winkelhalbierenden, das heisst der Geraden, definiert durch
y = x in R2 .
2.2.3 Beispiel Sei D = R \ {− 12 }, W = R \ {0} und f : D → W , definiert durch
1
f (x) = 2x+1
. Diese Funktion ist bijektiv. Der Graph von f ist eine Hyperbel mit
Asymptoten bei x = − 21 und y = 0. Durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden
erhalten wir wieder eine Hyperbel, diesmal mit Asymptoten bei y = − 12 und x = 0.
2.2. Funktionen
27
Um die Umkehrfunktion g: W → D von f genauer zu bestimmen, setzen wir f (x) =
1
= y und lösen nach x auf. Das führt auf die Beziehung x = 1−y
, und wir
2x+1
2y
1−y
erhalten g(y) = 2y . Nach Umbenennung der Variablen wird daraus die Vorschrift
.
g(x) = 1−x
2x
Für die Umkehrfunktion wird gelegentlich auch die Bezeichnung f −1 verwendet. Diese Bezeichnung werden wir hier aber möglichst vermeiden, weil es leicht zu
Verwechslungen kommen kann. Denn i.a. gilt:
f −1 (x) 6=
1
.
f (x)
Ist eine Funktion f : D → R auf einem bestimmten Teilbereich D1 ⊂ D des
Definitionsbereiches monoton steigend (oder fallend), so können wir f zumindest
auf D1 umkehren. Denn durch Einschränkung erhalten wir eine bijektive Funktion
f1 : D1 → W1 := {f (x) | x ∈ D1 } ,
gegeben durch f1 (x) = f (x) für alle x ∈ D1 , und können nun die dazugehörige
Umkehrfunktion bilden
g1 : W1 → D1 .
Auf diese Weise kann man n-te Wurzeln ziehen oder die trigonometrischen Funktionen jeweils auf passenden Teilbereichen umkehren.
2.2.4 Beispiele
• Sei n ∈ N gerade. Die Funktion f : R → R, x → xn , ist auf
dem Teilbereich D1 := R≥0 monoton steigend, und nimmt dort als Werte alle
reellen Zahlen ≥ 0 an. Bilden wir die dazugehörige Umkehrfunktion, erhalten
wir die n-te Wurzelfunktion
√
g: R≥0 → R≥0 , x 7→ n x (n gerade).
• Für ungerade n ∈ N ist die Funktion f : R → R, x → xn sogar selbst bijektiv,
die Wurzelfunktion ist hier also auch für negative Zahlen definiert:
√
g: R → R, x 7→ n x (n ungerade).
• Die Tangensfunktion ist gegeben durch
tan(x) =
sin(x)
.
cos(x)
Sie ist definiert für alle x ∈ R mit cos(x) 6= 0, das heisst für x 6= (2n + 1) π2 (für
alle n ∈ Z). Auf dem offenen Intervall (− π2 , π2 ) ist die Tangensfunktion monoton
steigend, und nimmt dort als Werte alle reellen Zahlen an. Die entsprechende
Umkehrfunktion wird als Arcus Tangens bezeichnet:
π π
arctan: R → (− , ) .
2 2
28
Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen
2.3
Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
Sei f : D → W (D, W ⊂ R) eine reellwertige Funktion, und sei I = (a, b) ein offenes
Intervall, das ganz im Definitionsbereich D von f enthalten ist.
2.3.1 Definition Sei x0 ∈ [a, b]. Man sagt, die Funktion f habe an der Stelle x0
den Grenzwert y0 , falls für jede Folge (xn )n∈N in I, die gegen x0 konvergiert, die
Folge der Funktionswerte (f (xn ))n∈N gegen y0 konvergiert. Ist dies der Fall, schreibt
man
lim f (x) = y0 .
x→x0 ,x∈I
Es gibt hier eigentlich drei Fälle:
• Ist x0 = a, so spricht man auch vom rechtsseitigen Grenzwert und schreibt
manchmal
lim f (x) = y0 .
x→x0 ,x>x0
• Ist x0 = b, so spricht man vom linksseitigen Grenzwert und notiert
lim
x→x0 ,x<x0
f (x) = y0 .
• Ist x0 ein innerer Punkt des Intervalls, so handelt es sich um einen beidseitigen
Grenzwert, und man schreibt meist einfach
lim f (x) = y0 .
x→x0
2.3.2 Lemma Existieren an einer Stelle x0 sowohl der rechts- als auch der linksseitige Grenzwert von f und stimmen sie überein, dann ist dies auch der beidseitige
Grenzwert.
2.3.3 Beispiele
• Sei f die Vorzeichenfunktion, definiert durch
(
1
für x > 0
f (x) = −1 für x < 0 . Hier ist der rechtsseitige Grenzwert an der Stel0
für x = 0
le x0 = 0 gleich 1 und der linksseitige Grenzwert gleich −1. Da die beiden
Grenzwerte nicht übereinstimmen, kann ein beidseitiger Grenzwert dort nicht
existieren.
2
−1
• Die Funktion f (x) = xx−1
hat eine Definitionslücke bei x0 = 1. Aber der
rechts- und der linksseitige Grenzwert ist hier jeweils gleich 2, also gibt es den
beidseitigen Grenzwert limx→1 f (x) = 2.
• Die Funktion f : R>0 → [−1, 1], definiert durch f (x) = sin( x1 ) hat an der
Stelle x0 = 0 keinen rechtsseitigen Grenzwert. Dazu geben wir zwei Nullfolgen
im Intervall (0, 1) an, deren Funktionswerte nicht gegen denselben Grenzwert
2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
1
und bn :=
konvergieren. Sei dazu an := 2nπ
(an )n∈N und (bn )n∈N sind Nullfolgen. Aber
2
(4n+1)π
für n ∈ N. Beide Folgen
lim f (an ) = lim sin(2nπ) = 0 6= 1 = lim f (bn ) = lim sin(
n→∞
n→∞
29
n→∞
n→∞
4n + 1)
π) .
2
2.3.4 Definition Gelegentlich sieht man auch die Notation
lim f (x) = a oder
x→∞
lim f (x) = ∞ .
x→x0
Dabei handelt es sich um sogenannte uneigentliche Grenzwerte. Von einer Folge (xn )
sagt man, sie konvergiere gegen ∞ (bzw. −∞), falls zu jedem M ∈ R ein n(M) ∈ N
existiert mit xn > M (bzw. xn < M) für alle n ≥ n(M), und schreibt dann
lim xn = ∞ (bzw. − ∞) .
n→∞
Das bedeutet also, dass die Folgenglieder über jede Schranke M hinauswachsen (oder
jede Schranke unterschreiten). Besteht die Folge (xn )n∈N nur aus positiven Zahlen,
so gilt
1
= 0.
lim xn = ∞ ⇐⇒ lim
n→∞
n→∞ xn
Nun kann man den Begriff des Grenzwertes einer Funktion sinngemäss erweitern.
Man sagt, die Funktion f konvergiere für x → ∞ gegen einen Grenzwert a (auch
hier darf jetzt a eventuell unendlich sein), falls für jede Folge (xn ), die gegen ∞
konvergiert, die Folge der Funktionswerte (f (xn )) gegen a konvergiert.
2.3.5 Beispiel Wir betrachten die Hyperbelfunktion, gegeben durch f (x) =
x 6= 0). Hier ist
lim f (x) = +∞ und
x→0,x>0
1
x
(für
lim f (x) = −∞ .
x→0,x<0
Für die Grenzwerte von Funktionen gelten entsprechende Aussagen wie für die
Grenzwerte von Folgen, also Verträglichkeit mit den Grundrechenarten, Verträglichkeit mit der Relation ≤, und es gibt wiederum einen Vergleichssatz.
2.3.6 Satz Seien f, g, h drei reellwertige Funktionen, die alle auf dem offenen Intervall I = (a, b) definiert sind, und sei x0 ∈ [a, b]. Gilt f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) für alle x ∈ I
und limx→x0,x∈I f (x) = a = limx→x0 ,x∈I h(x), so folgt auch limx→x0 ,x∈I g(x) = a.
2.3.7 Beispiele
• limx→∞
x2 −1
x2 +1
• limx→∞
3x2 −1
x
• limx→∞ x1 = 0.
= limx→∞
1
x2
1
1+ 2
x
1−
= 1.
2
= ∞ und limx→∞ 2−x
= −∞.
x+1
• limx→0 sin(x) = 0, denn 0 ≤ | sin(x)| ≤ |x| für x ∈ [− π4 , π4 ], wie man an der
Bedeutung des Sinus am Einheitskreis ablesen kann.
30
Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen
• limx→0 cos(x) = 1, denn 1 ≥ cos(x) ≥
1 − x2 für x ∈ [− π4 , π4 ].
√
1 − x2 , weil cos2 (x) = 1 − sin2 (x) ≥
• limx→0,x6=0 sin(x)
= 1, denn aus der Bedeutung des Tangens am Einheitskreis
x
lesen wir die folgende Ungleichung ab:
sin(x) für x ∈ (− π , π ).
|x| ≤ | tan(x)| = 2 2
cos(x) Daraus folgt | sin(x)| ≥ |x · cos(x)| und wir erhalten für
sin(x) ≤ 1.
| cos(x)| ≤ x π
2
< x < π2 :
Mit dem Vergleichssatz folgt nun die Behauptung.
• limx→0 x · sin( x1 ) = 0, denn es gilt die Abschätzung 0 ≤ |x · sin( x1 )| ≤ |x| für
alle x 6= 0.
Wir kommen nun zum Begriff der Stetigkeit. Anschaulich gesprochen ist eine
Funktion auf einem Bereich stetig, wenn sie dort keine Sprünge macht, oder anders gesagt, wenn kleine Änderungen des Argumentes x zu kleinen Änderungen des
Funktionswertes führen. Dabei betrachten wir nur Funktionen auf offenen Definitionsbereichen. Eine Teilmenge D ⊂ R heisst offen, wenn D eine Vereinigung von
offenen Intervallen ist.
2.3.8 Definition Eine Funktion f : D → R, definiert auf einer offenen Teilmenge
D, heisst stetig an der Stelle x0 ∈ D, wenn für ein offenes Intervall I mit x0 ∈ I ⊂ D
gilt
lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0 ,x∈I
Die Funktion f heisst stetig, falls f an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig ist.
Eine andere äquivalente Charakterisierung der Stetigkeit ist die folgende ǫ-δDefinition:
2.3.9 Satz Eine Funktion f ist stetig an der Stelle x0 ∈ D, falls für jedes ǫ > 0 ein
δ > 0 existiert, so dass
|x − x0 | < δ
=⇒
|f (x) − f (x0 )| < ǫ für alle x ∈ D.
2.3.10 Beispiele
• Jede Funktion der Form f (x) = ax + b (für feste a, b ∈ R)
ist überall stetig.
• Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle x0 = 0 nicht stetig, dort liegt eine
Sprungstelle vor.
n
x−2
für x ≥ −1
• Sei f (x) = |x+1|−3 =
. Der Graph dieser Funktion hat
−x − 4 für x < −1
eine Knickstelle bei x0 = −1. Dort ist aber der rechts- und linksseitige Grenzwert jeweils gleich f (−1) = −3, also ist dies auch der beidseitige Grenzwert
limx→−1 f (x) = −3, und f ist bei x0 stetig.
2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
31
(für x 6= 0) können wir stetig durch f (0) = 1
• Die Funktion f (x) = sin(x)
x
= 1 ist.
fortsetzen, weil wie oben bereits erwähnt limx→0 sin(x)
x
• Die Funktion f (x) = sin( x1 ) (für x 6= 0) dagegen besitzt keine stetige Fortsetzung nach x0 = 0.
Stetigkeit vererbt sich auf Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (dort
wo diese definiert sind), wie sich sofort aus den entsprechenden Sätzen für Grenzwerte ergibt.
2.3.11 Folgerung Sämtliche rationalen Funktionen sind stetig.
Beweis. Wendet man die Produktregel auf die Funktion x 7→ x und auf konstante
Funktionen an, erhält man die Stetigkeit sämtlicher Funktionen der Form x 7→ cxn
(n ∈ N, c ∈ R). Daraus ergibt sich durch Summenbildung die Stetigkeit sämtlicher
Polynome. Unter einer rationalen Funktion versteht man eine Funktion der Form
f = pq , wobei p, q Polynome sind. Es handelt sich also um Quotienten von Polynomen
und deshalb stetige Funktionen.
q.e.d.
Auch die trigonometrischen Funktionen sind stetig.
2.3.12 Beispiel Die Sinusfunktion ist auf ganz R stetig. Dazu verwenden wir das
Additionstheorem für den Sinus und die speziellen Grenzwerte von Sinus und Cosinus an der Stelle 0, die wir schon bestimmt haben.
lim sin(x) = lim sin(x0 + h) = lim (sin(x0 ) cos(h) + sin(h) cos(x0 )) = sin(x0 ) .
x→x0
h→0
h→0
Die Cosinusfunktion ergibt sich durch Verschiebung der Sinusfunktion um π2 , sie also
auch stetig. Die Tangensfunktion wiederum ist als Quotient aus Sinus und Cosinus
ebenfalls stetig.
Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f : [a, b] → R, definiert
auf einem abgeschlossenen Intervall, sei stetig, meint man damit, dass f auf (a, b)
stetig ist und ausserdem in den Randpunkten gilt:
lim f (x) = f (a) und
x→a,x>a
lim f (x) = f (b) .
x→b,x<b
Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:
2.3.13 Satz Sei I ⊂ R ein abgeschlossenes Intervall und sei f : I → R stetig. Sind
x1 6= x2 in I und y ∈ R mit f (x1 ) < y0 < f (x2 ), so gibt es ein x0 zwischen x1 und
x2 mit f (x0 ) = y0 .
Beweis. Hinter dieser Aussage steht das Supremumsaxiom. Für Funktionen, die nur
für rationale Zahlen definiert sind, ist die Aussage nicht richtig. Für den Beweis
können wir annehmen, dass x1 < x2 ist. Weiter können wir durch Verschiebung der
32
Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen
Funktion f um den Wert y0 die Frage darauf reduzieren, eine Nullstelle von f zu
finden. Nehmen wir also an: f (x1 ) < 0 < f (x2 ). Eine Strategie zur Konstruktion
einer Nullstelle x0 besteht darin, das Intervall [x1 , x2 ] fortgesetzt zu halbieren und
nur jeweils die Hälfte zu behalten, über der f das Vorzeichen wechselt. Man erhält
eine Intervallschachtelung, und die Grenzen der Intervalle bilden je eine aufsteigende
und eine fallende Folge, die gegen denselben Grenzwert x0 konvergieren. Wegen der
Stetigkeit muss f (x0 ) = 0 gelten.
q.e.d.
2.3.14 Beispiel Das Polynom p(x) = x5 − 3x + 1 besitzt eine Nullstelle zwischen
x1 = −2 und x2 = −1, denn p(−2) = −25 < 0 und p(−1) = 3 > 0. Wenden
wir nun das Intervallhalbierungsverfahren an, um eine solche Nullstelle genauer zu
bestimmen. Das Startintervall ist das Intervall I1 = [−2; −1]. Der Mittelpunkt des
Intervalls liegt bei x = −1.5 und p(−1.5) = −2.09375 < 0. Also wechselt das
Polynom zwischen −1.5 und −1 das Vorzeichen, in der rechten Intervallhälfte gibt
es also eine Nullstelle. Darum ersetzen wir das Ausgangsintervall nun durch I2 =
[−1.5; −1].
Weil p(−1.25) = 1.698 > 0 ist, findet der Vorzeichenwechsel von p in linken
Intervallhälfte von I2 statt, und wir setzen I3 = [−1.5; −1.25]. Im nächsten Schritt
finden wir p(−1.375) > 0 und daher I4 = [−1.5; −1.375]. Weiter ist p(−1.4375) < 0
und daher I5 = [−1.4375; −1.375]. Nochmaliges Halbieren liefert p(−1.40625) > 0
und I6 = [−1.4375; −1.40625]. Es gibt also eine Nullstelle zwischen −1.4375 und
−1.40625. Die Stelle ist damit bis auf etwa 3 Hundertstel genau bestimmt. Man
kann das Verfahren entsprechend weiter fortsetzen, bis die gewünschte Genauigkeit
erreicht ist.
Das hier angegebene Polynom p besitzt noch zwei weitere Nullstellen, und zwar
eine im Intervall [0; 1] und eine im Intervall [1; 2]. Auch diese Nullstellen kann man
natürlich mit dem Intervallhalbierungsverfahren beliebig genau berechnen.
Der folgende Satz ist weniger leicht zu beweisen, und wir verzichten deshalb auf
den Beweis:
2.3.15 Satz Auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] ist jede stetige Funktion
beschränkt und nimmt ihr Minimum und Maximum an.
Aus beiden Sätzen zusammen ergibt sich:
Folgerung: Eine stetige Funktion bildet ein abgeschlossenes Intervall wieder auf
ein abgeschlossenes Intervall ab.
Beweis. Ist nämlich m das Minimum und M das Maximum von f auf dem Intervall
[a, b], so nimmt f nach dem Zwischenwertsatz alle Werte zwischen m und M an.
Also folgt
f ([a, b]) = {f (x) | a ≤ x ≤ b} = [m, M] .
q.e.d.
Aus dem Zwischenwertsatz folgt auch, dass Umkehrfunktionen von stetigen Funktionen wieder stetig sind.
2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
33
2.3.16 Satz Die stetige Funktion f bilde das Intervall [a, b] auf das Intervall [c, d]
ab. Dann gilt:
1. f ist genau dann injektiv, wenn f streng monoton ist.
2. Ist f streng monoton wachsend (bzw. fallend), so ist auch die Umkehrfunktion
f −1 : [c, d] → [a, b] von f streng monoton wachsend (bzw. fallend).
3. Besitzt f eine Umkehrfunktion, so ist diese ebenfalls stetig.
Man kann diese Aussage auch auf Umkehrfunktionen von Funktionen mit offenen oder halboffenen Definitionsbereichen anwenden. Denn Stetigkeit ist eine lokale
Eigenschaft, das heisst, um die Stetigkeit an einer bestimmten Stelle x0 zu überprüfen, reicht es die Einschränkung der Funktion auf ein passendes abgeschlossenes
Intervall um x0 zu untersuchen.
2.3.17 Folgerung Die Wurzelfunktionen
arcsin, arccos und arctan sind stetig.
√
n
(n ∈ N) und die Arcusfunktionen
Dabei versteht man üblicherweise unter arcsin die Umkehrung der Sinusfunktion
auf dem Abschnitt [− π2 , π2 ] und unter arccos die Umkehrung der Cosinusfunktion auf
dem Abschnitt [0, π]. Schliesslich halten wir noch fest:
2.3.18 Satz Eine aus stetigen Funktionen zusammengesetzte Funktion ist wieder
stetig.
Beweis. Sind f : D2 → W2 und g: D1 → W1 stetige Funktionen und ist W1 ⊂ D2 , so
können wir die Funktionen f und g zusammensetzen:
f ◦ g: D1 → W2 ,
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) .
Man spricht auch von der Komposition der Funktionen f und g. Sei jetzt x0 ∈ D1 .
Wegen der Stetigkeit von g gilt für jede Folge (xn ) in D1 , die gegen x0 konvergiert:
lim g(xn ) = g(x0 ) .
n→∞
Aus der Stetigkeit von f folgt nun wiederum
lim f (g(xn )) = f (g(x0)) .
n→∞
Also ist auch die zusammengesetzte Funktion f ◦ g wieder stetig.
q.e.d.
Diese Tatsache lässt sich vielseitig verwenden, um Grenzwerte von zusammengesetzten Funktionen zu bestimmen.
r
sin x + 2x √
2.3.19 Beispiele
• limx→0,x>0
= 3.
x
Denn limx→0 sin x+2x
= limx→0 sinx x + 2 = 3. Nun folgt die Behauptung aus der
x
Stetigkeit der Wurzelfunktion.
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Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen
• lim
x→∞
√
x+1−
√
x = 0.
√
√
Dazu schreiben wir die Differenz folgendermassen um:
x+1− x=
√
√ √
√
( x + 1 − x)( x + 1 + x)
1
√
=√
−→ 0 .
√
√
x+1+ x
x + 1 + x x→∞
• lim arctan(
x→∞
π
2x3 − x + 1
)= .
2
x +4
2
Denn es gilt limx→∞
2x3 −x+1
x2 +4
= ∞ und limx→∞ arctan(x) = π2 .