Aufgabe 1. A

Äquivalenzrelationen
Aufgabe 1. Lesen Sie im Skript nach was eine Äquivalenzrelation und eine
Äquivalenzklasse ist. Gegeben ist die Menge A = {1, 2, 3}. Finden Sie 3
Äquivalenzrelationen auf A und geben Sie deren Äquivalenzklassen an.
Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es insgesamt auf A?
Lösung von Aufgabe 1. Äquivalenzrelationen auf {1, 2, 3}:
•
R
K1
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
= {1}
K2
= {2}
K3
= {3}
•
R
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3)(1, 2), (2, 1)}
K1
= {1, 2}
K2
= {3}
•
R
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3)(1, 3), (3, 1)}
K1
= {1, 3}
K2
= {2}
Insgesamt gibt es 5 Äquivalenzrelationen auf A. Man erkennt das am einfachsten wenn man die Zerlegungen aufzählt:
{1}, {2}, {3}
{1, 2}, {3}
{1, 3}, {2}
{2, 3}, {1}
{1, 2, 3}
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass folgende Relationen Äquivalenzrelationen sind
und beschreiben Sie ihre Äquivalenzklassen. Wie sehen die zugehörigen
Zerlegungen aus?
≡4
= {(a, b) | a, b ∈ N0 , a − b ist durch 4 teilbar}
∼ = {(a, b) | a, b ∈ N, a und b haben die selbe letzte Ziffer }
1
Lösung von Aufgabe 2.
• ≡4 = {(a, b) | a, b ∈ N0 , a − b ist durch 4 teilbar}
reflexiv: a − a = 0 ist durch 4 teilbar für alle a ∈ N0 .
symmetrisch: Wenn a − b durch 4 teilbar ist, dann auch b − a.
transitiv: Wenn a − b und b − c durch 4 teilbar sind, dann auch a − c,
da a − c = (a − b) + (b − c) und die Summe zweier durch 4 teilbarer
Zahlen ist durch 4 teilbar.
Die Äquivalenzklassen sind
{0, 4, 8, 12, . . .}
{1, 5, 9, 13, . . .}
{2, 6, 10, 14, . . .}
{3, 7, 11, 15, . . .}
Durch ≡4 wird N0 in 4 disjunkte Teilmengen zerlegt, wobei jede Teilmenge einer Äquivalenzklasse entspricht.
• ∼= {(a, b) | a, b ∈ N, a und b haben die selbe letzte Ziffer }
reflexiv: Jede Zahl hat die selbe letzte Ziffer wie sie selbst.
symmetrisch: Wenn a die selbe letzte Ziffer hat wie b, dann hat auch
b die selbe letzte Ziffer wie a.
transitiv: Wenn a die selbe letzte Ziffer hat wie b und b die selbe
letzte Ziffer hat wie c, dann hat auch a die selbe letzte Ziffer wie c.
Die Äquivalenzklassen sind
{1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101, . . .}
{2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, . . .}
{3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, 103, . . .}
...
{9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109, . . .}
{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, . . .}
Durch ∼ wird N in 10 disjunkte Teilmengen zerlegt, wobei jede Teilmenge einer Äquivalenzklasse entspricht.
Aufgabe 3. Aus organisatorischen Gründen ist es an der FH leider nicht möglich,
jeden Studenten individuell mit dem ihm/ihr gerechten Maß an Wissen zu
versorgen. Daher zerlegt man die Menge der Studenten in Semester und
versorgt alle Studenten in einem Semester gleich. Hierdurch wird eine Relation R auf der Menge der Studenten definiert, wobei aRb genau dann
wenn Student a und Student b im gleichen Semester sind. Zeigen Sie dass
R eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Studenten ist.
Lösung von Aufgabe 3. Semestereinteilung bildet Äquivalenzrelation.
• Reflexiv: Jeder Student ist im selben Semester wie er selber.
2
• Symmetrisch: Ist a im selben Semester wie b, dann ist auch b im
selben Semester wie a.
• Transitiv: Ist a im selben Semester wie b und b im selben Semester
wie c, dann ist auch a im selben Semester wie c.
Aufgabe 4. Sei R die Verwandtschaftsrelation auf der Menge aller Menschen,
d.h. aRb genau dann wenn der Mensch a mit dem Mensch b verwandt ist.
Begründen Sie, dass R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Angenommen die Theorie von Adam und Eva ist wahr, wieviele Äquivalenzklassen hat dann die Relation R?
Angenommen der Verwandtschaftsbegriff wäre so definiert, dass unverheiratete Paare trotz gemeinsamem Kind nicht als verwandt gelten. Wie
würde sich dann ein uneheliches Kind auf die Transitivität von R auswirken?
Lösung von Aufgabe 4. Verwandtschaftsrelation:
• Reflexiv: Jeder ist mit sich selbst verwandt.
• Symmetrisch: Wenn a mit b verwandt ist, dann auch b mit a.
• Transitiv: Wenn a mit b verwandt ist und b mit c, dann auch a mit
c.
Wenn Adam und Eva die ersten Menschen waren, dann ist jeder mit jedem verwandt, und die Verwandtschaftsrelation hat eine einzige Äquivalenzklasse, die alle Menschen enthält.
Wenn unverheiratete Paare trotz gemeinsamem Kind als nicht verwandt
gelten, würde ein uneheliches Kind die Transitivität von R zerstören. Sei c
das uneheliche Kind von a und b, wobei a und b nicht verwandt sind. Dann
ist aRc, cRb aber nicht aRb. (Nimmt man wieder an, dass alle Menschen
von Adam und Eva abstammen, ist R trotzdem transitiv, da jeder mit
jedem verwandt ist, also auch a mit b.)
Aufgabe 5. Sei f eine Funktion und
R = {(a, b) | a ∈ R, b ∈ R, f (a) = f (b)}
eine Relation. Gibt es eine Funktion f so dass R keine Äquivalenzrelation
ist? Hinweis: Prüfen Sie ob R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist unter
der Annahme dass f irgend eine Funktion ist. Falls das nicht gelingt,
probieren Sie’s für ein paar Beispielfunktionen f (x) = |x|, f (x) = x,
f (x) = x2 , usw.
Lösung von Aufgabe 5. Die Relation
R = {(a, b) | a ∈ R, b ∈ R, f (a) = f (b)}
ist eine Äquivalenzrelation für alle f .
3
• Reflexiv: f (a) = f (a).
• Symmetrisch: Wenn f (a) = f (b) dann f (b) = f (a).
• Transitiv: Wenn f (a) = f (b) und f (b) = f (c) dann ist f (a) = f (c).
Aufgabe 6. Sei A = Z × N und R ⊆ A × A die Relation, die definiert ist durch
n
o
R=
(z1 , n1 ), (z2 , n2 ) | z1 , z2 ∈ Z, n1 , n2 ∈ N, z1 n2 = z2 n1 .
Somit ist z.B.
(−4, 6)R(−6, 9)
da
−4 × 9 = 6 × −6.
Jede Äquivalenzklasse von R ist eine Teilmenge von A. Zählen Sie ein paar
Elemente der Äquivalenzklasse von R auf, die das Element (2, 3) enthält.
Wieviele Äquivalenzklassen hat R? Überlegen Sie sich, wie die zugehörige
Zerlegung Z aussieht. Welche Beziehung besteht zwischen dieser Zerlegung
Z und der Menge Q?
Lösung von Aufgabe 6. Elemente der Äquivalenzklasse von R die (2, 3) enthält
sind z.B.
(4, 6), (6, 9), (8, 12), . . . .
R hat unendlich viele Äquivalenzklassen. Die Elemente einer Äquivalenzklasse sind Paare, bei denen die erste Komponente dividiert durch die
zweite Komponente immer die selbe rationale Zahl ergibt. Somit entspricht
jeder rationalen Zahl q ∈ Q eine Äquivalenzklasse Kq von R mit
Kq = {(z, n) | z ∈ Z, n ∈ N, q = z/n}.
Wenn man die Mengen Z und N definiert hat, kann man auf diese Weise
Q konstruieren.
Aufgabe 7. Überlegen Sie sich 3 Beispiele von endlichen oder unendlichen
Mengen, definieren Sie darauf eine Äquivalenzrelation und bestimmen die
zugehörige Zerlegung. Überlegen Sie sich 3 (andere) Beispiele von endlichen oder unendlichen Mengen, definieren Sie darauf eine Zerlegung und
bestimmen die zugehörige Äquivalenzrelation.
Lösung von Aufgabe 7. Beispiele von Äquivalenzrelationen mit zugehörigen
Zerlegungen:
• ≡2 = {(a, b) | a ∈ N0 , b ∈ N0 , a − b durch 2 teilbar} ist Äquivalenzrelation auf N0 . Äquivalenzklassen sind die Menge der geraden Zahlen
und die Menge der ungeraden Zahlen. Diese bilden auch eine Zerlegung von N0 .
4
• A = N,
R = {(a, b) | a und b haben die gleiche Anzahl von Dezimalstellen}.
Es gibt unendlich viele Äqquivalenzklassen, z.B.
K1
K2
= {1, 2, 3, . . . , 9}
= {10, 11, 12, . . . , 99}
K3
= {100, 101, 102, . . . , 999}
..
.
Die Äquivalenzklassen bilden eine Zerlegung von N.
• A = ∅, R = ∅. Die zugehörige Zerlegung ist ebenfalls die leere Menge.
Beispiele von Zerlegungen mit zugehörigen Äquivalenzrelationen:
• A = {1, 2}, Z = {{1}, {2}}. Die zugehörige Äquivalenzrelation ist die
Gleichheit auf A.
• A = Z, Z = {K1 , K2 , K3 } wobei K1 die Menge der positiven, K2 die
Menge der negativen und K3 = {0}. Die zugehörige Äquivalenzrelation ist
{(a, b) | a und b haben das selbe Vorzeichen }
• A = R, Z = {R}. Die zugehörige Äquivalenzrelation ist R × R.
Aufgabe 8. Sei A eine Menge mit zwei Elementen.
• Wieviele Relationen gibt es auf A?
• Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es auf A?
Hinweis: Jede Relation auf A ist eine Teilmenge von A × A und jede
Äquivalenzrelation auf A entspricht einer Zerlegung von A.
Lösung von Aufgabe 8.
• Die Menge A × A hat 4 Elemente. Eine Relation auf A ist eine Teilmenge von A × A, d.h. ein Element der Potenzmenge von A × A.
Die Potenzmenge von A × A hat 24 = 16 Elemente. Somit gibt es 16
Relationen auf A.
• Es gibt zwei Zerlegungen von A, nämlich
{{1, 2}} und {{1}, {2}}.
Somit gibt es zwei Äquivalenzrelationen auf A.
Aufgabe 9. Sei A = {1, 2, 3, 4}.
5
• Bestimmen Sie eine Äquivalenzrelation auf A mit 3 Äquivalenzklassen.
• Finden Sie eine Relation auf A, die weder reflexiv auf A noch symmetrisch noch transitiv ist.
Lösung von Aufgabe 9.
• Eine Zerlegung von A in 3 Klassen ist z.B.
{1}, {2}, {3, 4} .
Die zugehörige Äquivalenzrelation ist
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (3, 4), (4, 3)}.
• Eine Relation auf A, die weder reflexiv auf A noch symmetrisch noch
transitiv ist, ist z.B.
{(1, 2), (2, 3)}.
Aufgabe 10. Die Menge der rationalen Zahlen wurde in der Vorlesung definiert
als
Q = (Z × N)/R
wobei
R=
(a1 , b1 ), (a2 , b2 ) | a1 , a2 ∈ Z ∧ b1 , b2 ∈ N ∧ a1 b2 = a2 b1
eine Äquivalenzrelation auf Z × N war.
Begründen Sie, weshalb die ganz ähnliche Relation
S = (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) | a1 , b1 , a2 , b2 ∈ Z ∧ a1 b2 = a2 b1
keine Äquivalenzrelation auf Z2 ist. Hinweis: Es hat damit zu tun dass
man durch Null nicht dividieren darf.
Lösung von Aufgabe 10. S ist zwar reflexiv auf Z2 und symmetrisch aber
nicht transitiv. So ist z.B.
(3, 0), (0, 0) ∈ S und (0, 0), (0, 3) ∈ S
aber
(3, 0), (0, 3) 6∈ S.
Aufgabe 11. Seien X und Y zwei Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation
R ⊆ A × A. Beweisen Sie ausführlich: Wenn X 6= Y , dann ist X ∩ Y = ∅.
Lösung von Aufgabe 11.
• Für jede Äquivalenzrelation R und für alle Äquivalenzklassen X und
Y von R gilt: Wenn X 6= Y dann X ∩ Y = ∅.
6
• Sei R eine beliebige aber fest gewählte Äquivalenzrelation und seien X, Y beliebige aber fest gewählte Äquivalenzklassen von R. Zu
zeigen: Wenn X 6= Y dann X ∩ Y = ∅.
• Aussagenlogische Umformung. Zu zeigen:
X ∩ Y 6= ∅ → X = Y.
• Annahme X ∩ Y 6= ∅. Zu zeigen X = Y .
• Annahme: ∃u u ∈ X ∧ u ∈ Y .
• Annahme: Sei u so dass u ∈ X und u ∈ Y .
• Definition Äquivalenzklasse. Annahme: Es gibt a, b ∈ A so dass
X
= {x | aRx}
Y
= {y | bRy}.
X
Y
= {x | aRx}
= {y | bRy}.
• Seien a, b ∈ A so dass
• Aus u ∈ X und u ∈ Y folgt
aRu und bRu.
• Definition Teilmenge: Zu zeigen: X ⊆ Y und Y ⊆ X.
• Zuerst der Beweis X ⊆ Y . Zu zeigen: ∀s ∈ X s ∈ Y .
• Sei s ∈ X beliebig aber fest. Zu zeigen: s ∈ Y .
• Da s ∈ X, folgt aRs.
• Mit Symmetrie von R folgt sRa. Transitivität und Annahme aRu
ergibt sRu. Symmetrie, Transitivität und Annahme bRu ergibt bRs,
d.h. s ∈ Y .
• Beweis von Y ⊆ X ist analog.
Aufgabe 12. Beweisen Sie ausführlich, dass die Relation
R = { (a, b), (x, y) | a, x ∈ Z ∧ b, y ∈ Z \ {0} ∧ ay = bx}
eine Äquivalenzrelation auf Z × (Z \ {0}) ist.
Lösung von Aufgabe 12. Reflexivität auf Z × (Z \ {0}).
• Zu zeigen:
∀u ∈ Z × (Z \ {0}) uRu.
• Sei u ∈ Z × (Z \ {0}) beliebig aber fest. Zu zeigen: uRu.
7
• Da u ∈ Z × (Z \ {0}) gilt
∃u1 ∈ Z ∃u2 ∈ Z \ {0} u = (u1 , u2 ).
• Sei u1 ∈ Z und u2 ∈ Z \ {0} so dass u = (u1 , u2 ). Zu zeigen:
(u1 , u2 )R(u1 , u2 ).
• Definition von R. Zu zeigen:
(u1 , u2 ), (u1 , u2 ) ∈ { (a, b), (x, y) | a, x ∈ Z∧b, y ∈ Z\{0}∧ay = bx}.
• Zu zeigen:
u1 ∈ Z,
u2 ∈ Z \ {0},
u 1 u2 = u2 u1 .
Dies folgt aus der Annahme bzw. der Kommutativität der Multiplikation.
Symmetrie.
• Zu zeigen:
∀u, v (uRv → vRu).
• Seien u, v beliebig aber fest. Zu zeigen:
uRv → vRu.
• Annahme:
uRv.
Zu zeigen:
vRu.
• Da R ⊆ Z × (Z \ {0}) folgt aus der Annahme uRv dass
u, v ∈ Z × Z \ {0}.
Damit gilt
∃u1 ∈ Z ∃u2 ∈ Z \ {0} u = (u1 , u2 )
∃v1 ∈ Z ∃v2 ∈ Z \ {0} v = (v1 , v2 ).
• Seien u1 , v1 ∈ Z und u2 , v2 ∈ Z \ {0} so dass u = (u1 , u2 ) und
v = (v1 , v2 ). Annahme:
(u1 , u2 )R(v1 , v2 ).
Zu zeigen:
(v1 , v2 )R(u1 , u2 ).
8
• Definition von R. Aus der Annahme folgt
u1 v2 = u2 v1 .
Zu zeigen:
v1 u2 = v2 u1 .
Dies folgt aus der Annahme und der Kommutativität der Multiplikation.
Transitivität.
• Zu zeigen:
∀u, v, w (uRv ∧ vRw) → uRw .
• Seien u, v, w beliebig aber fest. Zu zeigen:
(uRv ∧ vRw) → uRw.
• Annahme:
uRv,
vRw.
Zu zeigen:
uRw.
• Da R ⊆ Z × (Z \ {0}) folgt aus uRv und vRw dass
u, v, w ∈ Z × (Z \ {0}).
Damit gilt
∃u1 ∈ Z ∃u2 ∈ Z \ {0} u = (u1 , u2 )
∃v1 ∈ Z ∃v2 ∈ Z \ {0} v = (v1 , v2 )
∃w1 ∈ Z ∃w2 ∈ Z \ {0} w = (w1 , w2 ).
• Seien u1 , v1 , w1 ∈ Z und u2 , v2 , w2 ∈ Z \ {0} so dass u = (u1 , u2 ),
v = (v1 , v2 ) und w = (w1 , w2 ). Annahme:
(u1 , u2 )R(v1 , v2 ),
(v1 , v2 )R(w1 , w2 ).
Zu zeigen:
(u1 , u2 )R(w1 , w2 ).
• Definition von R. Aus der Annahme folgt
u1 v2
= u2 v1
v1 w2
= v2 w1 .
Zu zeigen:
u1 w2 = u2 w1 .
9
• Aus der Annahme folgt durch Erweitern der ersten Gleichung mit w2
u1 v2 w2 = u2 v1 w2 .
Da v1 w2 = v2 w1 kann man auf der rechten Seite v1 w2 durch v2 w1
ersetzen und erhält
u1 v2 w2 = u2 v2 w1 .
Da laut Annahme v2 6= 0 kann man mit v2 kürzen und es gilt
u1 w2 = u2 w1 .
Aufgabe 13. Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Eine Menge K heißt Äquivalenzklasse von A wenn
∃u ∈ A K = {x | xRu}.
Die Menge aller Äquivalenzklassen von R wird mit R/A bezeichnet. Beweisen Sie ausführlich, dass es zu jedem a ∈ A höchstens eine Äquivalenzklasse
K von R gibt so dass a ∈ K.
Lösung von Aufgabe 13. Sei R eine Äquivalenzrelation auf A.
• Zu zeigen:
∀a ∈ A ∀K1 , K2 ∈ R/A (a ∈ K1 ∧ a ∈ K2 ) → K1 = K2 .
• Seien a ∈ A und K1 , K2 ∈ R/A beliebig aber fest. Zu zeigen:
(a ∈ K1 ∧ a ∈ K2 ) → K1 = K2 .
• Annahme
a ∈ K1 ,
a ∈ K2 .
Zu zeigen:
K1 = K2 .
(Bemerkung: Wenn man weiß, dass die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation disjunkte Teilmengen von A sind, ist man an dieser
Stelle schon fertig.)
• Definition der Mengengleichheit: Zu zeigen
K1 ⊆ K2 ∧ K2 ⊆ K1 .
Nachfolgend der Beweis von K1 ⊆ K2 , der Beweis von K2 ⊆ K1 ist
analog.
• Definition der Teilmengenbeziehung. Zu zeigen:
∀x (x ∈ K1 → x ∈ K2 ).
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• Sei x beliebig aber fest. Zu zeigen:
x ∈ K1 → x ∈ K2 .
• Annahme:
x ∈ K1 .
Zu zeigen:
x ∈ K2 .
• Da K1 , K2 Äquivalenzklassen von R sind, folgt
∃u1 ∈ A K1 = {x | xRu1 }
∃u2 ∈ A K2 = {x | xRu2 }.
• Seien u1 , u2 ∈ A so dass
K1
= {x | xRu1 }
K2
= {x | xRu2 }.
• Da x, a ∈ K1 folgt
xRu1 ,
aRu1 .
Aus der Symmetrie und Transitivität von R folgt
xRa.
• Da a ∈ K2 folgt
aRu2 .
Aus aRu1 folgt damit
u1 Ru2 .
Aus xRu1 folgt damit
xRu2 .
Folglich gilt
x ∈ K2 .
Aufgabe 14. Sei
A = {x | x ∈ N ∧ ∃y ∈ N 2y = x}
und
R = {(x, y) | x, y ∈ N ∧ x + y ∈ A}.
Beweisen Sie ausführlich, dass R eine Äquivalenzrelation auf N ist. Nennen Sie dann die Äquivalenzklassen von R. Sie dürfen im Beweis die Rechengesetze der Addition und der Multiplikation von natürlichen Zahlen
verwenden.
11
Lösung von Aufgabe 14.
R ist reflexiv auf N.
• Zu zeigen:
∀x ∈ N xRx.
• Sei x ∈ N beliebig aber fest. Zu zeigen: xRx.
• Definition von R. Zu zeigen:
x ∈ N ∧ x + x ∈ A.
Dass x ∈ N ist, folgt direkt aus der Annahme.
• Definition von A. Zu zeigen:
∃y ∈ N 2y = x + x.
• Konstruktion von y. Mit y = x, gilt 2y = x + x.
R ist symmetrisch.
• Zu zeigen:
∀x, y xRy → yRx.
• Seien x, y beliebig aber fest.
• Annahme xRy, zu zeigen yRx.
• Aus der Annahme folgt unter Verwendung der Definition von R dass
x, y ∈ N und x + y ∈ A.
• Mit der Kommutativität der Addition folgt
y + x ∈ A.
Folglich gilt yRx.
R ist transitiv.
• Zu zeigen:
∀x, y, z (xRy ∧ yRz) → xRz.
• Seien x, y, z beliebig aber fest. Zu zeigen:
(xRy ∧ yRz) → xRz.
• Annahme
xRy und yRz.
Zu zeigen:
xRz.
12
• Definition von R. Annahme:
x, y, z ∈ N,
x + y ∈ A,
y + z ∈ A.
Zu zeigen:
x, z ∈ N,
x + z ∈ A.
Dass x, z ∈ N folgt direkt aus der Annahme.
• Definition von A. Annahme:
∃a ∈ N 2a = x + y
∃b ∈ N 2b = y + z.
Zu zeigen:
∃c ∈ N 2c = x + z.
• Seien a, b ∈ N so dass
2a = x + y
2b
= y + z.
• Umformen ergibt
x+z
= (x + y) + (y + z) − 2y
= 2a + 2b − 2y
=
2(a + b − y).
Da
a+b
x+y y+z
+
2
2
x+z
= y+
2
=
und x, z ∈ N folgt
a+b>y
und da a, b, y ∈ N folgt
a + b − y ∈ N.
Mit c = a + b − y folgt somit c ∈ N und 2c = x + z.
Die Äquivalenzrelation R hat zwei Äquivalenzklassen, nämlich die geraden
und die ungeraden natürlichen Zahlen.
Aufgabe 15. Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Dann ist auch R−1 eine
Äquivalenzrelation auf A. Beweisen Sie nun ausführlich, dass R und R−1
die selben Äquivalenzklassen haben, d.h.
A/R = A/R−1 .
Hinweis: Es genügt zu zeigen, dass A/R ⊆ A/R−1 , der Beweis der anderen
Teilmengenbeziehung ist analog.
13
Lösung von Aufgabe 15.
• Sei R eine beliebig aber fest gewählte Äquivalenzrelation auf A. Zu
zeigen:
A/R ⊆ A/R−1 .
• Zu zeigen:
∀K ∈ A/R K ∈ A/R−1 .
• Sei K ∈ A/R beliebig aber fest. Zu zeigen: K ∈ A/R−1 .
• Definition von Äquivalenzklasse. Annahme:
∃a ∈ A K = {x | xRa}.
Zu zeigen:
∃b ∈ A K = {x | xR−1 b}.
• Sei a ∈ A so dass
K = {x | xRa}.
• Definition von R−1 .
K = {x | aR−1 x}.
• Symmetrie von R−1 .
K = {x | xR−1 a}.
• Konstruktion eines b ∈ A so dass
K = {x | xR−1 b}.
Wähle b = a.
Aufgabe 16. Definieren Sie eine Äquivalenzrelation auf Z × Q und nennen Sie
eine Äquivalenzklasse dieser Relation.
Lösung von Aufgabe 16. Gleichheitsrelation auf Z × Q:
=Z×Q = {((a1 , b1 ), (a2 , b2 )) | a1 , a2 ∈ Z, b1 , b2 ∈ Q, a1 = a2 , b1 = b2 }.
Eine Äquivalenzklasse ist z.B.
{(0, 0)}.
Ein anderes Beispiel ist (Z × Q)2 . Die einzige Äquivalenzklasse dieser Relation ist Z × Q.
Aufgabe 17. Die Relationen =N und N × N sind Äquivalenzrelationen auf N.
Konstruieren Sie ein weiteres Beispiel für eine Äquivalenzrelation auf N
und nennen Sie deren Äquivalenzklassen.
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Lösung von Aufgabe 17. Zum Beispiel
R ==N ∪{(1, 2), (2, 1)}
Klassen sind
{1, 2}, {3}, {4}, {5}, . . . .
Ein anderes Beispiel ist
R = {(a, b) | a, b ∈ N ∧ (a − b) ist durch 2 teilbar }
Die Klassen sind
{1, 3, 5, 7, . . .} und {2, 4, 6, 8, . . .}.
Aufgabe 18. Sei M ⊆ N. Dann ist
R = =N ∪ M 2
eine Äquivalenzrelation auf N. Berechnen Sie
N/R.
Lösung von Aufgabe 18.
N/R = {{a} | a ∈ N \ M } ∪ {M }.
Aufgabe 19. Sei
M = {(1, 2), (4, 2)}.
• Nennen Sie alle Elemente, die man zu M dazunehmen muss, damit
aus M eine Äquivalenzrelation auf {1, 2, 3, 4} wird.
• Nennen Sie die Äquivalenzklassen der so entstandenen Äquivalenzrelation.
Lösung von Aufgabe 19. Die Äquivalenzrelation ist
M = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (1, 4), (4, 1)}
Äquivalenzklassen sind
{1, 2, 4} und {3}.
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