Vorlesung El. Math. MINT [Modul MA8802]

Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Dr. Stephan Schmitz
MA 8802, SoSe 2014
Inhaltsverzeichnis, Stand 16. Juli 2015
Vorlesung El. Math. MINT [Modul MA8802]
Inhaltsverzeichnis
Die einzelnen Kapitel und Unterkapitel enthalten in vielen Fällen nicht nur Themen, die schon
in der Überschrift angedeutet sind, sondern auch einzelne kleinere Themenbereiche, die sich
dort gerade günstig bereitstellen lassen, wie zum Beispiel das Summenzeichen in Abschnitt 2.7.
Kapitel I: Wiederholung und Vertiefung
§I.1 Vektorrechnung
1.1 Beispiel
[Summe zweier Sechservektoren]
1.2 Vektoren
[Summe, Vielfache, Null, Negatives]
1.3 Rechenregeln für Vektoren
[Auswahl]
1.4 Das Skalarprodukt (SP)
[Definition und Schreibweisen]
1.5 Verwendung des Skalarproduktes
[Betrag, Winkel, senkrecht]
1.6 Rechenregeln für Skalarprodukt und Betrag [eine Zusammenstellung]
1.7 Beispiel
[Vereinfachung durch Rechenregeln]
1.8 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
[Definition und Berechnung]
1.9 Beispiele
[zwei Kreuzprodukte]
1.10 Rechenregeln und Anwendungen
[Regeln, Parallelogrammfläche]
§I.2 Differential- und Integralrechnung
1.11 Die Hyperbelfunktionen
[cosh und sinh]
1.12 Integrale
[Definition, Hauptsatz]
1.13 Länge eines Funktionsgraphen
[Beispiel zur Herleitung]
1.14 Die Länge eines Funktionsgraphen
[Berechnungsformel]
§I.3 Integrationstechnik: Substitution
1.15 Das “dx” im Integral
[Umrechnungsformel, Beispiel]
1.16 Beispiele (Substitution)
[verschiedene Integrale]
1.17 Subsitution: Allgemeines Schema
[Vorgehensweise]
1.18 Warum funktioniert Substitution?
[Substiutionsregel in “Buchform”]
Kapitel II: Kurven und Differentialgleichungen
§II.1 Kurven und Kurvenlänge
2.1 Definition: Kurve
2.2 Beispiele
2.3 Differenzierbare(!) Kurve
[Def., Komponentenfunktionen]
[Strecke, “Ellipse”, Zeichnung]
[Ableitung, Geschwindigkeitsvektor]
2.4 Beispiele
2.5 Die Länge einer Kurve
2.6 Kontroll-Beispiele
2.7 Einschub: Das Summenzeichen
2.8 Beispiele (Summenzeichen)
2.9 Kurven: Andere Schreibweisen
2.10 Beispiel: Ein Kardioide
2.11 Längen leichter berechnen?
§II.2 Differentialgleichungen
2.12 Beispiele
2.13 Die Kettenlinie
2.14 Einschub: Der Area Sinus Hyperbolicus
2.15 Lösung des Kettenlinien-AWP
2.16 Trennung der Variablen
2.17 Beispiel
2.18 Beispiel (Einschränkende Bedingungen)
2.19 Rechnung unter Vorbehalt
2.20 Beispiel
2.21 Differentialgleichungen für Kurven
2.22 Bemerkung
2.23 Definition (DGL)
2.24 Das Euler-Verfahren
2.25 Demonstration (L. Köstler)
§II.3 Integrationstechnik: Partielle Integration
2.26 Die Grundformel
2.27 Anwendung: Integration von Produkten
2.28 p.I. ohne Produkt, der 1-Mal-Trick
2.29 Sich reproduzierende Integrale
2.30 Beispiel
[Strecke, Schraubenlinie, Graph]
[Herleitung und Formel]
[Strecke,
Graph]
P
[ , Laufindex]
[SP, Länge Streckenzug]
[Punkt für Zeitableitung et al.]
[Länge der Kardioide]
[Durchlaufen mit konst. Geschw.]
[Einfache Beispiele]
[Herleitung der DGL]
[zur Lösung von sinh-Gleichungen]
[mit Trennung der Variablen]
[Aussagen zum Lösungsverfahren]
[TdV, nicht überall ex. Lsg.]
[bei Trennung der Variablen]
[Vermeiden einschr. Bedingungen]
[Trennung der Variablen]
[Herleitung allg. Form]
[nochmals Verallgemeinerung]
[gwöhnliche Differentialgleichung]
[Approximation durch Streckenzug]
[Beispiele für DGLs am Computer]
(p.I.)
[Herleitung aus Produktregel]
[Wahlkriterien, Beispiele]
[Stammfunktion von ln]
[ein Beispiel]
[Unklare “Aufteilung” des Prod.]
Kapitel III: Matrizen und Gleichungssysteme
§III.1 Elementare Matrixrechnung
3.1 Matrizen
3.2 Beispiele
3.3 Bemerkung
3.4 Summen und Vielfache von Matrizen
3.5 Rechenregeln für Summen und Vielfache
3.6 Die transponierte Matrix
3.7 Rechenregeln für Transponierte
§III.2 Produkte mit Matrizen
3.8 Wichtige Warnungen
3.9 Zeile mal Spalte
3.10 Zusammenhang mit Skalarpodukt
3.11 Das Matrix-Matrix-Produkt
3.12 Beispiele
3.13 Ausrechnen von Matrix-mal-Matrix
[Definition, Schreibweisen]
[Einträge via Indices, Mat.=Tabelle]
[Betrachtungsweisen]
[Negative, Nullmatrix]
[analog zu 1.3]
[Transponierte, Symmetrie]
[verträglich mit Summe und Vorfaktor]
[Reihenfolge ist wichtig]
[wie Skalarprodukt]
[genauer dargestellt]
[Größenbed. und Definition]
[Falk-Schema]
[Zusammenfassung]
3.14 Sonderfall Matrix-mal-Vektor
3.15 Übersicht: Produkte
3.16 Rechenregeln für Matrix-Produkte
3.17 Die Einheitsmatrix
3.18 Beispiel
§III.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
3.19 Definition
3.20 Beispiel
3.21 Zeilenstufenform (ZSF)
3.22 LGS in Zeilenstufenform
3.23 Beispiele
3.24 Ein Sonderfall
3.25 LGS lösen: Der Gauß-Algorithmus (GAL)
3.26 Beispiel/Strategie
3.27 Strategie (ZSF erzeugen, LGS lösen)
3.28 Lösungsstruktur und -kontrolle
3.29 Beispiel
3.29 Optionale weitere Umformungen
[Matrix·Vektor = Vektor]
[alle bisher bespr. Produkte]
[wie 1.3 und zusätzliche]
[Eine “Eins” für Matrizen]
[Fortsetzung von Beispiel 3.2(ii)]
[Was ist ein LGS?]
[Lösen durch Rückwärtseinsetzen]
[allg. Beschreibung]
[Rückwärtseinsetzen: Regeln]
[Rückwärtseinsetzen]
[Matrix=Einheitsmatrix]
[Zeilenumformungen]
[ZSF erzeugen]
[auch: versch. Darst. der Lsg.]
[Test ohne Parameter]
[falsche Umformung, Fehler wo?]
[Annäherung an Einheitsmatrix]
Kapitel IV: Funktionen mehrerer Variabler: Ein Crashkurs
§IV.1 Partielle Ableitungen
4.1 Funktionen mehrerer Variabler
4.2 Partielle Ableitungen
4.3 Berechnung
4.4 Beispiele
4.5 Bemerkungen/Begriffe
4.6 Jacobi-Matrix und Gradient
4.7 Beispiel
4.8 Mehrfaches partielles Ableiten
4.9 Satz von H. A. Schwarz
§IV.2 Mehrdimensionale Integrale
4.10 Grundregeln
4.11 Großes Beispiel mit Regeln
4.12 Parametrisierte Integrationsbereiche
[Begriffe]
[Definition über Kurvenableitung]
[Tipps und Tricks]
[Demo: Berechnung]
[partiell differenzierbar]
[stärkster Anstieg]
[Jacobi-Matrix, Gradient]
[ein Beispiel]
[Reihenfolge egal]
[Integration nach xi ]
[Parametrisierte Integrationsber.]
[Regel zur Integrationsreihenfolge]
Kapitel V: Komplexe Zahlen
§V.1 Grundrechenarten
5.1 Motivation
[Zahlbereichserweiterungen]
5.2 Definition
[Komplexe Zahlen, C]
5.3 Beispiele
[und Rechenregeln]
5.4 Warnung
[“wie R”: nur Grunderechenarten]
5.5 Die Gauß’sche Zahlenebene
[C geometrisch]
5.6 Real- und Imaginärteil, kompl. Konjugation [inkl. geometrischer Sicht]
5.7 Rechenregeln: Real-, Imaginärteil, Konjugat. [z.T. mit Beweis]
§V.2 Polarkoordinaten: Betrag und Winkel
5.8 Der Betrag in C
5.9 Rechenregeln für den Betrag
5.10 Der Phasenwinkel einer komplexen Zahl
5.11 Bemerkungen zum Phasenwinkel
§V.3 Die komplexe Exponentialfunktion
5.12 Definition
5.13 Eigenschaften
5.14 Eine Rechenregel für exp
5.15 Geometrische Bedeutung der Multiplikation
5.16 “e hoch z”
5.17 Komplexe Kreis- und Hyperbelfunktionen
5.18 Mehr unlösbare Gleichungen?
[wie R2 ]
[die üblichen]
[6= Winkel im R2 ]
[Berechnung]
[komplexe Exponenztialfunktion]
[u.a. Exponentialdarstellung]
[Funktionalgleichung]
[Produkt Betrag, Summe Winkel]
[eine neue/alte Schreibweise]
[Definition]
[Fundamentalsatz: Nein!]
Kapitel VI: Mathematik und Informatik (Prof. Dr. T. Huckle)
§VI.1 Aussagenlogik und Beweisen
Verknüpfungen – Operatoren
[Wahrheitstafeln, Negation]
Zweistellige Operationen auf {0, 1}
[Rechnen modulo 2, max, min]
“UND” und “ODER”
[Konjunktion, Disjunktion]
Implikation und Äquivalenz
[=⇒, ⇐⇒]
Logik-Test
[Peter Watson - Test]
Zweistellige Verknüpfungen
[Gesamtzahl 2st. Verkn.]
Umformungsgesetze und Rechenregeln
[Regeln, konj./disj. Normalform]
Halbaddierer, Volladdierer, Addition zweier Zahlen
Logik: Widersprüche
[Beispiele]
Aussageformen
[mit Parameter]
Quantoren
[Allquantor, Existenzquantor]
Beweisen: direkt, Widerspruchsbeweis, vollständige Induktion
§VI.2 Mengen
Was ist eine Menge?
[Beispiele, pragmatischer Ansatz]
Eigenschaften von Mengen
[Element, Exk. Fuzzy-Mengen]
Notation von Mengen
[Mengenklammern, leere Menge, ...]
Vergleich von Mengen, Teilmengen
[Mächtigkeit, Mengengleichheit]
Mengenoperationen und ihre Rechenregeln [Schnitt, Verein., Differenz, Kompl.]
Kartesisches Produkt
[Paare]
Potenzmenge
[und ihre Mächtigkeit]
Mächtigkeit von Mengen
[weiterführende Themen]
§VI.3 Relationen
Definition und Notation
[Was ist eine Relation?]
Graphen
Weitere Beispiele
Eigenschaften von Relationen
[Reflexiv, symmetrisch, uva.]
§VI.4 Ordnungsrelationen
Graphen
Partielle und totale Ordnungen
[Anordnung endlicher Mengen]
Rekursion
§VI.5 Abbildungen
Abbildungen
[= Funktionen]
Definitionsbereich, Bild, Urbild
[Definition]
Injektiv, surjektiv, bijektiv
[Definition und Beispiele]
Beispiele
[Konstruktion von bijektiv]
Sätze über Abbildungen
[Bild vom Urbil, Urbild vom Bild]
Abzählbarkeit
[Q abzählbar, R nicht]
Mächtigkeit, Hierarchie der Mächtigkeiten [Mächtigkeit der Potenzmenge]
§VI.6 Kombinatorik
Urnenmodell und Varianten
Ziehen mit/ohne Zurücklegen, mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
§VI.6 Kombinatorik
Urnenmodell und Varianten
Ziehen mit/ohne Zurücklegen, mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
§VI.7 Injektiv, surjektiv und bijektiv für differenzierbare Funktionen
6.37 Wiederholung: Injektiv, surjektiv, bijektiv [Definitionen]
6.38 Beispiele
[Unters. bek. Funktionen]
6.39 Ein Kriterium
[für differenzierbare Funktionen]
6.40 Beispiel
[Der Arkuskosinus]
Wiederholungsstunden
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Wiederholung:
Wiederholung:
Wiederholung:
Wiederholung:
Wiederholung:
Wiederholung:
Wiederholung:
Wiederholung:
Wiederholung:
Winkelfunktionen
Integrale
Exponentialfunktion und Logarithmus
Substitution (bei Integralen)
Funktionen
Themen aus H7.3, Mengenlehre
Probeklausur
Die komplexe Exponentialfunktion
Verschiedenes
Vertiefungsvorlesungen
Die Vertiefungsvorlesungen setzen sich nicht gegenseitig voraus, sondern beruhen alle ausschließlich auf dem Stoff der Hauptvorlesung, sofern nichts anderes angesagt wurde. Eine Ausnahme
hiervon sind die mehrteiligen Vertiefungsvorlesungen, die die jeweils vorhergehenden Teile voraussetzen.
A. Abstrakte Vektorräume und Skalarprodukt
B. Stetige Kurven und Kurvenlänge
C. Differentialgleichungen: Lösungstheorie und qualitative Betrachtung
D. Teil 1: Lineare Abbildungen und Normen
D. Teil 2: Ableitung und Differenzial
E. Mehr über Matrizen und lineare Gleichungssysteme
F. Mehrdimensionale Integration