Black Hole Physics - Die Physik Schwarzer Löcher Wintersemester

Black Hole Physics - Die Physik
Schwarzer Löcher
Wintersemester 2005/06
Dr. Kurt Sundermeyer
inoffizielle Vorlesungsmitschrift
abgeTEXt von
Steffen Gielen
Freie Universität Berlin
Letzte Änderung: 26. Februar 2006
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
3
2 Spezielle Relativitätstheorie und Minkowski-Geometrie
2.1 Lorentz-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Relativistische Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
8
3 Allgemeine Relativitätstheorie I: Äquivalenzprinzip
3.1 Schwaches und starkes Äquivalenzprinzip . . . . . . .
3.2 Bewegte Bezugssysteme und Gravitation . . . . . . . .
3.3 Geodätengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Gravitations-Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Prinzip der Allgemeinen Kovarianz . . . . . . . . . . .
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12
12
14
16
19
20
4 Riemann-Geometrie
4.1 Differentialgeometrie/Überblick . . .
4.2 Tensor-Algebra und Tensor-Analysis
4.3 Riemannscher Krümmungstensor . .
4.4 Isometrien von Riemann-Räumen . .
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21
21
21
24
28
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.
5 Allgemeine Relativitätstheorie II: Gravitodynamik/Geometrodynamik 32
5.1 Herleitung“der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
”
5.2 Struktur der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Kosmologische Konstante Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Schwarzschild-Metrik
6.1 Schwarzschildsche Lösung der Vakuumfeldgleichungen
6.2 Geodäten in der Schwarzschild-Metrik . . . . . . . . .
6.3 Geodäten massiver Objekte . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Null-Geodäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Schwarzschild-Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . .
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.
35
35
40
41
50
55
7 Gravitationskollaps
59
7.1 Sterngleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2 Zentraler Kollaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 Die No-Hair“-Familie Schwarzer Löcher
”
68
9 Rotierende Schwarze Löcher
69
9.1 Kerr-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.2 Geodäten in der Kerr-Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.3 Penroses Prozess, Christodoulos Irreduzible Masse, Hawkings Flächentheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10 Thermodynamik Schwarzer Löcher
79
10.1 Thermodynamik Schwarzer Löcher . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2
20.10.2005
1
Einführung
Geschichte:
• 1916 Schwarzschild
• 1935 Wurmlöcher“, Neutronensterne
”
• 1939 Einstein gegen Schwarze Löcher, Oppenheimer dafür
• 1961 Chalatnikow/Lifschitz: Krümmungs-Singularitäten resultieren aus
ideal kugelsymmetrischer Massenverteilung
• 1964 Singularitätstheoreme (Penrose, Hawking)
• 1968 J. Wheeler Schwarzes Loch“(Kardinal)
”
• 1974 Hawking Radiation (Thermodynamik Schwarzer Löcher), Informationsverlustparadox
• 1984 Beweis No-Hair Theorem“
”
• 1990er Nachweis supermassiver Schwarzer Löcher
2
2.1
2.1.1
Spezielle Relativitätstheorie und MinkowskiGeometrie
Lorentz-Invarianz
Galilei-Invarianz
3
K 0 bewege sich gegenüber K gleichförmig (~v const.)
x~0 = ~x − ~v t, t0 = t
Newtonsches Gesetz
2
d ~x
F~ = m~b = m 2 , F~ 0 = F~
dt
Galilei-Relativitätsprinzip: Die Newtonschen Gesetze gelten in allen Inertialsystemen (gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssystemen).
2.1.2
Lorentz-Invarianz
Postulate der Speziellen Relativitätstheorie:
1. Die Naturgesetze sind in allen Inertialsystemen gleich.
2. Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen die gleiche.
Zum Zeitpunkt t = t0 = 0 werden bei x = x0 = 0 Lichtsignale in positive x- und
x0 -Richtung ausgesendet
x0 − ct0 = 0,
x − ct = 0,
x − ct = λ(x0 − ct0 )
Lichtsignale in negative x-/x0 -Richtung
x + ct = µ(x0 + ct0 )
à Ax − Bct = x0 , ct0 = Act − Bx
Der Koordinatenursprung x0 = 0 hat im Koordinatensystem K die Geschwindigkeit v = xt
v
0 = Avt − Bct = (Av − Bc)t, B = A
c
³
´
v
à x0 = A(x − vt), t0 = A t − 2 x
c
³
1
1
v ´
¢ (x0 + vt0 ), t = ¡
¢ t0 + 2 x0
à x= ¡
v2
v2
c
A 1 − c2
A 1 − c2
Nutze Symmetrie x ↔ x0 , t ↔ t0
A=
1
A 1−
¡
v2
c2
1
A= q
¢,
1−
v2
c2
Lorentz-Transformation
x0 = q
1
1−
Es gilt
v2
c2
(x − vt);
1
t0 = q
1−
v2
c2
³
v ´
t − 2x
c
x2 − c2 t2 = x02 − c2 t02
x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 ist invariant. (Bei Galilei-Transformationen sind x2 + y 2 + z 2
und t2 jeweils invariant.)
4
Experimentelle Nachweise der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit:
Isotropie mit Genauigkeit 10−15 (10−18 )
Unabhängigkeit vom Bezugssystem mit Genauigkeit 10−13 (10−14 )
Zeitdilatation mit Genauigkeit 10−7 (10−9 )
Die Werte in Klammern sind Genauigkeiten, die von den OPTIS-Experimenten
bis 2010 erreicht werden sollen.
Längeneinheiten werden heute mit Hilfe der Lichtgeschwindigkeit definiert, deshalb hat diese per Definition den Wert
c = 299792458
2.2
2.2.1
m
.
s
Minkowski-Raum
Definition
Ein Minkowski-Raum ist eine vierdimensionale
Standardmetrik

−1 0 0
 0 1 0
(ηαβ ) = 
0 0 1
0 0 0
Mannigfaltigkeit, die global die

0
0

0
1
hat.
Wenn die Koordinaten des Minkowski-Raumes xα = (x0 , x1 , x2 , x3 ) sind, sind
Abstände gegeben durch
X
ds2 =
ηαβ dxα dxβ = −(dx0 )2 + (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2
α,β
Mit x0 = ct, (xi ) = ~x:
2.2.2
ds2 = d~x 2 − c2 dt2
Lichtkegel und Eigenzeit
27.10.2005
ds2 kann positiv, negativ oder Null sein.
¯ ¯
¯ d~x ¯
2
ds = 0 ↔ ¯¯ ¯¯ = c masselose Objekte
dt
¯ ¯
¯ d~x ¯
ds2 < 0 ↔ ¯¯ ¯¯ < c massive Objekte
dt
¯ ¯
¯
¯
d~x
ds2 > 0 ↔ ¯¯ ¯¯ > c Tachyonen“, ausgeschlossen
”
dt
5
Gilt für einen Vektor (aα )
X
ηαβ aα aβ < 0,
so heißt (aα ) zeitartig. ( timelike“)
P”
Ein
(bα ) mit
ηαβ bα bβ = 0 heißt Nullvektor, ein Vektor (cα ) mit
P Vektor
α β
ηαβ c c > 0 heißt raumartig ( spacelike“). Dies sind Lorentz-invariante Ei”
genschaften.
Weltlinien:
Die Eigenzeit τ ist definiert über
c2 dτ 2 = −ds2 = −
X
ηαβ dxα dxβ =: −ηαβ dxα dxβ
Hier wurde die Summenkonvention“von Einstein eingeführt. Für die Standard”
metrik erhält man
µ
¶1/2
~v 2
1
c dτ = (c2 dt2 − d~x 2 )1/2 = 1 − 2
c dt,
dτ = dt
c
γ
|
{z
}
=γ −1
2.2.3
Poincaré-Transformationen
Frage: Welche Koordinatentransformationen lassen ds2 = ηαβ dxα dxβ invariant?
Antwort: Poincaré-Transformationen
X
β
α
x0α =
Λα
βx + a ,
Dabei ist offensichtlich
Λα
β =
6
∂x0α
∂xβ
aα = const.
Die Poincaré-Transformationen bilden eine Gruppe. Die Metrik transformiert
sich gemäß
X
γ
Λα
β ηαγ Λδ = ηβδ
αγ
Eine Untergruppe der Poincaré-Transformationen ist die sogenannte reine ( pro”
per“) Lorentzgruppe, die besteht aus den Poincaré-Transformationen mit
¡ ¢
aα = 0, Λ00 ≥ 1, det Λα
β = +1,
mit der Untergruppe der Lorentz- Boosts“ mit Geschwindigkeit v = (v1 , v2 , v3 ):
”
vi
γ−1
0
i
0
Λ0 = γ, Λ0 = Λi = γ , Λij = δij + vi vj 2 ,
c
v
³
´
−1/2
2
wobei γ = 1 − vc2
.
Beispiel
Für v = (v, 0, 0) ergibt sich:
v
ct0 = x00 = Λ0α xα = γ(ct + x), x0 = Λ1α xα = γ(vt + x), y 0 = y, z 0 = z.
c
2.2.4
Lorentz-Tensoren
(1) Lorentz-Skalar
Ein Lorentz-Skalar S ist invariant unter Lorentz-Transformationen
S → S0 = S
Beispiel: ds2 = ηαβ dxα dxβ bzw. dτ
(2) kontravariante Lorentz-Vektoren
Ein kontravarianter Lorentz-Vektor v α transformiert sich gemäß
β
v α → v 0α = Λα
βv
Beispiel: Koordinanten xα
(3) kovariante Lorentz-Vektoren
Ein kovarianter Lorentz-Vektor uα transformiert sich gemäß
β
uα → u0α = Λα uβ
Dabei ist Λ als Matrix das Inverse von Λ.
Bemerkungen:
(i) Das Produkt eines kontravarianten Lorentz-Vektors mit einem kovarianten Lorentz-Vektor ist ein Skalar:
γ
β
β
α
β
v 0α u0α = Λα
β v Λα uγ = δβγ v uγ = v uβ = v uα
(ii) Falls v α kontravariant ist, so ist vα = ηαβ v β kovariant.
(iii) Hinweis:
v α = (a, b, c, d) ⇒ vα = (−a, b, c, d)
7
(iv) Die partielle Ableitung ( Gradient“) ist ein kovarianter Lorentz-Tensor
”
∂
∂xβ ∂
β ∂
(.
.
.)
=
(. . .) = Λα β (. . .)
∂x0α
∂x0α ∂xβ
∂x
Für partielle Ableitungen gilt die Konvention
(. . .),α := ∂α (. . .) :=
∂
(. . .)
∂xα
(4) Lorentz-Tensoren
αβγ...
Ein Lorentz-Tensor Tλρσ...
transformiert sich gemäß
0
0
λ0
0
ρ0
σ0
0αβγ...
β
γ
α β γ ...
Tλρσ...
= Λα
α0 Λβ 0 Λγ 0 . . . Tλ0 ρ0 σ 0 ... Λλ Λρ Λσ . . .
Beispiel:
γ
δ
0
ηαβ
= Λα Λβ ηγδ
2.3
2.3.1
Relativistische Physik
Relativistische Mechanik
• Vierergeschwindigkeit
Die Dreier“-Geschwindigkeit ~v =
”
Vektor)
d~
x
dt
ist nicht-tensoriell (kein Lorentz-
dxα
dτ
ist ein kontravarianter Lorentz-Vektor.
uα =
x0 = ct; dτ =
1
dt
γ
ηαβ dxα dxβ = −c2 dτ 2
à (uα ) = γ(c, ~v )
à ηαβ
dxα dxβ
= −c2
dτ dτ
ηαβ uα uβ = −c2
d.h. Vierergeschwindigkeit ist zeitartig.
• Viererimpuls
pα = muα ,
Also p0 = mγc =
mc2
E=q
1−
v2
c2
E
c,
m Ruhemasse (Skalar)
pi = mγv i , explizit ergibt sich
relativistische Energie,
p~ = q
m~v
1−
v2
c2
relativistischer Impuls
Für kleine Geschwindigkeiten, |~v | ¿ c
γ = 1+
1 v2
+. . . ,
2 c2
E=
mc2
|{z}
+
Ruheenergie
8
1
mv 2
2
| {z }
kin.Energie
+...,
p~ = m~v (Newton-Impuls)
Bilde p2
p2 = pα · pα = m2 uα uα = −m2 c2
| {z }
(pα = ηαβ pβ )
−c2
Es ergibt sich die Massenschalenbeziehung
µ
2
2
p + (mc) = 0
bzw.
−
½
E≈
E
c
¶2
+ p~ 2 + (mc)2 = 0, E 2 = (mc2 )2 + (c~
p)2
mc2 +
cp
p
~2
2m
• Viererkraft
fα =
für |~
p| ¿ mc
für |~
p| À mc
dpα
dτ
2
p
( Dreierkraft“ F~ = m ddt2~x = d~
dt )
”
2.3.2 Relativistische Hydrodynamik
(i) Motivation
• Relativistische Mechanik beschreibt Geschwindigkeit etc. eines einzelnen
Teilchens.
• Ansammlung von Teilchen, Fluid“ (Flüssigkeit, Gas oder Staub) ist cha”
rakterisiert durch makroskopische Größen
Geschwindigkeitsprofil ~v (~x, t)
Dichte ρ(~x, t), Druck P (~x, t)
Viskosität, Temperaturgradient ( Wärmefluß“)
”
• In der Astrophysik werden typischerweise ideale“ Fluide betrachtet. Für
”
diese gibt es keine Viskosität und keinen Wärmefluß.
• Definition:
Eine ideale“ Flüssigkeit besitzt an jedem Punkt eine Geschwindigkeit ~v
”
so, dass ein Beobachter, der sich mit dieser Geschwindigkeit mitbewegt,
die Flüssigkeit um sich herum als isotrop ansieht.
• Für ideale Flüssigkeiten gelten die Euler-Gleichungen.
(ii) Euler-Gleichungen
Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m:
∆m ·
Mit der Massendichte
schreibt sich dies als
∆m
∆V
d~v
= ∆F~
dt
= ρ und der Kraftdichte
ρ·
d~v
~
= −∇P
dt
9
~
∆F
∆V
~
= −grad P = −∇P
Ferner
d~v
∂~v
∂~v ∂x ∂~v ∂y ∂~v ∂z
=
+
+
+
dt
∂t
∂x |{z}
∂t ∂y ∂t
∂z ∂t
|
vx
{z
}
~ v
(~
v ·∇)~
µ
à ρ·
∂~v
~ v
+ (~v · ∇)~
∂t
¶
~
= −∇P
Euler-Gleichungen
Zusätzlich gilt die Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung)
dρ
=0
dt
∂ρ ~
+ ∇ · (ρ~v ) = 0
∂t
↔
(iii) Lorentz-invariante Formulierung (Tensorschreibweise)
Da die Euler-Gleichungen quadratisch in den Geschwindigkeiten sind, betrachte
den Tensor
M αβ = ρuα uβ
mit uα Vierergeschwindigkeit. Betrachte die Divergenz von M αβ :
M̂ β = ∂α M αβ
M̂ 0 = ∂α M α0 = ∂0 M 00 + ∂i M i0 = ∂0 (ρu0 u0 ) + ∂i (ρu0 ui )
im nicht-relativistischen Grenzfall gilt γ ∼
= 1, d.h. u ∼
= (c, ~v ), dann
µ
¶
∂ρ ~
0
2
i
M̂ = c ∂0 ρ + c ∂i (ρv ) = c
+ ∇ · (ρ~v ) ,
∂t
d.h. die Kontinuitätsgleichung lautet M̂ 0 = 0. Entsprechende Rechnung ergibt
µ i
¶
∂v
~ i + v i M̂ 0 ,
M̂ i = ∂0 (ρu0 ui ) + ∂j (ρuj ui ) = ρ
+ (~v · ∇)v
|{z}
∂t
0
also die linke Seite der Euler-Gleichung.
(iv) Betrachtung des Druckterms (rechte Seite der Euler-Gleichung)
Es gilt
dF i =
X
P ij dAj
j
( Druck · Fläche=Kraft“)
”
Für ideale Flüssigkeiten gilt im jeweiligen Ruhesystem eines betrachteten Teilchens die Isotropiebedingung

P
³ ´
P̃ ij =  0
0
0
P
0

0
0
P

0
´
³
0
αβ
=
à P̃
0
0
10
0
P
0
0
0
0
P
0

0
0
 Vierertensor
0
P
Das Flüssigkeitselement bewegt sich im (ruhenden) Laborsystem mit der Geschwindigkeit ~v . Es gilt
xα = Λα
v ) x̃β ,
β (~
wobei Λα
v ) ein Lorentz- Boost“ist. Da P̃ αβ ein Tensor ist, gilt
β (~
”
β γδ
P αβ = Λα
γ Λδ P̃
Explizites Ausrechnen ergibt
¢
¡
P αβ = −P c2 η αβ + uα uβ
Konsequenz:
TFαβD = M αβ − P αβ = P c2 η αβ + (P + ρ)uα uβ
liefert mit
∂α TFαβD = 0
im nicht-relativistischen Grenzfall die Hydrodynamik.
2.3.3
Relativistische Elektrodynamik
Maxwell-Gleichungen (Gauß-System)
~
~ = 4πρ, rot B
~ = 1 ∂ E + 4π ~ (1);
div E
c ∂t
c
Die Lorentzkraft
~
~ = − 1 ∂ B , div B
~ =0
rot E
c ∂t
~ + ~v × B)
~
F~ = q(E
(3)
ist invariant unter Lorentztransformationen!
Tensorschreibweise

0
E1
E2
−E
0
B

1
3
F αβ = 
−E2 −B3
0
−E3 B2 −B1

E3
−B2 

B1
0
Damit lauten die Gleichungen
(1) F αβ ,α = −
4π β
J ;
c
J β = (cρ, ~)
(2) Fαβ,γ + Fβγ,α + Fγα,β = 0
q
(3) f α = 2 Fβα uβ ; f α = ( f 0 , γ F~ )
|{z}
c
Leistung
Die Gleichungen (2) werden gelöst durch den Ansatz
Fαβ = ∂α Aβ − ∂β Aα
~ d.h.
mit dem Viererpotential Aα = ( φc , A),
~
~ = −grad φ − ∂ A,
E
∂t
Bemerkungen:
11
~ = rot A
~
B
(2)
~ B
~ haben keine koordinatenunabhängige Bedeutung.
(i) E,
(ii) Der Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik ist
1
αβ
= Fγα F βγ − η αβ Fγδ F γδ
TEM
4
Er enthält Poynting-Vektor und Maxwellschen Spannungstensor der klassischen Elektrodynamik.
3
Allgemeine Relativitätstheorie I: Äquivalenzprinzip
3.1
3.1.1
Schwaches und starkes Äquivalenzprinzip
Äquivalenz von träger und schwerer Masse
¨,
F~ = mt ~x
03.11.2005
mt träge Masse
statisches homogenes Gravitationsfeld
µ
F~ = ms~g ,
ms schwere Masse
¨=
à ~x
ms
mt
¶
~g
Falls ms 6= mt :
(a) Körper unterschiedlicher Beschaffenheit haben unterschiedliches Fallverhalten.
(b) Pendel gleicher Länge und unterschiedlicher Zusammensetzung haben ver³ ´−1/2
s
schiedene Schwingungsdauern im Verhältnis m
mt
ms = mt gilt mit hoher experimenteller Evidenz! (bis auf < 10−11 nachgewiesen, STEP-Experiment (2005-2015?) soll Genauigkeit 10−18 ermöglichen)
Alternative Formulierung:
Der Effekt der Gravitation kann für ein homogenes statisches Gravitationsfeld
wegtransformiert werden.
(i) Betrachte System aus N Massenpunkten mn
Kräfte F~nm = F~ (~xn − ~xm ) im Schwerefeld:
¨ n = mn~g +
mn ~x
X
F~nm (~xn − ~xm )
n
(ii) Gehe in ein frei fallendes Koordinatensystem
1
~x 0 = ~x − ~g t2 ,
2
¨ 0 = ~x
¨ n − ~g ,
~x
n
~x 0n − ~x 0m = ~xn − ~xm
t0 = t
¨0 =
à mn ~x
n
X
n
12
F~nm (~x 0n − ~x 0m )
3.1.2
(lokale) Äquivalenz von Beschleunigung und Gravitation
Äquivalenz gilt nur lokal, da i.A. das Schwerefeld nicht homogen ist.
(i) Fallende Gegenstände nähern sich einander an.
(ii) Gezeitenkräfte
mz̈ = G
à mẍ =
mM
, z =R+x
z2
µ
GM
=g
R2
¶
GM · m
GM · m
1
=
R2 + 2xR + x2
R2 1 + 2x
R +
Für |x| ¿ R ist
mẍ = mg
1
1+
2x
R
+
x2
R2
x2
R2
µ
¶
2x
∼
= mg 1 −
R
Daraus resultiert ein Unterschied der Gravitationskräfte
d
2mg
(x1 − x2 ), F1 = F2 + 2mg (d = x2 − x1 )
F2 − F1 = m(ẍ2 − ẍ1 ) ∼
=
R
R
Konsequenz: schwaches“ Äquivalenzprinzip
”
d.h. Äquivalenz von Beschleunigung und Gravitation gilt nur in kleinen RaumZeit-Bereichen.
3.1.3
Starke Äquivalenz
An jedem Punkt innerhalb eines Gravitationsfeldes kann man ein lokales Inertialsystem so wählen, dass in einer genügend kleinen Umgebung dieses Punktes
die Naturgesetze die gleiche Form annehmen wie in einem nicht beschleunigten
Koordinantensystem in Abwesenheit von Gravitation.
(heißt auch Einsteinsches Äquivalenzprinzip“)
”
Diskussion von unterschiedlichen Formen des Äquivalenzprinzips:
Cinfolini/Wheeler, ’Gravitation and Inertia’
13
3.2
Bewegte Bezugssysteme und Gravitation
3.2.1
Koordinatenwechsel und Trägheitskräfte
(i) Betrachte Massenpunkt, der sich geradlinig-gleichförmig bewegt. Es gibt
ein Inertialsystem (mit Koordinaten xα ), in dem gilt
d2 xα
=0
dτ 2
c2 dτ 2 = −ηαβ dxα dxβ
(1),
(2)
(ii) Gehe in ein beliebiges“ anderes Koordinatensystem (x0 ) Koordinaten”
transformation x(x0 )
dxα
∂xα dx0µ
=
dτ
∂x0µ dτ
(1) besagt
d
0=
dτ
Multipliziere mit
Ã
µ
∂x0λ
∂xα ,
dxα
dτ
¶
es gilt
=
∂xα d2 x0µ
∂ 2 xα dx0µ dx0ν
+
∂x0µ dτ 2
∂x0µ ∂x0ν dτ dτ
∂x0λ ∂xα
∂xα ∂x0µ
= δµλ
0µ
0ν
d2 x0λ
∂x0λ ∂ 2 xα
λ dx dx
λ
+
Γ
=
0,
wobei
Γ
=
µν
µν
dτ 2
dτ
∂xα ∂x0µ ∂x0ν
|
{z dτ }
T rägheitskraf t
Christoffelsymbole/affine Zusammenhänge
½ ¾
λ
Γλµν =
(alte Notation)
µν
Gleichung (2) ergibt
c2 dτ 2 = −ηαβ
∂xα 0µ ∂xβ 0ν
dx
dx = −gµν dx0µ dx0ν
∂x0µ
∂x0ν
mit der Metrik
gµν = ηαβ
∂xα ∂xβ
∂x0µ ∂x0ν
Es gilt
Γρµν =
3.2.2
gρλ Γλµν
µ
¶
1
∂xα ∂ 2 xβ
= (gρµ,ν + gνρ,µ − gµν,ρ ) = ηαβ 0ρ 0µ 0ν
2
∂x ∂x ∂x
Beispiel: Zentrifugal- und Corioliskräfte
Kräftefreie Bewegungen im Koordinatensystem (x)
d2 xα
=0
dτ 2
Koordinatentransformation auf Bezugssystem (x0 ), das sich gleichförmig mit
Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse dreht:
t0 = t,
x0 = x cos ωt + y sin ωt,
y 0 = −x sin ωt + y cos ωt,
14
z 0 = z.
Berechnung der Γλµν :
∂x0λ ∂ 2 xα
∂xα ∂x0µ ∂x0ν
Dann sind die einzigen nichtverschwindenen Christoffelsymbole
Γλµν =
ω2 0
ω2 0
2
x
,
Γ
=
−
y,
00
c2
c2
Eingesetzt in die Bewegungsgleichungen
ω
Γ102 = − ,
c
Γ100 = −
Γ201 =
ω
c
0µ
0ν
d2 x0λ
λ dx dx
+
Γ
=0
µν
dτ 2
dτ dτ
d2 x0
dy 0
d2 y 0
dx0
2 0
2 0
−
ω
=
0,
−
ω
=0
x
−
2ω
y
+
2ω
dt2
dt
dt2
dt
Klassische Mechanik, Relativbewegungen:
·
¸
d~
ω
~b = ~b0 + ~b0 + 2~
ω × ~v + ω
~ × [~
ω × ~r0 ] +
× ~r0
dt
hier: ~b = ~b0 =
d~
ω
dt
= ~0
0 = ~b0 +
2~
ω × ~v
| {z }
Coriolisbeschl.
+ ω
~ × (~
ω × ~r0 )
|
{z
}
Zentrif ugalbeschl.
hier: ω
~ = (0, 0, ω), ω
~ ×~a = (−ωa2 , ωa1 , 0), ω
~ × (~
ω ×~a) = (−ω 2 a1 , −ω 2 a2 , 0) Die
Metrik im rotierenden System berechnet sich aus
gµν = ηαβ
∂xα ∂xβ
,
∂x0µ ∂x0ν
c2 dτ 2 = −gµν dx0µ dx0ν
Für das Beispiel:
£
¤
c2 dτ 2 = 1 − ω 2 (x02 + y 02 ) c2 dt02 + 2ωy 0 cdt0 dx0 − 2ωx0 cdt0 dy 0 − dx02 − dy 02 − dz 02
Gemischte Terme der Form dt0 dx0 in der Metrik deuten immer auf ein rotierendes
System hin.
10.11.2005
3.2.3
Verknüpfung mit Gravitationsfeld
• Lokal ist der Effekt der Gravitation in
gµν , Γλµν
enthalten.
• Gravitation kann nur lokal (d.h. nicht global) wegtransformiert werden.
• Falls man eine globale Koordinatentransformation finden kann, die gµν in
ηαβ überführt, liegt lediglich eine reine Koordinatentransformation vor.
• Kriterium dafür, ob eine globale Koordinatentransformation existiert, ist
das identische Verschwinden des Riemannschen Krümmungstensors.
Rµνλρ ≡ 0
• Das Nichtverschwinden des Tensors ist ein Indiz für einen gekrümmten
Raum.
gµν ist die Metrik dieses Raumes, Γλµν sind die sogenannten affinen Zusammenhänge.
15
3.3
Geodätengleichung
3.3.1
(i)
Geodäten
µ
ν
d2 xρ
ρ dx dx
+
Γ
=0
µν
dλ2
dλ dλ
heißt Geodätengleichung, da sie für die Metrik gµν die kürzesten Wege beschreibt.
λ ist ein sogenannter affiner Parameter (d.h. mit λ ist auch λ0 = αλ + β ein
Parameter), physikalisch wählt man λ = τ .
(ii) Die Geodätengleichung folgt aus dem Extremalprinzip
ZB
δ
!
(ds2 = gµν dxµ dxν )
ds = 0
A
Z
B
δL = δ
A
µ
dxµ dxν
−gµν
dλ dλ
{z
|
¶1/2
!
dλ = 0
}
L
Extremalisieren des Integrals (allgemein):
ZB
L=
L(Q, Q̇)dλ, Q̇ =
dQ
dx
A
ZB µ
δL =
A
¶
¶ µ
¶ ¶
µ
ZB µ
∂L
∂L
d ∂L
∂L
d ∂L
δ Q̇ dλ =
δQ −
δQ dλ
δQ +
δQ +
∂Q
∂Q
dλ ∂ Q̇
dλ ∂ Q̇
∂ Q̇
A
ZB µ
δL =
∂L
−
∂Q
A
µ
d ∂L
dλ ∂ Q̇
¶¶
δQ dλ +
∂L ¯¯B
δQ¯
A
∂ Q̇
Der rechte Term verschwindet, wenn an den Grenzen δQ(A) = δQ(B) = 0
gefordert wird. Nun soll die Variation des Integrals für alle δQ verschwinden, es
folgen die Euler-Lagrange-Gleichungen
µ
¶
d ∂L
∂L
=0
−
LQ =
∂Q
dλ ∂ Q̇
1/2
Hier ist L = (−gµν ẋµ ẋν )
sowie Q = (xµ ) und aus
!
Lµ = 0
folgt die Geodätengleichung für die Koordiante xµ .
Auch L̂ = −gµν ẋµ ẋν liefert die Geodätengleichungen.
16
3.3.2
Beispiel: Geodäten auf der Kugeloberfläche S 2
Die Kugeloberfläche in drei Dimensionen ist definiert durch die Gleichung
x2 + y 2 + z 2 = ρ2 .
Geeignete Koordinaten sind Kugelkoordinaten θ, ϕ:

  
ρ sin θ cos ϕ
x
~x =  y  =  ρ sin θ sin ϕ 
ρ cos θ
z
Metrik ist laut klassischer Differentialgeometrie
¶
µ
E F
= (~x,i · ~x,k )
(gik ) =
F G
µ
¶
∂~x
∂~x
à E = ρ2 , F = 0, G = ρ2 sin2 θ ~x,0 =
, ~x,1 =
∂θ
∂ϕ
Linienelement: ds2 = ρ2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 )
Lagrange-Dichte hier
L = ρ2 θ̇2 + ρ2 sin2 θϕ̇2
Euler-Lagrange-Gleichungen
µ
¶
³
´
∂L
d ∂L
!
Lθ =
−
= 2ρ2 sin θ cos θϕ̇2 − θ̈ = 0,
∂θ
dλ ∂ θ̇
sin θ cos θϕ̇2 − θ̈ = 0
(1)
Vergleiche mit Geodätengleichung
θ̈ + Γ0jk ẋj ẋk = 0
→ Γ0jk ẋj ẋk = − sin θ cos θϕ̇2 , Γ011 = − sin θ cos θ
Euler-Lagrange-Gleichung bezüglich ϕ
ϕ̈ + 2 cot θθ̇ϕ̇ = 0,
Γ101 = cot θ
(2)
Alle anderen Γ1jk verschwinden. (2) lässt sich integrieren:
sin2 θϕ̇ = α
(20 )
(1) und (2’) haben folgende Lösungen:
(a) θ =
π
à ϕ̇ = α
2
(Äquator)
(b) ϕ = ϕ0 Ã θ̈ = 0, θ(λ) = βλ + θ0
(Meridian)
Jeder Großkreis auf der Kugeloberfläche ist Lösung der Geodätengleichung.
3.3.3
Bewegungsgleichungen der Gravitation
(i) Gemäß Äquivalenzprinzip ist die Gleichung
d2 xλ
dxµ dxν
+ Γλµν
=0
2
dτ
dτ dτ
die Bewegungsgleichung für ein Objekt im Gravitationsfeld ( frei“ fallen”
des Objekt)
17
(ii) Ein Objekt bewegt sich in einer gekrümmten Raumzeit (genannt Gravi”
tationsfeld“) so, dass es den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten zurücklegt.
(iii) Newtonscher Grenzfall
Betrachte Geodätengleichung für einen Massenpunkt, der sich langsam in
einem statischen und schwachen Gravitationsfeld bewegt.
– langsam“ (im Vergleich
¯ x ¯ ¯ d~xmit
¯ der Lichtgeschwindigkeit)
”
¯≈¯ ¯¿c
dτ ≈ dt, γ = 1, ¯ d~
dτ
dt
In dieser Näherung reduziert sich die Gleichung
k
j
k
d2 xi
i
2
i dx
i dx dx
+
Γ
c
+
2Γ
c
+
Γ
=0
00
0k
jk
dt2
dt
dt dt
auf die ersten Terme:
d2 xi
+ Γi00 c2 = 0
dt2
– statisch“: gµν,0 ≡ 0
”
1
1
Γi00 = g iµ Γµ00 = g iµ (gµ0,0 + g0µ,0 − g00,µ ) = − g ik g00,k
2
2
– schwach“: gµν = ηµν + hµν , |hµν | ¿ 1
”
g µν = η µν − hµν
1
1
1
Γi00 = − (η ik − hik )h00,k ∼
= − η ik h00,k = − h00,i
2
2
2
Ergebnis:
d2 xi
1
= c2 h00,i ,
dτ 2
2
d2 ~x
1 ~
= c2 ∇h
00
dt2
2
Newton:
d2 ~x
~ G
= F~G = −m∇φ
dt2
mit dem Gravitationspotential φG .
Vergleich:
m
h00 = −
2φG
,
c2
µ
¶
φG
g00 = η00 + h00 = − 1 + 2 2
c
Beispiel: Kugelsymmetrische Massenverteilung
µ
¶
GM
2GM
φG (r) = − 2 , g00 = − 1 −
r
rc2
µ
¶
µ
¶
2GM
RM
2
2
2
à dτ = 1 −
dt − d~x = 1 −
dt2 − d~x 2
rc2
r
mit dem Schwarzschild-Radius1
RM = 2GM
c2
1 Schwarzschild,
Karl (1873-1916)
18
3.4
Gravitations-Rotverschiebung
3.4.1
Die drei Arten von Rotverschiebung
(a) Dopplerverschiebung aufgrund der Bewegung der Quelle (→ SRT)
(b) Gravitations-Rotverschiebung aufgrund des Gravitationsfeldes am Ort der
Quelle (→ Äquivalenzprinzip)
(c) Kosmologische Rotverschiebung aufgrund der Expansion des Weltalls (→
ART-Felddynamik)
3.4.2
Eigenzeit und Zeitverzögerung
Für eine Uhr in einer Metrik gµν gilt
p
c dτ = −gµν dxµ dxν
(∗)
τ ist die Eigenzeit, d.h. die Anzeige der mitbewegten Uhr. τ wird beeinflusst
durch
1. Metrik gµν
2. Bewegung der Uhr dxµ
17.11.2005
Spezialfälle
(A) kein Gravitationsfeld, gµν = ηµν
Für eine bewegte Uhr ist
dxi = v i dt, dx0 = c dt
Eingesetzt in (∗) ergibt sich
r
dτ =
dt2
v2
− 2 dt2 =
c
r
1−
v2
dt
c2
– t ist die Zeit, die für ruhende Uhren angezeigt wird.
– relativ dazu bewegte Uhren gehen langsamer
→ relativistische Zeitdilatation
(B) Gravitationsfeld, ruhende Uhr (dxi = 0)
√
dτ = −g00 dt
(B1) statisches, schwaches Feld
−g00
φG
=1+2 2 ,
c
r
dτ =
1+2
φG
dt
c2
dτ = dt ↔ φ = 0
Dies ist im Unendlichen der Fall, d.h. t ist die Zeit, die eine im Unendlichen ruhende Uhr anzeigt. Je weiter die Uhr von der Massenverteilung entfernt ist, desto schneller geht sie
→ Gravitations-Rotverschiebung
19
(B2) Zeitabhängige Metrik
Speziell für expandierendes Universum
→ kosmologische Rotverschiebung
3.4.3
Gravitations-Rotverschiebung
Die Uhren sind hier Atome, die Licht mit definierten Frequenzen emittieren
bzw. absorbieren.
Annahme: Statisches Gravitationsfeld
gµν = gµν (~r)
ruhender Sender bei ~rS , ruhender Empfänger bei ~rE
p
dτi = −g00 (~ri ) dt, (i = S, E)
dτS und dτE sind die Perioden der Schwingungen:
dτi =
1
,
νi
da Gravitationsfeld statisch, Sender und Empfänger ruhen.
s
νS
νS
λE
g00 (~rE )
=
, z=
−1=
− 1 Gravitations-Rotverschiebung
νE
g00 (~rS )
νE
λS
Eine tatsächliche Rotverschiebung tritt ein, wenn λE > λS , also z > 0.
Näherung für schwache Felder (g00 = 1 + 2 cφ2 , |φ| ¿ c2 )
s
·µ
¶µ
¶¸1/2
µ
¶
νS
g00 (~rE ) ∼
φE
φS
φE
φS
∼
=
1+2 2
1−2 2
−
.
=
=1+
νE
g00 (~rS )
c
c
c2
c2
φ(~rE ) − φ(~rS )
∆φ
z∼
= 2
=
2
c
c
³
(z.B. Satellit in Höhe h über der Erde: z(h) = 7 · 10−10 1 −
3 R
2 R+h
−10
Erdradius R. Für GPS-Satelliten (h = 20000 km) ist z = 4, 4 · 10
3.5
´
mit dem
.)
Prinzip der Allgemeinen Kovarianz
Ein physikalisches Gesetz gilt dann in einem Gravitationsfeld, wenn
(a) das Gesetz seine Form unter allgemeinen Koordinatentransformationen
beibehält
(b) das Gesetz auch in Abwesenheit von Gravitationsfeldern (gµν = ηµν , Γµλν =
0) gilt.
Behauptung (unbewiesen)
Allgemeine Kovarianz und starkes Äquivalenzprinzip sind äquivalent.
In Analogie zu Lorenz-Tensoren in der Speziellen Relativitätstheorie gilt: Eine
Gleichung ist invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen, wenn
sie eine tensorielle Gleichung ist.
20
SRT-Gesetz ohne Gravitation
allgemeine KT
- Rel. Gesetz mit Gravitation
Alternative:
SRT-Gesetz ohne Gravitation
kovariante/Tensor- Rel. Gesetz mit Gravitation
formulierung
(Vorgriff: Berücksichtigung der
R Gravitation
R √geschieht4 durch die Ersetzungen
ηµν → gµν , ∂µ →;µ , d → D, . . . d4 x →
−g . . . d x)
4
Riemann-Geometrie
4.1
Differentialgeometrie/Überblick
Ausgangspunkt: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten (Räume der Dimension D)
Das sind geometrische Objekte, die lokal wie RD (bzw. MD ) beschaffen sind.
(M steht für Minkowski-Raum).
Überdeckung einer Mannigfaltigkeit mit Karten“ (lokal flachen Koordinaten”
systemen)
auf Mannigfaltigkeiten lassen sich definieren
• Tensoren
• Ableitungen (Lie-Ableitungen)
• Ableitungskalkül (Cartan-Differentialformen)
Mannigfaltigkeit
¢ A
A
¢
A
¢
A
¢
affine MF
metrische MF
(erlaubt Paralleltransport“) (erlaubt Abstandsmessung“)
”
Γλµν
gµν ”
¢
¢
A
¢
¢
Γλµν 6= Γλνµ
CartanMannigfaltigkeiten
4.2
¢
A
A
¢
¢
A
¢
Γλµν = Γλνµ
Riemann-Geometrie
Γ gegeben durch Ableitungen der gµν
Tensor-Algebra und Tensor-Analysis
4.2.1 Riemann-Tensoren
definiert über ihr Transformationsverhalten unter allgemeinen Koordinatentransformationen
x → x0
21
(a) Skalar
S 0 (x0 ) = S(x),
Bsp. dτ
(b) kontravariante Vektoren
v 0µ = v ν
∂x0µ
= v ν Kνµ ,
∂xν
Kνµ =
∂x0µ
∂xν
für Lorentz-Transformationen: Kνµ = Λµν
(c) kovariante Vektoren
∂xν
= uν Jµν
∂x0µ
Es gilt Jµν Kλµ = δλν , d.h. als Matrix J = K −1
u0µ = uν
(d) allgemein: Tensor
0µ...
... ν... ρ ...
Tλ...
= Kνµ K...
Tρ... Jλ J...
Beispiel: Metrik
gµν = ηλρ
∂xλ ∂xρ
= ηλρ Jµλ Jνρ
∂x0µ ∂x0ν
aber Γλµν ist kein Tensor!
λ ρ
σ τ
Γ0λ
µν = Kρ Γστ Jµ Jν +
ρ
Kρλ jµν
| {z }
ρ
mit jµν
=
∂ ρ
J
∂x0µ ν
verletzt das
T ensorverhalten
(e) Tensor-Algebra
– Linearkombinationen von Tensoren gleicher Stufe sind Tensoren, z.B.
µν
µν
αAµν
λ + βBλ = Cλ
ist Tensor. (α, β Skalare)
– Produkte von Tensoren sind Tensoren, z.B.
µ
Aµ Bλρ = Cλρ
– Kontraktion eines Tensors ist ein Tensor
µ
gµν Tλµν = Tµλ
= Tλ
4.2.2
Tensor-Dichten
Motivation: Transformationsverhalten der Determinante der Metrik.
g = det(gµν ),
0
gµν
= Jµλ gλρ Jνρ ,
g 0 = gJ 2
d.h. g ist i.A. kein Skalar! g heißt Tensordichte (Skalardichte).
Definition: Eine Tensordichte mit Gewicht W transformiert sich gemäß
0µ...
µ... σ... ρ...
Tν...
= Kσ...
Tρ... Jν... (J)−W .
22
g hat Gewicht -2, es gilt
µ...
(−g)W/2 · Tν...
ist Tensor!
4.2.3
Kovariante Ableitung
Ableitung ∂µ ≡ ∂x∂ µ ist Lorentz-Tensor/-Vektor, aber ∂µ ist i.A. kein Riemannvektor!
Beispiel Ableitung eines kontravarianten Vektors v µ
v 0µ =
∂x0µ ν
v
∂xν
∂v 0µ
∂x0µ ∂v ν ∂xρ
∂ 2 x0µ ∂xσ
∂v ν
µ
Jλσ v ν
=
+ ν σ 0λ v ν = Kνµ ρ Jλρ + kνσ
0λ
ν
ρ
0λ
∂x
∂x ∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
∂x
µ
(mit kνσ
= ∂x∂ ν Kσµ ).
Die Ableitung von v µ ist kein Tensor.
0µ
v,λ
= ∂λ v 0µ =
µ
µ
v;λ
:= v,λ
+ Γµλν v ν
ist ein Tensor!
Beweis durch Rechnen und Benutzen der Identität
µ
σ
kνσ
Jλσ + Kσµ jλρ
Kνρ ≡ 0.
24.11.2005
uµ;ν = uµ,ν − Γλµν uλ
ist herleitbar aus (uµ v µ );λ = (uµ v µ ),λ . Für einen beliebigen Tensor ist
µν...
µν...
ρν...
µρ...
µν...
Tσ...;λ
= Tσ...,λ
+ Γµλρ Tσ...
+ Γνλρ Tσ...
+ . . . − Γρσλ Tρ...
− ...
Für die Metrik ist
gµν;λ = gµν,λ − Γρµλ gρν − Γρνλ gµρ = gµν,λ − (Γνµλ + Γµνλ ) = 0.
|
{z
}
≡gνµ,λ
(i) Geometrische Bedeutung der kovarianten Ableitung
∧
Ableitung = Änderung, z.B. für Funktion f , Änderung in Richtung xα
f,α =
∂f
,
∂xα
df =
∂f
dxα = f (x + dx) − f (x)
∂xα
Betrachte Vektor
µ
dv µ = v µ (x + dx) − v µ (x) = v,ν
dxν
ν
∂x
0λ
µ
Dies ist kein Tensor, da dxν Tensor ist (dxν = ∂x
), aber v,ν
nicht.
0λ dx
µ
µ
δv sei die Änderung von v bei Parallelverschiebung um dx
Dv µ = (v µ (x+dx), parallelverschoben nach x)−v µ (x) = v µ (x+dx)−δv µ −v µ (x) = dv µ −δv µ
δv µ hängt linear von v µ , dxµ ab.
Ansatz
µ ν
δv µ = −γνλ
v dxλ
23
µ
Koeffizienten γνλ
sind so zu bestimmen, dass
µ
µ ν
Dv µ = v,λ
dxν + γνλ
v dxλ
Vektor ist. Eine Lösung dafür ist
µ
γνλ
= Γµνλ ,
für Riemannsche Mannigfaltigkeiten (affine Mannigfaltigkeiten mit Metrik) ist dies die einzige Lösung. Die totale kovariante Ableitung ist gegeben durch
µ
Dv µ = v;λ
dxλ
(ii) Ableitung eines Tensors entlang einer Kurve, hier: Vektor v µ , Kurve xν (s)
Änderung von v µ entlang einer Kurve:
ν
dv µ
µ dx
= v,ν
? Nein. (kein Vektor)
ds
ds
ν
Dv µ
dv µ
dxν
µ dx
= v;ν
=
+ Γµνρ v ρ
Ds
ds
ds
ds
ist ein Tensor!
Der Spezialfall v µ =
dxµ
ds
D
Ds
µ
führt auf
¶
ρ
ν
dxµ
d2 xµ
µ dx dx
=
+
Γ
νρ
ds
ds2
ds ds
Dies ist die Geodätengleichung, diese ist also eine Tensorgleichung!
4.3
4.3.1
Riemannscher Krümmungstensor
Definition
¢
¢ ¡
¡
l
= Γlij,k − Γlik,j + Γnij Γlnk − Γnik Γlnj
Rijk
4.3.2
Bedeutung des Riemannschen Krümmungstensors
(i) Vertauschung von kovarianten Ableitungen
l
vi;j;k − vi;k;j = −vl Rijk
.
(ii) Paralleltransport
Das Ergebnis eines Paralleltransportes hängt i.A. vom Weg ab.
Änderung eines längs einer geschlossenen Kurve parallel verschobenen
Vektors v µ ist gegeben durch
l
∆v l = Rijk
v i dxj dxk
∆v l = 0
↔
l
Rijk
≡0
(iii) Globale Flachheit“
”
Notwendig und hinreichend dafür, dass eine Metrik äquivalent zu RD oder
MD ist, ist
24
i
(a) Rjkl
≡0
(b) gij hat D gleiche Eigenwerte (RD ) oder z.B. drei positive und einen
negativen Eigenwert mit gleichem Betrag (M4 )
(iv) Lokale Flachheit“
”
In einem Riemannschen Raum gibt es an jedem Punkt P ein Koordinatensystem mit
¯
¯
1
gij ¯P = ηij + Rilnj ¯P xl xn + O(x3 )
3
geodätische Koordinaten, Riemannsche Normalkoordinaten
(v) Gezeitenkräfte
Betrachte zwei benachbarte Geodäten (xµi (i = 1, 2))
d2 xµi
dxνi dxλi
µ
+
Γ
= 0.
(x
)
i
νλ
dτ 2
dτ dτ
Mit xµ := xµ1 , xµ2 = xµ + sµ , |sµ | ¿ |xµ | ist
Γµνλ (x + s) = Γµνλ (x) + Γµνλ,ρ sρ + O(s2 )
Ã
dxν dxρ
D 2 sµ ∼
µ
(∗)
= −Rνλρ sλ
2
Dτ
dτ dτ
Gleichung der Geodätischen Abweichung
Newtonscher Limes
µ
0
∼
– langsam“: dx
dτ = (c, 0, 0, 0), s = 0, dt1 = dt2 = dτ
”
(∗) wird damit zu
d2 sk ∼
k
sl c2
= −R0l0
dτ 2
– schwach“: gµν = ηµν + hµν , |hµν | ¿ |ηµν |
”
1
µ
∼
à Rνλρ
= − η µσ (hλσ,ν,ρ − hνλ,σ,ρ − hρσ,ν,λ + hνρ,σλ )
2
k ∼ 1
R0l0
= (hlk,0,0 − h0l,k,0 − h0k,0,l + h00,k,l )
2
– statisch“: hlk,0 ≡ 0
”
k ∼ 1
R0l0
= h00,k,l
2
Es gilt h0 0 = − c22 φG (s.o.) also
k
R0l0
=−
1
φ,k,l ,
c2
fk = m
¯
2
d 2 sk
l ∂ φ ¯
=
ms
¯
dt2
∂xk ∂xl sl =0
Gezeitenkraft
Einschub: Gezeitenkraft (gemäß Newton)
25
(A) 2. Gesetz von Newton
d2 ~x
= F~ (~x)
dt2
Newtonsches Gravitationsgesetz:
m
F~G (~x) = −Gm
X mj (~x − ~xj )
j
Mit
φ(~x) = −G
X
j
|~x − ~xj |3
mj
= −G
|~x − ~xj |
d2 ~x
~ x) = −grad φ(~x),
= −∇φ(~
dt2
Z
d3 x0
ρ(~x)
|~x − ~x0 |
∆φ(~x) = 4πGρ(~x)
(B) Betrachte zwei Bahnen ~xα (α = 1, 2)
d2 ~xα
~ xα )
= −∇φ(~
dt2
Sei ~x1 = ~x, ~x2 = ~x + ~s, d.h. ~s = ~x2 − ~x1
Ã
d2~s
~ x1 ) − ∇φ(~
~ x2 ) = ∇φ(~
~ x) − ∇φ(~
~ x + ~s)
= ∇φ(~
dt2
In Komponenten
∂φ(x) ∂φ(x + s)
d2 si
=
−
2
dt
∂xi
∂(xi + si )
falls |~s| ¿ |~x|:
d2 si ∼ ∂φ(x)
−
=
dt2
∂xi
µ
∂φ
∂ 2 φ ¯¯
+
sj
¯
∂xi
∂xi ∂xj xj =0
¶
d2 si ∼ ∂ 2 φ ¯¯
sj
=
¯
dt2
∂xi ∂xj xj =0
(C) Kugelsymmetrisches Potential
φ(~x) = −
d.h.
GM
,
|~x|
|~x| = r;
∂φ
xi
= GM 3 ,
i
∂x
r
∂ 2 φ ¯¯
GM
¯ j = 3 δij
i
j
∂x ∂x x =0
r
GM
d2 si
= − 3 si
dt2
r
i.e. Gezeitenbeschleunigung in einem Referenzsystem, dessen Ursprung frei
fällt.
4.3.3
Eigenschaften des Riemann-Tensors
(A) In D Dimensionen hat der Riemannsche Krümmungstensor D4 Komponenten (D = 4 : 256)
Diese Komponenten sind nicht unabhängig; es gibt algebraische und differentielle Nebenbedingungen.
26
(B) Algebraische Beziehungen
n
Rijkl = gin Rjkl
=
£
¤
1
n m
[gik,j,l − gjk,i,l − gil,j,k + gjl,i,k ]+gnm Γnki Γm
jl − Γil Γjk
2
à Rijkl = Rklij , Rijkl = −Rijlk = Rjilk = −Rjikl
Rijkl + Riklj + Riljk = 0
Der Riemannsche Krümmungstensor hat D
ge Komponenten.
D = 1: R0000 = 0
D = 2: eine unabhängige Komponente
D = 3: sechs unabhängige Komponenten
D = 4: 20 unabhängige Komponenten
2
(D 2 −1)
12
algebraisch unabhängi-
(C) Differentielle Beziehungen (Bianchi-Identitäten)
Rijkl;m + Rijlm;k + Rijmk;l ≡ 0
4.3.4
Ricci- und Einstein-Tensor
Rik = g lj Rlijk
Ricci-Tensor
´
¡
¢ ³
Rik = Γlil,k − Γlik,l + Γlij Γjlk − Γlik Γjlj ,
Rik = Rki
Krümmungsskalar:
R = g ik Rik
ik
Kontrahiere Bianchi-Identität mit gik und nutze g;j
≡0
k
k
k
+ Rjmk;l
Rjkl;m
+Rjlm;k
=0
| {z }
| {z }
Rjl,m
−Rjm;l
Kontrahiere mit g jl
j
k
l
Rj;m
+ g jl Rjlm;k
− Rm;l
= 0,
l
R;m − 2Rm;l
=0
Für den Einstein-Tensor Gij = Rij − 12 g ij R ergibt sich die kontrahierte Bianchi-Identität
Gij
;j = 0
4.3.5
Riemannscher Krümmungstensor in D ≤ 4 Dimensionen
Theorem (Cartan, Lovelock)
Der Riemannsche Krümmungstensor ist in D ≤ 4 der einzige Tensor, der aus
dem metrischen Tensor und dessen ersten und zweiten Ableitungen gebildet werden kann.
D = 1: R0000 = 0
Alle eindimensionalen Räume sind intrinsisch flach.
27
01.12.2005
D = 2: Riemannscher Krümmungstensor hat nur eine nichtverschwindende unabhängige Komponente
R0101 = r
Berechne Ricci-Tensor
Rik = g lj Rlijk
Es ergibt sich R00 = g 11 r, R01 = −g 01 r, R11 = g 00 r.
Krümmungsskalar
R = g ik Rik = 2g −1 r
à R0101 =
1
gR
2
2
g = det(gik ) = g00 g11 − g01
Beispiel Kugel:
µ
(gij ) = ρ
2
1
0
0 sin2 θ
¶
,
R=
2
ρ2
D = 3:
Rijkl = fijkl (gnm , Rnm , R)
D = 4: Rijkl hat 20 unabhängige Komponenten
Rijkl = gijkl (gnm , Rnm , R) +
Cijkl
| {z }
W eyl−T ensor
Penrose schreibt dies so
RIEM AN N = RICCI + W EY L
Im Weyl-Tensor stecken die Gezeitenkräfte. Es gilt
gij = f (x)ηij
4.4
4.4.1
Isometrien von Riemann-Räumen
Motivation und Definition
(i) Motivation:
Definiere Symmetrien, ohne auf Koordinatensysteme zu referieren und Erhaltungssätze zu generieren.
(ii) Definition:
Eine Koordinatentransformation x → x0 heißt Isometrie der Metrik gµν ,
falls
0
gµν
(x0 ) = gµν (x0 )
Konsequenz:
Betrachte Transformationsverhalten des Tensors gµν
0
gµν
(x0 ) =
∂xρ ∂xσ
gρσ (x)
∂x0µ ∂x0ν
gµν (x) =
∂x0ρ ∂x0σ 0
g (x0 )
∂xµ ∂xν ρσ
28
!
!
0
0
Die Forderungen gµν
(x0 ) = gµν (x0 ) und gρσ
(x0 ) = gρσ (x0 ) führen zu einem
0
System von Differentialgleichungen für x (x), x(x0 ).
Statt diese allgemein zu lösen, betrachtet man infinitesimale Transformationen
x0µ = xµ + εξ µ (x),
|ε| ¿ 1
!
λ
λ
+ gλν ξ,µ
=0
→ gµν,λ ξ λ + gµλ ξ,ν
bzw.
ξµ;ν + ξν;µ = 0
Ein Vektor ξ, der diese Beziehung erfüllt, heißt Killing-Vektor2 .
(iii) Beispiel Minkowski-Raum Hier gilt ξµ;ν = ξµ,ν , also
ξµ,ν + ξν,µ = 0.
Diese Gleichung hat die allgemeinste Lösung
ξµ = aµ + aµν xν ,
aµ , aµν Konstanten, aµν = −aνµ .
Somit hat man 4 Parameter aµ für infinitesimale Translationen und 6
Parameter aµν für infinitesimale Lorentz-Transformationen.
(iii) Eigenschaften von Killing-Vektoren
– Linearkombination von Killing-Vektoren ist Killing-Vektor
ξµ(3) = aξµ(1) + bξµ(2)
– Maximalzahl von Killing-Vektoren in D Dimensionen ist
D(D+1)
.
2
– Der Kommutator von zwei Killing-Vektoren ist Killing-Vektor.
h
i
X ij
ξ (i) , ξ (j) = ξ (i) ξ (j) − ξ (j) ξ (i) =
fk ξ (k)
k
4.4.2
Killing-Vektoren und ausgezeichnete“ Metriken
”
∗
(i) Falls gµν nicht von einer Koordinate xσ abhängt, d.h. falls
gµν,σ∗ = 0,
dann ist ξ (σ
∗
)
∗
= ∂σ∗ ein Killing-Vektor mit ξµσ = δσµ∗ . Die Gleichung
λ
λ
gµν,λ ξ λ + gµλ ξ,ν
+ gλν ξ,µ
=0
ist dann gerade die Voraussetzung gµν,σ∗ = 0.
Beispiel Minkowski-Raum: ηµν hängen von keinen Koordinaten ab:
ξµ(ν) = δνµ ,
2 Killing,
ξµ(0) = (1, 0, 0, 0) = ∂0
Wilhelm Karl Joseph (1847-1923)
29
Die Darstellung ist zu einer Basis, in der die Einheitsvektoren gerade die
partiellen Ableitungen sind.
Beispiel S 2 (Kugeloberfläche):
Im Prinizip müsste man
ξµ,ν + ξν,µ = 0
lösen für die Metrik von S 2 !
Andere Herleitung (s. Carroll 38):
Als Vorstufe betrachte R3 in Kugelkoordinaten
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ
ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2
gµν ist unabhängig von ϕ, d.h. R = ∂ϕ ist Killing-Vektor.
R=
∂x
∂y
∂z
∂x +
∂y +
∂z = −y∂x + x∂y = (−y, x, 0)
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
Weitere Killing-Vektoren sind S = (z, 0, −x), T = (0, z, −y).
Die Kugeloberfläche hat die Metrik
ds2 = ρ2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 )
und die gleichen Killing-Vektoren R, S, T
R = ∂ϕ , S = sin ϕ∂θ − cot θ sin ϕ∂ϕ , T = − sin ϕ∂θ − cot θ cos ϕ∂ϕ
Kommutator:
[R, S] = [−y∂x +x∂y , z∂x −x∂z ] = − [y∂x , z∂x ] +[y∂x , x∂z ]+[x∂y , z∂x ]−[x∂y , x∂z ]
| {z }
| {z }
0
= xy∂x ∂z + y∂z − yx∂z ∂x + xz∂y ∂x − z∂y − xz∂x ∂y = y∂z − z∂y = T,
[S, T ] = R, [T, R] = S, Algebra der SO(3)-Gruppe.
∗
(σ ∗ ) (σ ∗ )
< 0), dann ist die Koordinate
(ii) Falls ξ (σ ) zeitartig ist (d.h. g µν ξµ ξν
∗
xσ∗ zeitartig, d.h. es ist berechtigt xσ = t zu setzen, also
∂gµν
= 0.
∂t
Riemannsche Räume mit zeitartigem Killing-Vektor heißen stationär.
Definitionen:
– stationär
doing exactly the same thing at every time“ (→ Kerr”
Schwarze Löcher)
– statisch
not doing anything at all“ (→ Schwarzschild-Schwarze
”
Löcher)
– statisch bedeutet stationär und invariant unter Zeitumkehr, d.h. für
ds2 = gµν dxµ dxν = g00 dx0 dx0 +2g0i dx0 dxi +gik dxi dxk (i, k = 1, 2, 3)
müssen die mittleren Terme verschwinden.
Für statische Metriken kann immer eine Form gefunden werden, in
der g0k = 0.
30
0
– Strenge Definition von statisch“ (→ d’Inverno)
”
Eine Raumzeit heißt statisch, wenn sie ein hyperflächenorthogonales
zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt.
4.4.3
Killing-Vektoren und Erhaltungsgrößen
(i) Geodätengleichung kann auf die Form
u̇σ =
1
gµν,σ uµ uν
2
λ
λ
(uµ = dx
ds = ẋ ) gebracht werden:
Ursprüngliche Form
u̇λ + Γλµν uµ uν = 0
Kontrahiere mit gλσ
gλσ u̇λ + Γσµν uµ uν = 0
¢·
¡
gλσ uλ − ġλσ uλ + Γσµν uµ uν = 0
u̇σ − gλσ,µ uµ uλ + Γσµν uµ uν = 0
u̇σ − gλσ,µ uµ uλ +
1
(gσµ,ν + gνσ,µ − gµν,σ ) uµ uν = 0
2
1
(gσµ,ν − gνσ,µ − gµν,σ ) uµ uν = 0
2


1
u̇σ + gσµ,ν − gµσ,ν −gµν,σ  uµ uν = 0
2 |
{z
}
u̇σ +
0
Konsequenz
Falls gµν,σ∗ = 0, falls also ∂σ∗ Killingvektor ist, ist u̇σ∗ = 0, d.h.
∗
uσ = gσ∗ µ uµ
∗
∗
ist Erhaltungsgröße. Der enstprechende Impuls ist pσ = muσ .
Falls uµ Geodäte ist und ξµ ein Killing-Vektor, so ist (ξµ uµ ) längs der
Geodäten konstant, d.h.
d
(ξµ uµ ) = 0.
ds
Beweis
Dξµ µ
Duµ
dxν µ
1
d
(ξµ uµ ) =
u +ξµ
= ξµ;ν
u = ξµ;ν uν uµ = (ξµ;ν + ξν;µ ) uν uµ = 0,
ds
Ds
Ds
ds
2
| {z }
=0
da ξµ Killing-Vektor.
31
5
5.1
Allgemeine Relativitätstheorie II: Gravitodynamik/Geometrodynamik
08.12.2005
Herleitung“der Feldgleichungen
”
Newtonscher Grenzfall
g00
µ
¶
φ
∼
=− 1+2 2 ,
c
∇2 φ = 4πGρ(~x)
G Gravitationskonstante.
ρ∼
=
T00
c2
à ∇2 g00 = −κT00 ,
κ=
8πG
c4
erraten Tensorgleichung
Eµν = −κTµν
Forderungen an Eµν :
(A) Eµν symmetrisch
(B) Eµν hängt von maximal zweiten Ableitungen der Metrik ab
µ
µ
(C) Eν;µ
= 0, da Tν;µ
=0
(D) E00 ∼
= ∇2 g00
(B) wird erfüllt, wenn man den Riemann-Tensor zur Konstruktion von Eµν
benutzt (siehe 4.3.5). Allgemeiner Ansatz für Eµν
Eµν = aRµν + bRgµν + cgµν
Damit ist (A) erfüllt. Forderung (C):
!
µ
µ
= 0 = aRν;µ
+ bR;ν
Eν;µ
(gµν;λ ≡ 0)
kontrahierte Bianchi-Identität
µ
Rν;µ
1
= R;ν ,
2
µ
!
0=
¶
1
a + b R;ν
2
R;ν = 0 ist ausgeschlossen:
Eµµ = aR + 4bR + 4c = −κTµµ
µ
µ
Eµ;ν
= (a + 4b)R;ν = −κTµ;ν
| {z }
i.A. 6=0
also b = − 21 a
µ
¶
1
Eµν = a Rµν − Rgµν + cgµν
2
Forderung (D):
E00
µ
¶
1
= a R00 − Rg00 + cg00 ∼
= ∇2 g00
2
32
a(R − 2R) + 4c = −κT, aR = κT + 4c
µ
¶
1
aR00 = −κ T00 − T g00 + cg00
2
Im Newtonschen Grenzfall: |Tik | ¿ T00 , gµν = ηµν + hµν
1
∼ 1 T00
T00 − T g00 =
2
2
T = η µν Tµν ∼
= −T00 ,
Rµν =
¢
1¡
¤hµν − hλν,λ,µ − hλµ,λ,ν + hλλ,µ,ν
2
mit ¤hµν = ∂ λ ∂λ hµν .
1
1
¤h00 = ∆h00 ,
2
2
alle anderen Terme verschwinden wegen hµν,0 = 0, d.h.
R00 =
1
1
!
a∆g00 = − κT00 + c(η00 + h00 )
2
2
Forderung (D) ergibt a = 1, c = 0, also Eµν = Gµν (Einstein-Tensor)
Gµν = −κTµν
Gµν = Rµν − 1 Rgµν
2
³
´
Rµν = −κ Tµν − 1 T gµν
2
Einsteins Feldgleichungen
5.2
5.2.1
Struktur der Feldgleichungen
Feldgleichungen als Differentialgleichungssystem
Gµν = −κTµν
partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung, nichtlinear
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen?
Cauchy-Problem?
5.2.2
Diffeomorphismen und Koordinatenbedingungen
10 Differentialgleichungen für 10 Unbekannte, aber nicht alle 10 Differentialgleichungen sind unabhängig wegen Gµν;µ ≡ 0.
³
vgl. Maxwellsche Elektrodynamik:
∂α F αβ = −J β
¡
¢
es gilt ∂β ∂α F αβ = 0, d.h. nur 4 − 1 = 3 Feldgleichungen sind unabhängig.
Grund: Eichfreiheit
Fαβ = ∂α Aβ − ∂β Aα ,
33
Aα → Aα + ∂α φ
Wähle Eichbedingungen
~=0
div A
∂α Aα = 0
(Coulomb-Eichung)
´
(Lorenz-Eichung).
Koordinatenbedingungen
Koordinaten in Gauß-Eichung (synchronisierte Koordinaten; co-moving coordinates)
g00 = −1, g0i = 0
de Donder-Koordinaten (harmonische Koordinaten)
g µν Γλµν = 0
Gauß-Eichung lässt sich stets erreichen:
0
gµν
= gλρ Jµρ Jνλ
∂xρ ∂xλ 0
, g = 0 = ...
∂x00 ∂x00 0i
Differentialgleichungen für Koordinatentransformation x0 = f (x).
0
= −1 = gλρ J0ρ J0λ = gλρ
g00
In Gauß-Koordinaten gilt Γλ00 ≡ 0 Ã Geodätengleichung
duλ
+ Γλij ui uj + 2Γλ0i u0 ui = 0
ds
wird trivialerweise gelöst durch
(uλ ) = (c, 0, 0, 0),
da uλ =
5.2.3
dxλ dx0
ds , ds
= 1,
dxi
ds
= 0.
Zeitintervalle und Distanzen
xµ sind lediglich Koordinaten.
Was sind die wahren“ Zeiten und Längen? (hängt vom Beobachter ab)
”
für unbewegte Uhr
c2 dτ 2 = −gµν dxµ dxν = −g00 dx0 dx0
cdτ =
5.3
√
−g00 dx0 ,
dl2 = γik dxi dxk ,
γik = gik −
Kosmologische Konstante Λ
∧
c = −Λ, Λ hat die Dimension (Länge)−2
Gµν + Λgµν = −κTµν
Λ−1/2 ∼ 1010 Lichtjahre.
34
(dxi = 0)
g0i g0k
g00
6
6.1
Schwarzschild-Metrik
Schwarzschildsche Lösung der Vakuumfeldgleichungen
Gµν = 0
1
Rµν − Rgµν = 0
2
Rµν = 0
6.1.1
Isotrope Metriken (Sphärisch-symmetrisch)
Ausgangspunkt: Minkowski-Metrik in Polarkoordinaten (t, r, θ, ϕ)
(cdτ )2M = c2 dt2 − dr2 − r2 dΩ2 ,
dΩ2 := dθ2 + sin2 θdϕ2
Allgemeinster Ansatz für sphärische Symmetrie:
(cdτ )2M = f c2 dt2 − gdr2 − hr2 dΩ2
f, g, h sind Funktionen von t und r.
Führe neue Radialkoordinate ein: r̄2 = h(r, t)r2
(cdτ )2 = f¯(r̄, t)c2 dt2 − ḡ(r̄, t)dr̄2 − r̄2 dΩ2
oder
(cdτ )2 = B(r, t)c2 dt2 − A(r, t)dr2 − r2 dΩ2
Standardform der isotropen Metrik
(cdτ )2 = c2 dt2 − U (r, t)dr2 − V (r, t)r2 dΩ2
Gauß-Form
£
¤
(cdτ )2 = H(r, t)c2 dt2 − J(r, t) dr2 + r2 dΩ2
Isotrope Form
6.1.2 Schwarzschild-Vakuumlösung
(im Außenraum einer sphärisch-symmetrischen Massenverteilung)
Lösungen mit gµν,0 = 0, Rµν = 0. Berechne zu

−B(r)
0
A(r)

(gµν ) = 
r2
0



r2 sin2 θ
Γλµν und damit Rµν ; man erhält Differentialgleichungen für die unbekannten
Funktionen A, B.
35
• Zusammenhänge/Christoffel-Symbole (F 0 =
Mit Γλµν = 12 g λρ (gµρ,ν + gνρ,µ − gµν,ρ ) gilt
Γ001 =
dF
dr
)
B0
2B
B0
A0
r
; Γ111 =
; Γ1 = − ; Γ133 = sin2 θΓ122
2A
2A 22
A
1
Γ212 = ; Γ233 = − sin θ cos θ
r
1
3
Γ13 = ; Γ223 = − cot θ,
r
identisch Null.
Γ101 =
alle anderen Γµνλ
• nicht-verschwindende Komponenten des Ricci-Tensors
Mit Rµν = Γλµλ,ν − Γλµν,λ + Γλµρ Γρλν − Γλµν Γρλρ gilt
µ
¶
B 00
B 0 A0
B0
B0
R00 = −
+
+
−
2A 4A A
B
rA
µ
¶
B 00
B 0 A0
B0
A0
R11 =
−
+
−
2B
4B A
B
rA
µ 0
¶
0
r
A
B
1
R22 = −1 −
−
+
2A A
B
A
R33 = R22 · sin2 θ,
alle anderen Rµν = 0.
Lösung
α
, A(r) = B −1 (r),
r
wobei α = const. (noch zu bestimmen)
Bedeutung von α: Im Newton-Limes
µ
¶
RM
2GM
g00 = − 1 −
, RM =
Schwarzschild-Radius zur Masse M
r
c2
B(r) = 1 +
Also α = RM :
¡
c2 dτ 2 = 1 −
RM
r
¢
¡
c2 dt2 − 1 −
¢
RM −1
r
dr2 − r2 dΩ2
Für r → ∞ kommt man wieder zur Minkowski-Metrik.
6.1.3
Eigenschaften der Schwarzschild-Metrik
(i) Koordinaten und Krümmungssinguläritäten
In der Standardform gibt es eine Singularität für r = R.
r = R ist eine Koordinatensinguläritat.
(a) Indiz
R2
r6
bleiben endlich bei r = R ! Aber: Singularität bei r → 0.
g = det(gµν ) = −r4 sin2 θ, Rµνλρ Rµνλρ = 12
36
15.12.2005
(b) Führe Koordinaten-Transformation aus
µ
¶2
R
r → 1+
r
4r
Dann hat die Metrik die isotrope Form
£
¤
1−
c dτ = H(r)c dt −J(r) dr2 + r2 dΩ2 , H(r) =
1+
2
2
2
2
R
4r
R
4r
¶4
µ
R
, J(r) = 1 +
4r
R bezeichnet den Ereignishorizont. Umfang des Horizontes 2πR.
(ii) Visualisierung des Raumanteils
Zeitschnitt dt = 0, Ebene θ = π2 , dθ = 0
µ
2
dσ =
R
1−
r
¶−1
dr2 + r2 dϕ2
Entfernungsmessungen
– sphärische Symmetrie → alle Punkte auf der Fläche r = r0 sind
gleichberechtigt.
– radiale Koordinate ist so definiert, dass die Oberfläche einer Kugel
mir r0 den Wert 4πr02 hat. (Umfang 2πr0 )
– radiale Abstände sind bestimmt durch
µ
¶−1/2
R
dl = 1 −
dr.
r
Konsequenz:
U (r0 )
< 2π
r
mit r =
¶−1/2
Zr0 µ
R
dx.
1−
x
0
Beispiel:
Schwarzes Loch mit Sonnenmasse, R ∼ 3km. Messe Umfang r1 =
4km, r2 = 5km.
Zr2
∆r =
r1
¯
µ
¶1/2
¯√
¯ ¯r 2
√
√ √
R
¯
¯¯
dr 1 −
= r r − R + R log ¯ r + r − R¯ ¯
¯
r
r1
∆r = 1, 723km, nicht 1km.
(iii) Far Away Time“(à la Wheeler)
”
Koordinate t ist die Zeit, die im Unendlichen ruhende Uhr anzeigt
µ
dτ =
1−
R
r
¶1/2
dt
für dr = 0, dθ = 0, dϕ = 0
dτ → dt für r → ∞.
37
Konsequenz: gravitative Rotverschiebung
Sender bei rS = 2R, Empfänger bei rE = 4R
Rotverschiebung:
Z=
g00
·
¸1/2
νS
g00 (rE )
−1=
−1
νE
g00 (rS )
µ
¶
R
=− 1−
,
r
µ
z=
1−
1−
1
4
1
2
¶1/2
− 1 = 0, 22
(iv) Ausgezeichnete Bezugssysteme“(à la Wheeler)
”
(1) Free Floater
Frei fallender Beobachter; lokal gilt Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
in immer kleineren Raumzeit-Bereichen
(2) Shell Observer
Beobachter, der fest auf einer Kugeloberfläche mit Umfang 2πrS (rS >
R) sitzt. Lokal gilt SRT mit den skalierten Längen und Zeiten
µ
¶−1/2
µ
¶1/2
R
R
drS = 1 −
dr, dtS = 1 −
dt
rS
rS
(3) Schwarzschild-Buchhalter (Remote Observer)
benutzt Schwarzschild-Koordinaten (zur Buchhaltung). SchwarzschildKoordinaten gelten global (bis zum Ereignishorizont).
6.1.4 Birkhoff-Theorem
Frage: Wie sehen zeitabhängige Lösungen für sphärisch-symmetrische Metriken
aus?
A(r) → A(r, t), B(r) → B(r, t)
Antwort: Nicht anders als die stationären Lösungen.
Theorem
Jede sphärisch-symmetrische Lösung der Vakuumfeldgleichungen ist statisch.
38
Grafische Darstellung der Schwarzschild-Metrik nahe des Schwarzschild-Radius:
39
6.2
6.2.1
Geodäten in der Schwarzschild-Metrik
Prinzipielles Vorgehen
1. Aufstellung der Geodätengleichungen (mit xµ = (t, r, θ, ϕ))
ρ
ν
d2 xµ
µ dx dx
=0
+
Γ
νρ
dλ2
dλ dλ
(∗)
zusammen mit (Masse m)
gµν
dxµ dxν
=
dλ dλ
½
−ε2
0
für m 6= 0
für m = 0
2. Finde 1. Integrale dieser Gleichungen
3. Interpretiere die Integrationskonstanten physikalisch. Beispiel für (∗), θKoordinate:
µ
¶
2
dθ
dθ
♣ θ̈ + ṙθ̇ − sin θ cos θϕ̇2 = 0
θ̇ =
6=
r
dλ
dt
6.2.2
Erhaltungssätze und 1. Integrale
Es gibt vier Killing-Vektoren, drei aufgrund sphärischer Symmetrie, einen aufgrund von Zeittranslationen (gµν,0 = 0.)
Für jeden Killing-Vektor ξµ gilt
ξµ ẋµ = const.
Sphärische Symmetrie entspricht Drehimpulserhaltung, Zeittranslationen entsprechen Energieerhaltung.
Drehimpulserhaltung bedeutet: Bewegung erfolgt in einer Ebene. ♣ hat die
Lösung θ = π2 (dann θ̇ = 0, also auch θ̈ = 0.)
Die verbleibenden Killing-Vektoren:
E µ = (∂t )µ = (1, 0, 0, 0),
J µ = (∂ϕ )µ = (0, 0, 0, 1)
λ
2
bzw. Eµ = gµλ E λ = (−B(r), 0, 0, 0), B(r) = (1 − R
r ), Jµ = gµλ J = (0, 0, 0, r )
à −Eµ ẋµ = Bcṫ = e,
Jµ ẋµ = r2 ϕ̇ = j sind erhalten!
dxµ dxν
e2
j2
2
2
2
θ
gµν
= −Bc2 ṫ2 + Aṙ2 + r2 |{z}
θ̇2 +r2 sin
ϕ̇
=
−
+
A
ṙ
+
=
| {z }
dλ dλ
B
r2
ṙ2 + B
2
j
− e2 =
r2
½
0
½
1
µ ½
¶
−Bε2 = −Bc2 für λ = τ
0
0
−ε2
0
(mit A = B −1 )
Wir haben also eine Gleichung der Form
dr
dr
= f (r) bzw.
= dλ
dλ
f (r)
à λ(r), r(λ).
05.01.2006
40
Die Umrechnung λ → t erfolgt über
µ ¶
dx
dx dt
dx e
ẋ =
=
=
·
dλ
dt dλ
dt Bc
Für den Shell Observer“ (Beobachter auf Kugelebene mit Umfang 2πrS ) gilt
”
dr
drS
c dr
dtS = B 1/2 dt, drS = B −1/2 dr Ã
= B −1
=
dtS
dt
e dλ
6.3
6.3.1
Geodäten massiver Objekte
Klassifizierung der Bewegungen
(i) Effektives“ Potential
”
Radialgleichung (λ = τ )
ṙ2 + B
j2
− e2 = −Bc2 =
r2
ṙ2 + V (r) = e2 − c2 = κ,
µ
−1 +
V (r) = −
R
r
¶
c2
R 2 j2
Rj 2
c + 2− 3
r
r
r
jc ist der Wert, für den gerade noch eine reellwertige Lösung für
dV
= 0 ↔ Rc2 r2 − 2j 2 r + 3Rj 2 = 0
dr
existiert, also
jc =
√
3Rc.
Sei j > jc , dann bedingt die Radialgleichung
ṙ2 + V (r) = κ
folgende Bewegungen in Abhängigkeit von κ:
– κ > Vmax Fall ins Zentrum
41
– 0 < κ < Vmax Streulösungen
– Vmin < κ < 0 gebundene Bewegungen
für κ = Vmax und κ = Vmin Kreisbewegung (instabil bei Vmax ).
(ii) Vergleich mit Newton/Kepler
1
m
2
µ
dr
dt
¶2
+ Vef f (r) = E,
µ
dr
dt
¶2
−
Vef f = −
GmM
J2
+
r
2mr2
R 2
J2
2E
c + 2 2 =
r
m r
m
Vergleich:
j=
J
,
m
2E ∧ 2
= e − c2 ,
m
e=
Gesamtenergie
Masse
Einschub: Newton/Kepler und Kegelschnittgleichungen
Ausgangspunkt: Radialgleichung
ṙ2 −
2GM
J2
2E
+
=
;
r
mr2
m
(1) wähle neue Variable u =
du
dϕ ϕ̇,
à ṙ = − u12 u̇
Drehimpulserhaltung ϕ̇ =
µ
Ã
dr
dt
1 2
J2
2E
u̇ + 2 u2 − 2GM u =
4
u
m
m
Ã
(2) u̇ =
1
r
ṙ =
du
dϕ
¶2
+ u2 =
J
mr 2
=
J 2
mu
2GM m2
2Em
u+
2
J
J2
du
(3) differenziere nach ϕ (und dividiere durch 2 dϕ
)
Ã
d2 u
GM m2
+
u
=
Ω
=
dϕ2
J2
Lösung
u(ϕ) = Ω(1 + ε cos(ϕ − ϕ0 ))
mit ε, ϕ Integrationskonstanten. Dies sind Kegelschnitte
• für ε = 0
u = Ω, r =
1
Ω
→ Kreis
• für ε < 1 Ellipsen
• für ε = 1 Parabeln
• für ε > 1 Hyperbeln
42
speziell für Ellipsen mit Halbachsen (a, b)
a
b2
= Ω, 1 − 2 = ε2 .
2
b
a
6.3.2
Radiale Bewegungen
(i) Erhaltungsgrößen und Anfangsbedingungen
j = 0,
µ
ṙ2 =
dr
dτ
¶2
,
ṙ2 −
V (r) = −
R 2
c
r
R 2
c = e2 − c2 ↔ ṙ2 = e2 − B(r)c2
r
frei fallender Beobachter, Free Floater“
”
vF2 F = e2 − B(r)c2
Shell Observer“
”
µ
vS2 =
drS
dtS
¶2
=
c2 2
(e − B(r)c2 )
e2
SS-Buchhalter“ (Schwarzschild-Buchhalter)
”
µ ¶2
dr
B 2 c2
2
vB =
= 2 (e2 − B(r)c2 )
dt
e
e2 hängt vom Anfangszustand ab
für r = r0 sei v = v0 , hier vs = v0
v02 =
c2 2
(e − B0 c2 ),
e2
e2 =
B0 = 1 −
R
r0
B0 c2
1−
v02
c2
Zwei Spezialfälle:
r0 → ∞ : e2 =
c2
1−
v02
c2
,
v0 = 0 : e2 = B0 c2
(ii) Geschwindigkeitsverläufe für zentralen Fall
– Free Floater
vF2 F = e2 − Bc2
startet mit Geschwindigkeit
Radius vF2 F = e2
e2 2
c2 v0 ;
– Shell Observer
Geschwindigkeit am Schwarzschild-
c2 2
(e − Bc2 )
e2
Geschwindigkeit am Schwarzschild-Radius vS2 = c2
vS2 =
43
– Schwarzschild-Buchhalter
2
vB
=
B 2 c2 2
(e − Bc2 ) = H(r)
e2
2
Geschwindigkeit am Schwarzschild-Radius vB
=0
(iii) Fallzeiten
dr
= (e2 − Bc2 )1/2 , τ =
dτ
– Buchhalter
dt = e
Z
dr
(e2 − Bc2 )1/2
dr
Bc(e2 − Bc2 )1/2
à Integral divergiert, konsistent mit Verhalten von H(r)
– Free Floater
Zr2
τ (r2 ) − τ (r1 ) = −
r1
dr
(e2 − Bc2 )1/2
1/2
ist geschlossen lösbar mit der Substitution u = (κ + c2 R
= (e2 −
r )
2 1/2
Bc )
Zu2
du
2
τ (r2 ) − τ (r1 ) = 2Rc
2
(u − κ)2
u1
Beispiele
(1) κ = 0 ↔ e2 = c2 ↔ r0 = ∞, v0 = 0
·
¸
2 R ³ r1 ´3/2 ³ r2 ´3/2
τ (r2 ) − τ (r1 ) =
−
3 c
R
R
(2) κ < 0, z.B. v0 = 0, e2 = B0 c2 = c2 (1 − rR0 ), r2 = r0 , r1 = R
" µ
¶#
¶1/2
µ
1 R ³ r0 ´3/2
R R2
2R
− 2
−1
τ (r0 ) − τ (R) =
2
+ arccos
2 c R
r0
r0
r0
für r0 À R
1 R ³ r0 ´3/2
∆τ ∼
= π
2 c R
44
³
Darstellung des Ergebnisses über Zykloidparameter η (η = arccos
r=
r0
(1 + cos η),
2
τ=
2R
r0
1 R ³ r0 ´3/2
(η + sin η)
2 c R
(3) Fallzeit zwischen r = R und r = 0: e = c, κ = 0
T =
2R
3 c
m
s
Mit R = 10α R¯ = 10α · 3 · 103 m, c = 3 · 108
T =
ergibt sich
2 α−5
10
s
3
Für ein stellares Schwarzes Loch (α = 1) ist T1 ∼
= 10−4 s, für ein
∼
galaktisches Schwarzes Loch (α = 6) ist T6 = 10 s.
Es ist also festzuhalten, dass Schwarze Löcher im Wesentlichen ungefährlich sind.
(iv) Fluchtgeschwindigkeit
(1) Newtonsche Mechanik
Damit Objekt r → ∞ erreichen kann, muss
µ
dr
dt
2E
m
¶2
+ Vef f > 0,
|{z}
v2 >
> 0 sein:
R 2
c
r
2
−R
r c
Auf der Erde: vF2 >
R 2
Rc
(2) Einstein-Schwarzschild
κ = e2 − c2 > 0:
e2 =
Bc2
2
2 > c ,
1 − vc2
v2 >
d.h. Newton-Resultat! (für Shell Observer).
Maximale Fluchtgeschwindigkeit vF < c:
r>R
45
R 2
c
r
´
−1 )
(v) Gezeitenkräfte
für zwei benachbarte Geodäten xµ2 = xµ1 + sµ , |sµ | ¿ |xµi |
ν
ρ
D 2 sµ
µ
λ dx dx
=
−R
s
νλρ
Dλ2
dλ dλ
µ
Verwendung von Rνλρ
der Schwarzschild-Metrik
D 2 sr
R
= 3 sr c2 ,
Dτ 2
r
R
D 2 sα
= − 3 sα c2
Dτ 2
2r
(α = θ, ϕ)
Beispiel
Gezeitenkraft durch Graviationsbeschleunigung in radialer Richtung auf
Objekt der Ausdehnung l
R
b = 3 Lc2
r
am Schwarzschild-Radius (Horizont)
b=
1
Lc2
R2
Gezeitenkräfte am Horizont sind umso schwächer, je massiver das Objekt
ist.
m
α
α
3
numerisch: L = 1 m, c = 3·108 m
s , R = 10 R¯ = 10 ·3·10 m, g = 10 s
à bH = 109−2α g
Für ein stellares Schwarzes Loch (α = 1) ist b1 = 10−7 g, für ein galaktisches Schwarzes Loch (α = 6) ist b6 = 10−3 g.
6.3.3
Orbitale Bewegungen
ṙ2 + V (r) = e2 − c2 ,
V (r) = −
R 2 j2
Rj 2
c + 2− 3
r
r
r
(ṙ =
dr
)
dτ
(i) Kreisbahn
im Extremum des Potentials
dV !
!
!
= 0 ↔ Rr2 c2 − 2j 2 r + 3Rj 2 = 0 ↔ j 2 (3R − 2r) + Rr2 c2 = 0
dr
Also muss gelten
0 ≤ j2 =
Rr2 c2
3
à r> R
2r − 3R
2
Für eine stabile Kreisbahn muss ein Minimum des Potentials vorliegen
d2 V ¯¯
> 0 Ã r > 3R
dr2 Bahn
stabile Kreisbahnen nur für r > 3R; ISCO innermost stable circular
”
orbit“
46
12.01.2006
(ii) Kepler-Gesetze
3. Gesetz
für Kreisbahn r = const, dr = 0
2
2
2
2
2
2
c dτ = Bc dt − r dϕ ,
µ
¶
R
B = 1−
r
c2 = Bc2 ṫ2 − r2 ϕ̇2
Differenziere nach r
B 0 c2 ṫ2 − 2rϕ̇2 = 0,
B0 =
dB
R
= 2
dr
r
µ ¶2
B 0 c2
dϕ
dϕ
dϕ e
−r
= 0, ϕ̇ =
Ã
ṫ =
2
dt
dt
dt Bc
µ ¶2
µ ¶
2
dϕ
1 Rc
1 dϕ
2
=
, νa =
, Ta2 = (2π)2 2 r3
2
dt
2r r
2π dt
Rc
R=
2GM
c2 ,
gleiches Ergebnis wie bei Newton.
(iii) Perihelverschiebung
für Merkur 5600” / Jahrhundert
nach Newton’schen Korrekturen 43” / Jahrhundert
Gehe aus von Radialgleichung
ṙ2 −
(1) Setze u =
1
r
2
Rc2
j2
Rj 2
+ 2 − 3 = e2 − c2
r
r
r
à DGL u = u(τ )
(2) Verwende r ϕ̇ = j für u̇ =
du
dϕ ϕ̇
(3) Differenziere diese DGL nach ϕ
d2 u
3
Rc2
2
+
u
−
Ru
=
dϕ2
2
2j 2
Newton
d2 uN
GM m2
Rc2
+ uN = Ω =
=
,
2
2
dϕ
J
2j 2
Störungsrechnung u = uN + uK ,
uN = Ω(1 + ε cos ϕ)
|uK | ¿ |uN |
d2 uN
d2 u K
3R
+
+ uN + uK −
(uN + uK )2 = Ω
2
{z
}
dϕ
dϕ2
2 |
∼
=u2N
3
d2 uK
+ uK ∼
= RΩ2 (1 + 2ε cos ϕ + ε2 cos2 ϕ)
dϕ2
2
|ε cos ϕ| ¿ 2, Konstante 1 kann weggelassen werden
µ
¶
3RΩ2 ε
3
uK =
ϕ sin ϕ, u = Ω 1 + ε cos ϕ + RΩεϕ sin ϕ
2
2
47
rotierende Ellipse hat die Form
u = Ω(1 + ε cos λϕ),
Periode φ =
2π
λ
Setze:
3
cos ϕ + RΩϕ sin ϕ = cos λϕ
2
Benutze Additionstheoreme
cos(ϕ − ϕK ) = cos ϕ cos ϕK + sin ϕ sin ϕK
ϕK ¿ 1 Ã cos ϕK ∼
= 1, sin ϕK ∼
= ϕK
à cos(ϕ − ϕK ) ∼
= cos ϕ + ϕK sin ϕ,
ϕK =
3
ϕK
RΩϕ, λ = 1 −
2
ϕ
Die korrigierte Lösung u stellt also eine rotierende Ellipse dar. Abweichung
von starrer Ellipsenbahn
µ
¶
2π
1
∆ϕ = φ − 2π =
− 2π = 2π
−1
λ
1 − 32 RΩ
∆ϕ ∼
= 3πRΩ
∼ 3 km, Ω−1 ∼
für Merkur: R¯ =
= 55 · 106 km, π = 180◦ · 360000
00
∆ϕM erkur ∼
= 0, 104 (pro Umlauf) ∼
= 4300 (pro Jahrhundert)
(iv) Einfangbedingung
Problem: Objekt kommt mit Geschwindigkeit v∞ aus dem Unendlichen“
”
in das Gravitationsfeld eines Schwarzen Loches
Frage: Wann fällt das Objekt ins Zentrum bzw. wann entkommt es dem
Schwarzen Loch ?
Bedingung für Entkommen (s.o.):
Vmax > 0, e2 − c2 < Vmax
ṙ2 + V (r) = e2 − c2
48
führe dimensionslose Variable ein
ρ=
µ
¶
j2
z= 2
R
r
c2
1
1
, V (r) → V (ρ) = − + z 2 − z 3
R
ρ
ρ
ρ
Anfangsbedingungen
(1) für r → ∞
¯
ṙ2 ¯∞ → e2 − c2 ,
e2 =
c2
1−
2
v∞
c2
(2) Stoßparameter b
¯
b = r sin ϕ, für r → ∞: sin ϕ → ϕ, b ∼
= rϕ¯∞ = konst
→ ṙϕ + rϕ̇ = 0, rṙϕ + r2 ϕ̇ = 0,
|{z}
j 2 = b2 ṙ2 = b2 (e2 − c2 )
j
z=
2
b2 v∞
j2
=
2
R2
R2 1 − v∞
2
c
Extremwerte von V
z
V = 0 ↔ ρE = 2 ±
c
0
r³
z ´2
z
−3 2
2
c
c
notwendinge Bedingung
z > 3c2 ,
2
b2 v∞
> 3c2
2
2
R 1 − v∞
2
c
ρmax =
z
c2
−
q¡ ¢
z 2
c2
− 3 cz2 Maximum des Potentials. Zweite Bedingung
e2 − c2 < Vmax = V (ρmax ),
2
v∞
2
v∞
c2
1−
| {z }
<−
c2
ρmax
+
z
z
− 3
ρ2max
ρmax
Γ
Γ
ρ2 c2
ρ3max
< − max +ρmax −1,
z
z
ρ2max +
Beispiel
49
c2 − 3Γ
c2
ρmax − < 0
2Γ
Γ
µ
z=
c2 ρ2max
2ρmax − 3
¶
2
=
(1) v∞
c2
2 ,
c2 −3Γ
2Γ
Γ = c2 ,
ρ2max
= −1
1
− ρmax − 1 < 0, ρ < +
2
r
√
1
1
+ 1 = (1 + 5)
4
2
b2K 2
c , b > 3, 33 R
R2
q
¡
¢
11
= c2 (1 − ε) → b > 27
4 R 1 + 18 ε (erste Näherung in ε)
z > 11, 1c2 =
2
(2) v∞
6.4
Null-Geodäten
Geodäten für Photonen, dτ 2 = 0
6.4.1
Klassifikation der Bewegungen
(i) Effektives Potential“
”
Radialgleichung
ṙ2 + B
j2
− e2 = 0,
r2
ṙ2 + V (r) = e2 , V (r) =
(ii) Kritischer Stoßparameter
Vergleiche e2 mit VM
e2
Stoßparameter b2 =
j2
e2 ,
> 4 j2
,
< 27 R2
1
> 4 j2
< 27 e2 R2
kritischer Stoßparameter
r
27 ∼
bc =
R = 2, 6 R
4
– b < bc Photon wird eingefangen
– b > bc Streuung am Schwarzen Loch
– b = bc (instabile) Kreisbahnen
6.4.2
Geschwindigkeiten und Stoßparameter
(i) Geschwindigkeiten
µ
¶
b2
ṙ = e 1 − B 2 ,
r
2
2
50
ṙ =
dr
dλ
j2
Rj 2
− 3
2
r
r
– Schwarzschild-Buchhalter
µ ¶2
µ
¶
dr
b2
2
= vBR
= B 2 c2 1 − B 2
dt
r
µ
r
2
dϕ
dt
¶2
µ
=
2
vBT
=
b
Bc
r
¶2
¡
mit r2 ϕ̇ = j, e = Bc
¢
¶
µ
b2 R
2
2
v 2 = vBR
+ vBT
= B 2 c2 1 + 2
r r
Für r → R ergibt sich v 2 = 0 !
– Shell Observer
vSR
µ
¶1/2
drS
b2
−1 dr
=
=B
= ±c 1 − B 2
dtS
dt
r
vBT = B 1/2 c
b
à v 2 = c2
r
(ii) Bestimmung von b aus Anfangs-/Randbedingungen
– Photon aus ∞
– Photon aus endlicher Entfernung (bezogen auf Shell Observer)
vT
1/2 b
sin θ0 =
= B0
,
c
r0
b=
−1/2
r0 B0
¶
µ
R
sin θ0 , B0 = 1 −
r0
Beispiel: Laserpuls wird unter 30◦ bei r0 = 5R abgefeuert. Entkommt der
Puls dem Schwarzen Loch ?
µ
¶−1/2
µ ¶−1/2
1
5
4
∼
b = 5R 1 −
· sin θ0 = R ·
= 2, 8 R > 2, 6 R = bc
| {z } 2
5
5
1
2
51
6.4.3
Optik in Schwarzschild-Geometrie
(i) Bahnkurve r(ϕ)
ṙ =
µ
¶1/2
b2
dr
dϕ
dϕ dλ
1
1
= ±e 1 − B 2
Ã
=
= ±ϕ̇
= ±b 2
dλ
r
dr
dλ dr
eG
r G
{z
}
|
=:G(r)
Z
dr0
ϕ = ±b
|
1
r02 G(r0 )
{z
}
à ϕ(r) à r(ϕ)
elliptisches Integral
Substitution: u = r̂r , r̂ nach Kontext
µ
dϕ = ±
r̂2
R
− u2 + u3
b2
r̂
¶−1/2
du
(ii) Lichtablenkung in schwachen“ Gravitationsfeldern
”
¯
−6
schwach“ R ¿ R, Beispiel: Sonne R
R¯ ∼ 10
”
Situation: Photon kommt unter ϕ∞ auf gerader Bahn aus ∞, gerät unter
den Einfluss der Masse M , hat bei r0 den kürzesten Abstand und verlässt
das Feld auf gerader Bahn im Unendlichen
– Falls keine Lichtablenkung erfolgen würde, wäre die Änderung des
Winkles π = 180◦
– Situation ist symmetrisch bezüglich r0
à ∆ϕ = 2(ϕ∞ − ϕ0 ) − π
Für die Bahngleichung gilt (siehe Abschnitt (i))
µ
¶1/2
dr
1
b2
= r2 1 − B 2
dϕ
b
r
Ferner
dr ¯¯
=0
¯
dϕ r=r0
¶
µ
b2
=0
1−B 2
r r=r0
↔
mit Substitution u =
r̂
r
Ã
r02
R
= B0 = 1 −
b2
r0
gilt
·
R
r̂2
dϕ = − 2 − u2 + u3
b
r̂
52
¸−1/2
du
Wähle r̂ = r0
·
R
dϕ = − (1 − u ) − (1 − u3 )
r0
{z
|
¸−1/2
2
du
}
H(u)
Entwicklung von H(u) nach
R
r0 :
"
2 −1/2
H(u) = (1 − u )
õ
1 R 1 − u3
+O
1+
2 r0 1 − u2
Z1
du
1R
à ϕ∞ −ϕ0 =
+
2
1/2
2 r0
(1 − u )
0
|
{z
} |
Z1
0
=π/2
2R
∆ϕ =
+O
r0
R
r0
¶2 !#
1
1 − u3
du + O
(1 − u2 )1/2 1 − u2
{z
õ
R
r0
¶2 !
õ
R
r0
}
∆ϕ
∆ϕ ist maximal am Rand der ablenkenden Masse (r0 = R): ∆ϕ ∼
=
Beispiel Sonne: R¯ = 3 km, R¯ = 7 · 105 km
(∆ϕ)th =
6 −5
10 ,
7
¶2 !
in Bogengrad (∆ϕ)th ≈ 1, 7500 ;
2R
R
(∆ϕ)th
= 1, 0±0, 1
(∆ϕ)gemessen
(iii) Lichtablenkung am Schwarzen Loch
Situation: Shell-Observer bei r0 sieht ein Objekt unter θ0 . Wo steht das
Objekt ?
dϕ = f (u, r̂) du,
r̂
u = , r̂ = R;
r
Z0
ϕ(r0 ) = −
R/r0
−1/2
b = r0 B0
¡ R2
b2
du
− u2 + u3
¢1/2
sin θ0 Ã numerische Integration liefert folgende Ergebnisse:
53
54
6.5
6.5.1
Schwarzschild-Geometrie
19.01.2006
Eigenschaften der Schwarzschildkoordinaten
c2 dτ 2 = B(r)c2 dt2 − B −1 (r)dr2 − r2 dΩ2 ,
B(r) = 1 −
R
r
Konsequenzen der Koordinatensingularität (r → R)
(a) Lichtkegel klappen um“
”
radial einlaufendes Licht (dΩ = 0, dτ 2 = 0)
Lichtkegelgleichung
2
2
Bc dt − B
−1
2
dr = 0
r→∞:
dt
1
Ã
=±
dr
c
µ
¶−1
R
1−
r
dt
1
=±
dr
c
(b) für r → R geht t → ∞
(c) g00 = −B(r) wechselt das Vorzeichen bei r = R
n
> 0 für r < R
g00
.
< 0 für r > R
t ist raumartig für r < R, r ist zeitartig für r < R !
(d) R trennt die Raumzeit in zwei Bereiche:
– (I) R < r < ∞
– (II) 0 < r < R
In (II) werden alle Objekte zur Singularität bei r = 0 getrieben, in (II) ist
keine stationäre Bewegung möglich !
R ist Grenzfläche der Stationarität
55
6.5.2
Geodäten-angepasste Koordinaten
(i) Schildkröten-Koordinaten (Regge/Wheeler tortoise“)
”
dt
1 −1
=± B
dr
c
kann integriert werden.
1
t = ± r∗ + const,
c
r∗ (r) = r + R ln
´
³r
−1
R
verwende Koordinaten (t, r) → (t, r∗ ):
µ
¶³
´
R
2
2 2
∗2
ds = 1 −
−c
dt
+
dr
+ r2 (r∗ )dΩ2
r(r∗ )
Lichtkegelgleichung
dt
1
=±
dr
c
Lichtkegel bleiben invariant, aber Ereignishorizont liegt bei r∗ → ∞.
(ii) Eddingtion-Finkelstein-Koordinaten (Eddington, 1924, Finkelstein, 1958)
Wähle statt (t, r∗ )
(z, r), z = ct + r∗
ds2 = −B(r)dz 2 + 2dz dr + r2 dΩ2
Lichtkegelgleichung
2dz dr = B(r)dz 2
hat die Lösungen
(1) dz = 0 (einlaufende Photonen)
¡
¢
R −1
(2) dz
(auslaufende Photonen)
dr = 2 1 − r
Eddingtion-Finkelstein-Koordinaten sind regulär in (I) und (II), analytische Erweiterung der Schwarzschild-Koordinaten.
´
³
³r
r´
− 1 , in (II): z = ct + r + ln 1 −
.
In (I): z = ct + r + ln
R
R
56
6.5.3
Kruskal-Koordinaten (Kruskal, Szekeres 1960)
(i) Definition: (t, r, θ, ϕ) → (u, v, θ, ϕ)
in (I)
¶
µ
³r
´1/2
³ r ´
ct
u=
−1
exp
cosh
R
2R
2R
¶
µ
³r
´1/2
³ r ´
ct
v=
−1
exp
sinh
R
2R
2R
(u)
(v)
Umkehrung
´
³r´
³r
− 1 exp
(R)
R
R
µ
¶
ct
v
= tanh
(T )
u
2R
³ r´
4R3
ds2 =
exp −
(−dv 2 + du2 ) + r2 dΩ2 (r = r(u, v))
r
R
u2 − v 2 =
Lichtkegelgleichung
dv
du
= ±1
(ii) Kruskal-Diagramme
– r = const, u2 − v 2 = const
in (I) (r > R) u2 − v 2 > 0, ist fortsetzbar für r ≤ R
r = R ↔ u = v, für r < R u2 − v 2 < 0
57
(S)
– t = const Ã
v
u
= const
(S) ist Lösung der Feldgleichungen in allen vier Quadranten. (R) gilt für
alle Quadranten, (T) gilt für (I), (III):

¡ ct ¢
für r < R
 coth 2R
v
= 1
für
r=R
¡ ct ¢
u 
tanh 2R
für r > R
v ist zeitartig für die gesamte Mannigfaltigkeit. Kruskal-Metrik ist nicht
statisch, da r = r(u, v).
I Unser“Universum, II Schwarzes Loch, III Anderes“Universum, IV Weißes Loch
”
”
58
7
Gravitationskollaps
7.1
7.1.1
Sterngleichgewicht
Elementare/Newtonsche Version
(i) Gleichgewichtsbedingung
F~Grav = F~Binnendruck
Massenelement
2
∆m = ρr dr dΩ;
GM (r)
∆F~G = −
∆m, M (r) = 4π
r2
Zr
ρ(r0 )r02 dr0
0
muss kompensiert werden durch Binnenkraft
∆F~Binnendruck = −dP r2 dΩ
à dP = −
GM (r)
ρ(r)dr
r2
(ii) Abschätzung von Größenordnungen (ohne exakte Rechnungen)
homogene mittlere Dichte ρ = const
M (r) = ρ
4π 3
r
3
Gleichgewicht: P (R) = 0, P̄ =
à P = P̄ −
2π 2 2
Gρ r
3
2π
2 2
3 Gρ R
1R
P̄
=
,
ρc2
4R
59
P
R
=
ρc2
R
7.1.2
Sonne, Weiße Zwerge, Neutronensterne
(i) Hauptreihensterne, z.B. Sonne
ideales Gas
P · V = R T,
mit Boltzmann-Konstante k und v =
P v = kT
µ
ρ
mit der Atommasse ρ.
P
kT
= 2
2
ρc
µc
Energie wird geliefert durch Kernreaktionen: kT ∼ einige keV
Sonne µ = Protonenmasse ∼ 1 GeV /c2
kT
R
≈ 10−6 = .
µc2
R
(ii) Entartete Sterne
Pauli-Prinzip: Fermionen (Spin 12 -Objekte, z.B. Elektronen, Neutronen)
haben Widerstreben, den gleichen Quantenzustand anzunehmen. Aufgrund
des Unschärfeprinzips gilt
½ p2
F
pF · d ≈ ~, pF Fermi-Impuls à EF = 2mF (nichtrelativistisch)
pF c (relativistisch)
Übergang zwischen nichtrelativistischer und relativistischer Energie: p̄F =
mF · c
à d¯ =
~
= λF
mF c
(Compton-Wellenlänge des Fermions)
In der obigen Rechnungen wird nun kT durch die Fermi-Energie ersetzt
µ ¶n/3 ½
R
µm3F c3
P
EF
mF ρ
µ
n = 2 ρ < ρ̄
≈ 2 ≈ 2 ≈
mit ρ̄ = ¯3 =
n = 1 ρ > ρ̄
r
ρc
µc
µ
ρ̄
~3
d
|
{z
}
f (ρ)
GM
c3 f 3/2 (ρ)
³ ´1/3 = f (ρ) Ã M = M (ρ) ≈ G3/2 √ρ
M
c2 πρ
Chandrasekhar-Masse
MC = M (ρ̄) =
c3 1
√
G3/2 ρ̄
µ
mF
µ
¶3/2
−3/2
= µαG
,
αG =
µ2 G
∼ 10−38
~c
mit der Feinstrukturkonstanten αG ; MC ∼
= M¯ .
( ³ ´1/2
ρ
· MC für ρ < ρ̄
ρ̄
M (ρ) =
MC
für ρ > ρ̄
Radien
¶1/3
M
,
ρ
µ ¶1/3
ρ̄
1/6
R = RC q
,
ρ
µ
R≈
M (ρ) =
µ
RC =
p
q(ρ)MC ,
MC
ρ̄
60
¶1/3
q=
µ ¶n
ρ
, n = 0, 1
ρ̄
−3/2
, MC = µαG
−1/2
à RC ∼
= λF αG
– Weiße Zwerge
g
Fermi-Entartung der Elektronen: mF = mE , ρ̄ ≈ 3 · 107 cm
3
typische Radien
RW Z ∼
= 107 m
relativistische Effekte
R ∼ me ∼ −4
=
= 10
R
µ
genaue Theorie: Chandrasekhar 1934
obere Grenze für Weiße Zwerge: ∼ 1, 4 M¯ im Bereich 104
g
ρ < 108 cm
3
g
cm3
<
– Neutronensterne
Fermi-Entartung durch Neutronen, inverser β-Zerfall p+e− → n+νe
g
Neutronengas für ρ > 1013 cm
3
g
mF = mN = µ, ρ̄N = 1016 cm
3
typische Radien
−1/2 ∼
R = λC αG
= 103 m
relativistische Effekte
R∼
=1
R
1. Arbeit: Oppenheimer, Volkoff (1939)
obere Grenze für Neutronensterne bei 1, 5 − 3M¯
7.1.3
Relativistische Gleichgewichtsbedingung
(i) Schwarzschild-Innenraummetrik (Schwarzschild, 1916(2) )
Feldgleichungen
µ
¶
1
8πG
Rµν = −κ Tµν − gµν T = −κSµν , κ = 4
2
c
statische, sphärisch-symmetrische Massenverteilung
c2 dτ 2 = B(r)c2 dt2 − A(r)dr2 − r2 dΩ2
für r > R (Außenraum)
Tµν = 0, B = 1 −
R
2GM
, A = B −1 , R =
r
c2
für r < R Tµν 6= 0, B = ?, A = ?
Modell für Sterninneres: ideale Flüssigkeit
Tµν = P c2 gµν + (P + ρ)uµ uν
statisch: uµ = (u0 , 0, 0, 0)
→
g00 u0 u0 = gµν uµ uν = −c2 ,
|{z}
−B
61
u0 u0 = c2 B −1 , u0 u0 = −c2 B −1
26.01.2006
sphärisch-symmetrisch
P = P (r), ρ = ρ(r)
à nicht-verschwindende Komponenten von Sµν
S00 =
1
1
1
(ρ + 3P ) · Bc2 , S11 = (ρ − P ) · Ac2 , S22 = (ρ − P )r2 c2
2
2
2
Berechnung von A und B aus den Feldgleichungen:
µ
¶
B 00
B 0 A0
B0
B0
κ
(0) R00 = −
+
+
−
= − (ρ + 3P ) Bc2
2A 4A A
B
rA
2
µ
¶
B 00
B 0 A0
B0
A0
κ
−
+
−
= − (ρ − P ) Ac2
(1) R11 =
2B
4B A
B
rA
2
µ 0
¶
0
r
A
B
1
κ
(2) R22 = −1 −
−
+ = − (ρ − P ) r2 c2
2A A
B
A
2
– bilde Linearkombination B −1 · (0) + A−1 · (1)
µ 0
¶
1
B
A0
(3)
+
= κ(ρ + P )c2
rA B
A
– bilde Linearkombination (2) −
(4)
r2
2
· (3)
rA0
1
− 2 + = 1 − κρr2 c2
| A {z A}
d
r
dr ( A )
Lösung
·
¸−1
Zr
2GM (r)
mit M (r) = 4π ρ r02 dr0
A(r) = 1 −
rc2
0
Bestimmung von B(r) aus (3); setze B = eN , A = eM
(30 )
1 −M
e
(N 0 + M 0 ) = κc2 (ρ + P )
r
für Vakuumlösung N 0 + M 0 = 0 oder N + M = α = const,
Ansatz N = −M + α(r) eingesetzt in (30 )
α0 (r) = κc2 (ρ + P )rA
mit Lösung
Zr
dr0 (ρ + P ) r0 A(r0 )
α(r) = κc2
0
B = eN = e−M +α(r) = e−M eα(r)
B(r) = A−1 (r) exp (α(r))
62
Einbettungsdiagramm für vollständige Schwarzschild-Lösung
Schnitte bei t = const, θ =
π
2
ds2 = Adr2 + r2 dϕ2
ist die Metrik einer 2D-Geometrie; bette dies ein in 3D
¸
·
dz 2
dσ 2 = dz 2 + dr2 + r2 dϕ2 = 1 + 2 dr2 + r2 dϕ2
dr
| {z }
A
µ
1+
dz
dr
¶2
dz = ±(A − 1)1/2 dr
= A,
außen (r > R):
A=
µ
¶−1
R
1−
,
r
Lösung:
Z
z(r) = ±R1/2
dr
(r − R)1/2
√ √
z(r) = ±2 R r − R + z0
Flammsche Parabel
innen (r < R)
DGL für z ist nicht geschlossen lösbar. Spezialfall konstanter Dichte:
M (r) =
mit a2 :=
4π 3
ρr ,
3
3
κρc2
=
R3
R.
A−1 = 1 −
2GM (r)
κc2 2
r2
=
1
−
ρ
r
=:
1
−
rc2
3
a2
Lösung:
(a − z(r))2 + r2 = a2
63
Skizze der vollständigen Lösung
Grenzfall R = R
Kruskal:
(ii) Die TOV-Gleichung (Tolman (1934,1939), Oppenheimer, Volkoff)
|
{z
}
1939
µλ
Kurze Herleitung aus T;λ
=0
£
¤
µλ
T;λ
= P g µλ + (P + ρ)uµ uλ ;λ ,
uµ = (u0 , 0, 0, 0)
betrachte
1 λ
1λ
1λ
1 λ
T;λ
= P,λ g 1λ + P g;λ
+(P + ρ),λ u
| {zu } +(P + ρ)(u u );λ
| {z }
=0
=0
Nebenrechnung
¡
¢
(u1 uλ );λ = u1;λ uλ + u1 uλ;λ = u1,λ +Γ1λν uν uλ = Γ100 u0 u0
| {z }
|{z}
=0
0
½
P = P (r),
P,λ =
64
0
dP
dr
= P0
für λ 6= 1
für λ = 1
B0
1λ
0 = T;λ
= P 0 g 11 + (P + ρ)Γ100 u0 u0 = P 0 A−1 + (P + ρ) c2 B −1
2A
µ
¶
1
2GM
(r)
GM
(r)
dP
= − (P + ρ) c2 κP r +
· A = − 2 2 ρ(r) Γ(r)
dr
2
r2 c2
}
| r c{z
=( dP
dr )
Umstellen ergibt
³
P
ρ
1+
Γ(r) =
´³
1+
1−
4πr 3 P
M (r)
N ewton
´
2GM (r)
rc2
(iii) Stabilitätsbedingung für inkompressible Medien (ρ = const)
4π 3
ρr
3
M (r) =
GM (r)
κ
ρ 1
ρ = ρ2 r =
r,
2
2
r c
6
2 a2
eingesetzt in TOV-Gleichung
4πr3 P
P
=3 ,
M (r)
ρ
³
1+
ρ r
dP
=− 2
dr
2a
bzw.
P
ρ
, x=
Z
´³
1−
³ ´
d Pρ
³
´³
1 + Pρ
1+
Subsitution: z =
P
ρ
3P
ρ
2GM (r)
r2
= 2
2
rc
a
1 + 3 Pρ
´
r2
a2
´ =−
1 ar2 dr
2 1 − ar22
r
a
Z
dz
1
x dx
=−
(1 + z)(1 + 3z)
2
1 − x2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 + 3z ¯ 1 ¯ 1 − x2 ¯
1 ¯¯ 1 + 3z ¯¯ 1
2
¯
¯ = ln ¯
¯
ln ¯
ln
|1
−
x
|
+
const,
ln
=
¯ 1 + z ¯ 2 ¯ 1 − x̄2 ¯
2
1+z ¯ 4
mit der Integrationskonstanten x̄. Randbedingung:
¯
¯
P¯
r=R
¯
¯
= 0 ↔ z = 0 ↔ x̄2 = x2 ¯
r=R
=
(∗)
R2
R
=
a2
R
Auflösung von (∗) nach z:
(1 + 3z) (1 − x̄2 )1/2 = (1 + z) (1 − x2 )1/2
| {z }
| {z }
à z=
Λ − Λ̄
P
=
ρ
3Λ̄ − Λ
Λ
Λ̄
Druck im Mittelpunkt: r = 0 ↔ x = 0 ↔ Λ = 1
P ¯¯
1 − Λ̄
P0
= ¯
=
ρ
ρ r=0
3Λ̄ − 1
P0 ≥ 0 für 3Λ̄ ≥ 1 ↔ 1−x̄2 ≥
für
1
9
↔
R≤
65
R
R
= x̄2 ≤ 98 , d.h. keine stabilen Sterne
9
R
8
7.2
7.2.1
Zentraler Kollaps
Newtonscher Kollaps
R(t) sei Radius einer zentral kollabierenden Massenverteilung
R(0) = R0 , Ṙ(0) =
dR
=0
dt
Sternrand“
”
Energiesatz
mM G
m 2 mM G
=E=−
,
Ṙ −
2
R
R0
Ṙ2 = k
R0 − R
Rc2
, k=
R
R0
hat Lösung in Form einer Zykloide
R=
R0
(1 + cos ψ),
2
R0
t = √ (ψ + sin ψ)
2 k
µ
a2 =
πa
R0
,
T = t(ψ = π) = √ π =
2c
2 k
3
R3
= 0
2
κc ρ
R
¶
Kollapszeit
7.2.2
Relativistischer Kollaps
(i) Lösungsskizze
für t < 0 liege Schwarzschild-Stern vor mit Metrik
Innen
gµν
für r ≤ R0 , ρ = ρconst ;
Außen
gµν
für r > R0
für t = 0 ändert sich schlagartig die Zustandsgleichung; aus inkompressiblem Material wird frei fallender Staub“, P = 0
”
finde Lösung im Innenraum und passe sie an Außenraummetrik an
(ii) Vorbemerkung
Falls Lösung im Sinne von (i) existiert, muss für den Rand gelten
c2 dτ 2 = B(R)c2 dt2 −B −1 (R)dr2 −
2
dΩ}2
|R {z
=0
(zentraler Kollaps)
Es gilt die Erhaltungsgleichung
e2
dt2
= ṫ2 = 2 2
2
dτ
B c
66
µ ¶2 i
h
dr
= B(R)c2 −B −1 (R)
dt2
dt
| {z }
2
( dR
dt )
µ
¶2
dR
B 3 (R)c4
= B 2 (R) −
dt
e2
µ
¶
µ
¶
R
k
dR
2
4
4
4
= 0 für R = R0 → e = B(R0 )c = c 1 −
=c 1− 2
dt
R0
c
µ
¶2 µ
¶2 µ ¶2
dR
R0 − R
dR
dt
=
=k
dτ
dt
dτ
R
→ B(R)c2 − B −1 (R)
dR
dt
¶2
=
µ
B 2 (R)c4
,
e2
Formal identisches Ergebnis wie bei Newton, wenn man t durch τ ersetzt!
02.02.2006
(iii) Metrik für zentralen Kollaps von Staub (Oppenheimer, Snyder, 1939)
Ansatz für Metrik in Gauß-Koordinaten
c2 dτ 2 = c2 dt2 − U (r, t)dr2 − V (r, t)dΩ2
Gauß-Koordinaten haben die Eigenschaft uµ = (c, 0, 0, 0)
Tµν = (ρ + P )uµ uν + P c2 gµν
Staub: P = 0, zentraler Kollaps: ρ = ρ(t)
µ
¶
1
Rµν = −κ Tµν − gµν T
2
Lösung
·
c2 dτ 2 = c2 dt2 − F 2 (t)
dr2
+ r2 dΩ2
1 − Kr2
¸
Robertson-Walker-Metrik
Dabei ist K eine Integrationskonstante und F erfüllt die Bedingungen
(1)
(2)
3
3
Ḟ
+ ρ̇ = 0 ↔ ρF 3 = α = const
F
F̈
1
+ c4 κρ = 0
F
2
(3) F̈ F + 2Ḟ 2 −
vgl.
Ḟ 2 =
⇒ Ḟ 2 =
κc4 α 1
+ β, β = const
3 F
κ 4 2
c ρF = −2K → β = −K
2
κc4 α 1
+ β,
3 F
Ṙ2 =
R 2
c −k
R
dR
Ḟ = dF
dt mit t in Gauß-Koordinaten, Ṙ = dτ , wobei R interpretiert wird
über Koordinate r in Standardkoordinaten
3
3
R erfüllt ρR3 = const (ρR3 = M
V R = 4π M ); Konsequenz:
F (t) = λR(τ ),
Bestimmung von λ aus Anpassung von Innenraummetrik und Außenraummetrik
Oppenheimer/Snyder: explizite Koordinatentransformation Gauß ↔ Standardform am Rand
67
8
Die No-Hair“-Familie Schwarzer Löcher
”
kanonische“ Hyperflächen
”
(i) Einwegmembrane - Ereignishorizonte
Schwarzschild-Metrik
(ii) Grenzflächen der Stationarität
Schwarzschild-Metrik
keine stationären
Bewegungen
stationäre
Bewegungen
R
(iii) Flächen unendlicher Rotverschiebung
(iv) Killing-Horizonte
Flächen, an denen Killing-Vektoren K µ ihre Signatur ändern
Kµ K µ > 0
Kµ K µ < 0
Kµ K µ = 0
Schwarzschild-Metrik
µ
¶
R
E µ = (1, 0, 0, 0), Eµ E µ = gµν E µ E ν = −B = − 1 −
r
allgemeine Sätze (ohne Beweis), siehe Caroll, Kap. 6.1-6.3
– Ein Ereignishorizont ist ein Killing-Horizont für eine geeignete Linearkombination von Killing-Vektoren.
– Für asymptotisch flache Metriken mit üblichen“ Koordinaten (t, r, θ, ϕ)
”
ist der Ereignishorizont gegeben durch
dr ¯¯
g rr (rH ) = 0 ↔
¯ =0
dt rH
und die Grenzfläche der Stationarität gegeben durch
g00 (rS ) = 0.
¡ 2
ds = gµν dxµ dxν = g00 c2 dt2 + Rest (linear in dxi , i = 1, 2, 3);
statisch/stationär: dxi = 0, ds¢2 = g00 c2 dt2
Falls g00 (rS ) = 0, ist ds2 = 0.
68
Energie/Masse, Ladung, Drehimpuls: Komar-Integrale
Verallgemeinerung des Stokesschen Satzes
ν
Ladung: JQ
Z
¯
√
µ
, γ = det γµν = det gµν ¯Σ ,
Q=
γ nµ JQ
Σ
wobei nµ eine Normale zur Hyperfläche Σ ist.
Eµ = (−1, 0, 0, 0), Jµ = (0, 0, 0, −1)
ν
Energie/Masse JM
= Eµ Rµν
ν
Drehimpuls JD = Jµ Rµν
à Kerr-Newman-Familie:
Metrik in Boyer-Lindqvist-Form (t, r, θ, ϕ)
c2 dτ 2 = B̂c2 dt2 − Adr2 − Γdϕ2 + 2F cdt dϕ − Σdθ2
mit
B̂ = 1 −
2M Gr − c2 q 2
Σ
a2
2M Gr a2
, A = , Σ = r2 + 2 cos2 θ, ∆ = r2 −
+ 2 + q2 ,
2
c Σ
∆
c
c2
c
µ
¶
a2
2M Gra2 sin2 θ
2M Gra
Γ = r2 + 2 +
sin2 θ, F =
sin2 θ.
c
c4 Σ
c3 Σ
Das Schwarze Loch ist gekennzeichnet durch drei Parameter:
∧
• M = Masse
∧
• q = Ladung
∧
• a = Drehimpuls/Masse
Spezialfälle:
• q = 0, a = 0
Schwarzschild-Geometrie, kugelsymmetrische Lösungen von Rµν = 0
• q = 0, a 6= 0
Kerr-Geometrie, zylindersymmetrische Lösungen von Rµν = 0
• q 6= 0, a = 0
Reissner/Nordström-Metrik, kugelsymmetrische Lösungen von
1
EM
Rµν − gµν R = Tµν , Tµν = Tµν
2
9
Rotierende Schwarze Löcher
a 6= 0, q = 0
69
9.1
Kerr-Metrik
alternative Form der Boyer-Lindqvist-Koordinaten (1+3-Form, Lapse/Shift)
ds2 = −α2 c2 dt2 + R2 (dϕ − ωdt)2 +
Σ 2
dr + Σdθ2
∆
α, R, ω, Σ, ∆ sind Funktionen von (r, θ)
¶
µ
2M Gra
2M Gra2 sin2 θ
∆
a2
2
2
,
R
+
sin2 θ
α2 = 2 , ω = 2
=
r
+
R
c ΣR2
c2
c4 Σ
vgl. mit obiger Form: B̂ = − c12 R2 ω 2 + α2 , F = 1c R2 ω
9.1.1
Grundlegende Eigenschaften
(a) Zwei Parameter: M (Masse), a =
J
M
(Drehimpuls/Masse)
(b) gµν sind unabhängig von (t, ϕ)
Kerr-Geometrie ist stationär, aber nicht statisch (nicht invariant unter
Ersetzung t → −t)
(c) Invarianz unter t → −t, ϕ → −ϕ und unter t → −t, a → −a
à Hinweis, dass a eine Drehrichtung spezifiziert.
(d) r ist nicht die übliche Radialkoordinate
r2 6= x2 + y 2 + z 2
für M → 0 muss Minkowski-Metrik erscheinen
µ
¶
µ
¶
a2
2
2
a2
a2
2
2
2 2 r + c2 cos θ
2
2
2
2
2
ds = −c dt +
dr + r + 2 sin θdϕ + r + 2 cos θ dθ2
2
c
c
r2 + ac2
!
= −c2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2
à x = (r2 + a2 )1/2 sin θ cos ϕ,
y = (r2 + a2 )1/2 sin θ sin ϕ,
z = r cos θ
sphäroide/ellipsoide Koordinaten
x2 + y 2 + z 2 = r2 + a2 sin2 θ
(e) Kerr-Metrik für r À
MG
c2
Entwicklung der gµν , vernachlässige Terme O
³¡
¢
MG 2
rc2
´
¶
µ
4M Ga
2M G
à ds2 = −B(r)c2 dt2 +B −1 dr2 +r2 dΩ2 −
sin2 θdϕdt
B(r) = 1 −
2
rc2
| rc
{z
}
Abweichung von
Schwarzschild.
Abweichung von Schwarzschild-Metrik: Thirring-Lense-Effekt (1919)
Wird getestet von Gravity-Probe B.
9.1.2
Singularitäten und ausgezeichnete Hyperflächen
70
(a) Boyer-Lindqvist-Metrik ist singulär für
– ∆ = 0 (Koordinatensingularität)
– Σ = 0 (Krümmungssingularität)
– θ = π ↔ R2 = 0 ↔ |g| = 0 (Koordinatensingularität)
R = Rµν Rµν = . . . , Rµνλρ Rµνλρ = . . . etc. sind singulär für Σ = 0 !
Σ = r2 + a2 cos2 θ = 0 für cos θ = 0 (Äquatorialebene) und für r2 = 0
x2 + y 2 = (r2 + a2 ) sin2 θ = a2
Kreis in x-y-Ebene, d.h. Singularität ist unendlich dünner Ring in x-yEbene mit Radius a.
(b) Ereignishorizonte
µ
¶
∆
rr
g (rH ) = 0 ↔ ∆(rH ) = 0 ↔ α = 0
g =−
Σ
r
MG
M 2 G2
a2
2M GrH !
a2
2
= 0 → rH = 2 ±
= rH
+ 2 −
− 2
2
4
c
c
c
c
c
rr
¯
¯
∆¯
rH
2
– für kleine
+
rH
=
ac
MG :
µ³
¶
ac ´2
2M G
+
O
,
c2
MG
−
rH
=
µ³
¶
1 a2 c2
ac ´4
+
O
2 M 2 G2
MG
+
−
– für ac = M G ( extreme Kerr“) rH
= rH
= Mc2G
”
– für ac > M G kein Horizont, d.h. nackte Singularität
R. Penrose cosmic censorship“: Beim Kollaps können keine nackten
”
Singularitäten auftreten.
Astrophysikalische Simulationen zeigen, dass der Fall ac = Jc
M > MG
instabil ist.
Thermodynamik: T = 0 nicht erreichbar ↔ ac = M G nicht erreichbar
09.02.2006
Kerr-Metrik (t, r, θ, ϕ):

−B̂
 0
(gµν ) = 
0
−F
0 0
A 0
0 Σ
0 0

−F
0 

0
2
R
2M Gr
sin2 θ
a2
2
cos
θ,
B̂
=
1
−
,
F
=
2M
Gra
c2
c2 Σ
c3 Σ
·
2 ¸
2
2
a
2M Gra sin θ
Σ
2M Gr a2
2
2
R2 = r 2 + 2 +
sin
θ,
A
=
,
∆
=
r
−
+ 2
c
Σc4
∆
c2
c
Σ = r2 +
ds2 = −α2 c2 dt2 + R2 (dϕ − ωdt)2 + Adr2 + Σdθ2
71
(c) Grenzflächen der Stationarität
gtt (rS ) = 0,
2M GrS
2M GrS
a2
¯
=0
= 0 ↔ rS2 + 2 cos2 θ −
2
¯
c
c2
c Σr
1−
S
r
MG
= 2 ±
c
rS±
M 2 G2
a2
− 2 cos2 θ
4
c
c
an den Polen (θ = 0, cos θ = 1)
am Äquator: rS+ =
9.1.3
r
MG
= 2 ±
c
rS±
2M G
c2 ,
M 2 G2
a2
±
− 2 = rH
4
c
c
rS− = 0
Killing-Vektoren und Erhaltungsgrößen
Metrik hängt nicht von t und ϕ ab à Existenz von Killing-Vektoren
E µ = (1, 0, 0, 0),
J µ = (0, 0, 0, 1)
erhaltene Größen
A = gµν E µ ẋν = g0ν ẋν = −B̂cṫ − F ϕ̇
|
{z
}
−e
β = gµν J µ ẋν = g3ν ẋν = −F cṫ + R2 ϕ̇
|
{z
}

Schwarzschild:
µ
¶
R
B =1−
r
Bcṫ = e, r2 ϕ̇ = j
9.1.4
Frame Dragging“ und ZAMO’s
”
(i) Betrachte Licht (dτ = 0), das sich anfänglich bei festem r (dr = 0) in der
Äquatorialebene in ϕ-Richtung bewegt.
ds2 = 0 = gtt c2 dt2 + 2gtϕ c dt dϕ + gϕϕ dϕ2
d.h. quadratische Gleichung für
µ
dϕ
dt
¶±
gtϕ c
=−
±
gϕϕ
gtϕ = − 1c R2 ω, gϕϕ = R2 , gtt =
µ
dϕ
dt
¶±
für r = rS = rS+ =
dϕ
dt
"µ
gtϕ c
gϕϕ
1
2 2
c2 R ω
µ
¶2
−
gtt c2
gϕϕ
¶#1/2
− α2
¸1/2
·
c √
R2 ω 2 − α2 c2
=ω± 2 ∆
= ω ± ω2 −
2
R
R
2M G
c2
(in der Äquatorialebene)
µ
gtt (rS ) = 0
Ã
dϕ
dt
½
¶±
=
S
72
0 ¯
2ω ¯rS =
ac4
2M 2 G2 +a2 c2
+
für r = rH = rH
gilt ∆(rS ) = 0
µ ¶± ¯
¯
dϕ
ac2
ac2
¯
¯
= 2 2
¯ = ω¯ =
dt
2M GrH
c rH + a2
H
H
|{z}
=Ω
(ii) Freier Fall ( = 0)
F =
1 2
R ω,
c
 = R2 ϕ̇ − F cṫ = R2 (ϕ̇ − ω ṫ) = 0
dϕ
= ω(r)
dt
ω(r) heißt Frame-Dragging-Frequenz.
ϕ̇ = ω ṫ,
(iii) ZAMO
ZAMO: Zero Angular Momentum Observer“ oder Bardeen-Beobachter
”
(Bardeen, 1970), Ring Rider“ (Wheeler)
”
ausgezeichneter Beobachter für rotierende Löcher
Beobachter für festen Radius R, für den gilt
c2 dτ 2 = c2 dt2R − R2 dϕ2R
à dϕR = dϕ − ωdt, dtR = α dt
für tangentiales Licht
dϕ
c √
= ω± 2 ∆,
dt
R
√
dϕR
dϕ − ωdt
1 dϕ ω
c
c
=
=
− =±
∆=±
2
R
dtR
α dt
α dt α
α
R
|{z}
√
=
dϕR
c
=± ,
dtR
R
9.2
9.2.1
R
∆
R
dϕR
= ±c
dtR
Geodäten in der Kerr-Geometrie
Erste Integrale der Geodätengleichung
Symmetrien liefern erste Integrale für
e = B̂cṫ + F ϕ̇,
à ṫ =
½
gµν ẋµ ẋν =
−c2
0
dt
dλ
und
dϕ
dλ
 = −F cṫ + R2 ϕ̇
R2 e − F 
R2 B̂c + F 2 c
für massive Objekte
für masselose Objekte
½
B̂c2 ṫ2 − Aṙ2 − Γϕ̇2 + 2F cṫϕ̇ − Σθ̇2 =
c2 = µ
0
Es existiert eine weitere Erhaltungsgröße, die Carter-Konstante C
⇒ ṙ2 + V (r, , e, C) = e2 − µ,
73
V (r) = −
g
h2
f2
µ+ 2 − 3
r
r
r
mit Konstanten f 2 , g, h2 .
qualitativer Verlauf:
9.2.2
Bewegungen in der Äquatorialebene
Metrik
a2
2M Gr
a2
2M Ga2
2M Ga
2
2
−
,
R
=
r
+
+
, F =
c2
c2
c2
rc4
rc3
³
´−1
2M G
2M G
a2
B̂ = 1 −
=
B
,
A
=
1
−
+
Schwarzschild
2 2
rc2
rc2
|r{zc }
Σ = r2 , ∆ = r2 +
Abweichung
von Schwarzschild
µ
¶
2M G
1
a2 2
2M G ³
a ´2
2
V (r) = −
µ
+

−
(e
−
µ)
−

−
e
rc2
r2
c2
r3 c2
c
9.2.3
Spezielle Geodäten
(i) Freier Fall ( = 0)
Geschwindigkeit Null im Unendlichen, e = c
ṫ =
R2
R2 B̂ + F 2
(ii) Kreisbahnen
,
ϕ̇ =
Fc
F 2 + R2 B̂
,
ṙ2 −
2M G 2M Ga2
−
=0
r
r3 c2
V (rK ) = e2 − c2 , V 0 (rK ) = 0
√
√
2
Gr
M Gr(r2 ∓ 2 a M
+ ac2 )
±
c2
 =± q
√
Gr
r r2 − 3 McGr
± 2a M
2
c2
(+) prograde Bewegungen: Kreisorbits mit Drehung in Richtung der Drehrichtung des Schwarzen Loches
(−) retrograde Bewegungen: entgegengesetzte Drehrichtung
für a → 0 (Schwarzschild): + → j ← −−
√
Rr2 c2
M Gr r2
M Gr3
j= q
=
, j2 = 2
2r − 3R
r − 3 McGr
2
r r2 − 3 McGr
2
Kreisbahnen nur für 2r − 3R > 0, d.h.
r>
74
3
R
2
µ
¶
2M G
R=
c2
allgemein: Kreisbahnen nur für
√
M Gr
a M Gr
r −3 2 ±2
≥0
c
c2
2
Lösung:
r > rph =
2M G
c2
½
µ
1 + cos
³ ac ´
2
arccos ∓
3
MG
¶¾
Der Photonenradius rph nimmt die Werte an
½ MG
3M G
MG
c2
rph =
für
a
=
0,
r
=
ph
4M G für a =
c2
c
2
c
Stabilitätsbedingung
¯
d2 V
¯
>
0
¯
dr2
Bahn
liefert eine Bedingung an stabile Orbits:
rms
|{z}
marginally stable
=
rISCO
| {z }
=
M G ³ ac ´
f±
c2
MG
innermost stable circular orbit
mit einer sehr komplizierten Funktion f± . Für den Schwarzschild-Fall a =
G
0 ist f (0) = 6 und damit rISCO = 6M
= 3R (s.o.), für den Fall des
c2
Extreme Kerr“-Loches ergibt sich
”
n
1
f± (1) =
.
9
16.02.2006
9.3
9.3.1
Penroses Prozess, Christodoulos Irreduzible Masse,
Hawkings Flächentheorem
Energiegewinnung aus der Ergoregion
(i) Idee
(ii) Negative Energie
Ring Rider“
”
75
e = B̂cṫ + F ϕ̇ < 0,
´
dtR
ω
B̂c
+ F dϕR + dtR < 0,
α
α
³
B̂cdt + F dϕ < 0
´
1³
B̂c + ωF dtR + F dϕR < 0
α | {z }
=cα2
q
dϕR
αc
<− ,
dtR
F
9.3.2
T
=R
vR
dϕR
<−
dtR
rc4
r2 −
2M Gr
c2
+
a2
c2
2M Ga
Energieausbeute und irreduzible Masse
(i) Killing-Vektoren
E µ = (1, 0, 0, 0),
e = −E µ ẋµ ,
 = J µ ẋµ ,
J µ = (0, 0, 0, 1)
E µ Eµ = gµν E µ E ν = g00 = −B̂, E µ Eµ < 0 für r → ∞
E µ ist zeitartig, uµ ist zeitartig
E µ uµ < 0 im Unendlichen, daher wurde das Vorzeichen der Energie als
−Eµ ẋµ gewählt (positiv im Unendlichen).
In der Ergoregion ist E µ raumartig und
e = −Eµ ẋµ
kann negativ sein. Energie E = mce und Drehimpuls J = m lassen sich
schreiben als
E = −E µ cpµ , J = J µ pµ
76
Es gilt Impulserhaltung und damit auch Energieerhaltung (multipliziere
mit Eµ c):
pµ = pµ(1) + pµ(2) ; E = E(1) + E(2)
Falls E(2) < 0, so ist E(1) > E !
Bedingung, dass Objekt 2 hinter den Horizont gelangt
pµ(2) χµ < 0,
(∗)
wobei χµ den Ereignishorizont kennzeichnet. Es muss gelten χµ χµ = 0
Ansatz: χµ = E µ c + ΩJ µ
!
χµ χµ = gµν (E µ c + ΩJ µ )(E ν c + ΩJ ν ) = gtt c2 + 2Ωcgtϕ + Ω2 gϕϕ = 0 für rH
r
¯
M 2 G2
MG
a2
ac2
¯
,
r
=
±
−
Ω = ω¯ = 2 2
H
c rH + a2
c2
c4
c2
rH
(∗) :
pµ(2) (Eµ c + ΩJµ ) < 0,
−E(2) + ΩJ(2) < 0,
J(2) <
E(2)
Ω
ist die zu erfüllende Bedingung.
Änderung von Masse und Drehimpuls des Schwarzen Loches
M 0 = M + δM, J 0 = J + δJ,
δM c2 = E(2) < 0, δJ = J(2) < 0
(ii) Irreduzible Masse (Christodoulo 1971)
2
= M̂ 2 :=
Mirr
c2 2 2
c2
c4 a
(c rH + a2 ) =
M rH =
2
4G
2G
4G2 Ω
M̂ hängt von M und J ab
δ M̂ =
∂ M̂
∂ M̂
δM +
δJ ≥ 0
∂M
∂J
explizit:
δ M̂ = √
M̂ G
2
M G2 − a2 c2
·
¸
ΩδJ
δM − 2
c
|
{z
}
≥0 wegen ΩJ(2) <E(2)
77
(iii) Energiegewinn
Schwarzes Loch mit Anfangswerten M0 , J0
s
r
c
M02 G
M04 G2
J02
∆M = M0 − M̂ (M0 , J0 ) = M0 − √
+
−
c2
c4
c2
2G


v
s
u
u
2
2
c
a 
G
G

= M0 1 − √ t 2 +
− 2 2
4
c
c
M
2G
0c
∆M maximal für extremes“ Schwarzes Loch (ac = M0 G)
”
∆M ¯¯
1
∆M
= 1 − √ ≈ 0, 29,
≤ 0, 29
¯
M0 ac=M0 G
M0
2
9.3.3
Hawkings Flächentheorem
(i) Formulierung
Für Fußgänger:
Die Oberfläche Schwarzer Löcher kann nicht abnehmen.
etwas ausführlicher: falls
1. die Raumzeit asymptotisch flach ist,
2. die schwache Energiebedingung gilt, (für ideale Flüssigkeiten: ρ ≥
0, ρ + p ≥ 0)
3. nackte Singularitäten nicht existieren.
sehr ausführlich: . . . (differentialgeometrische Version)
(ii) Fläche des Ereignishorizontes
Schwarzschild:
A = 4πR2 =
Kerr?
rH
Z
A=
√
γ dθ dϕ,
MG
= 2 ±
c
16πG2 2
M
c4
r
M 2 G2
a2
−
, A =?
c4
c2
¯
mit ds2 = gij ¯r dxi dxj , (i, j) = (θ, ϕ)
| {z H}
γ = det γij
=γij
2
2
2
¯
γ = ΣR ¯
2¯
2
ds = Σ(rH )dθ + R (rH )dϕ ;
µ
2
à A = 4π rH
+
2
a
c2
¶
= 8π
rH
¶2
µ
a2
2
sin2 θ
= . . . = rH + 2
c
M GrH
M̂ 2 G2
=
16π
c2
c4
Wegen δ M̂ ≥ 0 gilt dann δA ≥ 0 und
δ(M 2 G2 − a2 c2 ) ≥ 0,
d.h. ac > M G unmöglich.
78
Das Kapitel Schwarze Löcher und Astrophysik“ muss aus Zeitgründen entfal”
len. Literaturverweise:
1. Begelman, Rees Schwarze Löcher im Kosmos“, 1996
”
2. Celotti et al., arXiv astro-ph/ 9912186
3. M. Rees in The Future of Theoretical Physics and Cosmology“, 200312
”
(Hrsg. Gibbons)
4. J. Bekenstein, arXiv astro-ph/ 0407560
10
Thermodynamik Schwarzer Löcher
10.1
Thermodynamik Schwarzer Löcher
10.1.1 Schwarze Löcher und Thermodynamik: Probleme
Definition von Temperatur? Entropie eines Schwarzen Loches? Hauptsätze?
10.1.2
Quantenmechanischer Ursprung der Entropie
Dimensionsbetrachtung:
J
J
S hat Dimension K
, Maß kB = 1, 38 · 10−23 K
Falls S proportional zur Fläche ist
S = σ̂kB
10.1.3
A
,
lp2
S = σkB A, [σ] = L−2
r
G~
lp =
Planck-Länge; σ̂ dimensionslos
c3
Schwarzes Loch als thermodynamische Machine
(i) Gedankenexperiment
(1) Fülle im Unendlichen einen Kasten mit thermodynamischer Strahlung und lasse ihn langsam zum Ereignishorizont runter
(2) Kippe im Horizont die Strahlung ins Loch
(3) Ziehe den Kasten langsam in die Ausgangsposition zurück
79
Gerochs Energiebilanz:
zentrales Herablassen
ṙ2 −
Rc2
= e2 − c2 ,
r
µ
¶1/2
R
E(r) = mc e = mc2 1 −
r
(1) Energiegewinn δW1 = mc2
(2) nach Auskippen haben wir Masse m − mT
(3) zu leistende Arbeit δW2 = −(m − mT )c2
Zusammen: δW1 + δW2 = mT c2 , Maschine hat Wirkungsgrad 1.
(ii) Bekensteins Energiebilanz
Kasten hat Kantenlänge d, Kastenmitte kommt nur bis d2 an den Horizont
heran.
Ã
!1/2
µ
¶
d
d
R
2
∼
E R+
= mc 1 −
= mc2
d
2
4R
R+ 2
Analog ergibt sich dann
µ
¶
d
δW = δW1 + δW2 = mT c 1 −
,
4R
2
Wirkungsgrad η = 1 −
d
4R
(iii) Temperatur“ eines Schwarzen Loches
”
Schwarzkörperstrahlung à Wellenlänge der Strahlung mit Temperatur T
ist typischerweise
~c
λT =
kT
betrachte d ∼
= λT , d = t̂λT mit dimensionslosem Faktor t̂:
d
1 c2 ~c
TBH
= t̂
=:
,
4R
4 2GM kT
T
Hawking: t̂ =
10.1.4
TBH
~c3 1
, TBH = t̂
T
8kB G M
µ
¶
1
→ σ̂ =
4
η =1−
1
.
π
Hauptsätze
0. Hauptsatz
(WL) Temperatur auf einem Körper im Gleichgewicht ist konstant.
(SL) Die Oberflächengravitation am Ereignishorizont ist konstant.
1. Hauptsatz
(WL) ∆U = ∆Q − ∆W
dS =
dQ
,
T
µ
dU = T dS − dW
(dW = p dV ),
∂U
∂S
¶
(SL) dM = T dS − ΩdJ
2. Hauptsatz: Hawking-Flächentheorem
3. Hauptsatz: Man kann ein Schwarzes Loch nicht anhalten.
-END80
=T
W