Lösung Blatt 5 - Luchsinger Mathematics AG

Übungsblatt 5 zur Vorlesung Einführung in die Statistik
Seite 1 von 4
Übungsblatt 5 zur Vorlesung Einführung in die
Statistik
Olivier Warin
31. Oktober 2012
Aufgabe 32 [Bivariate Verteilung]
a)
X
und
Y
seien unabhängig von einander und beide
Verteilungsfunktion von
X
und
Y.
N (0, 1)-verteilt. FX,Y
sei die gemeinsame
Nun gilt:
Def
q
FX,Y (0, 0) = P [X 6 0, Y 6 0] = P [X 6 0]P [Y 6 0] = 1/2 · 1/2 = 1/4.
2.5
b) Sei jetzt
X
wieder
N (0, 1)-verteilt.
Weiter sei
Y
deniert durch
Y (ω) = −X(ω) ∀ω ∈ Ω.
Nun gilt:
Def
FX,Y (0, 0) = P [X 6 0, Y 6 0] = P [X 6 0, −X 6 0] = P [X 6 0, X > 0] = P [X = 0] = 0.
2.5
Aufgabe 33 [Bivariate Verteilung, Unabhängigkeit]
(Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X , Y
Y (ω) = 25 ∀ω ∈ Ω.
a) Es sei
X
und
Y
haben klar dieselbe Verteilung (da
X =Y)
zwei Zufallsgrössen, deniert durch
X(ω) =
und es gilt:
P [X + Y = 5] = P [Ω] = 1.
b) Seien
X, Y
zwei Zufallsgrössen auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum. Es gelte
P [X = a] = P [Y = b] = 1
für zwei reelle Zahlen
X
Behauptung:
Beweis: Seien
Falls
a 6∈ A
a, b.
und
Y
sind unabhängig.
A, B ∈ B(R).
gilt:
P [X ∈ A, Y ∈ B] 6 P [X ∈ A] 6 P [X 6= a] = 1 − P [X = a] = 0,
also gilt in diesem Fall
P [X ∈ A, Y ∈ B] = 0.
Analog folgt, dass falls
b 6∈ B
gilt:
P [X ∈ A, Y ∈
B] = 0.
Falls a ∈ A und b ∈ B folgt: P [X ∈ A] > P [X = a] = 1,
P [Y ∈ B] = 1. Folglich gilt
also
und damit
oder
Y ∈ B] > 1
1.2 a)
=1
P [X ∈ A, Y ∈ B] = 1.
®
Wir schliessen:
P [X ∈ A, Y ∈ B] =
Weiter gilt:
falls
1,
0,
P [X ∈ A, Y ∈ B] = P [X ∈ A]P [Y ∈ B],
Herbstsemester 2012
a∈A
sonst.
1,
0,
®
P [X ∈ A]P [Y ∈ B] =
Es folgt:
und analog
Def
Lem
P [X ∈ A, Y ∈ B] = P [X ∈ A] + P [Y ∈ B] −P [X ∈ A
1.3 e) |
{z } | {z }
=1
P [X ∈ A] = 1
und
a∈A
sonst.
falls
d.h.
Olivier Warin
X
und
Y
b∈B
und
b∈B
sind unabhängig.
Seite 1 von 4
Übungsblatt 5 zur Vorlesung Einführung in die Statistik
Seite 2 von 4
Aufgabe 34 [Transformation von Zufallsgrössen]
X
sei eine standardnormalverteilte Zufallsgrösse, d.h.
Z
1
F (x) = √
2π
X
x
e−
hat als Verteilungsfunktion
t2/2
dt (x ∈ R).
−∞
Wir wollen nun eine Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen
zuerst die Verteilungsfunktion (=:
G)
X
von
2
X2
bestimmen. Dazu bestimmen wir
:
Def
G(a) = P [X 2 6 a].
2.2
Falls
a<0
folgt sofort:
G(a)
G(a) = 0
a>0
folgt:
Z √a
1
t2
P [− a 6 X 6 a] = √
e− /2 dt
√
2π − a
Z a −x
Z a −x
e 2
1
e 2
2
√
√ dx = √
√ dx.
x
2π 0 2 x
2π 0
√
=
x = t2
=
Nun denieren wir
und falls
g:R→R
√
=
trie
2
√
2π
Z
a
t2/2
e−
dt
0
durch

−x
 √1 e√ 2 ,
g(x) =
2π x

0,
Nach Obigem gilt nun
√
Symme-
G(a) =
Ra
−∞
g(x)dx,
also ist
g
falls
x>0
falls
x 6 0.
eine Wahrscheinlichkeitsdichte von
X 2.
Aufgabe 35 [max von Uniform]
X1 , . . . , Xn
seien iid
U [0, 1]-Zufallsgrössen.
M . Nun gilt:
M := max{X1 , . . . , Xn }.
Wir denieren
Sei weiter
FM
die
Verteilungsfunktion von


0,
Def
q
FM (a) = P [M 6 a] = P [X1 6 a, . . . , Xn 6 a] = P [X1 6 a] · · · P [Xn 6 a] = an ,
2.2


1,
Wir schliessen: Eine Dichte
fM
von
M
fM (x) =
FM (a) =
Ra
−∞
falls
falls
a<0
06a61
a > 1.
lautet:
®
denn nach Obigem gilt:
falls
nxn−1 ,
0,
06x61
sonst,
falls
fM (x)dx.
Aufgabe 36 [Stetige Zufallsgrösse, Integralrechnung]
Sei
c∈R
so dass
f : R → R,
deniert durch
®
f (x) :=
Y
eine Dichtefunktion einer Zufallsgrösse
a) Es muss also gelten:
Z
∞
x>0
sonst
Z
∞
f (x)dx = c
−∞
0
(x + 2)−2 dx =
c
.
2
c = 2.
Hier eine Skizze des Graphen von
Herbstsemester 2012
falls
ist.
1 =
Wir schliessen:
c(x + 2)−2 ,
0,
f:
Olivier Warin
Seite 2 von 4
Übungsblatt 5 zur Vorlesung Einführung in die Statistik
b) Es sei
F
f.
die Verteilungsfunktion von
Z
Def
a∈R
Z
−∞
mit
0
a60
m
der Median von
Y.
a ∈ R, a > 0):
1
c
a
c
a)
dx = −
=
.
(x + 2)2
2 a+2
a+2
F (a) = 0. Wir erhalten also
®
0,
falls a 6 0
F (a) =
a
a+2 , falls a > 0.
klar:
Hier noch eine Skizze vom Graphen von
c) Sei
a
f (x)dx = c
2.4
Weiter gilt für
Nun gilt (für
a
F (a) =
Seite 3 von 4
F:
Es gilt also
1/2
= P [Y 6 m] = F (m) =
m
⇒ m = 2.
m+2
Aufgabe 37 [Summe von Zufallsgrössen]
a) Seien
X
und
Y
iid Zufallsgrössen, welche auf den natürlichen Zahlen
verteilt sind (d.h.
{1, . . . , n}, n > 2
uniform
P [X = i] = 1/n; 1 6 i 6 n).
Behauptung: Falls
n > 1, ist X +Y
Beweis: Wir nehmen an, dass
n>1
auf den natürlichen Zahlen
gilt. Wäre nun
X +Y
{2, . . . , 2n} nicht
uniform verteilt.
auf den natürlichen Zahlen
{2, . . . , 2n}
uniform verteilt, müsste gelten:
P [X + Y = i] =
1
,
2n − 1
für alle
i = 2, . . . , 2n.
Nun gilt:
iid
P [X + Y = 2] = P [X = 1, Y = 1] = P [X = 1]P [X = 1] =
1
.
n2
Wir schliessen:
n2 = 2n − 1 ⇒ 1 = n > 1.
Was natürlich ein Widerspruch ist. Dies bedeutet:
Bemerkung: Für
b) Seien
X
und
Y
Behauptung:
Herbstsemester 2012
iid
n=1
ist
X +Y
X +Y
ist nicht uniform verteilt.
trivialerweise uniform verteilt.
U [0, 1]-Zufallsgrössen.
X +Y
ist keine
U [0, 2]-Zufallsgrösse.
Olivier Warin
Seite 3 von 4
Übungsblatt 5 zur Vorlesung Einführung in die Statistik
Seite 4 von 4
Beweis: Es gilt:
1/16
Lem
iid
= P [X 6 1/4]P [Y 6 1/4] = P [X 6 1/4, Y 6 1/4] > P [X + Y 6 1/4].
1.3 d)
U [0, 2]-Zufallsgrösse müsste gelten: P [X + Y 6 1/4] = 1/8. Wir haben aber
gerade gezeigt, dass gilt P [X + Y 6 1/4] 6 1/16 < 1/8, folglich kann X + Y keine U [0, 2]-Zufallsgrösse
Wäre nun
X +Y
eine
sein.
Aufgabe 38 [Cauchy-Verteilung]
Ein Stück eines radioaktiven Stoes wirft Partikel in zufällige Richtungen aus, wobei keine Richtung
d Metern gegenüber einer unendlich ausgedehnten
X eines auf der Platte auftreenden
Φ : Ω → R der Winkel, wie in der folgenden Skizze (der
bevorzugt wird. Das Stück wird in einer Entfernung von
photographischen Platte aufgestellt. Die waagrechte Koordinate
Partikels ist dann eine Zufallsgrösse. Sei weiter
Draufsicht) angedeutet:
Da die Platte nur für
X
Φ ∈ (−π/2, π/2)
trit, nehmen wir gleich an, dass dies immer der Fall ist (Sonst ist
Ω entsprechend. Aus Symmetriegründen, können wir also
Φ ∼ U [−π/2, π/2].
Trigonometrie liefert: X = d tan(Φ). Es folgt (mit arctan : R → (−π/2, π/2)):
gar nicht deniert). Genauer verkleinern wir
annehmen, dass gilt
Ein wenig
FX (a)
=
=
P [X 6 a] = P [d tan(Φ) 6 a] = P [Φ 6 arctan(a/d)] =
Z a
d
dx.
2 + d2 )
π(x
−∞
Also lautet eine Dichte
Herbstsemester 2012
fX
von
X,
wie folgt:
fX (x) =
arctan(a/d) + π/2
π
d
π(x2 +d2 ) .
Olivier Warin
Seite 4 von 4