FEL Theorie – Linearer Bereich

Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL Theorie – Linearer Bereich
Im folgenden soll nun der Bereich hoher Verstärkung (high Gain)
und später der Bereich der Sättigung betrachtet werden.
Beschreibung im Rahmen des Hamilton Formalismus
Felder in complexer Schreibweise
Undulator:
Laser:
Bx + iBy = Bu e−iku z
z
Ex + iEy = ẼL (z) exp iω( − t)
c
Hamilton Funktion
h
i1/2
~⊥ + A
~ u )2 + m 2 c 4
H(pz , z, t) = (pz c + eAz )2 + e2 (A
− eΦ
Z
~ u = −~ez × H~u dz Vectorpotential des Undulator
A
Verallgemeinerter Hamilton Formalismus
t ist kanonisch conjugiert zu p0 = −H
→ kanonische Koordinaten (p0 , pz ), (t, z)
Röntgenphysik
184
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Hamilton Formalismus
Transformation in ein angepasstes Koordinatensystem
(P0 , P), (z, ψ) mit
T
H
=
P = −p0 /ω =
ω
ω
p0
ω
P0 = pz +
ku +
ω
c
z
ψ = ku z + ω( − t)
c
Damit hat die Hamilton Funktion die folgende Form
H̃(P, ψ, z)
=
−P0
ω
H̃(P, ψ, z)
=
(ku + )P − pz (P, z, ψ)
c
i1/2
ω
1h
~⊥ + A
~ u )2 − m 2 c 4
= (ku + )P+ eAz /c − (Pω + eφ)2 − e2 (A
c
c
Röntgenphysik
185
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Eichtransformation
mit den kanonischen Bewegungsgleichungen
dψ
∂ H̃
dP
∂ H̃
=
und
=−
dz
∂P
dz
∂ψ
Vier Felder:
1
2
3
~ u : Undulatorfeld
A
~ ⊥ : Feld der Laserwelle
A
φ : Ladungsfeld der Elektronen
~
Wahl einer Eichung χ für das Vectorpotential A
1 ∂ χ̃
,
φ→φ =φ−
c ∂t
′
Az →
A′z
∂ χ̃
= Az +
∂t
Longitudinale Feldkomponente Ez bleibt damit unverändert
∂φ 1 ∂Az
Ez = −
− ·
∂z
c ∂t
Röntgenphysik
186
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Hamiltonfunktion
Durch diese Wahl von χ verschwindet das Skalarpotential
Z
1 ∂
′
φ = φ − · c dtφ(z, t) = φ − φ = 0
c ∂t
Das Raumladungsfeld wird somit durch Az beschrieben
1 ∂A′z (z, ψ)
1 ∂A′z
↔ Ez (ψ, z) = − ·
Ez (z, t) = − ·
c ∂t
c
∂ψ
Die Hamiltonfunktion H̃ lautet somit
o1/2
ω T
1n 2
~ ⊥ + A~u )2 − m2 c 4
H̃ = (ku + )
−
T − e 2 (A
c ω
c Z
e
dψEz (z, ψ)
+
ω
Im betrachteten linearen Bereich ist das Feld des Undulators A~u
~⊥
viel größer als das Feld der Laserwelle A
~ ⊥ | ≪ |A
~ u|
|A
Röntgenphysik
187
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Hamiltonfunktion
~ ⊥ entwickelt werden
Damit kann die Wurzel um A
q
~ ⊥ + A~u )2 − m2 c 4
T 2 − e 2 (A
q
∼
T 2 − e2 A2u − m2 c 4
=
e2
1
~ ⊥ + 2A
~ u) · A
~⊥ + ...
−
·p
(2A
2
T 2 − e2 A2u − m2 c 4
q
2
e
~u · A
~⊥
T 2 − e2 A2u − m2 c 4 − p
=
A
T 2 − e2 A2u − m2 c 4
In der Entwicklung wurden alle Terme mit A2⊥ vernachlässigt
Röntgenphysik
188
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Hamiltonfunktion
Einsetzen in die Hamiltonfunktion liefert somit
o1/2
T
ω
1 n 2
H̃ =
(ku + ) − v T − e2 A2u − m2 c 4
ω
c
c
Z
n
o
2
−1/2
e
e
2 4
2
2 2
~
~
+
dψEz (z, ψ)
(Au · A⊥ ) +
T − e Au − m c
c
ω
Wir wissen schon, daß der FEL Prozess ein Prozeß 2. Ordnung
ist. Deshalb entwicklen wir die Hamiltonfunktion noch bis zur
zweiten Ordnung in T − T0 , da die Energie des Elektronenstrahls
nicht stark von der Resonanzenergie T0 abweichen darf, um eine
Verstärkung zu erzielen.
Röntgenphysik
189
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Hamiltonfunktion
Entwickelte Hamiltonfunktion
H̃ = H(P, ψ, z)
(21)
ω
P
2
iψ
∗ −iψ
= C·P +
P − (Ue + U e )(1 −
)+
2
T0
2cγz T0
Z
dψeEz
mit
P = T − T0
ω
C = ku −
2cγz2
ekL Ẽ(z)
U = −
2iγ
2
1
K
−2
−2
γz
= γ + 2 = 2 (1 + K 2 )
γ
γ
U ist das ponderomotive Potential
Röntgenphysik
190
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Bewegung eines Ensembles
Annahme:
Die Wechselwirkung eines Elektron mit dem kollektivem Feld, das
von allen anderen Elektronen erzeugt wird (Strahlung und
Raumladung), sei viel größer als die Wechselwirkung mit dem
nächsten Nachbarn
Entspricht einer Mean field approximation, wie sie z.B. aus der
Atom- und Molekülphysik bekannt ist und zur Beschreibung von
Mehrelektronensystemen angewandt wird.
Sei f (P, ψ, z) die Elektronenstrahlverteilungsfunktion
Dann gilt für diese die Liouville’sche Gleichung
df
∂f
=
=0
[H, f ] +
∂t
dt
Kommutator ist definiert als
X ∂u ∂v
∂u ∂v
[u, v ]p,q :=
−
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
k
Röntgenphysik
191
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Liouville’sche Gleichung
Lösung über die Störungstheorie
Sei
f
Ez
mit
f0 (P):
f̃1 (P, z):
= f0 + f̃1 eiψ + f̃1∗ e−iψ = f0 + f̃1 eiψ + C.C.
= Ẽz eiψ + C.C.
Ungestörte Funktion
kleine Störung |f̃1 | ≪ |f0 |
Röntgenphysik
192
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Liouville’sche Gleichung
Im P, ψ, z System lautet die Liouville’sche Gleichung somit
∂H ∂f
∂H ∂f
∂f
+
−
=0
∂z
∂P ∂ψ
∂ψ ∂P
(22)
Bedeutung:
f ändert sich nicht entlang der Trajektorien außer durch die
Wechselwirkung mit dem kollektivem Feld
Lösung von (22) zusammen mit den Maxwell Gleichungen liefert
die Lösung für das kollektive Feld und die Verteilungsfunktion f .
Röntgenphysik
193
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Störungstheorie
Wir setzen jetzt Gleichung (21) (Hamiltonfunktion H(P, ψ, z)) in
Gleichung (22) (Liouville’sche Gleichung) unter Verwendung der
ebend definierten Funktion f ein. Das liefert nach einigen
Umformungen
P
∂ f̃1
∂f0
+i C+ω 2
=0
(23)
f̃1 + (iU − eẼz )
∂z
∂P
cγz T0
Hierbei sind Terme mit
f̃1
U
T0
relativ zu
und
d f̃1
(iU − eẼz )
dP
df0
(iU − eẼz )
dP
zu vernachlässigen.
Röntgenphysik
194
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Anfangsbedingungen
Zur Lösung der Gleichungen werden Anfangsbedingungen für den
Elektronenstrahl benötigt. Diese werden so gewählt, daß der
Strahl beim Eintritt in den Undulator (z = 0) weder in der Dichte
noch in der Geschwindigkeit moduliert ist.
f̃1 |z=0 = 0
Z
f0 = n0 · F (P)
F (P) · dP = 1
n0 : Strahldichte
F (P): normierte Dichteverteilungsfunktion
⇒ Lösung von Gleichung (23) mit diesen Anfangsbedingungen lautet
dann
Z z
ωP
dF
′
dz (iU − eẼz ) exp i C + 2
(z ′ − z) (24)
f̃1 = −n0
dP 0
cγz T0
Röntgenphysik
195
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Stromdichte
Die Gleichung enthält wiederum das axiale Feld Ẽz , dass jetzt
bestimmt werden soll.
Die Stromdichte des Elektronenstrahls ist durch
Z
jz = −evz fdP
= j0 + j̃1 eiψ + C.C.
gegeben
In der ultra-relativistischen Näherung vz ∼
= c gilt dann
Z
j̃1 ∼
= −ec f̃1 dP
j0 = −ecn0
Röntgenphysik
196
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Stromdichte
Wir betrachten nun die Maxwellsche Gleichung
~
1
∂
E
4π~
~
rotH = ·
+
j
c ∂t
c
~ und die Phasen sind gegeben durch
Das Feld E
Ez
= Ẽz e
iψ
+ C.C.
und
(25)
z
ψ = ku z + ω( − t)
c
∂Ez
⇒
∂t
∂ iψ
= Ẽz e = −iω Ẽz eiψ
∂t
~ = 0, so wird in der 1.
Am Ort des Elektronenstrahls ist rotH
dimensionalen Näherung Gleichung (25) zu
∂Ez
= −iω Ẽz eiψ + C.C. = −4π j̃1 eiψ + C.C.
∂t
i4π j̃1 (z)
⇒ Ẽz = −
ω
Röntgenphysik
(26)
197
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Stromdichte
Gleichung (26) können wir nun in Gleichung (24), welche die
Modulation des Elektronenstrahl beschreibt, einsetzen. Da
Z
j̃1 ∼
= −ec f̃1 dP
war wird zudem noch über P integriert. Damit folgt dann
)
(
Z z
4πej˜1 (z ′ )
′
j̃1 = i · j0
dz U +
ω
0
Z
dF (P)
ωP
× dP
exp i C + 2
(z ′ − z)
dP
cγz T0
(27)
Dies ist eine Integro-Differentialgleichung, die den
Elektronenstrom in dem 1. dimensionalen Modell beschreibt.
Röntgenphysik
198
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Vektorpotential
Eine weitere Bedingung kann aus der Wellengleichung hergeleitet
werden.
Maxwell
~
1
∂
E
4π~
~
rotH =
j
+
c ∂t
c
Die Eichung wurde so gewählt, dass φ = 0 ist.
~
∂
A
1
~ =−
⇒E
c ∂t
und
~ = rotA
~
H
Damit ist die Wellengleichung gleich
2A
~
1
∂
4π~
~
~
△A − grad divA − 2 2 =
j
c
c ∂t
Röntgenphysik
199
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Wellengleichung
Das Vektorpotential ist durch die obige Eichung noch nicht genau
~ =0
bestimmt und wir können noch wählen divA
2A
~
∂
4π~
1
~
⇒ −△A + 2 2 = − j
c
c ∂t
mit ~j = 0 ist dies die bekannte Wellengleichung
Im FEL ist jedoch ~j 6= 0, da der Elektronenstrahl vorhanden ist
Es soll das elektromagnetische Feld des FEL betrachtet werden
~ ⊥ ist relevant
⇒ nur A
~⊥
~⊥
1 ∂2A
4π~
∂2A
− 2
= − j⊥
2
2
c
∂z
c ∂t
Röntgenphysik
(28)
200
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Wellengleichung
Die transversale Stromdichte ~j⊥ folgt aus der Geschwindigkeit ~v⊥ .
Für diese gilt
v
c
=
⇒ jx + ijy
=
K −iku z
e
γ
i
K −iku z h iψ
j̃1 e + C.C.
e
γ
Lösungsansatz
Ax,y
z
= Ãx,y exp iω( − t) + C.C.
c
Röntgenphysik
201
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Wellengleichung
Berechnung der Terme
~x
∂2A
∂z 2
~x
1 ∂2A
c 2 ∂t 2
(
2iω ∂ Ãx (z) ∂ 2 Ãx (z)
ω2
+
− Ãx (z) 2
2
c
∂z
∂z
c
z
ω2
= − 2 Ãx (z) exp iω( − t) + C.C.
c
c
z
= exp iω( − t)
c
)
Mit exp(−iku z) = cos ku z − i sin ku z folgt
cos ku z
~j⊥ = K
(j̃1 eiψ + C.C.)
− sin ku z
γ
~ x,y und ~j⊥ in die Wellengleichung liefert dann
Einsetzen von A
Röntgenphysik
202
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Wellengleichung
iω( zc −t))
(
e
2iω ∂
c ∂z
∂2
Ãx
Ãx
+ 2
+ C.C.
∂z
Ãy
Ãy
4πK
cos ku z
(j̃1 eiψ + C.C.)
=−
− sin ku z
cγ
Diese Gleichung muß jetzt wieder vereinfacht werden. Dazu
macht man die folgenden Annahmen
1
2
j̃1 (z) ist eine langsame veränderliche Funktion auf der Skala der
Undulatorperiode
Die Länge z ist viel größer als die Undulatorperiode λu
Das bedeutet, dass man eine langen Undulator mit vielen
Perioden betrachten muß und das sich von einer Periode zur
nächsten der Elektronenstrahl nur wenig ändert.
Röntgenphysik
203
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Laser Feld
Das bewirkt
1
2
Die schnelle Oszillation cos ku z und sin ku z kann vernachlässigt
werden
die 2. Ableitung von Ãx,y wird vernachlässigt
Damit wird die Gleichung zunächst zu
z
2iω ∂
4πK
exp iω( − t)
Ãx,y + C.C. = −
(j̃1 eiψ + C.C.)
c
c ∂z
cγ
Es ist
∂Ax,y
cEx,y = −
∂t
und mit dem gewähltem Ansatz für Ax,y
z
∂Ax,y
= iω Ãx,y exp iω( − t)
∂t
c
Röntgenphysik
204
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Laserfeld
Damit kann dann die Wellengleichung letztendlich in der Form
d
2πK
Ẽ(z) = −
j̃1 (z)
dz
cγ
(29)
geschrieben werden.
Jetzt kann man noch j̃1 (z), dass durch Gleichung (27) geben ist,
einsetzen.
Röntgenphysik
205
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Laserfeld
Damit ist dann das Laserfeld durch folgende Gleichung gegeben
)
(
Z
2 Ẽ(z ′ )
d Ẽ
πej0 K 2 z ′
4cγ
′
=
(30)
Ẽ(z
)+i
dz
′
2
2
dz
cγ
ωK dz
0
Z ∞
ωP
dF (P)
exp i C + 2
×
dP
(z ′ − z)
dP
cγz T0
−∞
j̃1
(
)
˜1 (z ′ )
4πe
j
= ij0
dz ′ U +
ω
0
Z
dF (P)
ωP
× dP
(z ′ − z)
exp i C + 2
dP
cγz T0
Z
z
Dies ist jetzt eine weitere Integro-Differentialgleichung, die die
Entwicklung des Laserfeld entlang der Undulatorachse beschreibt.
Röntgenphysik
206
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Variablen Definition
Verstärkungsparameter
Alfven Strom
Detuning Parameter
Raumladungsparameter
Normierter Energieübertrag
Effizienzparameter
Röntgenphysik
K 2ω
1/3
πj0
Γ=
cγz2 γ 3 IA
mc 3
= 17kA
Ia =
e
ẑ = Γ · z
ω
1
)
Ĉ = C/Γ = (ku −
2
Γ
2cγz
Λ̂2p = Λ2p /Γ2
4πj0
2
Λp = 2
γz γIA
T − T0
P̂ =
ρT0
γz2 Γc
ρ=
ω
207
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Normiertes Laserfeld Gleichung
Die Gleichung für das Laserfeld hat damit die folgende Form
d Ẽ
d ẑ
Z
ẑ
(
)
′)
d
Ẽ(
ẑ
=
d ẑ ′ Ẽ(ẑ ′ ) + i Λ̂2p
d ẑ ′
0
Z ∞
n
o
d F̂
exp i(P̂ + Ĉ)(ẑ ′ − ẑ)
×
d P̂
d P̂
−∞
und
Z
Röntgenphysik
(31)
F̂ (P̂)d P̂ = 1
208
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Energieverteilung
Beispiel Energieverteilungsfunktion F (P)
Gaussverteilung
F (T − T0 ) =
⇒ F̂ (P̂) =
Λ2T
=
)2
(T − T0
p
exp −
2 < (∆T )2 >
2π < (∆T )2 >
!
1
P̂
q
exp
2
2Λ
2
T
2πΛ
1
T
< (∆T )2 >
ρ2 T02
Es wurden bisher verschiedenen Näherungen gemacht, um die
Gleichung (31) herzuleiten. Wann ist die Gleichung aber
überhaupt gültig ?
Röntgenphysik
209
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Gültigkeitsbereich
Annahme war, daß Ẽ(z) und j̃(z) langsam veränderliche
Funktionen sind. Das bedeutet
d Ẽ d Ẽ Γ
≪
k
|
Ẽ|
⇔
≪ ku |Ẽ|
u
dz d ẑ d j̃ da ẑ = Γ · z
Γ ≪ ku |j̃1 |
d ẑ Für den Effizienzparameter ρ gilt dann
ρ
=
=
γz2 c
Γ
ω
1/2
2
K
πj0 ω
γz ∼ Γ
=
=
kL
ku
ku γz cγ 3 IA
d Ẽ ⇒ ρ
≪ |Ẽ|
d ẑ Röntgenphysik
210
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Gültigkeitsbereich
Insgesamt läßt sich zeigen, daß im Rahmen der durchgeführten
Näherungen
ρ, ρΛ̂T , ρΛ̂P , ρĈ ≪ 1
gelten muß.
Damit erhält man dann die Bedingung
γz2 c ∼ πj0 K 2
ρ=
Γ= 2
≪1
ω
ku γIA
Röntgenphysik
211
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Die Gleichung (31)
d Ẽ
d ẑ
=
Z
ẑ
d ẑ
′
0
×
Z
(
Ẽ(ẑ ) +
∞
d P̂
−∞
′
d F̂
d P̂
2 d Ẽ(ẑ
i Λ̂p
′
d ẑ
′)
)
n
exp i(P̂ + Ĉ)(ẑ ′ − ẑ)
o
soll nun gelöst werden.
Definition der Laplace Transformation
Z ∞
Ẽ(p) =
d ẑ exp(−pẑ)Ẽ(ẑ)
0
Multiplikation von Gleichung (31) mit exp(−pẑ) (Rep > 0) und
Integration über ẑ von 0 bis ∞.
Röntgenphysik
212
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Linke Seite von Gleichung 31
Z
∞
0
d Ẽ(ẑ)
exp(−pẑ)d ẑ =
d ẑ
∞
Ẽ(ẑ) exp(−pẑ)
0
Z ∞
−
Ẽ(ẑ)(−p) exp(−pẑ)d ẑ
0
= −Ẽ(0) + pẼ(p)
= pẼ(p) − Eext
Röntgenphysik
213
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Rechte Seite der Gleichung
=
Z
∞
0
×
=
n
Z
d ẑ · e
−pẑ
∞
d F̂
d P̂
−∞
d P̂
Z
ẑ
d ẑ
0
′
(
Ẽ(ẑ ) +
ˆ′ )
2 d Ẽ(z
i Λ̂p
′
n
exp i(P̂ + Ĉ)(ẑ ′ − ẑ)
Ẽ(p) + i Λ̂2p (pẼ(p) − Ẽext )
Röntgenphysik
′
oZ
d ẑ
o
∞
d P̂
−∞
)
d F̂
d P̂
p + i(P̂ + Ĉ)
214
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
mit
Z
=
=
Z
∞
d ẑ exp(−pẑ)
0
∞
0
(Z
ẑ
0
d ẑ ′ Ẽ(ẑ ′ ) exp i(P̂ + Ĉ)(ẑ ′ − ẑ)
i Z
d ẑ ′ Ẽ(ẑ ′ ) exp i(P̂ + Ĉ)ẑ ′ ·
Ẽ(p)
h
h
∞
ẑ ′
h
i
)
d ẑ exp −(p + i P̂ + i Ĉ)ẑ
i
p + i(P̂ + Ĉ)
Röntgenphysik
215
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Mit der Definition
D̂ =
Z
∞
d P̂
−∞
′ d F̂
1
d P̂ p + i(P̂ + Ĉ)
(32)
wird Gleichung (31) dann zu
o
n
· D̂
pẼ(p) − Eext = Ẽ(p) + i Λ̂2p pẼ(p) − Ẽext
Röntgenphysik
216
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Umschreiben
⇒
⇔
⇔
⇒
pẼ(p) − Ẽ(p)D̂ − i Λ̂2p pẼ(p)D̂ = Eext − i Λ̂2p Eext D̂
= Eext 1 − i Λ̂2p D̂
Ẽ(p) p − D̂ − i Λ̂2p D̂p = Eext 1 − i Λ̂2p D̂
Ẽ(p) = Eext
1 − i Λ̂2p D̂
p − D̂ − ipΛ̂2p D̂
#
"
D̂
Ẽ(p) = Eext p −
1 − i Λ̂2p D̂
Röntgenphysik
217
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Benötigt wird jetzt die Feldamplitude Ẽ(ẑ), die mit der inversen
Laplace Transformation berechnet werden kann
Z α′ +i∞
1
dλẼ(λ) exp(λẑ)
Ẽ(ẑ) =
2πi α′ −i∞
"
#
Z α′ +i∞
D̂(λ)
1
dλ exp(λẑ) λ −
(33)
=
2
2πi α′ −i∞
1 − i Λ̂p D̂(λ)
α′ > 0 reell und größer als alle Polstellen des Integranten. Die
Integration erfolgt parallel zur imaginaeren Achse.
Wir wollen zunächst den einfach Fall eines kalten
Elektronenstrahls betrachten. Das heißt, das es eine scharfe
Verteilung der Elektronenenergie gibt und somit die
Verteilungsfunktion die folgende Form hat
F̂ (P̂) = δ(P̂)
Röntgenphysik
218
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronenstrahl
Für die Funktion (32) läßt sich dann schreiben
D̂(λ) =
Z
∞
d P̂
−∞
F̂ ′ (P̂)
λ + i(P̂ + Ĉ)
d
∞
Z ∞
F̂ (p)
(λ + i(P̂ + Ĉ))
F̂ (P̂)
d P̂
+
d P̂
=
λ + i(P̂ + Ĉ) −∞
[λ + i(P̂ + Ĉ)]2
−∞
{z
}
|
=0
=
Z
∞
d P̂
−∞
iδ(P̂)
[λ + i(P̂ + Ĉ)]2
= i(λ + i Ĉ)−2
Röntgenphysik
219
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Lösung der Laserfeld Gleichung
Damit ist das Feld aus Gleichung (31) durch
1
Ẽ(ẑ) =
2πi
Z
α′ +i∞
α′ −i∞
"
dλ exp(λẑ) λ −
i
(λ +
i Ĉ)2
+
Λ̂2p
#−1
(34)
gegeben
Wie läßt sich diese Gleichung jetzt lösen ?
Röntgenphysik
220
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronenstrahl
Wenn der Faktor vor der exp(λẑ)-Funktion das Jordan’sche
Lemma erfüllt kann das Integral mittels des Cauchy’sches
Residum Theorem als eine Summe über Partialwellen
geschrieben werden.
#−1 "
#−1
"
i
D̂
= λ−
λ−
2
1 − i Λ̂p D̂
(λ + i Ĉ 2 ) + Λ̂2p
(35)
Das Jordan Lemma sagt aus, daß das Integral
Z ∞
I=
f (x)eiax dx
−∞
0 ist, wenn für die Funktion f (x) gilt
lim |f (R · eiθ )| = 0.
R→∞
Der Faktor (35) ist von der Ordnung O(λ−1 ), so daß für |λ| → ∞
das Jordan Lemma erfüllt ist.
Röntgenphysik
221
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronen Strahl
Damit kann das Integral (34) in eine Reihe
#−1
"
′
X
D̂j
exp(λj ẑ) λ −
Ẽ(ẑ) = Eext
2 D̂
1
−
i
Λ̂
p j
j
(36)
umgeschrieben werden, wobei
D̂j = D̂|λ=λj
sind und λj die Lösungen von
λ−
d
D̂
und D̂j′ =
dλ D̂j′
1−
i Λ̂2p D̂j
λ=λj
=0
sind.
Röntgenphysik
222
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronenstrahl
Für den kalten Elektronenstrahl gilt somit
Ẽ(ẑ) = Eext
X
exp(λj ẑ)
i Ĉ)λ2j
1 − 2i(λj +
h
i−1
λ = i (λ + i Ĉ)2 + Λ̂2p
j
(37)
(38)
Die λj sind somit die Lösung einer kubischen Gleichung. Für die
Lösungen dieser kubischen Gleichung gilt
λ1 λ2 λ3 = i
λ1 λ2 + λ2 λ3 + λ1 λ3 = −Ĉ 2 + Λ̂2p
λ1 + λ2 + λ3 = −2i Ĉ
Röntgenphysik
223
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronenstrahl
Einsetzen dieser Bedingungen in Gleichung (37) und Umformen
liefert dann
Ẽ(ẑ)
λ2 λ3 exp(λ1 ẑ)
λ1 λ3 exp(λ2 ẑ)
λ1 λ2 exp(λ3 ẑ)
=
+
+
Eext
(λ1 − λ2 )(λ1 − λ3 ) (λ2 − λ3 )(λ2 − λ1 ) (λ3 − λ1 )(λ3 − λ1 )
(39)
Es soll nun der Fall eines sehr kleinen Raumladungsfeld Λ̂2p → 0
direkt in der Resonanzposition Ĉ = 0 betrachtet werden. Dann
wird Gleichung (38) zu
λ = iλ−2 ⇔ λ3 = i
Röntgenphysik
224
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Kalter Elektronenstrahl
Lösungen sind
λ1 = −i
√
3+i
λ2 =
√2
− 3+i
λ3 =
2
Für das Feld erhält man damit die folgende Lösung
"
1
Ẽ(ẑ)
=
exp
Eext
3
√
3+i
ẑ
2
Röntgenphysik
!
+ exp
√
− 3+i
ẑ
2
!
+ exp(−i ẑ)
#
225
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Feld im linearen Bereich
Realteil des Elektrischen Feld E(z)
600
0,4
0,4
0,3
0,2
0,2
0
0,1
-0,2
500
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
-0,4
0
2
4
6
8
10
Undulator length z
Röntgenphysik
226
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Feld im linearen Bereich
Der 3. Term oszilliert und der 2. Term nimmt exponentiell ab Für
den asympotischen Fall ẑ > 1 wird die Gleichung somit zu
!
√
Ẽ(ẑ)
1
3+i
ẑ
= exp
Eext
3
2
Mit zunehmender reduzierter Undulatorlänge ẑ nimmt das
elektrische Feld Ẽ(ẑ) also exponentiell zu! Verstärkung!
30
25
E(z) / Eext
20
15
10
5
0
0
1
2
3
Reduzierte Undulatorlänge z
4
5
|Ẽ|2
G = 2
Eext
"
√
3
1
ẑ
1 − 4 cosh
=
9
2
Röntgenphysik
√
3
3
cosh
ẑ + cos ẑ
2
2
!#
227
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Im Gegensatz zum low Gain Bereich verstärkt der FEL im linearen
Bereich direkt bei der Resonanzenergie Ĉ = 0
Im folgenden soll nun das Verstärkungsverhalten des FEL
diskutiert werden.
Dazu nehmen wir wieder zunächst ein verschwindenes
Raumladungsfeld an Λ̂2p → 0. Damit wird Geichung (35) zu
λ(λ + i Ĉ)2 = i
Die Propagationskonstanten λj hängen somit nur vom Detuning
Parameter Ĉ ab. Lösung läßt sich im Prinzip explizit aufschreiben,
wir wollen aber nur das Verhalten betrachten.
Λ̂ sei die Lösung λj , die dem exponentiellen Wachstum der
Leistung entspricht
Damit kann die Verstärkung dann einfach in der Form
geschrieben werden.
Röntgenphysik
G = A · exp(2ReΛ̂ẑ)
228
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Λ̂ : Field growth rate
A : Input coupling factor
5
0,8
0,6
3
0,4
2
0,2
0
Field growth factor A
Field growth rate Re Λ
4
1
-4
-2
0
2
-4
-2
0
2
0
Detuning parameter C
Röntgenphysik
229
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Verstärkung des Feldes Ẽ(ẑ) bei verschiedenen Längen ẑ des
Undulators
70
z=6
60
|Ez| / Eext
50
40
30
z=5
20
z=4
10
z=3
0
-4
-2
0
2
Detuning parameter C
Röntgenphysik
230
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Welchen Einfluß hat nun eine Raumladung Λ̂2p > 0 auf das
Verstärkungsverhalten ?
Dazu muß Gleichung (39) mit den korrekten Werten für die
Eigenwerte der Gleichung (38) berechnet werden.
h
i−1
λ = i (λ + i Ĉ)2 + Λ̂2p
Λp = 0
0,8
0,6
Re Λ
Λp = 1
Λp = 4
Λp = 2
0,4
Λp = 8
0,2
0
-2
-1
0
1
2
3
4
Detuning Parameter C
Röntgenphysik
231
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Für große Raumladungsfelder Λ̂2p wird somit die Verstärkung stark
unterdrückt
70
60
2
Λp = 0
|Ez| / Eext
50
40
2
Λp = 1
30
20
2
Λp = 3
2
Λp = 9
10
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Detung parameter C
Röntgenphysik
232
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Das Maximum der Field growth rate ReΛ̂ läßt sich durch
!
√
2
Λ̂p
3
∼
max(ReΛ̂) =
1−
2
3
beschreiben. Das Maximum selbst wird bei einem Detuning
Parameter
Ĉm ∼
= Λ̂p
erreicht.
Röntgenphysik
233
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Es soll jetzt als letzter Schritt der Einfluß einer Energieverteilung
des Elektronenstrahls diskutiert werden. Bis jetzt wurde ein kalter
Elektronenstrahl angenommen.
Realistische Verteilung ist eine Gaussverteilung der Energie
!
P̂ 2
1
exp − 2
F̂ (P̂) = q
2Λ̂T
2π Λ̂2T
mit der Breite Λ̂2T der Verteilung.
Das Feld ist durch Gleichung (33)
1
Ẽ(ẑ) =
2πi
Z
α′ +i∞
α′ −i∞
"
dλ exp(λẑ) λ −
D̂(λ)
1 − i Λ̂2p D̂(λ)
#
gegeben
Röntgenphysik
234
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
mit D̂
D̂(λ) =
Z
∞
d P̂
−∞
F̂ ′ (P̂)
λ + i(P̂ + Ĉ)
.
Die Rechnung soll jetzt hier nicht ausgeführt werden, sie ist z.B. in
dem Buch von Saldin durchgeführt.
Das Ergebnis für das Feld im Fall einer Gaussverteilung der
Elektronenenergie lautet
(
"
!
1
Λ̂
Ẽ(ẑ)
2 2
− 2
= exp(Λ̂ẑ) ×
1 + i(i − Λ̂p Λ̂)
(40)
2
Eext
i − Λ̂p Λ̂ Λ̂T
!
#)−1
Λ̂ + i Ĉ
Λ̂ + i Ĉ
1
−
+
×
2
Λ̂T
Λ̂4T
Λ̂ + i Ĉ
Röntgenphysik
235
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
wobei Λ̂ die Eigenwerte der Gleichung
D̂(Λ̂) =
Λ̂
1 + i Λ̂2p Λ̂
sind mit
D̂ =
i
Λ̂2T
−
p
i π/2
Λ̂3T
(λ + i Ĉ) exp
"
(λ + i Ĉ)2
2Λ̂2T
#
"
× 1 − erf
(λ + i Ĉ)
2Λ̂2T
!#
und der Fehlerfunktion
1
erf(x) = √
2π
Röntgenphysik
Z
x
du exp(−u 2 )
0
236
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Wir wollen hier jetzt nur wieder den Fall eines verschwindenen
Raumladungsfeld Λ̂2p → 0 kurz diskutieren
Für diesen Fall wird Gleichung (40) zu
Λ̂2T (Λ̂ + i Ĉ)
Ẽ(ẑ)
exp(Λ̂ẑ)
=
2
2
Eext
i(Ĉ Λ̂T + 1) − Λ̂(Λ̂ + i Ĉ)
und Λ̂ ist die Lösung der Eigenwertgleichung
Z ∞
Λ̂ = i
dx · x · exp −Λ̂2T x 2 /2 − (Λ̂ + i Ĉ)x
0
Röntgenphysik
237
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
FEL – Verstärkungsverhalten
Growth rate und Feld des FEL bei verschiedenen
Energieverteilungen des Elektronenstrahls
30
2
ΛT = 0
Growth rate Re Λ
0,8
25
0,6
15
0,4
2
ΛT = 1
0,2
10
2
ΛT = 2
5
2
ΛT = 4
0
|EZ| / Eext
20
-2
0
2
4
6
2
ΛT = 6
8
10
-2
0
2
4
6
8
0
10
Detuning parameter C
Röntgenphysik
238
Freie Elektronen Laser
Linearer Bereich
Take Home Message – FEL Linearer Bereich
Herleitung des Laserfeldes und der Elektronenverteilung in einem
1-dimensionalen Modell.
Gekoppelte Integrodifferentialgleichungen für die Elektronendichte
und das Laserfeld.
Lösung der Gleichungen zeigt ein exponentielles Wachstum des
Laserfeldes.
Verstärkung in einem schmalen Bereich um die
Resonanzfrequenz.
Ausgangsleistung hängt linear von der eingekoppelten Leistung
E0 ab.
Röntgenphysik
239