Ebene Wellen - AK Burghardt

TC1 – Grundlagen der Theoretischen Chemie
Irene Burghardt ([email protected])
Praktikumsbetreuung:
Konstantin Falahati ([email protected])
Jan von Cosel ([email protected])
Robert Binder ([email protected])
Tianji Ma ([email protected])
Vorlesung: Di 10h-12h, Fr 9h-10h
Übungen: Fr 10h-11h
Web site: http://www.theochem.uni-frankfurt.de/TC1
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Ebene Wellen
• Quantenmechanische Systeme: Potentialfreie Bewegung
• Quantenteilchen mit kinetischer Energie: “Freies Teilchen”
• Tunneleffekt: Welle, die auf eine Barriere zuläuft oder reflektiert wird
• Wasserstoffatom: “ungebundene Streuzustände” bei E > 0
• Klassische Systeme: Lösungen der Wellengleichung
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Quantenwellen – Potentialfreie Bewegung
• zeitabhängige Schrödingergleichung: ih̄φ̇(x, t) = −h̄2/(2m)ψ 00(x, t)
• Lösung der partiellen Differentialgleichung: ebene Welle
φ(x, t) = A ei(kx−ωt)
= A (cos(kx − ωt) + i sin(kx − ωt))
k = 2π/λ Wellenzahl, ω = 2π/T = 2πν Kreisfrequenz,
λ = Wellenlänge, T = Periode
ω = h̄k2/2m
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Klassische Wellen
• klassische Wellengleichung: φ̈(x, t) = ξ 2φ00(x, t)
• ebene Welle:
φ(x, t) = A ei(kx−ωt)
= A (cos(kx − ωt) + i sin(kx − ωt))
k = 2π/λ Wellenzahl, ω = 2π/T = 2πν Kreisfrequenz,
λ = Wellenlänge, T = Periode
ω = ξk
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Warum “ebene” Wellen?
• 1 Raumdimension (1D): Punkt konstanter Phase: φ = k · x − ωt =
const., bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit ω/k
• 3 Raumdimensionen (3D): Fläche konstanter Phase entspricht einer
Ebene (diese steht senkrecht auf dem k-Vektor und bewegt sich mit
Phasengeschwindigkeit ω/|k|)
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Wellenpakete
Wellenpakete lassen sich als Überlagerungen ebener Wellen darstellen:
φ(x, t) =
X
Ak ei(kx−ωkt)
k
• das Wellenpaket hat weder
einen scharfen Impuls noch
einen scharfen Ort
• allerdings ist es “kompakt”
und weniger delokalisiert als
eine ebene Welle
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De-Broglie Deutung einer “Elektronenwelle”
i(kx−ωt)
φ(x, t) = A e
i( 2λπ x−ωt)
= Ae
i( 2πp
h x−ωt)
= Ae
p
i(h̄
x−ωt)
= Ae
• ein Elektron, das durch eine ebene Welle beschrieben wird, hätte also
einen wohldefinierten (“scharfen”) Impuls p = h̄k, wobei k = 2π/λ die
Wellenzahl ist
• Notiz: pφ = (h̄/i)(∂φ/∂x)
• allerdings ist das Elektron räumlich maximal delokalisiert (Beispiel der
Unschärferelation)
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NB. De-Broglie-Relation für Lichtwellen/Photonen
Im Falle von Lichtwellen/Photonen ergibt sich die De-Broglie-Relation
p = h/λ exakt aus folgenden Eigenschaften:
• relativistische
Impuls/Energie-Relation eines masselosen Teilchens
(Photon):
E = pc
• Planck-Relation:
E = hν
• Dispersionsrelation für Licht:
ω = ck
bzw.
ν = c/λ
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Welle-Teilchen Dualismus: Doppelspaltexperiment
• Beobachtung des Interferenzmusters für Elektronen ebenso wie für Licht
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