Grundwissen - Mathe Pro`s

Grundwissen
1.Aufstellen eines Vektors:
Merkregel: „Spitze minus Fuß“!
2.Aufstellen von Geradengleichungen:
Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 2 Punkten einen Richtungsvektor!
3.Aufstellen von Ebenengleichungen (in Parameterform):
Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 3 Punkten 2 Richtungsvektoren!
4.Überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
Punkte in Gerade einsetzen und überprüfen, ob für ein Lambda alle 3
Gleichungen stimmen!
5.Überprüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt?
Punkt in Ebene einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung stimmt!
6.Überprüfen, ob Vektoren linear abhängig sind?
Schauen, ob sie ein Vielfaches voneinander sind!
7.Überprüfen ob Vektoren senkrecht zueinander stehen?
Das Skalarprodukt der Vektoren müsste 0 ergeben!
8.Einen Vektor bestimmen, der zu 2 Vektoren gleichzeitig senkrecht steht:
Vektorprodukt der beiden Vektoren bilden Lösung ist senkrechter Vektor!
9.Winkel zwischen Vektoren berechnen:
10.Länge eines Vektors berechnen:
11.Gleichungssystem mit maximal 3 Gleichungen lösen:
Unbekannte so auflösen, dass alle 3 Gleichungen wahr sind
12. Umformung von Parameterform Koordinatenform bei den Ebenen
Lage zueinander von:
1.Gerade  Gerade
Aparallel
identisch
Bnicht parallel
Echt parallel
schneiden sich
windschief
2.Gerade  Ebene
Aparallel
Bnicht parallel
Gerade in Ebene Echt parallel
schneiden sich
3.Ebene  Ebene
Aparallel
identisch
Bnicht parallel
Echt parallel
schneiden sich
Falls wir uns im Schnittfall befinden, können wir bei:
1. den Schnittpunkt und Schnittwinkel berechnen
2. den Schnittpunkt und Schnittwinkel berechnen
3. die Schnittgerade und den Schnittwinkel berechnen
Vorgehensweise:
-Wir überprüfen in beiden Fällen zuerst ob wir uns in A oder B befinden
-Dann überprüfen wir(falls notwendig) welcher der beiden übrigen Fälle vorliegt
-Sollten wir uns im Schnittfall befinden, können nun noch Schnittpunkt/Schnittgerade
und den Schnittwinkel berechnet werden
1. Gerade  Gerade
A oder B: Wir überprüfen, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden linear
abhängig sind.
Wenn ja  A
Wenn nein B
Fall A(parallel): Wir überprüfen ob der Startpunkt der einen Geraden auf der
anderen Geraden liegt.
Wenn ja  identisch
Wenn nein  Echt parallel
Fall B(nicht parallel): Wir setzen die Geraden gleich und erhalten ein
Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten. Wir überprüfen nun, ob
dieses Gleichungssystem für ein bestimmtes „Lambda“ und ein „Mü“ lösbar ist.
Wenn ja  schneiden sich
Wenn nein  windschief
Beispiel:
Richtungsvektoren sind linear unabhängig  Fall B  Gleichsetzen
Gleichungen sind für
und
lösbar  schneiden sich
2. Gerade  Ebene
A oder B: Wir überprüfen, ob der Richtungsvektor der Gerade und der
Normalenvektor senkrecht zueinander stehen.
Wenn ja  Fall A
Wenn nein  Fall B
Fall A(parallel): Wir überprüfen nun, ob der Startpunkt der Gerade in der Ebene liegt.
Wenn ja  Gerade liegt in der Ebene
Wenn nein  Echt parallel
Fall B(nicht parallel): Fertig, da sich Gerade und Ebene schneiden müssen.
Beispiel: a)
b)
3. Ebene  Ebene
A oder B: Wir überprüfen, ob die beiden Normalenvektoren der Ebenen linear
abhängig sind.
Wenn ja  Fall A
Wenn nein  Fall B
Fall A(parallel): Wir überprüfen nun, ob ein beliebiger Punkt der Ebene(1) in der
Ebene(2) liegt.
Wenn ja  identisch
Wenn nein  Echt parallel
Fall B(nicht parallel): Fertig, da sich die Ebenen schneiden müssen.
Beispiel:
E1:
E2:
A oder B: Normalenvektoren sind linear unabhängig
 Fall B  Ebenen schneiden sich
Schnittpunkte/Schnittgeraden bestimmen
1.Gerade  Gerade
Wenn man weiß, dass es einen Schnittpunkt gibt, hat man ja bereits ein „Lambda“
und „Mü“ gefunden, wofür sich die Geraden schneiden(siehe oben).
Man muss diesen Parameter (egal welchen der beiden) nur noch in die
entsprechende Geradengleichung einsetzen und man erhält direkt den Schnittpunkt.
Beispiel: (zur Aufgabe oben bei Lage Gerade  Gerade)
Wir hatten herausgefunden, dass sich die Geraden für „Lambda“=3 schneiden
2.Gerade  Ebene
Man setzt die gesamte Geradengleichung in die Ebene ein (mit „Lambda“). Dann löst
man die entstehende Gleichung nach „Lambda“ auf und setzt diesen Wert wiederum
in der Geradengleichung ein. Nun erhält man direkt den Schnittpunkt.
Beispiel: (r ist hier „Lambda“)
Setze nun r=2 in die Gerade ein:
 S(5/4/-3)
3. Ebene  Ebene
Man muss eine der Ebenen in der Parameterform, die andere in der Koordinatenform
gegeben haben(Falls nicht, muss man zuerst eine umformen). Dann setzt man die
gesamte Ebene aus der Parameterform in die andere Ebene ein (mit „Lambda“ und
„Mü“). Man erhält eine Gleichung mit 2 Parametern und löst diese nach einem der
Beiden auf. Nun setzt man den entstandenen Wert wieder in die Ebene der
Parameterform ein und erhält sofort die Schnittgerade. Diese kann man noch schön
zusammenfassen.
Beispiel:
Schnittwinkel bestimmen
1.Gerade  Gerade
Man setzt nur die beiden Richtungsvektoren der Geraden in die Winkelformel
ein (siehe Grundwissen). Der entstehende Winkel ist sofort der Schnittwinkel.
2.Gerade  Ebene
Man setzt den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der
Ebene in die Winkelformel ein. Der entstehende Winkel muss dann noch von
90° abgezogen werden und man erhält den Schnittwinkel.
3.Ebene  Ebene
Man setzt die beiden Normalenvektoren der Ebenen in die Winkelformel ein.
Der entstehende Winkel ist sofort der Schnittwinkel.
Man muss also nur beim 2.Fall etwas aufpassen, da hier mit der Formel ja der
Winkel zwischen Richtung der Geraden und Normalenvektor berechnet wird.
Da der Normalenvektor senkrecht zur Ebene steht, muss man diesen Winkel
noch von 90° abziehen.