Klassenarbeit Nr. 1

Mathematik
Klasse 9c
Lösung Klassenarbeit Nr. 1
30.10.15
Aufgabe 1: [6P, je 2] Berechne (ohne TR, Zwischenrechnungen im Heft):
11
a) 5  5  5
8
5
1,11013
b)
 3,9 102
9
1,3 10
5
0
6
 1 
c) 
 5,37

 5,3 
Lösungsvorschlag 1:
zu a) 58  55  511  50  585110  52  25
1,11013
1,1 3,9 1392
zu b)
 3,9 102 
10
 1,1 3 102  3,3 100  330
9
1,3 10
1,3
6
16
 1 
7
zu c) 
 5,3 
 5,37  1 5,37 6  5,3

6
5,3
 5,3 
Aufgabe 2: [10P, je 2] Vereinfache:
a) a 2  a  x 
4
b)
d) 24  2 n1  3  2 n4
e)
a 7  b 4
b 3  a 2
3
y2 
 y
3
c)
b 2c 3 a 4 d 2
:
c 2 d a 2b 3
4
Lösungsvorschlag 2:
4
4
zu a) a 2  a  x   a 2  a 4  x  a 6  x 4
zu b)
a 7  b4
b7
4  3
7  2
9
7

a

b

a

b

b3  a 2
a9
zu c)
b2c 3 a 4 d 2 b2c 3 a 2b3
a2
2 4 
2  3
3 2
1 2
2 1 5 3
:



a

b

c

d

a
b
c
d

c 2 d a 2b3
c 2 d a 4 d 2
b  c5  d 3
zu d) 24  2n1  3  2n 4  3  2n  8  21  24   0
zu e)
3
y2 
 
3
y
4
2
4
2 4

3
 y3  y3  y3
 y2
Anmerkung: Immer wieder wurde das Distributivgesetz mit dem Assoziativgesetz
verwechselt:
3  4  5  3  4  3  5 allgemeines Distributivgesetz: a   b  c   a  c  a  c
aber 3   4  5  3  4  5
allgemein: a   b  c   a  b  c
 Assoziativgesetz 
Aufgabe 3: [4P, je 2] Vereinfache (und stelle wieder als Wurzelausdruck dar):
a)
12
3
y4
b)
a
a a
3
Lösungsvorschlag 3:
zu a)
12
4
12
1
3
y y y 3y
4
Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung.
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3
zu b)
a
a a
3

a
1
2
11

32
a a
1
3

a
a
1
6
1 1

2 3

a
a
1
6
3 2
6
a
1 5

6 6
a

4
6

1
a
2
3

1
3
a2
Aufgabe 4: [4P] Berechne die zweite und dritte Seite und den Umfang des Dreiecks
a = 7 m, b = 3 m, α = 90°
Lösungsvorschlag 4:
Die Hypotenuse ist a (sie liegt dem rechten Winkel gegenüber),
die erste Kathete ist b, die zweite c.
Der Satz des Pythagoras bestimmt die Kathete c:
a 2  c 2  b2 /  b2
c 2  a 2  b 2  49  9  40 / Wurzel ziehen
c  40  4 10  2 10  6,325
Der Umfang ist
U  a  b  c  7  3  6,325  16,325
Die Fläche ist das halbe Produkt der Katheten
1
1
A  b  c  3  6,325  9, 49
2
2
Aufgabe 5: [4P] In der Mitte zwischen zwei gegenüberliegenden gleich hohen Masten einer
Straße ist eine Straßenlaterne befestigt. Der Abstand der Masten beträgt 18 m. Das
Seil hat eine Länge von 18,1 m. Wie viel hängt die Lampe durch?
Lösungsvorschlag 5: Skizze
Das Dreieck mit den Seiten f,e und c ist rechtwinklig mit der Hypothenuse c.
Die Seite f ist 9 m, c ist 9,05 m. Damit berechnet sich der Durchhang e zu
e2  f 2  c 2 / - f 2
e2  c 2  f 2  9, 052  92  0,903
Die Seite e ist also
e  e2  0,903  0,95
Der Die Lampe hängt also 95 cm durch.
Aufgabe 6: a) [4P] Von einem gleichseitigen Dreieck ist die Seitenlänge a = 12 cm gegeben.
Berechne die Höhe h und die Fläche
Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung.
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b) [5P] Von einem gleichseitigen Dreieck ist die Fläche A = 35 cm2 bekannt. Berechne die Seitenlänge a, die Höhe h und den Umfang U
Lösungsvorschlag 6: Skizze
zu a) Die Höhe h, die Seite a und die halbe Seite c = a bilden ein rechtwinkliges
Dreieck. Der Satz des Pythagoras ergibt
2
2
a
a
2
2
/ - 
  h a
2
2
2
a2 3
a
h2  a 2     a 2   a 2
4 4
2
/Wurzel ziehen
3 2 a
a 
3
4
2
Mit a = 12 folgt
12
h
3  6 3  10.39
2
Damit ist die Fläche
1
1
A  h  a  10,39 12  62,35
2
2
1
1 a
a2
144
Oder A  h  a  
3a 
3
3  36 3  62,35
2
2 2
4
4
h=
zu b) (Bem: Diese Aufgabe ist nicht einfach, sie erfordert, dass man entweder die
Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks gelernt hat oder in der Lage
ist, sie abzuleiten. Der oft erfolgreiche Trick in der Mathe ist, die Sache mit
Buchstaben zu berechnen und dann in diese „Formeln“ das Wissen
einzusetzen, um danach Gleichungen zu lösen.)
Wie oben: Die Höhe h, die Seite a und die halbe Seite c = a bilden ein
a
3
rechtwinkliges Dreieck. Der Satz des Pythagoras ergibt wie oben: h 
2
1
1 a
a2
3a 
3
Damit ist die Fläche A  h  a  
2
2 2
4
Damit wir a mit Hilfe der Fläche berechnen können, müssen wir diese Gleichung
nach a auflösen:
Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung.
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A
a2
3
4
4A
 a2
3
4A
a2 
3
/  4/ 3
/Wurzel ziehen
4A
4  35

 8,99
3
3
a
8,99
Die Höhe h ist dann h 
3
3  7, 79
2
2
Der Umfang ist natürlich
U  3a  3  8,99  26,97
a
Aufgabe 7: [3P] welchen Abstand haben die Punkt A(2 | 3) und B( -6 | 12)?
Lösungsvorschlag 7: Der Abstand der Punkte ist
l
 x    y 
2
2

 6  2  12  3
2
2

 8  9
2
2
 64  81  145  12,04
2
2

*Aufgabe: a) [+1P]  2  (Rechnungen im Heft, kein TR)
b) [+2P] Ein 16 m hoher Bau ist bei einem Sturm umgeknickt. Die Bauspitze berührt 12 m vom Stammende den Boden. In welcher Höhe ist der Baum umgeknickt?
Lösungsvorschlag *:
2
2
2 2
2
 2 2
zu a)  2   2


zu b) Skizze: Der Baum knickt in der Höhe a, die umgeknickte Spitze ist 16-a
lang.
Für das Dreieck gilt:
Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung.
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16  a 
2
 a 2  122
162  2 16  a  a 2  a 2  122
32a  144  256  112
112
 3,5
32
Damit knickte der Baum in einer Höhe von 3,5 m um.
a
Bem.: * kennzeichnet eine schwierigere Zusatzaufgabe außerhalb der Wertung.
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