Durch die Eckpunkte O(0 | 0 | 0), A1(10 | 0 | 0), B1(10 | 6 | 0), C1(0 | 8

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Baden-Württemberg
Wahlteil Geometrie: Übungsaufgabe 11 – Pavillon
Stichworte: Winkel zwischen Ebenen; parallele Geraden; Trapezfläche; Schnitt von Geraden
und Ebenen
Durch die Eckpunkte
O(0 | 0 | 0),
A1(10 | 0 | 0),
B1(10 | 6 | 0),
C1(0 | 8 | 0),
O2(0 | 0 | 10), A2(10 | 0 | 11), B2(10 | 6 | 8),
C2(0 | 8 | 6)
ist ein Gebäude (Ausstellungspavillon) mit ebenen Seitenwänden gegeben, welches auf der
x1x2-Ebene steht (Angaben in Meter). O2, A2, B2, C2 sind die Eckpunkte der Dachfläche.
a) Zeichnen Sie das Gebäude in ein Koordinatensystem ein.
Zeigen Sie, dass die Eckpunkte der Dachfläche in einer Ebene E liegen.
In E liegt die gesamte Dachfläche. Falls die Dachneigung größer als 30° ist, muss ein
Schneefanggitter angebracht werden. Überprüfen Sie, ob dies der Fall ist.
(Teilergebnis: E: x1 – 5x2 – 10x3 + 100 = 0).
b) Es soll die Größe der Dachfläche bestimmt werden.
Untersuchen Sie hierzu die Lage gegenüberliegender Dachkanten.
Bestimmen Sie den Inhalt der Dachfläche.
c) Die trapezförmige Fläche M2M3C3C2, mit M2(5 | 7 | 7), M3(5 | 7 | 4) und C3(0 | 8 | 4) in der
entsprechenden Außenwand ist verglast. Durch diese Glasfläche fällt paralleles Sonnenlicht ein, wobei zu einem bestimmten Zeitpunkt der Lichtstrahl durch die Ecke C2 im
Punkt Q2(2 | 0 | 2) der gegenüberliegenden Wand A1OO2A2 auftrifft.
Bestimmen Sie den vom Sonnenlicht getroffenen Bereich dieser Wand und schraffieren
Sie diesen.
Lösungshinweise
a) Eckpunkte der Dachfläche liegen in einer Ebene: Bestimmen Sie eine Ebene E, die
durch drei der vier Punkte festgelegt ist. Zeigen Sie, dass auch der vierte Punkt in E liegt.
Schneefanggitter: Unter der Dachneigung versteht man den Winkel zwischen der Ebene E
und der x1x2-Ebene.
Tipp:
Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen:
n ⋅ n 
cos α = 1 2 .
n1⋅n 2 
Dabei sind n1 , n 2 Normalenvektoren der beiden Ebenen.
b) Inhalt der Dachfläche: Bestätigen Sie, dass die Dachfläche ein Trapez ist. Die Länge der
Trapezhöhe ist gleich dem Abstand der parallelen Seiten.
Tipp:
1
Formel für den Inhalt eines Trapezes: A = (a + c) ⋅ h.
2
c) Vom Sonnenlicht
getroffener Bereich: Die Richtung der Lichtstrahlen wird durch den
Vektor C2Q 2 beschrieben.
Beschreiben Sie damit die Lichtstrahlen durch die PunkteM2, M3 und C3. In welcher Ebene
liegt die Wandfläche A1OO2A2?
Lösung
a) Eckpunkte der Dachfläche liegen in einer Ebene:
Die Eckpunkte O(0 | 0 | 0), A1(10 | 0 | 0), B1(10 | 6 | 0), C1(0 | 8 | 0) des Gebäudes liegen in
der x1x2-Ebene.
Zum Nachweis, dass die Eckpunkte O2(0 | 0 | 10), A2(10 | 0 | 11), B2(10 | 6 | 8), C2(0 | 8 | 6)
der Dachfläche in einer Ebene liegen, bestimmt man zunächst die Gleichung der Ebene E,
die durch die drei Punkte O2, A2 und B2 festgelegt ist.
Eine Parametergleichung von E ist:
 0
10 
 10 
E: x = OO 2 + s ⋅ O 2 A 2 + t ⋅ O 2 B 2 =  0  + s ⋅  0  + t ⋅  6  ; s, t ∈ 0.
10 
 1
 −2 
 
 
 
Da die zweite Koordinate des Vektors O 2 A 2 gleich 0 ist, kann man für einen Normalen  −1
vektor von E ansetzen: n =  x  .
 10 
Aus n ⋅ O 2 B 2 = 0 ergibt sich:
 −1
−10 + 6x − 20 = 0; x = 5, also: n =  5  .
 10 
 
Mit dem Ansatz
− x1 + 5x 2 + 10x 3 = a und O2(0 | 0 | 10) ∈ E erhält man eine
Koordinatengleichung für E: –x1 + 5x2 + 10x3 = 100.
Der Punkt C2(0 | 8 | 6) liegt ebenfalls in dieser Ebene, da 5 ⋅ 8 + 10 ⋅ 6 = 100 gilt.
Somit liegen alle vier Eckpunkte der Dachfläche in der Ebene E.
Schneefanggitter:
Die Dachneigung ist der Winkel α zwischen der Ebene E und der x1x2-Ebene:
 −1  0 
 5 ⋅  0
 10   1
   
10
=
≈ 0,8909; α ≈ 27,02°.
126 ⋅ 1
126
Da α < 30° gilt, ist kein Schneefanggitter notwendig.
cos α =
b) Inhalt der Dachfläche:
Die Vektoren, die die Dachkanten beschreiben, sind:
10   10   0   0 
O 2 A 2 =  0  ; C 2 B 2 =  −2  ; O 2 C 2 =  8  ; A 2 B 2 =  6  .
 1
 2
 − 4
 −3 
 
 
 
 
Wegen
0   0  
 0 
 0
= 2B  =  ⋅6 3  2
O 2 C 2 =  8  = 4 ⋅  2  und A
2
 − 4
 −1
− 3   − 1  
 
 
sind die Vektoren A 2 B 2 und O 2 C 2 linear abhängig.
Die Vektoren O 2 A 2 und C 2 B 2 sind ersichtlich linear unabhängig.
Somit gilt:
Die Dachkanten A 2 B 2 und O 2 C 2 sind parallel, die Dachkanten O 2 A 2 und C 2 B 2
sind nicht parallel. Die Dachfläche hat daher die Form eines Trapezes.
Um den Inhalt des Trapezes zu bestimmen, benötigt man die Längen a und c der beiden
Grundseiten und die Höhe h des Trapezes.
Für die Grundseiten gilt:
  0
 0
  6 = 36 + 9 = 45.
a =O 2 C 2=  8  = 64 + 16 = 80 , c =A 2 B 2=
 −4 
 −3
 
 
Die Höhe des Trapezes ist gleich dem Abstand des Punktes A2 von der Geraden
 0
 0
O 2 C 2 : x = OO 2 + r ⋅ O
2 C 2 =  0  + r ⋅  8  ; r ∈ 0.
10 
 − 4
Für die Hilfsebene H, die orthogonal zur Geraden O2C2 ist und durch den Punkt A2 geht,
kann man die Gleichung 8x2 – 4x3 = a ansetzen.
Aus A2(10 | 0 | 11) ∈ H ergibt sich:
H: 8x 2 − 4x 3 = −44
bzw. H:
−
2 −2x3 = x
11.
Bestimmung des Schnittpunktes F von H mit der Geraden O2C2:
1
2 51 
2 ⋅ (8r) − (10 − 4r) = −11; 20r = −1; r = − ; F  0 −
.

20
5 5
Für die Trapezhöhe folgt damit:
 −10 
 2
4 16
h =A 2 F=  − 5  = 100 +
+
=
25 25
 4
 − 
 5
2 520 6
=
70 .
25
5
Für den Inhalt der Dachfläche erhält man schließlich:
1
1
6
⋅ (a + c) ⋅ h = ⋅ ( 80 + 45) ⋅
70
2
2
5
6
6
= ⋅ ( 5 600 + 3150) = ⋅ (20 14 + 15 14)
10
10
= 21 14 ≈ 78,57.
A=
c) Vom Sonnenlicht getroffener Bereich:
Zu dem genannten Zeitpunkt trifft der Lichtstrahl durch den Punkt C2(0 | 8 | 6) im Punkt
Q2(2 | 0 | 2) auf der Wand A1OO2A2 auf.
Die Richtung der Lichtstrahlen wird dann durch den Vektor
 2
 1
C 2 Q 2 =  − 8  ; bzw. durch u =  − 4 
 − 4
 −2 
 
 
beschrieben.
Der vom Sonnenlicht durch das Fenster M2M3C3C2 getroffene Bereich auf der Wand
A1OO2A2 ist ein Viereck, das von den Bildpunkten M '2 , M 3' , C 3' und C '2 = Q 2 der Eckpunkte des Fensters bestimmt wird.
Manerhält diese Bildpunkte, indem man die Geraden durch die Eckpunkte des Fensters
mit u als Richtungsvektor mit der Wandfläche A1OO2A2 schneidet.
Die Wandfläche A1OO2A2 liegt in der x1x3-Ebene: x2 = 0.
Bestimmung des Bildpunktes M '2 von M2(5 | 7 | 7):
Schnitt von
 1
 5
g1 : x = OM 2 + t1 ⋅ u =  7  + t1 ⋅  − 4  ; t1 ∈ 0,
7
 −2 
 
 
mit der x1x3-Ebene: x2 = 0
7
27
7
7 − 4t1 = 0; t1 = ; M '2 
0
.
 4
4
2
Bestimmung des Bildpunktes M 3' von M3(5 | 7 | 4):
Schnitt von
 1
 5
g 2 : x = OM 3 + t 2 ⋅ u =  7  + t 2 ⋅  − 4  ; t2 ∈ 0,
 4
 −2 
 
 
mit der x1x3-Ebene: x2 = 0:
7
27
1
7 − 4t 2 = 0; t 2 = ; M 3' 
0
.
 4
4
2
Bestimmung des Bildpunktes C 3' von C3(0 | 8 | 4):
Schnitt von
 1
 0
g 3 : x = OC 3 + t 3 ⋅ u =  8  + t 3 ⋅  − 4  ; t3 ∈ 0,
 4
 −2 
 
 
mit der x1x3-Ebene: x2 = 0
8 − 4t 3 = 0; t 3 = 2; C 3' ( 2 | 0 | 0 ) .
Der vom Sonnenlicht getroffene Bereich wird durch das Viereck M '2 M '3C'3C'2 mit
M '2
(
27
4
0
7
2
),
M '3
(
27
4
0
1
2
),
C'3 ( 2 | 0 | 0 ) und C'2 = Q 2 (|2 |0 2 ) beschrieben.
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