Slides aus Vorlesung 25

Lineare Algebra I
- 25.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
Donnerstag 8.12.:
8:30 Uhr - Vorlesung
10:15 Uhr - große Übung / Fragestunde
92
Zunächst werden Bilinearformen eingeführt, und dann R-Vektorräume mit Skalarprodukten
untersucht, sogenannte Euklidische Vektorräume.
92
8.1
Bilinearformen
8.1. Bilinearformen8.1
Bilinearformen
8.1 Bilinearformen
8.1
{defi:
Definition 8.1. Sei V ein K-Vektorraum. Eine Bilinearform auf V ist eine 2-Multilinearform
{prop:bilinearformmatr
Proposition
8.3. Sei V endlich-dimensionaler K-Vektorraum
mit geordne
: V ⇥ V ! K, vgl. Definition
6.1.
{prop:bilinearformmatrix}
Proposition 8.3. Sei V endlich-dimensionaler
Basis
A =
(v1 , . . . ,K-Vektorraum
vn ), und
: Vmit
⇥ geordneter
V ! K eine
Bilinearform.
Dann bestimmt
di
{bsp:s
.v1Sei
K-Vektorraum
mit geordneter
A =
, . . .V, vnendlich-dimensionaler
),Beispiel
und
: 8.2.
V ⇥ Das
V !
K eineMat(n,
Bilinearform.
Dann
bestimmt
Matrix
B 2durch
Standard-Skalarprodukt
h·,
·i Basis
auf
Mat(n,
1; K)
definiert
n; K) mit
den
Eintr
ägen die
: V n;
⇥K)
V mit
! K
Bilinearform.
Dann bestimmt die Matrix B 2
Mat(n,
deneine
Eintr
ägen
bij = (vi , vj )
Matrixdarstellungen:
n
den Einträgen
bij = t (vi , vj )X
sie
Matrixdarstellung
von bzgl. A und schr
· y = Wir
xi ynennen
y die
2 Mat(n,
1; K)
bij = (vi , vjhx,
) yi := xeindeutig.
i , für x,
eindeutig. Wir nennen sie die Matrixdarstellungi=1
von bzgl. A und schreiben
nennen sie die Matrixdarstellung von bzgl. A und schreiben
B =: MatA ( ) .
ist eine Bilinearform.
B =: MatA ( ) .
B =:
A( ) .
hat Mat(n,
die folgenden
Für alle
B Mat
2 Mat(n,
n; K)Die
istMatrixdarstellung
auch die Abbildung
1; K) Eigenschaften:
⇥ Mat(n, 1; K) ! K,
(1) Die Abbildung MatA : 7! MatA ( ) ist ein Isomorphismus von Vektor
Die Matrixdarstellung hat die folgenden Eigenschaften:
lung hat die folgenden Eigenschaften:
(2)
Sei
ıA :hx,
Mat(n,
K)
der die Standard-Basis vo
(1) Die Abbildung MatA : 7! MatA ( ) ist
von
äumen.
(x,ein
y) Isomorphismus
7!
B · yi1;=
xt!
· Vektorr
BV ·der
y Isomorphismus,
ng MatA : 7! MatA ( ) ist ein Isomorphismusauf
von Vektorr
äumen.
A abbildet (vgl.
5.21),
dann gilt
(2) Sei ıA : Mat(n, 1; K) ! V der Isomorphismus, die
derBasis
die Standard-Basis
vonSatz
Mat(n,
1; K)
(n, 1; K) !eine
V der
Isomorphismus,
der die Standard-Basis
Bilinearform
1; K).dann gilt von Mat(n, 1; K)
auf die Basis
A abbildet auf
(vgl.Mat(n,
Satz 5.21),
s A abbildet (vgl. Satz 5.21), dann gilt
(ıA (x), ıA (y)) = xt · MatA ( ) · y , für alle x, y 2 Mat(n, 1;
t
Bilinearformen
auf endlich-dimensionalen
(ı
für alleVektorr
x, y 2 äumen
Mat(n, kann
1; K) .man nach Wahl einer Basis
t A (x), ıA (y)) = x · MatA ( ) · y ,
0
(ıA (x), ıA (y))
x · Mat
) · y , für
alle x,
2 Mat(n,
K) . Basis von V , dann gilt
(3)y Sei
A eine1; andere
mit=Hilfe
vonA (Matrizen
darstellen:
0
(3)
Sei
A
Basis
andere Basiseine
von andere
V , dann
gilt von V , dann gilt
MatA0 ( ) = T t · MatA ( ) · T ,
t
0 ( ) = T · MatA ( ) · T ,
Mat
A
MatA0 ( ) = T · MatA ( ) · T , wobei T = MatA0 A (idV ) 2 GLn (K) die
entsprechende Basiswechsel-Ma
Basiswechsel-Matrix
t
T = MatA0 A (idV ) 2 GLn (K) die
entsprechende
ist.
Dass die Basiswechsel-Matrix
Matrix
eindeutig bestimmt folgt a
MatA0wobei
Basiswechsel-Matrix
ist. B die Bilinearform
A (idV ) 2 GLn (K) die entsprechendeBeweis.
nearität von . Umgekehrt wird auf diese Weise durch jede Matrix B 2 Ma
Beweis.
Dass
die
Matrix
B
die
Bilinearform
eindeutig
bestimmt
folgt aus der Multilie Matrix B die Bilinearform eindeutig Bilinearform
bestimmt
folgtdefiniert.
aus
der MultiliDie Abbildung 7! MatA ( ) ist also bijektiv. Dass
nearit
ät
von
.
Umgekehrt
wird
auf
diese
Weise
durch
jede
Matrix
2 Mat(n, n; K) eine
mgekehrt wird auf diese Weise durch jederaumhomomorphismus
Matrix B 2 Mat(n, n;ist,
K)B
eine
ist
klar. Damit folgt (1).
Bilinearform
definiert.
Die
Abbildung
!
7
Mat
(
)
ist
also
bijektiv.
Dass
sie ein VektorA
finiert. Die Abbildung 7! MatA ( ) ist also
bijektiv.
Dass sie ät
eingen
VektorWegen
der
Bilinearit
ügt es, (2) auf der Standardbasis
nachzuprüfen. E
8.1. Bilinearformen
aumhomomorphismus ist, ist klar. Damit folgt (1).
8 Euklidische Vektorräume
93
Beispiel 8.4. Die Matrixdarstellung
des Skalarprodukts
Symmetrische
Bilinearformen:auf Mat(n, 1; K) aus Beispiel 8.2
Beispiel
Die
Matrixdarstellung
des Skalarprodukts
Mat(n, 1; K) aus
ist
für alle 8.4.
Basen
gegeben
durch die Einheitsmatrix
In . Die auf
Matrixdarstellung
vonBeispiel
h·, B·i f8.2
ür
ist2für
alle Basen
die Einheitsmatrix
In . Die
von h·, B·i für
B
Mat(n,
n; K) gegeben
bzgl. derdurch
Standard-Basis
von Mat(n,
1; K)Matrixdarstellung
ist gerade B.
rform} B 2 Mat(n, n; K) bzgl. der Standard-Basis von Mat(n, 1; K) ist gerade B.
rform} Definition 8.5. Eine Bilinearform auf einem Vektorraum V nennt man symmetrisch,
Definition
Bilinearform auf einem Vektorraum V nennt man symmetrisch,
wenn
für alle8.5.
v, w Eine
2 V gilt
wenn für alle v, w 2 V gilt
(v, w) = (w, v) .
(v, w) = (w, v) .
Gilt für alle v, w 2 V
Gilt für alle v, w 2 V
(v, w) =
(w, v) ,
(v, w) =
(w, v) ,
so nennt man schiefsymmetrisch.
so nennt man schiefsymmetrisch.
Bemerkung 8.6. Eine Bilinearform auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum V ist
Bemerkung
8.6. Eine Bilinearform
endlich-dimensionalen
V ist
genau
dann (schief-)symmetrisch,
wenn auf
die einem
Matrixdarstellung
B = MatVektorraum
bzgl.
A ( ) von
genauBasis
dannA(schief-)symmetrisch,
wenn
diejeder
Matrixdarstellung
B = MatA ( ) von ist, bzgl.
einer
von V (und damit auch
bzgl.
Basis von V ) (schief-)symmetrisch
d.h.
einer Basis A von V (und damit⇢auch bzgl. jeder Basis von V ) (schief-)symmetrisch ist, d.h.
ist symmetrisch
⇢ B,
t
Bt=
BB,,
ist schiefsymmetrisch
symmetrisch
ist
B =
B,
ist schiefsymmetrisch
Beweis. Das prüft man leicht nach! Dass die Matrixdarstellung einer Bilinearform bzgl.
Beweis.
prüft man ist,
leicht
nach!
Dasswenn
die sie
Matrixdarstellung
Bilinearform
bzgl.
jeder
BasisDas
symmetrisch
genau
dann,
bzgl. einer Basiseiner
symmetrisch
ist, folgt
jederdem
Basis
symmetrisch
ist, genau dann,unter
wennBasiswechsel
sie bzgl. einer
Basis symmetrisch
ist, dem
folgt
aus
Verhalten
der Matrixdarstellung
(Proposition
8.3(3)), und
aus dem Verhalten
Matrixdarstellung
Basiswechsel
8.3(3)), und dem
Umstand,
dass (T t )tder
=T
für alle Matrizenunter
T , vgl.
Proposition(Proposition
5.18.
Umstand, dass (T t )t = T für alle Matrizen T , vgl. Proposition 5.18.
{bsp:
{bsp
Beispiel 8.7.
Beispiel
(1) Das 8.7.
Skalarprodukt aus Beispiel 8.2 ist o↵ensichtlich symmetrisch. Die Matrixdarstel(1) lung
Das Skalarprodukt
aus Beispiel 8.2Inist
o↵ensichtlich
Die Matrixdarstelist gerade die Einheitsmatrix
, für
die gilt Itn =symmetrisch.
In .
8.1. Bilinearformen
t
ildet}
ldet}
Basis A von Mat(2, 1; K) ist gegeben durch
✓
◆
0 1
Nicht ausgeartete
MatA (det) Bilinearformen:
=
.
1 0
94
8.1 Bilinearformen
94
8.1 Bilinearformen
Definition
8.8. Eine symmetrische Bilinearform auf einem Vektorraum
V nennt man
nicht ausgeartet, falls es für alle 0 6= v 2 V ein w 2 V gibt, sodass (w, v) 6= 0.
{bem
Bemerkung
Eine symmetrische
Bilinearform
einem Vektorraum
V ist nicht
Beispiel
8.9. 8.10.
Die Beispiele
8.7 sind o↵ensichtlich
nichtauf
ausgeartet.
Für eine Matrix
B 2 {bem:
ausgeartet
genau
wenn
definierte
lineare
Bemerkung
8.10.
symmetrische
auf Abbildung
einem
Vektorraum
V ist nicht
Mat(n,
n; K),
für dann
dieEine
gilt
B t die
= durch
B ist Bilinearform
:= h·, B·i
eine
symmetrische
Bilinearform
auf
ausgeartet
genau
dann
wenn die
durch
definierte
lineare
Abbildung
Mat(n,
1; K).
Falls
B nicht
vollen
Rang
hat
ist
⇤ ausgeartet, denn für v 2 ker(B) gilt
l :V
! V
(w, v) = hw, B · vi = 0 für alle w 2 Mat(n, 1; K). ⇤
l : Vv 7 !
! V (·, v)
v 7 ! (·, v)
injektiv ist.
⇤
⇤
Sei V
injektiv
ist.endlich-dimensional mit geordneter Basis A, und sei A die duale Basis von V
(vgl.
(4.1)), dann gilt
SeiGleichung
V endlich-dimensional
mit geordneter Basis A, und sei A⇤ die duale Basis von V ⇤
(vgl. Gleichung (4.1)), dann gilt
MatA A (ıA ıA1⇤ l ) = MatA A⇤ (l ) = MatA ( ) .
MatA A (ıA ıA1⇤ l ) = MatA A⇤ (l ) = MatA ( ) .
Beweis. Der erste Teil ist klar, den zweiten rechnet man leicht nach.
Beweis. Der erste Teil ist klar, den zweiten rechnet man leicht nach.
Proposition 8.11. Sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlich-dimensionalen
Vektorraum V8.11.
. Dann
ausgeartetBilinearform
genau dannauf
wenn
für endlich-dimensionalen
die Matrixdarstellung
Proposition
Sei ist einenicht
symmetrische
einem
B = MatA ( V) .von
A (und genau
damit dann
auch aller
det(B) 6= 0.
Vektorraum
Dannbzgl.
ist einer
nichtBasis
ausgeartet
wennBasen)
für diegilt
Matrixdarstellung
B = MatA ( ) von bzgl. einer Basis A (und damit auch aller Basen) gilt det(B) 6= 0.
Beweis. Nach Bemerkung 8.10 ist nicht ausgeartet, genau dann, wenn die Abbildung l
injektiv ist.
Die
Dimension8.10
eines
Vektorraums
stimmt
aber mit der
Beweis.
Nach
Bemerkung
istendlich-dimensionalen
nicht ausgeartet, genau
dann, wenn
die Abbildung
l
seines Dualraums
überein (siehe
Diskussion nach Definition
4.47). Die
Abbildung
l ist
injektiv
ist. Die Dimension
eines die
endlich-dimensionalen
Vektorraums
stimmt
aber mit
derin
8.1. Bilinearformen
diesem Fall nach Korollar 4.44 also injektiv genau dann wenn sie bijektiv ist. l ist wiederum
:adj}
0 6= det(ı
l ) = det(B) .
A ı A⇤
1
genau dann bijektiv, wenn ıA ıA⇤ l : V ! V bijektiv ist. Nach Proposition 6.11 ist das
genau dann der Fall, wenn
Adjungierte Abbildungen:
0 6= det(ıA ıA1⇤
l ) = det(B) .
Definition 8.12. Sei
eine symmetrische Bilinearform auf einem Vektorraum V . Seien
ferner f, g 2 Hom(V, V ) zwei Endomorphismen von V . Dann nennt man f adjungiert zu
:adj} g, falls
g(w))
= (f (v), w)Bilinearform
, für alle v,auf
w 2einem
V . Vektorraum V . Seien
Definition 8.12. Sei (v,
eine
symmetrische
ferner f, g 2 Hom(V, V ) zwei Endomorphismen von V . Dann nennt man f adjungiert zu
Aus der Symmetrie von folgt dann sofort, dass auch g adjungiert zu f ist. Ferner nennt
g, falls
man f selbstadjungiert, wenn f zu sich selbst adjungiert ist.
(v, g(w)) = (f (v), w) , für alle v, w 2 V .
trix}
Proposition
8.13. Sei
auf einem endlich-dimensionalen
Aus der Symmetrie
von eine
folgtsymmetrische
dann sofort, Bilinearform
dass auch g adjungiert
zu f ist. Ferner nennt
Vektorraum
V , und seien f,wenn
g 2 Hom(V,
V ) selbst
zwei Endomorphismen
man f selbstadjungiert,
f zu sich
adjungiert ist. von V , die dual zueinantrix} der sind. Dann gilt für die Matrixdarstellungen F = MatA A (f ), G = MatA A (g) bzgl. einer
Proposition
SeiV eine symmetrische Bilinearform auf einem endlich-dimensionalen
beliebigen
Basis8.13.
A von
Vektorraum V , und seien f, g 2 Hom(V,
) zwei
von V , die adjungiert
B · GV=
F t · BEndomorphismen
,
zueinander sind. Dann gilt für die Matrixdarstellungen F = MatA A (f ), G = MatA A (g)
wobei B = MatA ( ) die Matrixdarstellung von bzgl. A ist.
bzgl. einer beliebigen Basis A von V
B · G = Ft · B ,
wobei B = MatA ( ) die Matrixdarstellung von
bzgl. A ist.
8.1. Bilinearformen
8 Euklidische Vektorräume
95
Beweis. Das folgt sofort aus den Definitionen.
Satz 8.14. Sei V endlich-dimensionaler Vektorraum und eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform auf V . Dann gibt es zu jedem Endomorphismus g 2 Hom(V, V ) genau
einen adjungierten Endomorphismus f . Wir bezeichnen ihn mit f =: g ad .
Für die Matrixdarstellung findet man
MatA A (g ad ) = B · MatA A (g) · B
wobei B = MatA ( ) die Matrixdarstellung von
1 t
,
(8.1) {eq:adma
ist.
Beweis. Wenn nicht ausgeartete Bilinearform auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum ist, so ist nach Proposition 8.11 die dazugehörige Matrixdarstellung B invertierbar.
Aus Proposition 8.13 folgt also Gleichung (8.1) für die Matrixdarstellung des adjungierten
Endomorphismus. Die Matrixdarstellung bestimmt aber die adjungierte Abbildung eindeutig.
Beispiel 8.15. Betrachte das Standard-Skalarprodukt h·, ·i auf Mat(n, 1; K). Dies ist nicht
ausgeartet. Sei g := (A·) : Mat(n, 1; K) ! Mat(n, 1; K) der Endomorphismus, der Spaltenvektoren mit einer Matrix A 2 Mat(n, n; K) multipliziert. Dann ist die adjungierte Abbildung gegeben durch (A·)ad = (At ·).
{defi:pe
Definition 8.16. Sei symmetrische Bilinearform auf einem Vektorraum V .
(1) Zwei Vektoren v, w 2 V nennt man orthogonal bzgl. , falls (v, w) = 0. Man schreibt
v ? w.
8.1. Bilinearformen
(2) Für einen Unterraum U ✓ V definiert man den Untervektorraum
Beispiel 8.15.
Betrachte
das Standard-Skalarprodukt
·i auf
Mat(n, 1; K). Dies
nicht
ausgeartet.
Sei g :=
(A·) : Mat(n,
1; K) ! Mat(n, 1; K)h·,
der
Endomorphismus,
der ist
Spaltenausgeartet.
g :=
(A·) :AMat(n,
1; K)n;!K)
Mat(n,
1; K) derDann
Endomorphismus,
der Spaltenvektoren
mit Sei
einer
Matrix
2 Mat(n,
multipliziert.
ist die adjungierte
AbbilOrthogonalität:
ad A 2 tMat(n, n; K) multipliziert. Dann ist die adjungierte Abbilvektoren
mitdurch
einer (A·)
Matrix
dung
gegeben
= (A ·).
dung gegeben durch (A·)ad = (At ·).
Definition 8.16. Sei symmetrische Bilinearform auf einem Vektorraum V .
Definition
8.16. Sei
einem
Vektorraum
. Man schreibt
(1)
Zwei Vektoren
v, w 2symmetrische
V nennt manBilinearform
orthogonalauf
bzgl.
, falls
(v, w) =V 0.
(1)v ?
Zwei
w. Vektoren v, w 2 V nennt man orthogonal bzgl. , falls (v, w) = 0. Man schreibt
v ?einen
w. Unterraum U ✓ V definiert man den Untervektorraum
(2) Für
(2) Für einen Unterraum U ✓ V definiert man den Untervektorraum
U ??:= {v 2 V | (v, u) = 0 für alle u 2 U } .
U := {v 2 V | (v, u) = 0 für alle u 2 U } .
Man nennt ihn das orthogonale Komplement von U .
ManBasis
nennt
das orthogonale Komplement von U .
(3) Eine
{vihn
1 , . . . , vn } von V nennt man eine Orthogonalbasis von V , falls gilt
(3) Eine Basis {v1 , . . . , vn } von V nennt man eine Orthogonalbasis von V , falls gilt
(vi , vj ) = 0 , für alle i 6= j .
(vi , vj ) = 0 , für alle i 6= j .
Man nennt die Basis eine Orthonormalbasis falls ferner gilt (vi , vi ) = 1 für alle i.
Man nennt die Basis eine Orthonormalbasis falls ferner gilt (vi , vi ) = 1 für alle i.
Satz 8.17. Sei V endlich-dimensionaler Vektorraum mit nicht ausgearteter Bilinearform ,
Satz 8.17. Sei V endlich-dimensionaler Vektorraum mit nicht ausgearteter Bilinearform ,
und U ✓ V ein Untervektorraum. Dann gilt
und U ✓ V ein Untervektorraum.
Dann gilt
?
(1) dim(U ) + dim(U ?) = dim(V )
(1) dim(U
) + dim(U ) = dim(V )
? ?
(2)(2)(U(U)? )?==UU
?
(3)(3)Falls
auch
die
Einschr
änkung
von
auf
U
⇥
U
nicht
ausgeartet
ist,
so
gilt
V
=
U
U
? .
Falls auch die Einschränkung von auf U ⇥ U nicht ausgeartet ist, so gilt V = U U .
{defi:p
{defi:pe
{satz:U
{satz:UU
Beweis.
Beweis.(1):
(1):Betrachte
Betrachtedie
dieAbbildung
Abbildung
⇤⇤
ff : :VV !
U
! U ..
vv 7!
Im folgenden: - Vektorräume
symmetrischen Bilinearformen …
7! ll (v)
(v)mit
U
U
8.1. Bilinearformen
Beispiel 8.18. Betrachte die Bilinearform det aus Beispiel 8.7, und wähle U = Ke1 . Dann
gilt U ? = Ke1 = U . Satz 8.17(1) und (2) gelten o↵ensichtlich. (3) hingegen findet keine
Euklidische
Vektorräume
Anwendung, weil die Einschr8.2.
änkung
von det auf
U verschwindet, also insbesondere ausgeartet ist. Da in diesem Fall U = U ? , bilden diese beiden Unterräume o↵enbar keine direkte
Summe.
Ab jetzt:
8.2
- Vektorräume!!!
Ordnung “<”
Euklidische Vektorräume
Im folgenden betrachten wir Vektorräume über dem Körper R der reellen Zahlen.
Definition 8.19. Eine symmetrische Bilinearform
V ist positiv definit, falls
: V ⇥ V ! R auf einem R-Vektorraum
(v, v) > 0 für alle 0 6= v 2 V .
Man schreibt dann > 0. Genauso nennt man eine Matrix B 2 Mat(n, n; R) positiv definit
(B > 0), wenn sie die Matrixdarstellung einer positiv definiten Bilinearform ist, d.h.
xt · B · x > 0 für alle 0 6= x 2 Mat(n, 1; R) .
Eine positiv definite symmetrische Bilinearform nennt man auch ein Skalarprodukt.
Beispiel 8.20.
(1) Das Standard-Skalarprodukt auf Mat(n, 1; R) ist ein Skalarprodukt, denn
0
1
x1
n
X
B
C
hx, xi = xt · x =
x2i > 0 für alle 0 6= x = @ ... A 2 Mat(n, 1; R) .
i=1
xn
(2) Die auf dem Vektorraum C 0 ([0, 1]; R) der stetigen Abbildungen von dem Einheitsintervall [0, 1] nach R definierte symmetrische Bilinearform
8.2. Euklidische Vektorräume
0  (u kv, u kv) = (u, u) 2k (u, v) + k 2 (v, v) .
8 Euklidische Vektorräume Cauchy-Schwarz Ungleichung:
97
Für v = 0 gilt die Cauchy-Schwarz Ungleichung trivial. Nehme also an v 6= 0 und setze in
. Man erhält
der obigen Gleichung k = (u,v)
(v,v)
Satz 8.21. (Cauchy-Schwarz Ungleichung) Sei ein Skalarprodukt auf einem R-Vektorraum
V . Dann gilt für alle u, v 2 V
(u, v)2
0  (u, u)
.
(v,v)
v),
(u, v)2  (u, u) (v,
Wegen
(v, v) genau
> 0 folgt
dieu Behauptung.
mit
Gleichheit
wenn
und v linear abhängig sind.
Beweis. Da positiv definit ist, gilt für alle u, v 2 V und alle k 2 K
Bemerkung 8.22. Sei ein Skalarprodukt auf einem R-Vektorraum V . Aus der CauchySchwarz Ungleichung
insbesondere
V \(u,
{0}
0  folgt
(u kv,
u kv) = für
(u,u,
u)v 22k
v) + k 2 (v, v) .
(u, v)
Für v = 0 gilt die Cauchy-Schwarz
trivial.
1(u,v)
 p Ungleichung 
1 fürNehme
alle u, also
v 2 Van. v 6= 0 und setze in
der obigen Gleichung k = (v,v) . Man
(u,erh
u)ält(v, v)
Es gibt also genau ein ' 2 [0, ⇡], sodass
0  (u, u)
(u, v)2
.
(v, v)
(u, v)
cos(') = p
.
Wegen (v, v) > 0 folgt die Behauptung.
(u, u) (v, v)
Wir nennen ' den von den Vektoren u und v eingelschossenen Winkel. Es gilt
Bemerkung 8.22. Sei ein Skalarprodukt auf einem R-Vektorraum V . Aus der Cauchyp
Schwarz Ungleichung folgt insbesondere
f
ür
u,
v
\ {0}
(u, v) = cos(') 2 V(u,
u) (v, v) .
(u, v)
Zwei Vektoren u, v 2 V 1\ 
{0}psind linear abh
der Winkel zwischen
ängig
1 fürgenau
alle u, dann
v 2 V wenn
.
u) (v, v) (bzgl. ), falls der Winkel zwischen Ihnen ⇡
Ihnen 0 oder ⇡ beträgt. Sie sind(u,orthogonal
2
8.2. Euklidische Vektorräume