By ∂t - Institut für Experimentelle Physik

PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universität Ulm
[email protected]
Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Alonso-Finn, Halliday
Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005
Übungsblätter und Lösungen:
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005/ueb/ue#
17. Februar 2005
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http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005
17. Februar 2005
Klausur
Datum und Uhrzeit 24. 2. 2005, 10:00-12:00
Ort Hörsaal H2
Hilfsmittel 6 Seiten A4 (3 Blätter) handgeschrieben
mit eigener Hand
Tutorium am 22.2. 2005, Ort: H2, Zeit 10:15
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Skin-Effekt
• Gleichstrom
• ⇒ homogene Stromverteilung
• ⇒ radial zunehmende Magnetfeld
• Zeitlich ändernder Strom
• ⇒ Induktionsgesetz
Berechnung des Skin-Effektes
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• ⇒ radial zunehmende Stromdichte
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Energie im Magnetfeld
• Wechselstrom
• ⇒ Leistung des Stromes ist positiv
und negativ
• ⇒ Integral über Leistung
• ⇒ Energie
• ⇒ EL = L2 I 2
Berechnung der Energie im Magnetfeld
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• ⇒ wB =
B2
2µ0
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Kugeln im inhomogenen Magnetfeld
Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld.
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Materie im Magnetfeld
diamagnetisches Verhalten Die Materie wird aus dem starken magnetischen Feld herausgedrückt.
paramagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen.
ferromagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen, aber sehr viel stärker als bei paramagnetischen Substanzen.
Zudem zeigen diese Substanzen ein remanentes Magnetfeld, auch wenn
das äussere Magnetfeld wieder verschwunden ist.
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• Materie im inhomogenen Magnetfeld:
wie wenn die Materie aus Kreisströmen
bestände
• Diamagnetismus: Kreiströme antiparallel
• Paramagnetismus: Kreisströme parallel
• Ferromagnetismus: Kreisströme parallel
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Satz von Larmor
Illustration zum Satz von Larmor
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Atomarer Kreisstrom
v
I = −e
2πr
(1)
Magnetisches Moment
1
|m|
~ = πr I = e · v · r
2
2
(2)
Wirkung eines äusseren Magnetfeldes: Reaktion eines einzelnen Atoms auf ein von
null anwachsendes äusseres Feld
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Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in
einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen
definiert.
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Die Larmorwinkelgeschwindigkeit ist
∆v e · B
Ω≡
=
r
2me
(3)
und vektoriell geschrieben
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Larmorwinkelgeschwindigkeit
e
~ =
~
Ω
B
(4)
2me
In einem mit der Winkel~ rotierenden
geschwindigkeit Ω
System sind die Elektronenbahnen im Atom unverändert.
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Diamagnetismus
Berechnung des Diamagnetismus
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Diamagnetisches Atom
m
~A=
X
m
~j=0
(5)
j
~
B-Feld
eingeschalten ⇒ kugelsymmetrische Ladungsverteilung präzediert mit Larmorfrequenz ⇒ von null verschiedenes magnetisches Moment
m
~ A, das zum Diamagnetismus führt.
Ze
ρel = −
(4/3)πR3
(6)
wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist.
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Ein einzelner Kreisstrom
Rotation mit
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e
B
Ω=
2m
(7)
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δI = ρel · r · dr · dϕ · v(r, ϕ)
(8)
v(r, ϕ) = Ω · r · sin ϕ
(9)
Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment m
~ A entgegen~ und entgegengesetzt zu B,
~ hier also nach unten, gerichtet.
gesetzt zu Ω
Dieses magnetische Moment ist
δmA(r, ϕ) = Fläche · Strom = πr2 sin2 ϕ · δI
(10)
δmA(r, ϕ) = πr2 sin2 ϕ · ρel · r · dr · dϕ · v(r, ϕ)
(11)
oder
= πr4 sin3 ϕ · ρel · Ω · dr · dϕ
Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch InteUniversität Ulm, Experimentelle Physik
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gration über r und ϕ Er ist
ZR Zπ
|m
~ A| =
δmA(r, ϕ)drdϕ
0
=
(12)
0
Z · e2 · B · R2
10me
Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment
Z · e2 · R 2 ~
m
~A=−
B
10me
(13)
Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei
paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt.
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Magnetisierung
Atomare Kreisströme
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Die gesamte makroskopische Magnetisierung ist das mittlere
magnetische Moment pro Volumeneinheit
P
~ (R)
~ =
M
m
~ Ai
∆V
∆V
(14)
m
~ A1 : magnetisches Moment eines Atoms oder einer Atomgruppe.
~ (~r) unabhängig vom Probenort.
Homogen magnetisiert ⇒ M
Der Oberflächenstromdichte
j = ma · n = M
(15)
ist gleich der Magnetisierung.
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Elektronenspin
Elektronenspin
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Neben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von
seinem Drehimpuls ~s (Spin) herrührt. Zu diesem Drehimpuls oder Spin
gehört ein entsprechendes magnetisches Moment m
~ s. Aus der Quantenmechanik weiss man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse
einen festen Betragswert
1h
1
sz =
= h̄
2 2π 2
(16)
hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch
h = 6.63 × 10−34Js
(17)
oder
h̄ ≈ 10−34Js
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ist. Nach der Quantenmechanik gilt
e
m
~ s = − ~s
m
(18)
Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) wäre
e
m
~ s = −(1/2) m
~s. Die Grösse des magnetischen Momentes eines Elektrons
ist
e1
|ms,z | =
h̄ ≡ 1µB = 0.927 × 10−23A · m2
(19)
m2
auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton.
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Paramagnetismus
Curie-Gesetz
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Ferromagnetismus
Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der
Primärkreis, grün der Sekundärkreis.
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Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung
für den Sekundärkreis
dB(t) Q(t)
−A ·
−
= R · I2(t)
dt
C
(20)
Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als
zeitliche Ableitung der Ladung.
A dB(t) Q(t) dQ(t)
− ·
=
+
R
dt
RC
dt
(21)
Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I1(t), der die Frequenz ω hat.
Also ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei
harmonischen Funktionen gilt, dass dQ(t)/dt ≈ ωQ(t) ist. Wenn 1/RC ¿
ω ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden.
Dann gilt
Q(t) = const · B(t)
(22)
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und damit für die Spannung am Kondensator
UC (t) = Q(t)/C ∝ B(t)
(23)
Der Ausgangsstrom selber erzeugt das anregende Feld.
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Hysteresekurve eines Ferromagneten
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Ferromagnetische Domänen
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r
Bext = 0
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r
Bext
r
Bext
r
M
Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem
Magnetfeld
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Domänen ändern die
Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern
nur ihre Grösse.
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Löschen des remanenten Magnetismus
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Maxwellgleichungen
Bis jetzt kennen wir die folgenden Gleichungen um die elektrischen Phänomene zu beschreiben:
~ = ρel
Gausssches Gesetz
div E
I
²0
~ = − ∂ B~
Induktionsgesetz
rot E
II
∂t
~ = 0
Quellenfreiheit
div B
III
~ = µ0~i
Durchflutungsgesetz
rot B
IV
Zusätzlich zu den obigen Gleichungen muss die Kontinuitätsgleichung für Ladungen gelten
∂ρel
~
div i = −
∂t
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(24)
31
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Maxwell-Gleichungen
~
div E
=
~
rot E
= − ∂∂tB
~
div B
~
rot B
1
²0 ρel
~
I
(25)
II
=0
III
³
´
~
= µ0 ~i + ²0 ∂∂tE
IV
Zusammen mit dem Kraftgesetz
~ +q·V
~ ×B
~
F~ = q · E
(26)
hat man eine vollständige Charakterisierung der Elektrodynamik.
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Der Maxwellsche Verschiebungsstrom, der eingeführt wurde um
die Maxwellgleichungen mit der Kontinuitätsgleichung kompatibel zu machen, führt dazu, dass man aus den Maxwellgleichungen
elektromagnetische Wellen vorhersagen kann.
Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant unter der GalileiTransformation. Diese Beobachtung war ein wichtiger Meilenstein auf dem Weg zur speziellen Relativitätstheorie.
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ZZ
ZZZ
~ · d~a =
E
²0
ρel(~r)dV
I
(27)
V
A(V )
ZZ
I
~ · d~s =
E
~ · d~a
B
d
− dt
S
II
A(S)
ZZ
~ · d~a =
B
0
A(V )
I
ZZ
~ · d~s =
B
S
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III
!
Ã
~
∂E
~
· d~a IV
µ0 i + ²0
∂t
A(S)
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Maxwellgleichungen im Vakuum
~
div E
~
rot E
=0
=
~
∂B
− ∂t
~
div B
=0
~
∂E
~
rot B = µ0²0 ∂t =
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I
(28)
II
III
~
1 ∂E
c2 ∂t
IV
35
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~
∂
B
∂
~
~
rot rot E = −rot
= − rot B
∂t
∂t
2~
~
∂
1
∂
E
1
∂
E
~
rot rot E = −
=− 2 2
∂t c2 ∂t
c ∂t
~ = grad div E
~ − div grad E
~ = grad div E
~ − 4E
~
rot rot E
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(29)
(30)
(31)
~
∂ 2E
2
~
=
c
4E
2
∂t
(32)
~
∂ 2B
2
~
=
c
4B
2
∂t
(33)
36
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Doppelleitersystem
3 mögliche Doppelleitersysteme. Links die Lecherleitung, in
der Mitte eine Doppelleiterleitung, wie sie bei Printplatten üblich
ist und rechts ein Koaxialkabel
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Lecherleitung
Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Lecherleitung
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Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Doppelleitung aus
parallelen Platten
~
Wir setzen für die E-Welle
in der Geometrie der obigen Zeichnung an
Ex(z, t) = −E0 cos (kz − ωt)
(34)
Ey (z, t) = 0
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39
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Ez (z, t) = 0
~
Dieses Feld erfüllt die Wellengleichung. Wir behaupten, dass das B-Feld
durch
Bx(z, t) = 0
By (z, t) = −
(35)
E0
cos (kz − ωt)
c
Bz (z, t) = 0
gegeben ist. Auch diese Gleichung erfüllt sie Wellengleichung. Wir verwenden
die zweite Maxwellgleichung, um zu zeigen, dass die Kopplung richtig ist.
~ = −(∂/∂t)B
~ in Komponenten
Wir schreiben rot E
µ
∂Ez ∂Ey ∂Ex ∂Ez ∂Ey ∂Ex
−
;
−
;
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
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¶
µ
=−
∂Bx ∂By ∂Bz
;
;
∂t ∂t ∂t
¶
(36)
40
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Die x- und die z-Komponenten sind null, nach der Voraussetzung. Die
y-Komponente lautet
∂Ex
∂By
=−
∂z
∂t
(37)
Mit c = ω/k ist diese Kopplungsgleichung, die zweite Maxwellgleichung
erfüllt. Die vierte Maxwellgleichung ist ebenfalls erfüllt. Aus ihr erhält man
∂Ex
2 ∂By
= −c
∂t
∂z
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(38)
41
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Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen
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42
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σ(z, t) = −²0Ex(z, t) = ²0E0 · cos(kz − ωt)
(39)
∂σ(z, t)
· b · dz
∂t
(40)
b · [j(z + dz, t) − j(z, t)] = −
∂σ(z, t)
∂j(z, t)
=−
= ²0E0 · ω · cos(kz − ωt)
∂z
∂t
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(41)
43
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Integrationspfad zur Anwendung des vierten Maxwellschen Gesetzes
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44
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Berechnung des Poynting-Vektors
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45
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Wellenausbreitung
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Berechnung der Wellenausbreitung
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Undulator beim SLAC in Stanford
Wiggler beim Jefferson-Lab
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