By ∂t - Institut für Experimentelle Physik
Werbung
PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm [email protected] Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Alonso-Finn, Halliday Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005/ueb/ue# 17. Februar 2005 Universität Ulm, Experimentelle Physik http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Klausur Datum und Uhrzeit 24. 2. 2005, 10:00-12:00 Ort Hörsaal H2 Hilfsmittel 6 Seiten A4 (3 Blätter) handgeschrieben mit eigener Hand Tutorium am 22.2. 2005, Ort: H2, Zeit 10:15 Universität Ulm, Experimentelle Physik 1 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Skin-Effekt • Gleichstrom • ⇒ homogene Stromverteilung • ⇒ radial zunehmende Magnetfeld • Zeitlich ändernder Strom • ⇒ Induktionsgesetz Berechnung des Skin-Effektes Universität Ulm, Experimentelle Physik • ⇒ radial zunehmende Stromdichte 2 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Energie im Magnetfeld • Wechselstrom • ⇒ Leistung des Stromes ist positiv und negativ • ⇒ Integral über Leistung • ⇒ Energie • ⇒ EL = L2 I 2 Berechnung der Energie im Magnetfeld Universität Ulm, Experimentelle Physik • ⇒ wB = B2 2µ0 3 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Kugeln im inhomogenen Magnetfeld Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 4 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Materie im Magnetfeld diamagnetisches Verhalten Die Materie wird aus dem starken magnetischen Feld herausgedrückt. paramagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen. ferromagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen, aber sehr viel stärker als bei paramagnetischen Substanzen. Zudem zeigen diese Substanzen ein remanentes Magnetfeld, auch wenn das äussere Magnetfeld wieder verschwunden ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 5 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 • Materie im inhomogenen Magnetfeld: wie wenn die Materie aus Kreisströmen bestände • Diamagnetismus: Kreiströme antiparallel • Paramagnetismus: Kreisströme parallel • Ferromagnetismus: Kreisströme parallel Universität Ulm, Experimentelle Physik 6 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Satz von Larmor Illustration zum Satz von Larmor Universität Ulm, Experimentelle Physik 7 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Atomarer Kreisstrom v I = −e 2πr (1) Magnetisches Moment 1 |m| ~ = πr I = e · v · r 2 2 (2) Wirkung eines äusseren Magnetfeldes: Reaktion eines einzelnen Atoms auf ein von null anwachsendes äusseres Feld Universität Ulm, Experimentelle Physik 8 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen definiert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 9 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Die Larmorwinkelgeschwindigkeit ist ∆v e · B Ω≡ = r 2me (3) und vektoriell geschrieben Universität Ulm, Experimentelle Physik 10 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Larmorwinkelgeschwindigkeit e ~ = ~ Ω B (4) 2me In einem mit der Winkel~ rotierenden geschwindigkeit Ω System sind die Elektronenbahnen im Atom unverändert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 11 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Diamagnetismus Berechnung des Diamagnetismus Universität Ulm, Experimentelle Physik 12 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Diamagnetisches Atom m ~A= X m ~j=0 (5) j ~ B-Feld eingeschalten ⇒ kugelsymmetrische Ladungsverteilung präzediert mit Larmorfrequenz ⇒ von null verschiedenes magnetisches Moment m ~ A, das zum Diamagnetismus führt. Ze ρel = − (4/3)πR3 (6) wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 13 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Ein einzelner Kreisstrom Rotation mit Universität Ulm, Experimentelle Physik e B Ω= 2m (7) 14 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 δI = ρel · r · dr · dϕ · v(r, ϕ) (8) v(r, ϕ) = Ω · r · sin ϕ (9) Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment m ~ A entgegen~ und entgegengesetzt zu B, ~ hier also nach unten, gerichtet. gesetzt zu Ω Dieses magnetische Moment ist δmA(r, ϕ) = Fläche · Strom = πr2 sin2 ϕ · δI (10) δmA(r, ϕ) = πr2 sin2 ϕ · ρel · r · dr · dϕ · v(r, ϕ) (11) oder = πr4 sin3 ϕ · ρel · Ω · dr · dϕ Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch InteUniversität Ulm, Experimentelle Physik 15 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 gration über r und ϕ Er ist ZR Zπ |m ~ A| = δmA(r, ϕ)drdϕ 0 = (12) 0 Z · e2 · B · R2 10me Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment Z · e2 · R 2 ~ m ~A=− B 10me (13) Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt. Universität Ulm, Experimentelle Physik 16 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Magnetisierung Atomare Kreisströme Universität Ulm, Experimentelle Physik 17 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Die gesamte makroskopische Magnetisierung ist das mittlere magnetische Moment pro Volumeneinheit P ~ (R) ~ = M m ~ Ai ∆V ∆V (14) m ~ A1 : magnetisches Moment eines Atoms oder einer Atomgruppe. ~ (~r) unabhängig vom Probenort. Homogen magnetisiert ⇒ M Der Oberflächenstromdichte j = ma · n = M (15) ist gleich der Magnetisierung. Universität Ulm, Experimentelle Physik 18 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Elektronenspin Elektronenspin Universität Ulm, Experimentelle Physik 19 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Neben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von seinem Drehimpuls ~s (Spin) herrührt. Zu diesem Drehimpuls oder Spin gehört ein entsprechendes magnetisches Moment m ~ s. Aus der Quantenmechanik weiss man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse einen festen Betragswert 1h 1 sz = = h̄ 2 2π 2 (16) hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch h = 6.63 × 10−34Js (17) oder h̄ ≈ 10−34Js Universität Ulm, Experimentelle Physik 20 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 ist. Nach der Quantenmechanik gilt e m ~ s = − ~s m (18) Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) wäre e m ~ s = −(1/2) m ~s. Die Grösse des magnetischen Momentes eines Elektrons ist e1 |ms,z | = h̄ ≡ 1µB = 0.927 × 10−23A · m2 (19) m2 auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton. Universität Ulm, Experimentelle Physik 21 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Paramagnetismus Curie-Gesetz Universität Ulm, Experimentelle Physik 22 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Ferromagnetismus Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der Primärkreis, grün der Sekundärkreis. Universität Ulm, Experimentelle Physik 23 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den Sekundärkreis dB(t) Q(t) −A · − = R · I2(t) dt C (20) Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als zeitliche Ableitung der Ladung. A dB(t) Q(t) dQ(t) − · = + R dt RC dt (21) Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I1(t), der die Frequenz ω hat. Also ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei harmonischen Funktionen gilt, dass dQ(t)/dt ≈ ωQ(t) ist. Wenn 1/RC ¿ ω ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden. Dann gilt Q(t) = const · B(t) (22) Universität Ulm, Experimentelle Physik 24 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 und damit für die Spannung am Kondensator UC (t) = Q(t)/C ∝ B(t) (23) Der Ausgangsstrom selber erzeugt das anregende Feld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 25 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Hysteresekurve eines Ferromagneten Universität Ulm, Experimentelle Physik 26 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Ferromagnetische Domänen Universität Ulm, Experimentelle Physik 27 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 r Bext = 0 17. Februar 2005 r Bext r Bext r M Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem Magnetfeld Universität Ulm, Experimentelle Physik 28 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Domänen ändern die Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern nur ihre Grösse. Universität Ulm, Experimentelle Physik 29 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Löschen des remanenten Magnetismus Universität Ulm, Experimentelle Physik 30 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Maxwellgleichungen Bis jetzt kennen wir die folgenden Gleichungen um die elektrischen Phänomene zu beschreiben: ~ = ρel Gausssches Gesetz div E I ²0 ~ = − ∂ B~ Induktionsgesetz rot E II ∂t ~ = 0 Quellenfreiheit div B III ~ = µ0~i Durchflutungsgesetz rot B IV Zusätzlich zu den obigen Gleichungen muss die Kontinuitätsgleichung für Ladungen gelten ∂ρel ~ div i = − ∂t Universität Ulm, Experimentelle Physik (24) 31 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Maxwell-Gleichungen ~ div E = ~ rot E = − ∂∂tB ~ div B ~ rot B 1 ²0 ρel ~ I (25) II =0 III ³ ´ ~ = µ0 ~i + ²0 ∂∂tE IV Zusammen mit dem Kraftgesetz ~ +q·V ~ ×B ~ F~ = q · E (26) hat man eine vollständige Charakterisierung der Elektrodynamik. Universität Ulm, Experimentelle Physik 32 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom, der eingeführt wurde um die Maxwellgleichungen mit der Kontinuitätsgleichung kompatibel zu machen, führt dazu, dass man aus den Maxwellgleichungen elektromagnetische Wellen vorhersagen kann. Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant unter der GalileiTransformation. Diese Beobachtung war ein wichtiger Meilenstein auf dem Weg zur speziellen Relativitätstheorie. Universität Ulm, Experimentelle Physik 33 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 ZZ ZZZ ~ · d~a = E ²0 ρel(~r)dV I (27) V A(V ) ZZ I ~ · d~s = E ~ · d~a B d − dt S II A(S) ZZ ~ · d~a = B 0 A(V ) I ZZ ~ · d~s = B S Universität Ulm, Experimentelle Physik III ! Ã ~ ∂E ~ · d~a IV µ0 i + ²0 ∂t A(S) 34 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Maxwellgleichungen im Vakuum ~ div E ~ rot E =0 = ~ ∂B − ∂t ~ div B =0 ~ ∂E ~ rot B = µ0²0 ∂t = Universität Ulm, Experimentelle Physik I (28) II III ~ 1 ∂E c2 ∂t IV 35 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 ~ ∂ B ∂ ~ ~ rot rot E = −rot = − rot B ∂t ∂t 2~ ~ ∂ 1 ∂ E 1 ∂ E ~ rot rot E = − =− 2 2 ∂t c2 ∂t c ∂t ~ = grad div E ~ − div grad E ~ = grad div E ~ − 4E ~ rot rot E Universität Ulm, Experimentelle Physik (29) (30) (31) ~ ∂ 2E 2 ~ = c 4E 2 ∂t (32) ~ ∂ 2B 2 ~ = c 4B 2 ∂t (33) 36 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Doppelleitersystem 3 mögliche Doppelleitersysteme. Links die Lecherleitung, in der Mitte eine Doppelleiterleitung, wie sie bei Printplatten üblich ist und rechts ein Koaxialkabel Universität Ulm, Experimentelle Physik 37 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Lecherleitung Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Lecherleitung Universität Ulm, Experimentelle Physik 38 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Doppelleitung aus parallelen Platten ~ Wir setzen für die E-Welle in der Geometrie der obigen Zeichnung an Ex(z, t) = −E0 cos (kz − ωt) (34) Ey (z, t) = 0 Universität Ulm, Experimentelle Physik 39 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Ez (z, t) = 0 ~ Dieses Feld erfüllt die Wellengleichung. Wir behaupten, dass das B-Feld durch Bx(z, t) = 0 By (z, t) = − (35) E0 cos (kz − ωt) c Bz (z, t) = 0 gegeben ist. Auch diese Gleichung erfüllt sie Wellengleichung. Wir verwenden die zweite Maxwellgleichung, um zu zeigen, dass die Kopplung richtig ist. ~ = −(∂/∂t)B ~ in Komponenten Wir schreiben rot E µ ∂Ez ∂Ey ∂Ex ∂Ez ∂Ey ∂Ex − ; − ; − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Universität Ulm, Experimentelle Physik ¶ µ =− ∂Bx ∂By ∂Bz ; ; ∂t ∂t ∂t ¶ (36) 40 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Die x- und die z-Komponenten sind null, nach der Voraussetzung. Die y-Komponente lautet ∂Ex ∂By =− ∂z ∂t (37) Mit c = ω/k ist diese Kopplungsgleichung, die zweite Maxwellgleichung erfüllt. Die vierte Maxwellgleichung ist ebenfalls erfüllt. Aus ihr erhält man ∂Ex 2 ∂By = −c ∂t ∂z Universität Ulm, Experimentelle Physik (38) 41 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen Universität Ulm, Experimentelle Physik 42 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 σ(z, t) = −²0Ex(z, t) = ²0E0 · cos(kz − ωt) (39) ∂σ(z, t) · b · dz ∂t (40) b · [j(z + dz, t) − j(z, t)] = − ∂σ(z, t) ∂j(z, t) =− = ²0E0 · ω · cos(kz − ωt) ∂z ∂t Universität Ulm, Experimentelle Physik (41) 43 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Integrationspfad zur Anwendung des vierten Maxwellschen Gesetzes Universität Ulm, Experimentelle Physik 44 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Berechnung des Poynting-Vektors Universität Ulm, Experimentelle Physik 45 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Wellenausbreitung Universität Ulm, Experimentelle Physik 46 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Berechnung der Wellenausbreitung Universität Ulm, Experimentelle Physik 47 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 17. Februar 2005 Undulator beim SLAC in Stanford Wiggler beim Jefferson-Lab Universität Ulm, Experimentelle Physik 48
