Lehrskript 2013
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Physik für Bauberufe Physik Bewegungslehre Lineare Bewegung 02-05 Beschleunigung, Verzögerung 06-07 Freier Fall 08-10 Gewichtskraft, Masse und Ortsfaktor 11 Dichte 11-12 Darstellung von Kräften 13-20 Drehmoment 21-22 Kippmoment, Standmoment 23-27 Beanspruchungsarten 28 Druck- und Zugspannungen 29 Längenänderung 30-33 Definition 34 Druck in Gefässen 35 Kommunizierende Gefässe 36 Auftrieb 37-41 Reibung und Gleitsicherheit Definition 42 Reibung 42 Gleitsicherheit 43-44 Bestimmung von Schwerpunkten Allgemeines 45 Einfache Flächen 46-47 Zusammengesetzte Flächen 48-50 Anwendungen Aufgaben aus der Praxis 51-54 Rechnen mit Kräften Festigkeitslehre Mechanik der Flüssigkeiten Ausgabe 2013 LZ beurteilen berechnen konstruieren unterscheiden nennen Bewegungslehre - Lineare Bewegung - Beschleunigung, Verzögerung - Freier Fall erklären Physik für Bauberufe Praktische Aufgaben aus der Mechanik anwenden können Besprechen LG GA 5 Lek Lineare Bewegung Um die Schnelligkeit einer Bewegung zu charakterisieren, hat man den Begriff der Geschwindigkeit eingeführt. Weg [s] B se Zeit [t] sa A Zeit [t] Weg [s] ta te Ein batteriegetriebener Wagen fährt auf einer Bahn. Zu bestimmten Zeiten wird der zurückg elegte Weg s festgestellt. Definitionen: Ergibt sich im t-s-Diagramm eine Gerade, so bezeichnet man die Bewegung als gleichfö rmig. Bei einer gleichförmigen Bewegung ist der zurückgelegte Weg proportional zurZeit. Es gilt s/t = konstant (Quotientengleichheit). Man bezeichnet die Konstante als Geschwindi gkeit v der gleichförmigen Bewegung und schreibt: v s t m Die Einheit lautet v 1 s Hinweis: Im täglichen Leben werden Geschwindigkeiten häufig in km/h angeg eben. Umrechnung von m/s in km/h: 10 m/s = ? km/h 1 km m 3' 600km km km 1' 000 10 10 10 10 3.6 36 1 s 1' 000h h h h 3' 600 Merke: Geschwindigkeit in m/s mal 3,6 ergibt Geschwindigkeit in km/h Seite 2 von 54 Physik für Bauberufe Beispiel: Für die Bewegung eines Autos wurde die f olgende t-s-Tabelle aufgenommen: t in s 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 s in m 0 20 40 60 80 100 110 120 130 140 140 140 1. Zeichne ein t-s-Diagramm 2. Berechne die Geschwindigkeit im Intervall [0s; 5s]; 3. Berechne die Geschwindigkeit im Intervall [5s; 9s] 4. Beschreibe den "Bewegungszustand" zwischen der 9. und 11. Sekunde. Lösung 1. s-t-Diagramm Bewegung des Autos 160.0 140.0 Weg in Meter (s) 120.0 100.0 80.0 60.0 40.0 20.0 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 Zeit in Sekunden (t) 2. 3. 4. Seite 3 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben Einige Beispiel von Geschwindigkeiten Fussgänger: 4.8 km/h Schall in der Luft: 333 m/s Radfahrer: 25 km/h Schall im Wasser: 1435 m/s Düsenjet: 700 km/h Licht im Vakuum: 300'000 km/s wichtig: Für die Berechnungen müssen die Einheiten zuerst festgelegt we rden. Aufgabe 1: Eine Baumaschine fährt mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h. Welche Zeit benötigt sie, um eine Str ecke von 250 m zu durchfahren? (Resultat in Sekunden!) v s t Aufgabe 2: In einer Leitung fliesst das Wasser mit einer Geschwindigkeit 2.2 m/s. Die Leitung h at einen Durchmesser von 20 cm. Wie viel Wasser fördert die Leitung in einer Min ute? Durchflussmenge Q [m3/s] Q vA Aufgabe 3: Ein Postauto fährt während 12 Minuten und 20 Sekunden mit einer Geschwindigkeit von 48 km/h. Berechne die zurückgelegte Strecke s in km. Festlegung der zu verwendenden Einheiten; Aufgabe 4: Mit welcher Geschwindigkeit muss das Erdöl in einer Rohrleitung von 100 cm² Querschnitt flie ssen, damit im Laufe einer Stunde 18 m³ davon hi ndurchfliessen? Seite 4 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 5: Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt unter normalen Umständen 333 m/s. Rechnen Sie di ese Geschwindigkeit im km/h um. Wie lange dauert es, bis man den Abschussknall einer Kanone vernimmt, die 4 km entfernt steht? Aufgabe 6: Wie lange braucht ein Radfahrer, der mit einer mittleren Geschwindigkeit von 18 km/h unterwegs ist, um von Olten nach Bern (Entfe rnung 65 km) zu radeln? Drücken Sie die benötigte Zeit einmal in Stunden und einmal in Minuten und Sekunden aus. Aufgabe 7: An einer Autobahn, auf der nur 120 km/h erlau bt sind (z.B. Italien). Polizist: "Sie sind wohl heute schon sehr lange unterwegs?" Autofahrer: " Ja, ich bin morgens um 5:45 Uhr von Mailand losgefa hren". Polizist: "Es ist jetzt schon 10:00 Uhr. Da sind sie von Mailand bis hierher schon 510 km gefahren. Das war doch sehr anstrengend." Autofahrer: "Nein, überhaupt nicht. Ich bin ein gewissenhafter Autofahrer und habe nach zwei Stunden Autofahrt etwa 20 Minuten Pause gemacht. Außerdem stand ich bei Ravenna noch 20 Minuten im Stau. Sonst lief die Fahrt gut durch." Polizist (überlegt kurz): " Tja, dann wird die Fahrt teuer für sie werden." Begründe die Antwort des Polizisten. Aufgabe 8: Die Menschen planen in den nächsten Jahrzehnten eine Marsmission. Der Mars sei von der Erde 1,0·10 8 km entfernt. Wie lange dauert es beim Sprechfunkverkehr Erde -Mars mindestens, bis nach einer Frage vom Kontrollzentrum auf der Erde die Antwort der Marsastrona uten wieder auf der Erde ankommt? Die Geschwindigkeit der Radiowellen ist gleich der Lich tgeschwindigkeit. Seite 5 von 54 Physik für Bauberufe Beschleunigung, Verzögerung Wenn die Geschwindigkeit im Verlaufe einer Bewegung zunimmt resp. abnimmt, bezeichnet man dies als Beschleunigung resp. Verzögerung. Beschleunigung a ist positiv, wenn die Geschwindigkeit sich vergrössert von v1 auf v2 wobei v1 < v2 (v1= Anfangsgeschwindigkeit, v2= Endgeschwindigkeit) Beschleunigung a ist negativ, wenn die Geschwindigkeit sich verkleinert von v1 auf v2 wichtig: wobei v1 > v2 (v1= Anfangsgeschwindigkeit, v2= Endgeschwindigkeit) Für die Berechnungen mit de n folgenden Formeln müssen die Werte in folgenden Einheiten eingesetzt werden: a in m/s 2 v1, v2 in m/s Zeit t in s v2 v1 Beschleunigung, Verzögerung a a Endgeschwindigkeit v2 v2 v1 a t Mittlere Geschwindigkeit vm vm t v1 v2 2 oder vm v1 oder s v1 t a t 2 Beschleunigungs- oder s vm t Verzögerungsstrecke s a t2 2 Beispiel: Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 92 km/h. Es wird mit einer Verzögerung von 1.9m/s 2 bis zum Stillstand abgebremst. Berechnen Sie die Länge des Bremsweges. Lösung: Festlegung der zu verwendenden Einheiten: m,s Gegeben: Geschwindigkeiten (92 km/h *1000 m/km / 3'600 s/h) v1 Endgeschwindigkeit v2 Verzögerung a (Achtung a ist negativ!) Gesucht: Berechnung: Resultat: v1 = 92 km/h = 25.55 m/s v2 = 0 m/s a = - 1.9 m/s 2 Bremsweglänge s a = (v2 – v1) : t t = (v2 – v1) / a s = v1*t + a*t 2 /2 s = Der Bremsweg des Autos beträgt ___________ m Seite 6 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben Aufgabe 1: Ein Auto fährt mit 25 km/h. Es wird während 18 Sekunden mit 1.5 m/ s 2 beschleunigt. a) Bestimme die Endgeschwindigkeit v2 in km/h. b) Berechne die Fahrstrecke s während der Beschleunigung in m. Aufgabe 2: Der Schnellzug von D nach K fährt nach dem Halt im Bahnhof D ab. Nach 50 Sekunden b eträgt die Geschwindigkeit 85 km/h. Mit dieser Geschwindigkeit fährt der Zug 35 Sekunden lang, worauf er auf 120km/h beschleunigt wird. Die zweite Beschleunigung dauert 18 Sekunden. a) Wie gross ist die erste Beschleunigung a1 im m/s 2 ? b) Wie gross ist die zweite Beschleunigung a2 in m/s 2 ? c) Berechnen Sie die Beschleunigungsstrecke S1 in m. d) Berechnen Sie die Beschleunigungsstrecke S2 in m. Aufgabe 3: Eine Rakete soll in 2.5 min die Geschwindigkeit 5 km/s erreichen. Wie gross ist die Beschleunigung und welchen Weg legt d ie Rakete in dieser Zeit zurück? Aufgabe 4: Ein Auto beschleunigt gleichmäs sig in 12 s von 0 auf 100 km/h. Welchen Weg hat es in dieser Zeit zurückgelegt? Seite 7 von 54 Physik für Bauberufe Der freie Fall Wird ein Körper fallengelassen, so erfährt dieser als Folge der Erdanziehung e ine konstante Beschleunigung. Diese wird als Erdbeschleunigung g bezeichnet. Sie beträgt im luftleeren Raum g = 9.81 m/s 2 . Beim Fall in der Luft wirkt dieser Beschleunigung der Luftwiderstand entgegen. Dieser ist je nach Körper sehr unterschiedlich (vergle iche Vogelfeder mit einem Stein). Bei Kö rpern aus relativ schwerem Material und mit kompakter Form kann der freie Fall näherungsweise ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes berec hnet werden. Wird ein Körper vertikal nach oben geworfen, so erzeugt die Erdanziehung eine Verzögerung von der Grösse a = - g =- 9.81 m/s 2 Auf der Mondoberfläche beträgt die Fallbeschleunigung lediglich 1.62 m/s 2 . Fallzeit (t) Fallbeschleunigung (g) Fallhöhe (h) v1 Für die Berechnungen gelten sinngemäss die gleichen Formeln wie für die Beschleunigung und die Ve rzögerung. Anstelle des Wertes a wird g eingesetzt. Der Weg s ist beim freien Fall vertikal und wird deshalb als Höhe h bezeichnet. v2 wichtig: Für die Berechnungen mit den folgenden Formeln müssen die Werte in folgenden Einheiten eingesetzt werden: g in m/s 2 v1, v2 in m/s Zeit t in s v2 v1 Fallzeit t t Endgeschwindigkeit v2 v2 v1 g t Fallhöhe h h v1 t g 2 h g oder t oder v2 2 g h g t2 2 Beispiel: Ein Stein schlägt nach 2s freiem Fall auf den Boden auf. In welcher Höhe wurde der Stein fallengelassen und welche Geschwindigkeit hat der Stein beim Aufschlag? [km/h] Lösung: Festlegung der zu verwendenden Einheiten: m,s Gegeben: Berechnung: h v1 t Erdbeschleunigung g g = 9.81 m/s 2 Zeit t t = 2 s Geschwindigkeit v1 = 0m/s v2 = unbekannt g t2 2 v2 v1 g t Resultat: Der Stein wurde in einer Höhe von __________ m fallengelassen und besitzt eine Endgeschwindigkeit von ______________ km/h Seite 8 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben Versuch zum freien Fall: Wird ein Körper fallengelassen, so erfährt dieser als Folge der Erdanziehung eine konstante B eschleunigung. Wie gross ist denn nun eigentlich diese Beschleunigung g? und insbesondere welche Einheit hat sie? Vorkenntnisse, über die Sie verfügen: Sie kennen die Gesetzte der gleichförmig g eradlinigen Bewegung h v1 t Wir beobachten dabei folgenden Versuch g t2 da v1 0 2 g t2 h 2 Fallhöhe s= 14.4 m Ablauf des Versuches Wir lassen einen Golfball vom 4. Stock fallen und messen di e Zeit bis der Golfball auf dem Boden aufschlägt! 1. Messung Zeit t(gemessen) = ____________ sekunden 2. Messung Zeit t(gemessen) = ____________ sekunden 3. Messung Zeit t(gemessen) = ____________ sekunden 4. Messung Zeit t(gemessen) = ____________ sekunden Mittelwert t = ______ s Berechnung: Interpretation der Resultate: Seite 9 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben Aufgabe 1: Ein Stein fällt von einer Brücke. Der Fall dauert 3 Sekunden. (g=9.81m/s 2 ) a) Wie hoch ist die Brücke? b) Welche Endgeschwindigkeit v2 erreicht der Stein [m/s], [km/h] Aufgabe 2: Ein Stein fällt von 60m Höhe herunter. a) Wie viele Sekunden dauert der Fall? b) Welche Endgeschwindigkeit v2 erreicht der Stein in [m/s] und [km/h] Aufgabe 3: Ein Körper wird vertikal in die Luft geschleudert. Seine Anfangsge schwindigkeit beträgt 9.81 m/s. Berechnen Sie seine Höhe h 1 nach 1 Sekunde und h 2 nach 2 Sekunden. Aufgabe 4: Ein Körper wird fallengelassen. Nach 45.00 m Fallhöhe schlägt er auf dem Boden auf. a) Welche Endgeschwindigkeit weist er auf? [m/s] und [km/h] b) Wie lange dauert der Fall? Seite 10 von 54 LZ beurteilen berechnen konstruieren erklären nennen Rechnen mit Kräften - Gewichtskraft, Masse und Ortsfaktor - Dichte - Darstellung von Kräften unterscheiden Physik für Bauberufe Praktische Aufgaben aus der Mechanik anwenden können Besprechen LG GA 8 Lek Kraftbegriff Die Kraft ist die Ursache jeder Bewegungsänderung oder Formänderung. Beispiele: Billard, Kegeln Autokollision usw... Gewichtskraft ist die Kraft, mit der ein Körper von der Erde angezogen wird. Sie wirkt i mmer in Richtung Erdmittelpunkt, also vertikal, und greift immer im Schwerpunkt des Kö rpers an. Die Beschleunigung im freien Fall beträgt auf der Erdoberfläche Die Beschleunigung auf der Mondoberfläche g = 9.81 m/s 2 g = 1.62 m/s 2 Eine Masse von 1kg erzeugt auf der Erde somit eine Gewichtskraft von: F G = m x g = 1kg x 9.81 m/s 2 = 9.81 mkg/s 2 = 9.81 N Dichte: Bei verschiedenen Körpern aus gleichem Material stellt man fest, dass die Masse der Kö rper proportional zu ihrem Volumen ist. Im V-m-Diagramm ergibt sich eine Ursprungsgerade, deren Steigung vom verwendeten Material abhängt. Der Quotient aus m und V wird als Dich te bezeichnet. Eisen Masse [m] m Die Einheit der Dichte ist 1 v FG m g V g Aluminium Volumen [V] Beispiel: Berechnen Sie die Gewichtskraft F G einer quadratischen Stahlplatte mit folgenden Massen: 1.80m x 1.80m, Dicke Stahlplatte 14mm (Dichte Stahl = 7'850 kg/m 3 (g=10m/s 2 ) Lösung: Seite 11 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben Aufgabe 1: Eine 3cm starke Granitplatte mit den Abmessungen 30cm/21cm hat eine Masse m = 4.9 kg. B erechnen Sie die Dichte dieser Granitplatte. Aufgabe 2: Welche Masse hat ein rundes Tischplatt 70 cm, 3cm stark aus Granit der Aufgabe 1? Aufgabe 3: Berechnen Sie die Masse [to] eines quadratischen Einzelfundamentes mit folgenden Massen: 2.00m x 2.00m x 0.65m bewehrt! (Dichte Beton = _________ ) Aufgabe 4: Nenne 4 verschiedene Kräfte in der Praxis! Aufgabe 5: Wie ist die sogenannte Gewichtskraft definiert? (Angabe durch Formel inkl. Einheit) Aufgabe 6: Welche Seitenabmessungen darf eine 2cm starke quadratische Granitplatte maximal haben, damit sie nicht schwerer als 50 kg wiegt ? ( ρ G ran i t aus Aufgabe 1) Seite 12 von 54 Physik für Bauberufe Darstellung von Kräften Die Kraft ist eindeutig bestimmt, wenn folgende drei Grössen bekannt sind: Wirkungsgerade: Die Wirkungsgerade zeigt an, in welcher Richtung eine Kraft wirkt. Häufig wird sie auch als Wirkungslinie (WL) bezeichnet. Angriffspunkt: Der Angriffspunkt (A) ist ein Punkt auf der Wirkungsgeraden. Er kann, muss aber nicht auf einem Körper liegen. Kraftmassstab: Um Kraftgrössen aufzuzeichnen verwendet man einen geeigneten Kräftemassstab, z.B. 1cm entsprechen 50 N Zeichnerische Darstellung einer Kraft: Lageplan Darstellung der Situation (massstäblich) z.B. 1:50 A Kräftemassstab Darstellung der Kräfte WL, A, Kraftgrösse im Kräftemassstab 1cm = 2kN A F1 WLF1 Merke: Eine Kraft darf längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass dadurch ihre Wirkung verä ndert wird. Beispiel: Verschiebe die beiden Kräfte F 1 und F 2 in ihren gemeinsamen Angriffspunkt A. F1 = 20 kN F2 = 15 kN Seite 13 von 54 Physik für Bauberufe Resultierende von Kräften mit gleicher Wirkungslinie Greifen an einem Körper mehrere Kräfte an, so können diese durch eine Einzelkraft ersetzt werden ohne dass sich dadurch die Gesamtwirkung verändert. Diese Einzelkraft stellt in Bezug auf die Wirkungslinie die Summe der anderen Kräfte dar, das Resultat der Addition der anderen Kräfte. Man nennt sie die Resultierende Kraft, oder kurz die Resultierende. Die Resultierende ist der Summe der anderen Kräfte wirkung sgleich: F R = F 1 + F 2 + F 3 + F n + ..... Rechnerische Lösung: Man ordnet der einen Kraftrichtung ein positives, der anderen ein negatives Vorzeichen zu. Die Resultierende kann nun als Summe der Einzelkräfte unter Berücksichtigung der Vorzeichen e rmittelt werden: Beispiel: gegeben sind die Kräfte gesucht ist die F 1 =-9.81N, F 2 = +4.905N, Resultierende Kraft F R F R = F 1 + F 2 + F 3 + F n + ..... F R = +(-9.81N) + (+4.905N) = -4.905N (F R ist negativ, wirkt also nach links) Graphische Lösung: Der Kräftemassstab für den Kräfteplan wird entsprechend der Grösse der Krä fte und dem zur Verfügung stehenden Platz festgelegt. D ie Kräfte werden nun massstäblich gezeichnet und in beliebiger Reihenfolge aneinandergereiht. Die Resultierende erscheint als Strecke zwischen dem Anfang der ersten und dem Ende der letzten aufgezeichneten Kraft. Die Richtung der Resulti erenden ist durch den Anfangs- und den Endpunkt gegeben. F1 F2 FR Aufgabe: Je drei Schüler der Klasse A und B messen sich im Seilziehen. Die Schüler A ziehen nach rechts. Die Schüler ziehen mit folgenden Krä ften: Schüler Hansueli Peter Sergio Gino Reto Sepp Klasse A B A A B B Zugkraft 190N 160N 200N 250N 270N 240N Ermittle F R : a) graphisch und b) rechnerisch a) graphisch b) rechnerisch Seite 14 von 54 Physik für Bauberufe Ermittlung der Resultierenden zweier Kräfte Die Resultierende F R von 2 Kräften, deren Wirkungslinie nicht parallel sind, lässt sich durch das Zeichnen des Kräfteparallelogramms (also graphisch) besti mmen. Für das Berechnen der Resultierenden ist die Kenntnis der Trigonometrie Voraussetzung. Die Resultierende erscheint im Kräfteparallelogramm als Diagonale. Die Richtun g entspricht der Richtung der beiden anderen Kräfte im Parallelogramm entweder vom gemeinsamen Angriff spunkt weg oder darauf zu. Vorgehen: 1. Die Richtung der gegebenen Kräfte werden vom Lageplan parallel in den Kräfteplan verschoben und so angeordnet, dass die Pfeile beider Kräfte entweder vom gemei nsamen Schnittpunkt A weg oder darauf zu zeigen. Die Kräfte werden im Kräftemas sstab vom gemeinsamen Schnittpunkt A aus als Strecke eingetragen. Lageplan 1:50 Kräfteplan 1cm = 100N F1 F2 = 150N F1= 250N 400 150N 400 .A 150 F2 N 400 400 2. Der Kräfteplan wird zum Parallelogramm ergänzt: 150N 150 N F1 400 3. .A 15 F2 400 0N 400 150N Die Resultierende wird als Diagonale vom gemeinsamen Schnittpunkt 15 A aus eingetragen. Die Länge kann im Kräftemassstab herausgemessen werden. 0N Die Richtung entspricht derjenigen der ursprünglichen Kräfte entweder vo m gemeinsamen Schnittpunkt A weg oder drauf zu. F1 FR 400 .A 400 15 F2 400 0N 400 150N 15 Richtung als Pfeil 4. Die Resultierende wird parallel in den Lageplan zurückverschoben, ihre eingetragen und die Grösse angeschrieben. 0N 15 0N F1= 250N F2 = 150N F1 FR 400 FR= 355 150N 400 15 0N 400 .A 15 F2 400 0N 400 150N 15 0N Seite 15 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben Aufgabe 1: Bestimme graphisch die Resul tierende aus der Erddruckkraft F E und der Gewichtskraft F G der gegebenen Stützmauer. Lageplan 1:50 Kräfteplan 1cm = 20kN FE= 50 kN FG= 83 kN Aufgabe 2: Ermittle graphisch die Kräfte in den Stangen der Aufhängung des Wirtshausschildes zur Sonne. Das Schild wiegt 112kg. (g=10 m/s 2 ) Lageplan 1:50 Kräfteplan 1cm = 200 N Masse m = 112 kg Seite 16 von 54 Physik für Bauberufe Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten Eine Kraft lässt sich mit Hilfe des Kräfteparallelogramms in zwei Kräfte mit gegebenen Richtu ngen zerlegen. Die beiden neuen Kräft e nennt man die Komponenten der gegeb enen Kraft. Dabei muss die Voraussetzung erfüllt sein, dass die Wirkungslinien der Komponenten und der gegeb enen Kraft im Lageplan einen gemei nsamen Schnittpunkt haben. Vorgehen: 1. Die drei gegebenen Wirkungslinien w erden vom Lageplan parallel in den Kräfteplan verschoben und so angeordnet, dass sie sich dort in einem gemeinsamen Schnit tpunkt A schneiden. Die gegebene Kraft wird im Kräftemassstab vom gemeinsamen Schnittpunkt A aus auf ihrer Wirkungslinie als Streck e eingetragen. Lageplan 1:50 Kräfteplan 1cm = 100N WL2 WL2 WL1 WL1 WL1 Strassenlaterne FG= 200N 2. A FG Der Kräfteplan wird so zum Parallelogramm ergänzt, dass die gegebene Kraft darin zur Diagonalen wird. WL2 WL1 A WL1 3. FG Die Komponenten der gegebenen Kraft erscheinen massstäblich als Seiten des Parallelogramms. WL2 WL1 F1 A WL1 FG F2 4. Die Pfeile der Komponenten werden nun in den Lageplan übertragen und die ermittelten Grössen angeschrieben. WL2 WL2 WL1 F1 = 440 N WL1 WL1 F2 = 460 N Strassenlaterne FG= 200N F1 A FG F2 Seite 17 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben Aufgabe 1: Ein Fahrzeug auf einer steilen Strasse hat ein Gewicht G= 40 KN. Wie gross sind die Teilkräfte D und Z senkrecht und parallel zur Stra ssenoberfläche? D = Druckkraft der Räder auf die Strasse Z = Kraft, die das Abrollen des Fahrzeuges verursacht Lageplan 1:50 Kräfteplan 1cm = 20kN Wz S Z D WD G=40KN Aufgabe 2: Ermitteln graphisch Sie die Horizontalkraft F H und Vertikalkraft F v beim vorliegenden Dachdetail. Der Winkel beträgt 45°. Lageplan 1:10 Kräfteplan 1cm = 2 kN 10 kN 10 t <= h/4 80 0 160 FH Fv 80 160/80 Seite 18 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 3: Ermitteln Sie graphisch die beiden Kräfte F1 und F2! und welche Vorzeichen besitzen di ese beiden Kräfte? Einheit [N], (mit g = 10 m/s 2 ) Lageplan Kräfteplan 1cm = 500 N F1= ? 50 Grad 80 Grad m= 250 kg ? F2= Aufgabe 4: Ein über eine Rolle geführtes Seil hat ein Zugkraft von S= 6 KN zu übertr agen. Wie gross ist die Resultierende? Lageplan Kräfteplan 1cm = 2 KN S1=6 kN S2=6 kN Y-Achse 45 kN Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Resultierende R graphisch F1 F2 = 45 kN = 80 kN 70 Grad 1=70 ° 2,=-15 ° X-Achse 15 Grad 80 kN Seite 19 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 6: Einzelfundament für Strebewerk Ermitteln Sie die Grösse, Richtung und Lage der Resultierenden R(F 1 ,G,F 2 ) auf graphische und rechnerische Weise. Kraft Lageplan Fh F1 F2 = 7.5 kN F1 = 10 kN Fy G 30° F2 45° G = 5.0 kN graphisch Aufgabe 7: Gesucht: a) Grösse, Richtung () von R b) Abstand zwischen R und Aufl ager A Lösen Sie die Aufgabe graphisch und rechnerisch F1= 21 kN F3= 18 kN F2= 42.42 kN 45° Ah 0.8 m Av 1.60 m 2.20 m 0.9 m Bv Seite 20 von 54 Physik für Bauberufe Das Drehmoment Definition der physikalischen Grösse "Drehmoment" Besitzt ein ausgedehnter Körper eine feste Drehachse, so kann dieser Körper durch die Einwirkung einer Kraft nicht verschoben, sondern nur um diese Achse gedreht werden. In einem solchen Fall ist nicht nur die Grösse der Kraft, sondern auch der Abstand zu r Drehachse wichtig. Je grösser dieser Abstand, desto grösser die Drehwirkung der angreifenden Kraft. Diese Tatsache liegt schon dem Hebelgesetz zugrunde, bei dem es heisst: "Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Las tarm". A B F1*a = F2*b festes Drehlager F2 F1 b a Das Drehmoment einer Kraft bezüglich einer Drehachse ist definiert als das Produkt aus dem Betrag der Kraft und dem Abstand vom Drehpunkt zur Wirkungslinie der Kraft. Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn das im Uhrzeigersinn wirkende Drehmoment ebenso gross ist wie das im Gegenuhrzeigersinn wirkende Drehmoment. Beispiele von Drehmomenten Unter dem Drehmoment versteht man also das Produkt aus der Kraft und dem rechtwinkligen Abstand zwischen ihrer Wirkungslinie und dem Dre hpunkt. Drehmoment = Kraft mal Abstand M=Fxa Die Einheit des Drehmomentes ergibt sich aus der Multiplikation der Einheiten von Kraft und Abstand. Einheit Kraft N kN Einheit Abstand m m Einheit Drehmoment Nm kNm Vorzeichen des Drehmomentes Bewirkt ein Drehmoment eine Drehung im Uhrzeigersinn, so bezeichnet man dieses Drehmoment als positiv Bewirkt ein Drehmoment eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn, so bezeichnet man dieses Drehmoment als negativ + 400 15 0 400 N 15 0 N Seite 21 von 54 Physik für Bauberufe Addition von Drehmomenten Das resultierende Drehmoment M R hat die gleiche Wirkung auf den Körper wie di e Summe aller Teildrehmomente. Das resultierende Drehmoment M R kann durch Addition der Teildrehmomente ermittelt we rden. Achtung (Vorzeichenregelung beachten!) MR = M1 + M2 + M3 + M4 + …. Beispiel: Gegeben : M 1 = +1.2 kNm, M 2 = -1.8 kNm, M 3 = -2.6 kNm M 4 = +1.6 kNm, M 5 = -2.2 kNm M3 Gesucht: Resultierendes Drehmoment MR M5 MR = + M1 + M2 + M3 + M4 + M5 D M2 M1 M4 M R = +(+1.2 kNm) +(-1.8 kNm) +(-2.6 kNm) +(+1.6 kNm) +(-2.2 kNm) M R = +1.2 kNm -1.8 kNm -2.6 kNm +1.6 kNm+(-2.2 kNm) = - 3.8kNm Gegeben ist folgende Lageskizze mit F1 = 8 kN. Berechnen Sie das Drehmoment M 1 bezüglich Drehpunkt D. F1 45° D 4.80m 1.20m Seite 22 von 54 Physik für Bauberufe Das Kippmoment M K Jede Kraft, die einen Körper (z.B. eine Stüt zmauer) zum Kippen bringen könnte, erzeugt ein Kippmoment. Das Kippmoment ist das Drehmoment der Kraft, bezogen auf die Kippkante als Drehpunkt. Das Gesamtkippmoment M K entspricht der Summe der einzelnen Kippmome nte. K MK Das Standmoment M s Jede Kraft, die einen Körper (z.B. eine Stüt zmauer) am Kippen hindert, erzeugt ein Stan dmoment. FG Das Standmoment ist das Drehmoment der Kraft, bezogen auf die Kippkante als Drehpunkt. Das Gesamtstandmoment M s entspricht der Summe der einzelnen Standmomente. K Ms Beispiel: Gegeben ist der skizzierte Turmdrehkran Standmoment Ms = 200 kNm, Kippsicherheit sk = 1.5 Berechnen Sie die zulässige Gewichtskraft in kN und die zulässige Masse der Lasten in kg bei einem Abstand a = 2.50m!, (mit g = 10 m/s 2 ) Berechnung: Drehpunkt FG m a Seite 23 von 54 Physik für Bauberufe Gleichgewichtsbedingungen 1 Gleichgewicht herrscht, wenn die Summe aller Drehmomente gleich Null ist. 2 Gleichgewicht herrscht, wenn die Summe aller Kräfte gleich Null ist. Alle Kräfte und Drehmomente, die auf einen Körper wirken, müssen also die folgenden Bedi ngungen erfüllen, wenn der Körper im Gleic hgewicht sein soll: 1 2 Summe M = 0 Summe F = 0 oder oder keine Drehung MR = 0 keine Verschiebung FR = 0 Die Kippsicherheit S K Bei Gleichgewicht steht z.B. eine Stützmauer nur auf der Kippkante, d.h. sie b efindet sich im labilen Gleichgewicht. Die Resultierende aller Kräfte geht in diesem Zustand genau durch die Kippkante. Eine kleinste Veränderung der Kräfte könnte sie zum Kippen bri ngen. . 4 0 0 FG 1 5 0 N MS + MK = O K Ms MK Labiles Gleichgewicht Damit dies mit Sicherheit nicht eintritt, muss das Standmoment mindestens 1.5 mal grö sser sein als das Kippmoment. Wenn diese Bedi ngung erfüllt ist, steht die Mauer im st abilen Gleichgewicht. Die Resultiere nde aller Kräfte geht durch die Fundamentsohle. FG SK = MS / MK => 1.5 K MS / MK MS => 1.5 oder => MK x 1.5 MK <= Ms / 1.5 Ms MS > MK MK Stabiles Gleichgewicht Seite 24 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben Aufgabe 1: Bestimmen Sie das Drehmoment auf den Zahnkranz, wenn eine Person mit seiner Masse von 70 kg in die Pedale steht. Der Hebelarm sei 26 cm. Aufgabe 2: Bestimmen Sie den Abstand a der Wippe, so dass diese im Gleichgewicht ist. festes Drehlager m2=35 kg m1=82 kg b=1.80m a Aufgabe 3: Berechnen Sie die Zugkraft in der Schraube infolge d er Aufhängung des Wirtshausschildes zur Sonne. (g=9.81m/s 2 ) 16 42 m=36kg Seite 25 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 4: Kranbahn mit Graben und einer Masse m1 = 3.7 t F G 1 , M 1 (F G ,1 ) und F 2 bei Gleichgewicht mit g = 10 m/s 2 F2 Gesucht: F2 ___ = F2,v 2 45° Drehpunkt D 1.80 m F2,H W L2 m1 1.80 m 2.20 m 2.50 m Aufgabe 5: F1 Lageskizze, F1 = 35 N M1 45° 65 0m m Gegeben: Gesucht: D 2. Lösung mit Kräftezerlegung (Komponenten von F1) Aufgabe 6: Gegeben: Gesucht: Lageskizze, F1 = 15 N M1 F1 30° 50 0m m D 2. Lösung mit Kräftezerlegung (Komponenten von F1) Aufgabe 7: Gegeben: Gesucht: Lageskizze, F1 = 60 N M1 7 5 0 m m D 1 3 5 ° F 1 2. Lösung mit Kräftezerlegung (Komponenten von F1) Seite 26 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 8: F1 = 15 kN, F2 = 21 kN und F3 = 5 kN M(F1), M(F2), M(F3) und MR(1,2,3) 3.20m Gegeben: Gesucht: D 45° 2.25m Aufgabe 9: Gegeben: Gesucht: F1 = 19 kN, FG = 37 kN Drehpunkt in A: M(F1,FG) und FB für Gleichgewicht Drehpunkt in B: M(F1,FG) und FA für Gleichgewicht Resultierende FR (FA, F1, FG, FB) F1 A B FG ½ 2.31 m ½ 6.14 m Seite 27 von 54 LZ beurteilen berechnen konstruieren unterscheiden nennen Festigkeitslehre - Beanspruchungsarten - Druck- und Zugspannungen - Druck- und Zugfestigkeit erklären Physik für Bauberufe Praktische Aufgaben aus der Mechanik anwenden können Besprechen LG GA 4 Lek Beanspruchungsarten Unter der Belastung werden Bauteile in ihrer Form verändert. Sie erfahren eine Formänderung. Diese Formänderung bezeichnet man als Deformation. Fertig eingebaute Bauteile werden durch die vorgesehenen Beanspruchungen nur elastisch deformiert, sie erfahren also eine elastische Deformation. Bei Entlastung eines elastisch defo rmierten Bauteil bilden sich die Deformationen fast vollständig zurück d.h. der Bauteil nimmt wieder seine ursprüngliche Form ein. (z.B. Durchbiegung einer Balkonplatte) Bei der Formgebung während der Herstellung eines Bauteils belastet man das Material tei lweise so hoch, dass eine bleibende Formänderung eintritt. Diese bleibende Veränderung der Form bezeichnet man als eine plastische Deformation. Nach der Entlastung bleibt die neue Form enthalten. (z.B. Abbiegen von Bewehrungsstäben) Die Art der Deformation hängt von der Art de r Beanspruchung ab: Belastungsart Belastung durch Deformation Zerstörung Zug Zugkraft Dehnung Reissen Knicken Druckkraft Biegung Brechen Druck Druckkraft Stauchung Zerdrücken Biegung Biegemoment Biegung Brechen Schub Schubkräfte Scherung Abscheren Torsion Drehmoment Verdrehung Torsionsbruch Skizze Zugspannung, Zugfestigkeit Aus Erfahrung wissen wir, dass die Grösse der Zugkraft und die Querschnittfläche des beanspruchten Teiles für die Tragfähigkeit mas sgebend sind. Seite 28 von 54 Physik für Bauberufe Die Definition der Zugspannung Unter Zugspannung versteht man den Quotienten aus der Zugkraft und der beanspruchten Querschnittfläche. Zugspannung = Zugkraft F Querschnittfläche = A Als Symbol für eine Spannung wird das kleine griechische s verwe ndet: Der Index z weist darauf hin, dass es sic h um eine Zugspannung handelt: z Die Einheit für die Zugspannung ergibt sich aus deren Berechnung: N/mm 2 Beispiel: An einem vertikalen Kantholz mit den Querschnitt abmessungen 50 / 50 mm ist eine Last von 1.7 t aufgehängt. Berechne die Zugspannung im H olz. A = 50 x 50 = 2'500mm 2 F G = 1'700 kg x 9.81m/s 2 = 16’667N z = 16’667N / 2’500mm 2 = 6.67N/mm 2 Die Definition der Zugfestigkeit Unter Zugfestigkeit eines Materials versteht man diejenige Zugspannung, bei der das Material reisst. Die Zugfestigkeit ist eine Materialkonstante, d.h. jedes Material hat eine ganz bestimmte Zugfestigkeit. (Die Zugfestigkeit kann auch als Bruchfestigkeit bezeichnet werden) Als Symbol für eine Spannung werden das kleine f verwe ndet: f Der Index tk weist darauf hin, dass es sich um eine Zugfestigkeit handelt: ftk Die Einheit für die Zugspannung ergibt sich aus deren Berechnung: N/mm 2 Damit die im Bauteil vorhandenen Spannung mit Sicherheit unter der Bruchspannung liegt, schreiben die Normen je nach Baustoff zulässige S pannungen vor. Ferner muss nachg ewiesen werden, dass sich die Formänderungen im zulässigen Rahmen bewegen. Diese sind oft auch von der Anwendung des Baustoffes abhängig, sodass die Grösse der zulä ssigen Spannungen eines und desselben Baustoffes verschiedene Werte aufweisen kann. (z.B. für Holz) Baustoff Zugfestigkeit f t k Baustahl S500 N/mm 2 Beton unbewehrt N/mm 2 Nadelholz (längs zur Faser) ca. N/mm 2 zul. Spannungen f z u l bis N/mm 2 N/mm 2 ca. N/mm 2 Seite 29 von 54 Physik für Bauberufe Die Deformation infolge Zugspannung Jedes Material verändert unter der Einwirkung von Kräften seine Form. Es wird deformiert. Zugkräfte bewirken eine Dehnung des Materials. Diese Längenzunahme hat eine Veränd erung der Querschnittsfläche zur Folge, da das Volumen des Zu gstabes erhalten bleibt. Die Länge l sei die ursprüngliche Länge des unbelasteten Stabes [mm, cm,....] F’ F l l ist dabei Dehnung oder die Längenänderung Die spezifische Längenänderung berechnet sich als Quotient aus der Dehnung und der ursprünglichen Länge. Als Symbol für die spezifische Längenänderung wird das kleine griechische e verwendet. Dabei handelt es sich um eine Verhältniszahl. Diese ist eine reine Zahl und hat also keine Einheit [1] Längenänderung = Ursprüngliche Länge = l l 0 Oft wird die Dehnung auch in % der ursprünglichen Länge angegeben: [%] = 100 x Längenänderung Ursprüngliche Länge = 100 x l l Beispiel: Ein Stab hat einen Durchmesser von 28 mm und wird mit einer Masse von 1'280 kg auf Zug beansprucht. Dabei wird der Stab um 128 mm gedehnt. Seine ursprüngliche Länge betrug 15'900 mm. (mit g = 10 m/s 2 ) Berechnen Sie: a) die Zugkraft F b) die Zugspannung im Stab c) die spezifische Längenänderung in % m Seite 30 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben Aufgabe 1: Berechne die vorhandenen Zugspannungen in den folgenden Stäben: Querschnitt Zugkraft Einheit Zugspannung a) 30/40 mm 12.45 kN N/cm 2 z = b) 23 mm 18’500 N N/mm 2 z = c) 32/48 cm 24.5 kN N/mm 2 z = Aufgabe 2: Welche Spannung wirkt auf eine kreisförmige Öffnung am Boden eines Schwimmbeckens, wenn das Bad 4.3 m tief und der Radius der Öffnung 63 cm ist ? Aufgabe 3: Welche Abmessungen hat ein quadratisc her Zugstab aus Nadelholz, wenn er bei einer Zu gkraft von 1'782 kN reisst? (Annahme Bruch = 55 N/mm 2 ) Aufgabe 4: Ein 3.466m langer Stab wurde unter der Wirkung der Zugkraft F um 19mm länger. Der Stab hat einen Durchmesser von 53mm und steht unter ei ner Zugspannung von 1'040 N/cm 2 . Berechnen Sie: a) die Zugkraft F b) die spezifische Längenänderung in Prozent Seite 31 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 5: Ein 8.0m langer Stahlstab soll 142 kN Zug aufnehmen. Die zulässige Spannung kann mit 160 N/mm 2 angenommen werden. Lieferbar sind lediglich Durchmesser mit geraden Zahlen (12, 14, 16, 18 usw...) Berechnen Sie: a) b) c) d) e) den erforderlichen Querschnitt in mm 2 den erforderlichen Durchmesser den lieferbaren Durchmesser (runden) die vorhandene Spannung (im gelieferten Stab) die Dehnung im gelieferten Stab Aufgabe 6: Ein betoniertes Einzelfundament mit einer Dichte ρ = 2'400 kg/m 3 steht auf einem Untergrund mit einer zulässigen Bodenpressung von 0.18 N/mm 2 . Wie gross darf eine zentrisch auf das Fundament wirkende Kraft se in, wenn der Sicherheitsfaktor 1.6 beträgt? (g = 10 m/s 2 ,Resultat auf 2 Stellen nach dem Komma) Achtung: Eigengewicht der Fundamentplatte berücksichtigen! = 1.6 x F z u l / A 40 Fzul = ? 250 / 250 [cm] Aufgabe 7: Ein quadratisches Stützenfundament wird mit 180 kN belastet (inkl. Eige ngewicht). Die zulässige Bodenpressung beträgt 20 N/cm 2 . Wie breit muss die Fundamentseite sein? (Resultat aufrunden) Seite 32 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 8: Berechne den erforderlichen Querschnitt einer quadratischen Zugstange (Fläche in mm 2 und die Abmessung in mm), die durch eine Zugkraft von 62 kN belastet wird. Die zulässige Spannung des Materials beträgt: a) 1’1000N/cm 2 b) 17 kN/cm 2 c) 83 N/mm 2 Aufgabe 9: Ein Stahlstab hat eine Länge von 4322mm und eine Querschnittsfläche von 18.7cm 2 . Unter der Wirkung einer Zugkraft F wird er um 0.30cm gedehnt. Der Elastizitätsmodul von Stahl ist b ekannt. Berechnen Sie: a) Wie gross ist die Zugkraft F? b) Wie gross ist die vorhandene Zugspannung? Aufgabe 10: Wie gross ist die maximale Tragfähigkeit F m ax einer kurzen Säule aus Stahl? Die Querschnittsfläche ist ein Kreisring mit da = 200 mm und di = 160 mm. Die zulässige Spannung sei σd zu l = 160 N/mm 2 Fmax di=160mm da=200mm Seite 33 von 54 LZ beurteilen berechnen konstruieren unterscheiden nennen Mechanik der Flüssigkeiten - Definition - Druck in offenen und geschlossenen Gefässen - Kommunizierende Gefässe - Auftrieb erklären Physik für Bauberufe Praktische Aufgaben aus der Mechanik anwenden können Besprechen LG GA 5 Lek Definition Flüssigkeiten haben ein Volumen, aber keine Gestalt, d.h. sie nehmen die Form i hres Gefässes an. Druck geben sie nach allen Seiten auf ihr Gefäss ab. Der Flüssigkeitsdruck wirkt stets senkrecht zur Gefässwand. Flüssigkeiten kann man als inkompressibel, als nicht zusammendrückbar annehmen. Auch unter Druck behalten sie ihr Volumen bei . Anwendungen: hydraulische Kraftübertragung (Baumaschinen), Brem ssysteme F Die Hydromechanik ist die Lehre von den Flüssigkeiten. Sie lässt sich unterteilen in: - die Hydrostatik (Lehre der ruhenden Flüssigkeiten) - die Hydrodynamik (Lehre der bewegten Flüssigkeiten) Einheiten für die Druckmessung in Flüssigkeiten und Gasen Das Bar wird vorwiegend für Flüssigkeitsdruck, aber auch für Gasdruck verwe ndet: 1 bar = 10 N/cm 2 = 100'000 N/m 2 = 100 kN/m 2 1 bar entspricht: - der Belastung durch eine Masse von 10.19368 t/m2 oder - dem Druck einer Wassersäule von 10.19368 m Höhe oder - dem Druck einer Quecksilbersäule von 749.54 mm Höhe. Das Pascal verwendet man für sehr kleine Flüssigkeits - und Gasdrücke: 1 pa = 1 N/m 2 = 0.00001 bar, 1 bar = 100'000 pa Die Atmosphäre (at) ist eine alte Einheit für Flüssigkeits - und Gasdrücke. Sie sollte nicht mehr gebraucht werden, ist aber im Volksmund noch weit verbre itet. 1 at = 0.981 bar, 1 bar = 1.019368 at Seite 34 von 54 Physik für Bauberufe Druck im offenen Gefäss Der Druck einer Flüssigkeit auf die Gefässwand infolge ihres Eigengewichtes nennt man hydrostatischen Druck. Er hängt ab von der Dichte der Flüssigkeit und von der Lage des Messpunktes (Tiefe ab Flüssigkeitsspiegel). Auch dieser Druck wirkt stets senkrecht zur Gefässwand. Im offenen Gefäss wirkt nur der hydrostatische Druck. h P P = h x x g / 100 P = hydrostatischer Druck in bar h = Tiefe in m = Dichte in kg / dm 3 g = Fallbeschleunigung( 9.81 m/s 2 ) Druck im geschlossenen Gefäss A Wird eine Flüssigkeit in einem geschlossenen Gefäss unter Druck gesetzt. So gibt sie diesen Druck nach allen Seiten sen krecht zur Gefässwand weiter. Der Druck der Flüssigkeit auf die auf die G efässwand infolge der eingeleiteten Kraft ist überall gleich gross. Bei geschlossenen Gefässen mit kleiner Höhe kann der hydrostatische Druck vernachlässigt werden p p v P F p P p p=F/A Anwendung: Hydraulische Kraftübertragung F1 Die Kraft auf den Kolben 1 (Kolbenkraft F 1 ) erzeugt in der Flüssigkeit den Druck p. Diese drückt mit dem Druck p gegen den Kolben 2. Die Reaktion des Kolbens 2 ist die Kolbenkraft F 2 . F2 A2 s1 p A1 S2 p Merke: F1 : F2 = A1 : A2 s1 : s2 = A2 : A1 Seite 35 von 54 Physik für Bauberufe Kommunizierende Gefässe Kommunizierende Gefässe sind offene Gefässe, die untereinander verbunden sind. Sie kö nnen als ein Gefäss betrachtet werden. Aus dieser Betrachtungsweise ergibt sich logische rweise: Bei einheitlicher Dichte der Flüssigkeit stellt sich der Flüssigkeitsspiegel überall auf gleicher Höhe ein. (Ausnahme bilden lediglich Gefässe, deren Wände sehr nahe be ieinander stehen. Dort steigt der Flüssigkeitsspiegel infolge K apillarität der Flüssigkeit.) Bei unterschiedlicher Dichte der Flüssigkeiten stellt sich der Flüssigkeitsspiegel der dichteren Flüssigkeit tiefer ein. Merke: h1 : h2 = 2 : 1 1 h1 h2 2 1 Beispiel: Wie viel Oel kann der skizzierte Oelabscheider aufnehmen ? Der Raum für die Aufnahme des zurückgehaltenen Oeles ist 1.00m lang und 70cm breit. h2 = h1 x 1/2 h Oel = 0.9g/cm3 60cm Seite 36 von 54 Physik für Bauberufe Auftrieb in Flüssigkeiten Das Wasser trägt grosse und schwere Eisenschiffe. Doch jeder Eisennagel g eht sofort unter. Warum schwimmen Schiffe? Die Auftriebskraft. Versucht man einen Stein unter Wasser hochzuheben, so ist er dort leic hter als in der Luft. Das kann man mit einem Kraftmesser nac hprüfen. Am Stein selbst ändert sich beim Eintauchen nichts. Er muss daher auch unter Wasser seine volle Gewichtskraft h aben. Der scheinbare Verlust an Gewichtskraft muss auf einer Kraft beruhen, die nach oben wirkt: Sie heisst Auftriebskraft. Die Auftriebskraft eines eingetauchten Körpers ist so gross wie die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge (Archimedisches Gesetz). FA = V x x g FA = Auftriebskraft in [N], [kN] V = Volumen der verdrängten Flüssigkeit [dm 3 ], [m 3 ] = Dichte der verdrängten Flüssigkeit [kg/dm 3 ], [t/m 3 ] g = Fallbeschleunigung auf der Erde [m/s 2 ] Sinken, Schweben, Schwimmen. Beim Eintauchen eines Körpers in eine Flüssigkeit entsteht eine Auftriebskraft, die der Gewichtskraft entgegen wirkt. Dieses Gegeneinander der beiden Kräfte kann unterschiedlich ausfall en, je nachdem, wie gross Gewichtskraft und Auftrieb skraft sind. Wenn ein Körper in der Flüssigkeit schwebt, also weder sinkt noch steigt, dann herrscht Kräftegleichgewicht: Gewichtskraft und Auftriebskraft sind gleich gross. Sinkt ein Körper, dann ist die Gewichtskraft grösser als die Auftrieb skraft. Wenn ein Körper schwimmt, dann ist er in Ruhe. Also gilt auch hier das Gleichgewicht der Krä fte: Gewichtskraft und Auftriebskraft sind gleich gross. Da die Gewichtskraft des Körpers aber fest vorgegeben ist, und die Auftriebskraft sich nach der verdrängten Flüssigkeitsmenge richtet, folgt: Ein schwimmender Körper taucht so tief ein, bis die Auftriebskraft so gross ist wie die Gewichtskraft. Ist Stoff < Flüssigkeit dann: Körper schwimmt Ist Stoff = Flüssigkeit dann: Körper schwebt Ist Stoff > Flüssigkeit dann: Körper sinkt Es kommt also darauf an, dass der Körper hohl ist. Dann kann er bei gle icher Gewichtskraft wesentlich mehr Wasser ve rdrängen und damit mehr Auftrieb erzielen. Das ist das Geheimni s der schwimmenden Eisenschiffe. Je grösser die Wasserverdrängung, desto grösser der Au ftrieb und die Ladefähigkeit. Ein U-Boot kann schwimmen, sinken, schweben und aufste igen, weil es seine Gewichtskraft verändern kann. Zum Tauchen wird Wasser in Fluttanks gelassen, und zum Auftauchen wird es durch Pressluft wieder herausgedrückt Seite 37 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben Aufgabe 1: Ein Arbeiter drückt mit der Kraft F 1 vertikal auf den Hebel der hydraulischen Presse. Der Kolben 1 hat einen Durchmesser von 3.7cm und kann 62mm einge presst werden. Der Kolben 2 hat einen Durchmesser von 11.0cm. Berechnen Sie für F 1 = 750N und F 1 ’ = 850N a) die Druckkraft Fk1 auf den Kolben 1 [N] b) den Flüssigkeitsdruck p in der Presse [N/cm2] c) die Kolbenkraft Fk2 bei Gleichgewicht [N] d) um wie viel wird der Kolben 2 bei einer Pumpbewegung gehoben? [mm] F2 1100 mm 200 mm F1 Fk1 Kolben 1 Kolben 2 Aufgabe 2: Berechne den statischen Wasserdruck in bar (also wenn das Wasser in den Leitungen stillsteht) bei den Hydranten A, B und C der skizzierten Wasserversorgung. (g = 9.81m /s 2 ) 634.20 A 582.05 B 565.7 0 543.10 C Seite 38 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 3: Ein Schwimmbecken hat eine Länge von 15.55m und eine Breite von 8.50m. Die Tiefe beträgt auf der einen Seite 3.50m, auf der anderen Seite 1.15m. Berechnen Sie den Druck a) auf den Boden an der tiefsten und niedrigsten Stelle in kg/m2 und b) auf die Wände bei den Wassertiefen 0m, 1.15m, 2.00m, 3.00m und 3.50m in kg/m2 c) Zeichne den Verlauf des Druckes auf den Boden massstäblich als Diagramm auf d) Zeichne den Verlauf des Druckes auf die 3.50m hohe Wand massstäblich als Di agramm e) Zeichne den Verlauf des Druckes auf die 1.15m hohe Wand massstäblich als Di agramm DruckDiagramm 1.15 m Druck p 3.50m DruckDiagramm Druck p Druck p Druck p Aufgabe 4: Wie weit taucht der hohle Betonschwimmkasten im Wasser ein? Seine Länge beträgt 10.00m, seine Breite 4.45m und seine Höhe 1.20m. Seine Gesamtdichte (Beton mit Hohlraum) beträgt 0.95t/m 3 . Seite 39 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 5: Das skizzierte Beton-Kellergeschoss liegt teilweise im Grundwasser. (Bode nplatte d = 20cm) 450 b) Wie gross ist die Auftriebskraft F A1 des Kellergeschosses, wenn es nicht leergepumpt ist? c) Wie gross ist die Auftriebskraft F A2 des Kellergeschosses, wenn es leergepumpt ist? 25 d) Wie dick muss die Kellerdecke auf dem fertigen Kellergeschoss sein, damit es mit einer Sicherheit von 1.5 nicht aufschwimmt? 500 25 a) Wie schwer ist das Kellergeschoss in Tonnen? 25 220 26 0 25 20 800 Berechnung: Seite 40 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 6: Das skizzierte Arbeitsfloss ist insgesam t 4.80 t schwer und schwimmt auf 2 Schwimmkörpern aus Stahl. Ihre Länge misst 8.20m, die Breite 2.30m und die Höhe 1.50m. Der zu hebende Felsbrocken hat ein Volumen von 12.3m 3 und eine Dichte 2.50 kg/dm 3 . Wie weit tauchen die Schwimmkörper ins Wasser ein? Eintauchtiefe t? Seegrund Berechnung: Aufgabe 7: Der abgebildete Stahlmantel mit 10 mm Wandstärke und einem Innendurchmesser von 400 mm wird mit Beton gefüllt und als Gegengewicht verwendet. Wie schwer wird dieses Gegengewicht? (Resultat auf 2 Stellen nach dem Komma) Dichte Beton = 2'400 kg/m 3 800 200 Dichte Stahl = 7'850 Di = 400 kg/m 3 Seite 41 von 54 LZ beurteilen berechnen konstruieren unterscheiden nennen Reibung - Definition - Gleitreibung und Haftreibung - Rollreibung erklären Physik für Bauberufe Praktische Aufgaben aus de r Mechanik anwenden können Besprechen LG GA 3 Lek Definition Wenn wir versuchen, einen Körper auf einer Unterlage zu verschieben, so bemerken wir einen Widerstand. Dieser Widerstand ist vorhanden, bevor die Bewegung eintritt, und er bleibt während der Bewegung bestehen. Er hängt vom Gewicht des zu verschiebenden Körpers und von der Art der sich berührenden Oberflächen ab. Den Widerstand vor dem Eintreten der Bewegung nennen wir Reibung der Ruhe oder Haftreibung, den Widerstand während der Bewegung Reibung der Bewegung oder Gleitreibung. Im Bauwesen ist die Haftreibung von grosser Bedeutung, da ein Gleiten oder Verschieben eines Baukörpers auf dem Baugrund vermieden werden muss. Neben einer ausreichenden Kippsicherheit (Seite 23) muss also auch eine genügende Gleitsicherheit bei Bauwerken gewährleistet sein. Die vor dem Eintreten einer Bewegung vorhanden Haftreibung kann Werte zwischen null und einem Maximalwert annehmen. Der Maximalwert ist nach Versuchen mit guter Näherung der in der Berührungsfläche übertragenen Normalkraft N proportional; eine ausschlaggebende Rolle spielt die Rauhigkeit der Oberflächen, was durch den Reibungsbeiwert R ausgedrückt wird. Wir können also schreiben Maximaler Haftreibungswiderstand = Reibungsbeiwert mal Norma lkraft N max FR N Die Haftreibung F R ist stets der versuchten Bewegung entgegen gerichtet. Solange also die parallel zur möglichen Gleitfläche wirkende Kraft F P ar allel nicht grösser ist als der maximale Haftreibungswiderstand max F R , tritt keine Bewegung ein. N max FParallel max FR Die Gleitsicherheit wird nun wie folgt definiert: sGleit max imaler Haftreibungswiderstand Kraft parallel zur Gleitfläche s Gleit max FR N FH FH Für Bauwerke gilt eine Gleitsicherheit von 1.5 Seite 42 von 54 Physik für Bauberufe Anwendungen aus der Praxis Aufgabe 1: Ein Schrank wiegt 120 kg. Er soll verschoben werden. Die Reibungskoeffizienten betragen H = 0.40 (Haftreibung) und G = 0.37 (Gleitreibung). Wie gross ist die horizontale Kraft F, die notwendig ist, um den Schrank zu verschieben? a) Am Anfang b) Während des Gleitens Aufgabe 2: Für eine bewehrte Mauer ist die S tandsicherheit gegen Kippen und Gleiten zu untersuchen. Die horizontale Erddruckkraft greift 1/3 oberhalb der Fundamentsohle an. Mauerhöhe = 2.50m, Mauerbreite = 40cm, Erdruck Qe = 1.5 kN/m, R=0.76 FG Qe Aufgabe 3: 0.40m Untersuchen Sie folgende bewehrte Stützmauer auf Kippen und Gleiten, wenn der Reibungsbeiwert =0.60 Der vertikale Erdruck sei F EV = 30 kN Die Gewichtskräfte wirken stets im Sc hwerpunkt der betreffenden Flächen. Erdrücke auf die Wand FEH Tipp: Ermitteln Sie die Eigengewichte pro Laufmeter 0.70m FEV für die Wand F G ,Wan d und Fundament F G ,F u n dam e n t . 1.10m F EH = 50 kN A 1.00m 1.20m 0.30m Der horizontale Erdruck sei 1.90m beträgt. Seite 43 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 4: CADWORK File Seite 44 von 54 LZ beurteilen berechnen konstruieren unterscheiden nennen Bestimmung von Schwerpunkten - Allgemeines - Einfache Flächen - zusammengesetzte Flächen erklären Physik für Bauberufe Praktische Aufgaben aus der Mechanik anwenden können Besprechen LG GA 5 Lek CADWORK FILE Schwerpunkte Seite 45 von 54 Physik für Bauberufe Zusammengesetzte Flächen Beliebige Flächen von unregelmässiger Gestalt unterteilt man in einfache Teilflächen, deren Schwerpunkte leicht zu bestimmen sind. Nun berechnet man den Schwerpunkt der gesamten Fläche durch zweimaliges Anwenden des Momentensatzes bezogen auf die X - und y- Achse. y-Achse Anwendungsbeispiel: Nr A x Ax y Ay 1 6m 2 1m 6.0m 3 4.5m 27.0m 3 2 9m 2 1.5m 13.5m 3 1.5m 13.5m 3 3 4m 2 4m 16.0m 3 1m 4.0m 3 19m 2 2.0m 3.0m A1 S1 Xs 3.0m ys=2.342m S(xs/ys) 35.5m 3 35.50m 3 1.868m 19m 2 ys 44.5m 3 44.5 0 m 3 2.3 42 m 19m 2 A2 A3 S2 S3 x-Achse xs=1.868m 3.0m 2.0m Für jede Achse ist das statische Moment einer Fläche gleich der Summe der M omente der Teilflächen. A Xs Allgemeine Schreibweise: Xs Ai Xi Ai Xi A A ys ys Ai yi Ai yi A Seite 46 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 1: Eine Stützmauer hat den untenstehenden Querschnitt. Bestimmen Sie rechnerisch die Lage des Schwerpunktes xo und yo. (Masse in cm) y-Achse 15 52 Ai Xi Ai xi Yi Ai yi 112 Nr. (Ai xi)= (Ai yi)= 30 yo Ai = Xo = x-Achse xo Yo = 75 Aufgabe 2: Berechnen Sie die Koordinaten des Flächenschwerpunktes xs und ys 3m 1m 2m Nr. Ai Xi Ai xi Yi Ai yi 2m 2m 3m 1m (Ai xi)= (Ai yi)= 1m Ai = 2m 3m Xs = = m ys = = m 2m Seite 47 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 3: y-Achse Bestimmen Sie die Schwerpunkts- Koordinaten (xo / yo) der vorliegenden Figur. 20 50 40 60 10 Bezugsachse x-Achse 80 Aufgabe 4: Gegeben ist der vertikale Erdruck FEV = 82 kN/m. 0.20m a) FG pro Meter Mauerlänge b) Lage der Wirkungslinie von FG (Schwerpunktsabstand vom A) c) Wie gross darf der horizontale Erddruck FHE sein, wenn der Sicherheitsfaktor gegen Kippen 1.5 sein soll? 5:1 1.90m Gesucht: 0.70m FEV 1.10m FEH 1.00m 1.20m 0.30m A Seite 48 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 5: Gegeben ist ein Blechteil mit Aussparung. Alle Masse in cm. Gesucht ist der Schwerpunkt os, ps. 10 40 10 20 40 10 O 40 p Aufgabe 5: Gegeben ist ein Blechteil mit Aussparung. Alle Masse in cm. Gesucht ist der Schwerpunkt xs, ys. y 50 10 20 10 30 10 10 x 10 10 10 20 20 Seite 49 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 6: Berechnen Sie die Koordinaten xs und ys des Schwerpunktes untenstehender Fläche! 10 20 30 40 y-Achse x-Achse 5 20 50 70 Aufgabe 7: 80 10 60 10 Bestimmen Sie die Schwerpunkts- Koordinaten (xo / yo) in mm der vorliegenden Figur. 35 10 35 80 Seite 50 von 54 Physik für Bauberufe Aufgaben aus der Praxis Aufgabe 1: Ein Lastwagen steht auf einer Brücke. Die Achslasten sind: P1 = 30 kN, P2 = 35 kN, P3 = 35 kN Wie gross ist der Abstand x der Resultierenden vom l inken Brückenauflager? Die Aufgabe ist rechnerisch zu lösen. a= 1.5m, b= 2.8m, c= 1.0m, d= 1.5m P2 P1 a b c P3 d Aufgabe 2: Für das Abfangen einer Gebäudelast wird eine Rundholzstütze von d = 180 mm verwe ndet. Wie gross darf die Druckkraft auf den Deckenbalken aus Nadelholz werden? Der zulässige Querdruck für Nadelholz σd zul = 1,6 N/mm 2 d =180 Aufgabe 3: Bringen Sie mit einer Kraft F5 diesen Würfel ins Gleichgewicht. F1= 15 kN, F2 = 25 kN, F3 = 20 kN, F4 = 30 kN Lageplan Kräfteplan 1cm = 10kN Seite 51 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 4: Bestimmen Sie den vorhandenen Wasserdruck auf eine Quaimauer mit der Höhe h = 6.30m. Gesucht ist der Wasserdruck auf der Höhe des Schwerpunktes pro [m 2 ] und der gesamte Druck pro [m 1 ] 2h 3 h 3 kN/m2 Aufgabe 5: Ein Kellergeschoss von der Länge L = 18m und der Breite B = 10m steht nach dem Abscha lten der Grundwasserabsenkung h = 1.3m im Grundwasser. Bestimmen Sie die erforderliche Gewichtskraft um die Auftriebssicherheit zu erhalten. Dicke Bodenplatte / Wände = 25cm, Wandhöhe = 3.0m Höhe h W.Sp Länge L Aufgabe 6: Für eine Eisenbahnstrecke soll ein 600 m langer Geländeausschnitt von untenstehendem Querschnitt hergestellt werden. Wie viele m3 Erdmaterial müssen weggeschafft werden? 24.54m 6m 30° 40° 7m Seite 52 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 7: Gegeben: F1 = 250 kN, F2 = 300 kN , F3 = 210 kN Gesucht: Drehmoment bezüglich Punkt D F2 F1 F3 Drehpunkt 45° 2.50 m 60° 5.00 m 40° 1.50 m Aufgabe 8: Stützmauerfundament Ermitteln Sie die Grösse, Richtung und Lage der Resultierenden R(F1,G,F2) auf rechnerische Weise. Kraft Fy Fh Lageplan G1 1.50 m G2 G1 = 5 kN - Qeh Qeh = 5 kN 0.90 m 1.20 m G2 = 3 kN A Aufgabe 9: Ein Polier will eine Deckenschalung auf Betonstützen abstellen. Die Betondeckenstärke b eträgt 35cm. Jede Stütze ist durch eine quadratische Deckenfläche von 2.50/2.50m belastet. Der Polier möchte von Ihnen wissen, welche Seitenlänge die quadratische Fundationsplatte u nter der Baustütze besitzen muss, wenn der Untergrund eine Belastung von 150 kN/m 2 aufnehmen kann und das Eigengewicht von Schalung, Stütze und Fundationsplatte 5kN beträgt. Decke h=35cm Fundationsplatte Seite 53 von 54 Physik für Bauberufe Aufgabe 10: Ein Betonprobewürfel von 20cm Kantenlänge ging bei einer Belastung von 1' 712 kN zu Bruch. Wie gross war die Bruchfestigkeit des Beton in N/mm 2 ? Aufgabe 11: a) Bestimmen Sie den Boden- und Seitendruck der abgebildeten 30cm starken Klärwanne in kN/m 2 . b) Bestimmen Sie den Seitendruck auf der Höhe der Resultierenden und den t otalen Seitendruck auf die 40m lange Klä rwanne in kN/m. H=2.95m Wsp B=6m Aufgabe 12: Bestimmen Sie die Resultierende R graphisch. F1 = 20 kN, F2 = 30 kN, F3 = 15 kN Lageplan Kräfteplan 1cm = 10kN F2 F1 F3 2.00 4.00 Seite 54 von 54
