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Algebraische Geometrie
Vorlesung 12
24.05.2006
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Exkurs. „Zusammenhängend“ und „irreduzibel“ sind rein topologische Konzepte.
M topologischer Raum. M zusammenhängend ⇔ aus M = M1 ∪˙ M2 , Mi offen, folgt M1 = M , M2 = ∅ (oder
umgekehrt) ⇔ ∅ und M sind die einzigen Teilmengen von M , die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. M
irreduzibel ⇔ aus M = M1 ∪ M2 , Mi abgeschlossen, folgt M1 = M oder M2 = M .
3.20. Satz. M topologische Menge. Äquivalent:
(a) M irreduzibel.
(b) Je zwei nicht-leere offene Mengen in M haben nicht-leeren Schnitt.
(c) Jede nicht-leere offene Menge ist dicht in M .
Beweis. „(a) ⇒ (b)“: Seien U1 , U2 6= ∅ offen und U1 ∩ U2 = ∅. Dann sind M \ U1 , M \ U2 abgeschlossen und
M = M \ ∅ = M \ (U1 ∩ U2 ) = (M \ U1 ) ∪ (M \ U2 ), M \ Ui 6= M .
„(b) ⇒ (c)“: Sei U 6= ∅ offen und U ⊂ M . Dann ist M \ U offen und nicht-leer, und U ∩ M \ U , M \ U ⊆ M \ U ,
also U ∩ M \ U = ∅.
„(c) ⇒ (a)“: Sei M = M1 ∪ M2 , Mi abgeschlossen, Mi ⊂ M . Dann ist M \ M1 offen und nicht-leer und
M \ M1 ⊆ M2 ⇒ M \ M1 ⊆ M2 = M2 ⊂ M . Also M \ M1 nicht dicht in M .
3.21. Folgerung. M topologische Menge, M1 ⊆ M1 ⊆ M mit induzierter Topologie. Äquivalent:
(a) M1 irreduzibel.
(b) U1 , U2 offen in M , U1 ∩ M1 6= ∅, U2 ∩ M1 6= ∅ ⇒ U1 ∩ U2 ∩ M1 6= ∅.
(c) M1 irreduzibel.
Beweis. „(a) ⇔ (b)“: Folgt aus 3.20 (per Definition der induzierten Topologie).
„(b) ⇔ (c)“: Folgt aus folgender Beobachtung: U offen in M . Dann U ∩ M1 6= ∅ ⇔ U ∩ M1 6= ∅ (∗). (Dann kann
man in (b) M1 durch M1 ersetzen und „(a) ⇔ (b)“ liefert dann „(b) ⇒ (c)“.)
Bei (∗) ist „⇒“ klar. Für „⇐“: Sei U ∩ M1 = ∅. Dann ist M1 ⊆ M \ U , M \ U abgeschlossen. Also M1 ⊆ M \ U =
M \ U , d.h. M1 ∩ U = ∅.
3.22. Satz. M , N topologische Mengen, f : M → N stetig, M irreduzibel. Dann: f (M ), f (M ) irreduzibel.
Anwendung. V ⊆ K n algebraische Menge, f : K m → V Morphismus algebraischer Mengen (also insbesondere
3.22
Zariski-stetig) und dominant, d.h. f (K m ) = V ⇒ V irreduzibel. Also: Reduzible algebraische Mengen sind
nicht parametrisierbar (polynomial).
f stetig
Beweis des Satzes. f (M ) = N1 ∪ N2 , Ni abgeschlossen in N . ⇒ M = f −1 (N1 ) ∪ f −1 (N2 ) ⇒ f −1 (N1 ),
f −1 (N2 ) abgeschlossen in M . Da M irreduzibel, folgt etwa M = f −1 (N1 ). Also f (M ) = N1 . D.h. f (M )
irreduzibel, f (M ) irreduzibel laut 3.21.
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Sk
3.23. Lemma. M topologische Menge, Mi , N ⊆ M , N irreduzibel, Mi abgeschlossen, N ⊆ i=1 Mi . Dann
gibt es ein i mit N ⊆ Mi .
Sk
Sk
Beweis. N = ( i=1 Mi ) ∩ N = i=1 (Mi ∩ N ), Mi ∩ N abgeschlossen in N . Da N irreduzibel, folgt: Es gibt ein
i mit N = Mi ∩ N , also N ⊆ Mi .
Zurück zur Irreduzibilität von algebraischen Mengen/Varietäten.
3.24. Satz. (M, A) algebraische Varietät, M 6= ∅.
(a) Es gilt: M irreduzibel ⇔ A Bereich.
(b) ∅ =
6 N ⊆ M abgeschlossen in M . N irreduzibel ⇔ A/ J A (N ) Bereich ⇔ J A (N ) Primideal.
Beispiel. V ⊆ K n algebraische Menge, V 6= ∅. V irreduzibel ⇔ K[V ] Bereich ⇔ J (V ) Primideal in
K[x1 , . . . , xn ].
Beweis. (a) „⇒“: Da M 6= ∅ ist A 6= {0}. Seien f, g ∈ A, so dass f g = 0. V M (f ) ∪ V M (g) = V M (f g) =
V M (0) = M . Da M irreduzibel, folgt V M (f ) = M oder V M (g) = M , also f = 0 oder g = 0.
„⇐“: Sei M = V M (F1 ) ∪ V M (F2 ), Fi ⊆ A, V M (Fi ) 6= M . Also Fi 6= {0}. Daher gibt es ein 0 6= f1 ∈ F1 ,
0 6= f2 ∈ F2 . M = V M (F1 ) ∪ V M (F2 ) ⊆ V M (f1 ) ∪ V M (f2 ) = V M (f1 f2 ) ⇒ f1 f2 = 0.
(b) Folgt aus (a), da K[N ] ∼
= A/ J A (N ).
Zusammenfassung.
Koordinatenring
J
.
{algebraische Mengen in K n } n
{radikale Ideale in K[x1 , . . . , xn ]}
reduzibel
V
.
{nicht-leere irreduzible algebraische Mengen in K n } o
{Punkte in K n } n
/
{Primideale in K[x1 , . . . , xn ]}
Bereich
{maximale Ideale in K[x1 , . . . , xn ]}
Körper
Analog für (M, A):
Koordinatenring
.
{algebraische Mengen in M } n
.
{nicht-leere irreduzible algebraische Mengen in M } o
{Punkte in M } n
{radikale Ideale in A}
.
reduzibel
{Primideale in A}
Bereich
{maximale Ideale in A}
Körper
3.25. Satz. (M, A) algebraische Varietät.
(a) M ist endliche Vereinigung abgeschlossener irreduzibeler Teilmengen.
Sk
(b) Ist M = i=1 Mi und Mi abgeschlossen, irreduzibel, und gilt für alle i 6= j, dass Mi * Mj , so sind die
Mi gerade die (bzgl. ⊆) maximalen irreduziblen Teilmengen von M (sogenannte irreduzible Komponenten
von M ). Jede irreduzible Teilmenge von M ist in einer der irreduziblen Komponenten enthalten.
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(c) Es gilt
Mj *
k
[
Mi ,
i=1
i6=j
d.h. man kann in M =
Sk
i=1
Mi kein Mi weglassen.
Also: M ist eine „nicht verkleinerbare“ Vereinigung seiner endlich vielen irreduziblen Komponenten.
Vorbemerkung. A Noethersch (da A endlich erzeugte K-Algebra, A ∼
= K[x1 , . . . , xn ]/I) ⇔ jede nichtleere Menge von Idealen in A enthält ein maximales Element ⇒ jede nicht-leere Menge von abgeschlossenen
Teilmengen von M enthält ein minimales Element.
Beweis. (a) Sei M die Menge aller Teilmenge N ⊆ M , für die N abgeschlossen und N nicht endliche Vereinigung von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen ist. Annahme: M =
6 ∅. Dann enthält M ein minimales
Element, etwa N ∗ . N ∗ ist abgeschlossen und nicht irreduzibel, N ∗ = N1 ∪ N2 , Ni abgeschlossen, Ni ⊂ N ∗ .
N ∗ minimal
⇒
Ni ∈
/ M, d.h. Ni sind endliche Vereinigung abgeschlossener irreduzibler Mengen. Dann aber
auch N ∗ , Widerspruch.
Sk
(b) M = i=1 Mi , Mi abgeschlossen und irreduzibel, für alle i 6= j gelte Mi * Mj .
(1) Sei N irreduzible Teilmenge von M , N ⊆
Sk
i=1
Mi .
Lemma 3.23
⇒
es gibt ein i mit N ⊆ Mi .
(1)
(2) Sei Mi ⊆ N ⊆ M , N irreduzibel ⇒ es gibt ein j mit Mi ⊆ N ⊆ Mj ⇒ i = j ⇒ N = Mi . Also: Die
Mi sind bzgl. Inklusion maximal.
(1)
N maximal
(3) Sei N eine (bzgl. ⊆) maximale irreduzible Teilmenge von M ⇒ es gibt ein i mit N ⊆ Mi
⇒
N = Mi . Also: Eine (bzgl. ⊆) maximale irreduzible Teilmengen von M muss eine der Mi sein.
Sk
(c) Wäre Mj ⊆ i=1 Mi , so würde folgen: Es gibt ein i 6= j mit Mj ⊆ Mi , Widerspruch.
i6=j
Bemerkung. Die Existenz von irreduziblen Komponenten (also von bzgl. ⊆ maximalen irreduziblen Teilmengen) erhält man im nicht-Noetherschen Fall mit dem Zorn’schen Lemma.
Es gilt: Mi irreduzible Komponente ⇒ Mi abgeschlossen, denn Mi irreduzibel ⇒ Mi irreduzibel und wenn Mi
bzgl. ⊆ maximal, folgt Mi = Mi .
Für die endliche Anzahl der irreduziblen Komponenten braucht man aber im Allgemeinen Noethersch.