Jenseits von Giga: Das Unendliche zwischen Sein und Nichtsein

A
Prof. Burkhard Kümmerer
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A
Die natürlichen Zahlen
Das Problem
I
I
I
Warum stimmen die Rechnungen?
Aussagen über unendlich viele Zahlen?
Was ist eine Zahl?
Nur Regeln
Peano Axiome
I
I
I
0
Höchstens ein Vorgänger
Induktion
Fragen
I
Existenz, Eindeutigkeit, Unabhängigkeit, Vollständigkeit,
Widerspruchsfreiheit
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Prof. Burkhard Kümmerer
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Vollständige Induktion
Zeige:
I A(0) ist wahr (Induktionsanfang).
I Falls A(n) wahr ist (Induktionsannahme),
dann ist auch A(n+1) wahr (Induktionsschritt).
Dann ist A(n) wahr für alle n ∈ N (Induktionsschluss).
Wegen Induktionsaxiom (N3) ist das ein Beweis.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Rekursive Definition
Folge: Abbildung a : N → M. Schreibe (an )n∈N .
I
I
0! := 1,
(n + 1)! := n! · (n + 1).
k=0
X
ak := a0 ,
k=0
k=n+1
X
ak :=
k=0
k=n
X
ak + an+1 .
k=0
Addition auf N
Für n ∈ N sei
I n + 0 := n,
I n + m 0 := (n + m)0 .
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Ordnung auf den natürlichen Zahlen
Definition: m ≤ n falls m + k = n.
Satz: ≤“ ist eine Ordnungsrelation auf N: Es gelten
”
Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität.
Satz: Jede (nichtleere) Teilmenge A ⊆ N enthält ein kleinstes
Element.
Eindeutigkeit der natürlichen Zahlen
Satz: Die natürlichen Zahlen sind durch die Peano-Axiome bis
auf Umbennung eindeutig bestimmt. (Was heißt das genau?)
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Multiplikative Struktur von N
n · 0 := 0, n · m0 := n · m + n.
Potenzen.
Satz: Jede Zahl ≥ 2 ist Produkt von Primzahlen.
Es gibt unendlich viele Primzahlen (Beweis!).
Kombinatorik und Binomialkoeffizienten
I nk
I n!
n!
I
=: kn
k!·(n−k)!
Pascalsches Dreieck und Binomialkoeffizienten.
Satz:
n
(a + b) =
k=n X
n
k=0
Analysis 1, WS 2010/11
k
an−k b k
Ergänzungsvorlesung 8
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Weg zu den ganzen Zahlen
I
I
I
Fortsetzung des Zahlenstrahls nach links?
Schulden?
Konstruktion aus den natürlichen Zahlen.
Äquivalenzrelationen
I Relation.
I Äquivalenzrelation: Reflexiv, symmetrisch, transitiv.
Satz (Äquivalenzrelation = Klasseneinteilung):
1. (Mi )i∈I Partition von M.
x ∼ y , falls x und y in derselben Teilmenge Mi liegen.
Dann ist ∼ eine Äquivalenzrelation.
2. Sei R ⊆ M × M Äquivalenzrelation auf M.
Für x ∈ M sei [x] := {y ∈ M : x ∼ y } ⊆ M.
Dann {[x] : x ∈ M} Partition.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Ganze Zahlen
I
I
I
(n, m) ∼ (n̄, m̄) :⇔ n + m̄ = n̄ + m Äquivalenzrelation.
Z := N × N/∼ .
Bild der Äquivalenzklassen.
Satz N ⊆ Z: Die Abbildung
i : N → Z : n 7→ i(n) := [(n, 0)]
ist injektiv und das Bild i(N) ist eine Menge natürlicher Zahlen.
Satz (Addition auf Z): Für [(n, m)], [(l, k)] ∈ Z hängt
[(n + l, m + k)] nicht von der Wahl der Repräsentanten ab.
[(n, m)] + [(l, k)] := [(n + l, m + k)]
ist also wohldefiniert auf den Äquivalenzklassen und
I i(n) + i(m) = i(n + m).
I (Z, +) ist eine kommutative Gruppe.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Multiplikation auf Z
Satz: Für [(n, m)], [(l, k)] ∈ Z hängt
[(nl + mk, nk + ml)] nicht von der Wahl der Repräsentanten ab.
[(nl + mk, nk + ml)]
ist also wohldefiniert auf den Äquivalenzklassen und erfüllt
i(n) · i(m) = i(n · m) .
(Z, ·) ist ein kommutativer Ring.
Es folgt (−1) · (−1) = 1.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Rationale Zahlen
Auf Z × Z\{0} Äquivalenzrelation durch
(a, b) ∼ (ā, b̄) :⇔ a · b̄ = ā · b .
Q := (Z × Z\{0})/∼ .
Bild der Äquivalenzklassen.
Satz: i : Z → Q : a 7→ [(a, 1)] ist injektiv.
Schreibe [(a, b)] =: ba . Erweitern und Kürzen = Wechseln
zwischen Repräsentanten einer Äquivalenzklasse.
Satz:
a c
ad + bc
a c
ac
+ :=
und
· :=
b d
bd
b d
bd
sind wohldefiniert und setzen Addition und Multiplikation auf Z
fort.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Körper
Definition: (K, +, ·) Körper, falls
I (K, +) kommutative Gruppe.
I (K, ·) kommutative Halbgruppe mit neutralem Elt 1 6= 0,
(K\{0}, ·) kommutative Gruppe.
I (K, +, ·) ist distributiv.
Rechnen in den Gruppen (K, +) und (K\{0}, ·).
Folgerungen aus dem Distributivgesetz:
(1) x · 0 = 0.
(2) x · y = 0 =⇒ x = 0 oder y = 0.
(3) (−x) · y = −(x · y ), insbes. (−1) · y = −y .
(4) (−x) · (−y ) = x · y .
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Angeordnete Körper
Definition: (K, +, · ; K+ ) angeordneter Körper, falls
I 0 ∈ K+ und 0 6= x ∈ K, dann
entweder x ∈ K+ oder −x ∈ K+ .
I x, y ∈ K+ ⇒ x + y ∈ K+ und x · y ∈ K+ .
Satz: Ist (K, +, · ; K+ ) angeordneter Körper, dann ist
x ≤ y :⇔ y − x ∈ K+
Ordnungsrelation auf K.
Q mit Q+ := { mn : n ∈ N, m ∈ N\{0}} ist angeordneter Körper.
Viele Ungleichungen
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Angeordnete Körper enthalten N, Z und Q:
Definition: J ⊆ K heißt induktiv, falls
I 0 ∈ J.
I x ∈ J ⇒ x + 1 ∈ J.
T
Satz: Sei N̄ := {J ⊆ K : J induktiv } mit
f : N̄ 3 n̄ 7→ n̄ + 1 ∈ N̄ als Nachfolgerabbildung ist ein System
natürlicher Zahlen, d.h., erfüllt die Peano-Axiome.
Satz: Sei K angeordneter Körper. Dann
i : Z 3 [(n, m)] 7→ n − m ∈ K
injektiver Ringhomomorphismus und
i : Q 3 [(a, b)] 7→ a · b −1 ∈ K, a ∈ Z, b ∈ Z\{0}
injektiver Körperhomomorphismus.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Archimedisch geordnete Körper
Bernoulli-Ungleichung K angeordneter Körper, x > −1, n ∈ N,
dann
(1 + x)n ≥ 1 + n · x .
Definition: K angeordneter Körper heißt archimedisch geordnet,
falls
(AA)
∀x, y ∈ K, x > 0, ∃n ∈ N : y < nx .
Dann gilt unter anderem:
(1) ∀x ∈ K ∃n ∈ N : x < n.
(2) ∀x ∈ K ∃!n ∈ N : x ≤ n < n + 1.
(3) ∀ε ∈ K, ε > 0, ∃n ∈ N\{0} : n1 < ε.
(4) ∀b > 1∀x > 0∃n ∈ N : b n > x.
Satz (Dichtesatz): K archimedisch geordnet dann: Für
x, y ∈ K, x < y , existiert q ∈ Q : x < q < y .
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Supremum etc.
Motivation: 1, 1, 4, 1, 41, ... lässt sich zu einer Folge (an )n∈N
erweitern, sodass ∀n ∈ N:
an ≥ 0, an ≤ an+1 , an2 < 2 < (an + 10−n )2 .
Satz: K archimedisch geordneter Körper, a ∈ K mit a ≥ 0,
a2 = 2. Dann
I a ≥ an ∀n ∈ N.
I Ist m ∈ K mit m ≥ an ∀n ∈ N, dann m ≥ a.
Definition: (K, ≤) angeordneter Körper.
I Untere (obere) Schranke, nach unten (oben) beschränkt.
I Maximum (Minimum).
I Supremum (Infimum).
Beobachtung: In Q besitzt (an )n∈N kein Supremum!
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Reelle Zahlen
Definition: Ein archimedisch angeordneter Körper K heißt ein
Körper reeller Zahlen, falls gilt:
Ist ∅ =
6 M ⊆ K nach oben beschränkt, dann besitzt M
ein Supremum in K.
a ∈ K =⇒ a = sup{q ∈ Q : q ≤ K}.
Satz: Es gibt nur einen Körper reeller Zahlen.
Intervalle
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Eigenschaften von R
Satz: Für n ∈ N sei Jn = [a, b] ⊆ R abgeschlossenes Intervall,
sodass
∀n ∈ N : Jn+1 ⊆ Jn .
(1) Dann
\
Jn 6= ∅ .
n∈N
(2) Falls sogar ∀ε > 0 ∃n ∈ N : bn − an < ε, dann existiert
c ∈ R mit
\
Jn = {c} .
n∈N
Satz: Sei 0 6= n ∈ N. Für 0 ≤ a ∈ R existiert genau eine Zahl
0 ≤ x ∈ R mit
xn = a .
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 8
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Komplexe Zahlen
C := R × R wird zu einem Körper.
I Sei i := (0, 1), dann i 2 = −1.
I Schreibe komplexe Zahl z ∈ C als z = a + ib (a, b ∈ R).
I Komplexe Konjugation, Realteil, Imaginärteil.
a −b
2
I Multiplikation auf C = R durch Tz =
.
b a
I Rechnen, insbes. Reell Machen“ von Nennern.
”
Polardarstellung: z = |z| cos ϕ + i sin ϕ .
I
Komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre
Beträge multiplizert und ihre Argumente addiert.
n-te Wurzeln in C:
z n = a hat n verschiedene Lösungen in C. Geometrie!
Mit C ist Schluss.
I Veranschaulichung von Funktionen C → C.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Betrag
.
Definition: K Körper, | · | : K → R : x 7→ |x| Betrag, falls
(B1) |x| ≥ 0, |x| = 0 ⇔ x = 0.
(B2) |x · y | = |x| · |y |, insbes. | − x| = |x|.
(B3) |x + y | ≤ |x| + |y | (Dreiecksungleichung).
Satz
I Auf R efüllt der Betrag (B1), (B2), (B3).
I Auf C erfüllt der Betrag
√
√
C 3 z = a + ib 7→ |z| := z̄z = a2 + b 2
(B1), (B2), (B3).
Interpretation: Abstand zum Nullpunkt.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Norm und Metrik
Definition: Sei V K − V .R.,
|| · || : V → R : x 7→ ||x|| heißt Norm, falls
(N1) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = 0.
(N2) ||λ · x|| = |λ| · ||x|| (Homogenität).
(N3) ||x + y || ≤ ||x|| + ||y || (Dreiecksungleichung).
Definition: M Menge.
d : M × M → R heißt Metrik, falls
(M1) d(x, y ) ≥ 0, d(x, y ) = 0 ⇔ x = y .
(M2) d(x, y ) = d(y , x) (Symmetrie).
(M3) d(x, z) ≤ d(x, y ) + d(y , z)
(Dreiecksungleichung).
−
−
Bem. |y − x|, bzw. ||→
y −→
x ||, setzt Betrag, bzw. Norm, zu
verschiebungsinvarianter Metrik auf K, bzw. V , fort.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Euklidische Norm
 
 
x1
y1
P
 .. 
 .. 
~x =  . , ~y =  . , dann Skalarprodukt h~x , ~y i := ni=1 xi ȳi .
xn
yn
p
p
Satz Sei ||~x || := ||~x ||2 := |x1 |2 + · · · + |xn |2 = h~x , ~x i. Dann:
I Ungleichung von Cauchy-Schwarz
|h~x , ~y i| ≤ ||~x || · ||~y || .
~x 7→ ||~x || ist Norm auf Kn .
P
√
I ||~
x || ≤ ni=1 |xi | ≤ n · ||~x ||.
Prop: Dreiecksungleichung nach unten:
(M, d) metrischer Raum, x, y , z ∈ M, dann
I
Insbes.
Analysis 1, WS 2010/11
|d(x, y ) − d(y , z)| ≤ d(x, z) .
kxk − kzk ≤ kx − zk.
Ergänzungsvorlesung 14
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Folgen
an := n1 ,
n 6= 0
(−1)n
,
n
n
bn := 1 +
n 6= 0
cn := (−1)
(
−1, n = 0
dn :=
1,
sonst
n
en := 1+i
2
n
fn := 1 + n1 , n 6= 0
n
gn := −1 − n1 = (−1)n fn ,
(
n falls n Primzahl
hn := 1
sonst, n 6= 0
n
Analysis 1, WS 2010/11
n 6= 0
Ergänzungsvorlesung 14
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Konvergenz
Definition: Sei (an )n Folge, a Element in K, in normiertem
Raum (E , k · k), in metrischem Raum (M, d).
Die Folge (an )n heißt konvergent gegen a, falls gilt:


|a − an | < ε in K
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 : ka − an k < ε in (E , k · k)


d(a, an ) < ε in (M, d)
Schreibe a = limn→∞ an oder an −→ a oder an → a für n → ∞.
n→∞
a heißt der Grenzwert oder Limes der Folge (an )n .
Besitzt die Folge keinen Grenzwert, so heißt sie divergent.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Diskussion
I
I
I
I
I
I
n0 hängt von ε ab.
Genausogut kann man fordern:
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 : |a − an | ≤ ε
∀k ∈ N ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 : |a − an | < k1
In jeder ε-Umgebung von a liegen fast alle Folgenglieder.
Konvergenzverhalten ändert sich nicht durch Abänderung
endlich viele Folgenglieder.
Veranschaulichungen.
Fehlvorstellungen.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Konvergenz in metrischen Räumen
Proposition. Sei (M, d) metrischer Raum, (an )n∈N Folge in M,
a ∈ M.
i) Die Folge (an )n∈N hat höchstens einen Grenzwert.
ii) d(an , a) ≤ cn wo limn cn = 0, dann limn an = a.
iii) limn an = a, dann für b ∈ M: limn d(an , b) = d(a, b).
Insbesondere gilt in einem normierten Raum:
limn ||an || = ||a||.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Konvergenz in normierten Räumen
Sei (E , || · ||) normierter Raum.
I Konvergente Folgen sind beschränkt.
I Konvergente Folgen sind ein Vektorraum und der Limes ist
linear.
I Beschränkte Folge mal skalare Nullfolge ist Nullfolge.
Konvergenz in Kd
Konvergenz in Kd ist äquivalent zur koordinatenweisen
Konvergenz.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Konvergenz in Körpern
I
I
I
Konvergente Folgen kann man multiplizieren und vorsichtig
dividieren.
Konvergente Folgen sind eine K−Algebra und der Limes ist
Algebra-Homomorphismus.
√
limn n n = 1.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Konvergenz und Ordnung in R
Satz
I Der Limes ist monoton.
I Sandwich-Theorem.
Rechnen mit Unendlich und bestimmte Divergenz.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Konvergenz ohne Kenntnis des
Grenzwertes?
Satz. Eine monotone beschränkte Folge in R konvergiert (denn
in R existiert ein Supremum).
Frage. Und wenn die Folge nicht monoton ist?
Definition. Sei (an )n∈N ⊆ R beschränkt. Für k ∈ N sei
σk := sup{an : n ≥ k}
lim supn an := limk σk
ik := inf {an : n ≥ k}
lim inf n an := limk ik
Proposition. (an )n∈N ⊆ R konvergiert genau dann, wenn
lim inf n an = lim supn an .
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Teilfolgen und Häufungspunkte
Frage. Und wenn lim inf n an 6= lim supn an ?
Definition. Teilfolge.
Proposition. Ist (an )n∈N ⊆ R beschränkt, dann existiert eine
Teilfolge (ank )k∈N mit limk ank = lim supn an . Analog für
lim inf n an .
Frage. Wohin konvergieren Teilfolgen, wenn sie konvergieren?
Proposition. Sei (M, d) metrischer Raum, (an )n∈N ⊆ M, a ∈ M.
Dann sind äquivalent:
(a) Es gibt eine Teilfolge von (an )n∈N , die gegen a konvergiert.
(b) In jeder ε-Umgebung von a liegen unendliche viele Glieder
der Folge (an )n∈N .
Definition. Häufungspunkt.
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Ergänzungsvorlesung 14
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Häufungspunkte und Bolzano-Weierstraß
Proposition. Ist (an )n∈N beschränkte Folge, dann ist lim sup an
der größte, lim inf n an der kleinste Häufungspunkt der Folge.
Satz von Bolzano-Weierstraß. Jede beschränkte Folge in
R, C, Rn , Cn besitzt einen Häufungspunkt, also eine konvergente
Teilfolge.
Der Satz gilt nicht in Q!
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Cauchy-Folgen
Definition. Sei (M, d) metrischer Raum. Eine Folge
(an )n∈N ⊆ M heißt Cauchy-Folge, falls gilt:


|an − am | < ε in K
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : ∀n, m > n0 : kan − am k < ε in (E , k · k) .


d(an , am ) < ε in (M, d)
Verdichtungsprinzip“.
”
Satz.
I Eine konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
I Hat eine Cauchyfolge einen Häufungspunkt, so ist dieser ihr
Limes.
Anschauung. Eine Cauchyfolge konvergiert, wenn der Raum an
der Verdichtungsstelle kein Loch hat.
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Ergänzungsvorlesung 14
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Vollständigkeit
Definition. Ein metrischer Raum (M, d) heißt vollständig, wenn
jede Cauchyfolge in M konvergiert.
Ist ein normierter Raum vollständig, so heißt er Banachraum.
Q ist also nicht vollständig.
Satz. R, C, Rn , Cn sind vollständig!
Satz. Für einen archimedisch geordneten Körper K sind
äquivalent:
(a) Ist A ⊆ K beschränkt, so existiert sup A in K.
(b) Jede Cauchyfolge in K konvergiert.
(c) Jede Cauchyfolge rationaler Zahlen in K konvergiert.
In diesen Fällen ist K = R.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Konstruktion von R:
Sei C die Menge aller Cauchyfolgen in Q.
Zwei Cauchyfolgen (an )n∈N und (bn )n∈N in C heißen äquivalent,
falls ihre Differenz eine Nullfolge ist.
R := C/∼
(i) R ist Körper.
(ii) Q ⊆ R.
(iii) Sei R+ := {[q0 .q1 , q2 , . . . ] ∈ R : qn ≥ 0 für fast alle n ∈ N},
dann (R, R+ ) archimedisch geordnet.
(vi) Jede Cauchyfolge (qn )n∈N rationaler Zahlen konvergiert in R.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Reihen
Rahmen: R, C, Rn , Cn , E Banachraum.
P
Reihen = Folgen. ∞
k=0 ak steht für P
i) Folge der Partialsummen sn := nk=0 ak ,
ii) limn sn , falls existiert.
Die wichtigsten Reihen: P
n
i) Geometrische Reihe P ∞
n=0 q .
∞ 1
ii) Harmonische Reihe n=1 n .
Reihen = Folgen. Also:
I Konvergente Reihen addieren und mit Skalar multiplizieren.
P∞
I Cauchy-Kriterium:
k=0 ak konvergiert ⇔
∀ε > 0 ∃ n0 : ∀n, m > n0 :
n
X
|sn − sm | = ak < k=m+1
Analysis 1,. WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 14
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Umordnung von Reihen
Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen.
I
I
Unendliches Assoziativgesetz ergibt manchmal Unsinn.
Unendliches Kommutativgesetz gilt nicht immer.
Riemannscher
Umordnungssatz:
P∞
an reelle konvergente Reihe.
n=0P
Falls ∞
n=0 |an | divergent, lässt sich durch Umordnung eine
beliebiger Wert erzeugen.
Ausweg? P
P∞
Definition. ∞
n=0 an heißt absolut konvergent, falls
n=0 |an |
konvergiert.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 16
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Absolut konvergente Reihen
P∞
Majorantenkriterium:
|a
|
≤
c
,
n
n
n=0 cn konvergent, dann
P∞
a
konvergent.
n=0 n
Insbesondere sind absolut konvergente Reihen konvergent.
P
Satz: Ist ∞
n=0 an absolut konvergent, so ändert sich bei
Umordnung der Grenzwert der Summe nicht.
Satz. Sei p
(an )n eine Reihe in E .
I Falls n |an | ≤ q < 1 für fast alle n ∈ N, oder
|a
|
I Falls n+1 ≤ q < 1 für fast alle n ∈ N,
|an |
dann ist die Reihe absolut konvergent.
Bemerkungen.
I Beide Kriterien sind hinreichend aber nicht notwendig.
I Genaue Formulierung ist wichtig.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 16
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Produkt von Reihen
P
P∞
Satz. Seien ∞
n=0 an und
n=0 bn absolut konvergente Reihen in
C mit
Grenzwerten
A
und
B.
P
Ist ∞
n=0 dn eine Reihe, in der jeder der
a0 b0 a0 b1 a0 b2 . . .
a1 b0 a1 b1 a1 b2 . . .
Summanden
a2 b0 a2 b1 a2 b2 . . .
..
..
..
.
.
.
. P ..
genau einmal vorkommt. Dann ist ∞
n=0 dn absolut konvergent
und ihr Wert ist A · B.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 16
A
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Cauchy-Produkt von Reihen
P
P∞
Satz (Cauchyprodukt): ∞
n=0 an und
n=0 bn absolut
konvergent,
dann
P∞
P∞
P∞
a
·
b
= n=0 cn
n
n
n=0
n=0
P
mit cn := ni=0 ai · bn−i .
P
zn
Satz: exp(z) := ∞
n=0 n! . Dann gilt:
exp(z + w ) = exp(z) · exp(w ).
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 16
A
Prof. Burkhard Kümmerer
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A
Offene Mengen
Definition. A ⊆ (M, d) heißt offen (in M), falls gilt:
∀x ∈ A ∃ε > 0 : Kε (x) ⊆ A .
I
I
Kr (x) ist offen.
Ob eine Menge A offen ist, hängt auch von M ab. (R nicht
offen in R2 ).
Satz: Beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte offener
Mengen sind offen.
Offene Umgebung von a, Umgebung von a.
Analysis 1, WS 2010/11
Ergänzungsvorlesung 16
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Prof. Burkhard Kümmerer
Technische Universität Darmstadt
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Abgeschlossene Mengen
Satz. Für A ⊆ M sind äquivalent:
a) Für jede Folge (xn )n ⊆ A gilt:
Ist limn xn = a ∈ M, dann ist a ∈ A.
b) Das Komplement A{ ist offen in M.
In diesem Fall heißt A abgeschlossen.
Satz: Beliebige Durchschnitte und endliche Vereinigungen
abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
Beispiel:
I Abgeschlossene Intervalle sind abgeschlossen
I Abschluss einer Menge
I ∅ und M sind abgeschlossen (und offen).
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Ergänzungsvorlesung 16
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Hauptsatz über Stetigkei:
Sei f : M ⊇ D → N, a ∈ M. Dann sind äquivalent:
a) Für jede Folge (xn )n ⊆ D mit limn xn = a ∈ D gilt
limn f (xn ) = f (a) = f (limn xn ).
b) ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D :
f Kδ (a) ⊆ Kε (f (a))
.
c) Ist V ⊆ N offene Umgebung von f (a), dann gibt es eine in
D offene Umgebung U von a mit f (U) ⊆ V .
In diesem Fall heißt f stetig in a.
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Globale Stetigkeit
Korollar. Für f : M ⊇ D → N sind äquivalent:
a) f ist (global) stetig auf D.
b) Das Urbild jeder offenen Menge in N ist offen in D.
Beispiele.
I Konstante Funktion, identische Funktion sind stetig.
I Heaviside-Funktion und Dirichtletfunktion.
I Funktionen auf Z.
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Rechenregeln für Stetigkeit
Satz. Die Komposition stetiger Funktionen ist stetig.
Satz. Seien f , g : M ⊇ D → N stetig in a ∈ D. Dann gilt:
I N normiert, dann f + g , λf , ||f || stetig in a.
I N = Kn , dann f stetig in a genau dann wenn alle
Koordinaten von f stetig sind.
I N = K, dann f · g und f (wo es geht) stetig in a.
g
Insbesondere sind auf ganz C Polynome und (wo es geht)
rationale Funktionen (Quotient von Polynomen) stetig.
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Zwischenwertsatz
Satz. Ist f : R 3 [a, b] → R stetig, dann nimmt f auch jeden
Wert zwischen f (a) und f (b) wenigstens einmal an. Ist
insbesondere f (a) · f (b) < 0, dann existiert c ∈]a, b[ mit
f (c) = 0.
I
I
I
Beweis mit Intervallschachtelung gibt konstruktives
Verfahren zur numerischen Berechnung von Nullstellen
(wenn auch nicht sehr effizient).
Der Satz gilt nur, weil R vollständig ist. In Q ist der Satz
falsch.
Der Satz ergibt neuen einfachen Beweis für die Existenz der
k-ten Wurzel.
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Satz über die Umkehrfunktion.
Satz. Sei f : R 3 [a, b] → R stetig und streng monoton
wachsend.
Dann ist f : [a, b] → [f (a), f (b)] bijektiv und die Umkehrfunktion
f −1 : [f (a), f (b)] → [a, b] : f (x) → x ist streng monoton
wachsend und stetig. Analog für streng monoton fallend.
√
Beispiel. Die Funktion [0, ∞[ 3 x 7→ k x ∈ [0, ∞[ ist die
Umkehrfunktion von x 7→ x k , also streng monoton wachsend,
bijektiv und stetig.
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Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion
exp : C 3 z 7→ e z =
∞
X
zn
n=0
n!
ist stetig auf ganz C.
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