Leseprobe - Hochschule

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Elektrotechnik für Studierende – Signale
sind häufig von endlicher Dauer. Ein Beispiel für ein Signal endlicher Dauer ist
ein Rechteckimpuls oder eine endliche Pulsfolge. Ein transientes Signal ist ein
vorübergehendes Signal, z. B. eine abklingende, kurzfristige Schwingung.
Abb. 12: Zeitfunktionen einiger kontinuierlicher aperiodischer Signale, Impulsfunktion,
Sprungfunktion, Exponentialfunktion, gedämpfte Sinusschwingung (von links nach rechts)
Abb. 13: Unterteilung der Signale in verschiedene Klassen
1.3
Standardsignale
Die tatsächlich vorkommenden Eingangssignale eines elektrischen Netzwerkes (eines Nachrichten-Übertragungssystems) sind statistische Signale, da
sie z. B. aus Sprache, Musik, Bildern gewonnen werden. Diese Signale lassen
sich im Allgemeinen nicht explizit als Zeitfunktionen angeben.
Bei der Analyse elektrischer Netzwerke werden deshalb mathematisch determinierte Zeitfunktionen verwendet, die sich wiederum aus elementaren Zeitfunktionen (Komponenten) zusammensetzen. Diese Komponenten sind so
einfach, dass die Antwort eines Systems auf die Erregung mit einer solchen
Zeitfunktion (einem Testsignal, Prüfsignal) einfach berechnet werden kann. Bei
einem linearen Netzwerk kann dann die Antwort auf eine beliebige Zeitfunktion
aus den einzelnen Komponentenantworten nach dem Superpositionsprinzip
zusammengesetzt werden. Als Beispiel für eine solche Zerlegung in elemen-
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Elektrotechnik für Studierende – Wechselstromwiderstände
3.2
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Wechselstromkreis mit Induktivität
Untersucht wird der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom an einer
Spule im Wechselstromkreis.
Eine ideale Spule (ohne Wicklungswiderstand und parasitäre Kapazitäten) mit
der Induktivität L ist an eine sinusförmige Spannungsquelle
u ( t ) = Uˆ ⋅ sin (ω t + ϕ u ) (3.15)
angeschlossen.
Abb. 44: Ideale Spule an sinusförmiger Wechselspannungsquelle
Ein Ansatz für den Strom ist:
i ( t ) = Iˆ ⋅ sin (ω t + ϕ i )
(3.16)
Bei der Spule ist der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom durch
das Induktionsgesetz gegeben (Bauteilgleichung für die Spule):
u (t ) = L ⋅
di ( t )
dt
(3.17)
Durch Einsetzen von Gl. (3.16) in Gl. (3.17) folgt:




π
u ( t ) = ω ⋅ L ⋅ Iˆ ⋅ cos (ω t + ϕ i ) = ω ⋅ L ⋅ Iˆ ⋅ sin  ω t + ϕ i +  2


ϕ
u


(3.18)
Aus obiger Gleichung folgt für den Nullphasenwinkel der Spannung:
ϕu = ϕi +
π
2
(3.19)
Somit ist der Phasenwinkel:
ϕ = ϕ ui = ϕ u − ϕ i =
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π
2
(3.20)
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Elektrotechnik für Studierende – Einfache Sinusstromkreise
u1 ist damit 5 cm . u2 hat die gleiche Zeigerlänge wie u1 und wird mit dem
Winkel −30° eingetragen. Ein Maschenumlauf ergibt: u1 − u2 − u0 = 0 oder
u0 = u1 − u2 . Zum Subtrahieren wird der Zeiger von u2 parallel verschoben.
Es ergeben sich zwei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks, welches mit der
dritten Seite u0 geschlossen wird. u0 steht senkrecht auf der Bezugsachse,
der Nullphasenwinkel ist somit 90° . Ergebnis: u0 ( t ) = 5 ⋅ 2 ⋅ sin (ω t + 90° ) .
Abb. 61: Zeigerdiagramm zu Abb. 60
4.3
eihenschaltung von Wirkwiderstand und
R
Kondensator
Wie bei der RL -Reihenschaltung ist auch bei der Reihenschaltung eines ka-
1
mit einem ohmschen Widerstand R
ω ⋅C
der Strom i durch beide Verbraucher gleich groß. Beim Widerstand R sind
u und i in Phase, am Kondensator C eilt der Strom der Spannung um 90°
1
⋅ i werden in das Bild
voraus. Die Spannungsabfälle uR = R ⋅ i und uC =
ω ⋅C
der Sinusverläufe eingetragen. uR liegt in Phase mit i , uC eilt beiden um 90°
nach. Die punktweise Addition der Augenblickswerte von uR und uC ergibt die
pazitiven Blindwiderstandes X C =
Gesamtspannung u. Der Strom eilt der Spannung voraus, der Phasenwinkel
ist negativ (ϕ < 0 ).
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Elektrotechnik für Studierende – Leistung im Wechselstromkreis
c)Wie im Widerstandsdreieck Abb. 93 ersichtlich, addieren sich Wirkwiderstand R und induktiver Blindwiderstand X L = ω L geometrisch zum
Scheinwiderstand Z . Der Scheinwiderstand ist:
Z=
U 230V
=
= 13,2Ω
I 17,4A
Der Phasenverschiebungswinkel ϕ ist: ϕ = arccos ( 0,5) = 60°
Abb. 93: Widerstandsdreieck mit Wirk- und Blindwiderstand
Die Komponenten R und X L = ω L können mit Hilfe der Winkelbeziehungen bestimmt werden.
R = Z ⋅ cos ( 60° ) = 13,2Ω ⋅ 0,5 = 6,6Ω ;
ω L = Z ⋅ sin ( 60° ) = 13,2Ω ⋅
L=
d)C =
C=
I'=
11,4Ω
= 36,3mH
2 ⋅ π ⋅ 50s −1
3
= 11,4Ω
2
P ⋅  tan (ϕ ) − tan (ϕ ' ) 
ω ⋅U 2
2000W ⋅  tan ( arccos ( 0,5) ) − tan ( arccos ( 0,92 ) )
2 ⋅ π ⋅ 50s −1 ⋅ 2302 V 2
= 157 ⋅ 10−6 A ⋅s
= 157µ F
V
P
2000W
=
= 9,5A
U ⋅ cos (ϕ ' ) 230V ⋅ 0,92
Beispiel 30
Ein ohmsch-induktiver Verbraucher wird durch die in Abb. 94 angegebene
Ersatzschaltung beschrieben. Der Verbraucher entnimmt dem Wechselstromnetz mit U = 230V,f = 50Hz die Wirkleistung P = 600W . Der Leistungsfaktor ist cos (ϕ ) = 0,8.
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244 Elektrotechnik für Studierende – Wechselstromkreise in Abhängigkeit der Frequenz
Die bei Spulen verwendeten Frequenzen sind meistens nicht so hoch, dass die
Windungskapazitäten für das elektrische Verhalten der Spule berücksichtigt
werden müssen. Somit ergibt sich eine einfache Ersatzschaltung einer realen
Spule für niedrige und mittlere Frequenzen. Die reale Spule wird häufig durch
eine Ersatz-Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes RS (Wicklungswiderstand) und einer idealen Spule mit der Induktivität L dargestellt. Diese
Ersatzschaltung berücksichtigt die Stromwärmeverluste durch den ohmschen
Widerstand des Spulendrahtes und bei Spulen mit magnetischem Kern zusätzlich die Kernverluste. Der Phasenwinkel ϕ der realen Spule weicht infolge
des vorhandenen Wirkwiderstandes von 90° ab, der Strom eilt der Spannung
um weniger als 90° nach.
Abb. 141: Einfaches Ersatzschaltbild einer realen Spule und zugehöriges
Widerstandsdreieck
Güte
Verlust entsteht, wenn elektrische Energie in Wärme umgeformt wird. Verluste
in Spulen treten auf durch den ohmschen Widerstand der Wicklung, durch
den Skin-Effekt, durch die Hysterese (Ummagnetisierungsverluste) und durch
Wirbelströme im Kern.
Der Drahtwiderstand und der dadurch bedingte Verlust PVS steigt wegen des
Skin-Effektes proportional zur Wurzel aus der Frequenz an. Die Hystereseverluste PVH sind proportional zur Frequenz, während die Wirbelstromverluste PVW
proportional zum Quadrat der Frequenz verlaufen.
PVS 
f (10.5)
PVH  f (10.6)
PVW  f 2 (10.7)
Die Güte einer Spule ist umso größer, je kleiner der ohmsche Wicklungswiderstand ist und je kleiner die Verluste im Kern sind. Die Güte Q wird bei einer
Messfrequenz angegeben und ist:
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