Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 1. Klausur

Mathematik für Betriebswirte I
(Lineare Algebra)
1. Klausur
Wintersemester 2014/2015
02.02.2015
BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN
Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer:
Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Name des Tutors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorkurs Mathematik besucht?
Ja
Nein
Unterschrift der/des Studierenden:
Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 13 Seiten.
Bemerkungen:
Aufgabe
max. Pkt.
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
Summe
90
Note
err. Pkt.
Aufgabe 1: Aussagenlogik (10 Punkte)
Prüfen Sie, ob es sich bei der folgenden Aussage um eine Tautologie, eine Kontradiktion oder eine Kontingenz handelt:
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
2
Aufgabe 2: Vollständige Induktion (10 Punkte)
Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N die Gleichung
n
X
i=1
i(i + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
3
gilt.
3
Aufgabe 3: Konvexe Mengen (10 Punkte)
Folgende Teilmengen M1 , M2 und M3 des R2 seien gegeben:
M1 = {(x, y)|x, y ∈ R, y = x2 + 3}
M2 = {(x, y)|x, y ∈ R, y ≥ x2 + 3}
M3 = {(x, y)|x, y ∈ R, y ≤ x2 + 3}
Skizzieren Sie jede dieser drei Punktmengen und untersuchen Sie sie auf Konvexität. Begründen Sie jeweils Ihr Ergebnis. Geben Sie zusätzlich für jede nicht
konvexe Menge explizit eine Konvexkombination an, die nicht in dieser Menge
liegt, und zeichnen Sie diese in Ihrer Skizze ein.
4
Aufgabe 4: Komplexe Zahlen (10 Punkte)
1. Berechnen Sie den folgenden Ausdruck:
!
√ −3 + 7i (2 + 2i) · (2 − 2i)
1 − 4i
·
+
1 + 4i
4 + 16i
2
2. Bestimmen Sie die Lösungen z ∈ C der folgenden Gleichung:
3z 2 + (9 − 27i)z − (−93 + 40,5i) = 0
5
Aufgabe 4: Komplexe Zahlen
6
Aufgabe 5: Lineare Abbildungen (10 Punkte)
Überprüfen Sie, ob es sich bei den folgenden Funktionen um lineare Abbildungen
handelt:
1. f1 : R → R, x 7→ ax + b, a, b ∈ R
2. f2 : R2 → R2 , (x1 , x2 )T 7→ (−x2 , −x1 )T
7
Aufgabe 6: Inverse Matrizen (10 Punkte)
Gegeben sei die Matrix

3


A= 2

2
3
4
1
0



2  , t ∈ R\ {−1} .

t
Bestimmen Sie die Inverse A−1 der Matrix A.
8
Aufgabe 6: Inverse Matrizen
9
Aufgabe 7: Determinanten (10 Punkte)
Gegeben sei die Matrix




A=



0
−2
0
0
8
2
−1
6
0
8



0 −4 
.

4 −3 

6
4
a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A.
b) Berechnen Sie det A−1 , det −AT und det (A + A). Falls Sie in Aufgabenteil a) zu keinem Ergebnis gekommen sind, so nehmen Sie det(A) =
−135 an.
c) Bestimmen Sie den Rang der Matrix A.
10
Aufgabe 8: Orthogonale Matrizen (10 Punkte)
Gegeben sei die Matrix



A=

1
3
− 13 a
1
3a
1
3
0
0
0



0  , a ∈ R.

1
a) Berechnen Sie A · AT .
b) Berechnen Sie die Länge aller Spaltenvektoren von A.
c) Bestimmen Sie a so, dass die Spaltenvektoren von A paarweise orthogonal
zueinander sind.
d) Bestimmen Sie a so, dass die Matrix A orthogonal ist.
11
Aufgabe 8: Orthogonale Matrizen
12
Aufgabe 9: Eigenwerte einer Matrix (10 Punkte)
Gegeben sei die Matrix

5


A = 1

2
1
1
0

2


0 .

1
a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A.
b) Bestimmen Sie zum Eigenvektor v = (5, 1, 2)T den zugehörigen Eigenwert
der Matrix A.
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