Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler Klausur

Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler
Klausur
am 26.07.2005 von 11.45 – 13.45 Uhr
Bitte unbedingt beachten:
a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig. Bei den Aufgaben 1–3 sind alle Lösungswege und Begründungen anzugeben. Die
Angabe des Endergebnisses allein gilt nicht als Lösung.
Bei der Aufgabe 4 sind dagegen nur die Ergebnisse verlangt (und es werden auch nur
diese gewertet). Tragen Sie diese in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Aufgabenblatt
ein, das zusammnen mit den Bearbeitungen von Aufgaben 1–3 abzugeben ist (bitte tragen
Sie auch Name und Matrikelnummer ein).
b) Zugelassene Hilfsmittel: 3 von der Kandidatin/vom Kandidaten persönlich handbeschriebene Blätter DIN A4, 1 Fremdsprachenwörterbuch (ohne zusätzliche Einträge)
Beachten Sie bitte auch die folgenden formalen Hinweise (zur Korrekturerleichterung):
Fangen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt an!
Alle Blätter dürfen nur einseitig beschrieben werden!
Die folgenden Sinus- und Kosinuswerte könnten hilfreich sein:
x
sin x
cos x
0
π/6 √π/4 √π/3 π/2
0 √1/2 √2/2
3/2
1
1
3/2
2/2
1/2
0
Aufgabe 1
a) Gegeben ist die inhomogene Differentialgleichung
y 00 + 4y 0 + 8y = −20 sin 2x .
a1 ) Berechnen Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
a2 ) Bestimmen Sie eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit Hilfe
eines geeigneten Ansatzes. Wie lautet die allgemeine reelle Lösung der inhomogenen
Differentialgleichung?
b) Gegeben ist die Differentialgleichung
y 0 = −2xy 2 .
b1 ) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
b2 ) Wie lautet die Lösung des Anfangswertproblems
y 0 = −2xy 2 ,
y(1) = y0
mit vorgegebenem y0 ∈ IR?
b3 ) Skizzieren Sie grob den Verlauf der Lösungen für die Anfangswerte
1
1
i) y0 = − , ii) y0 = , iii) y0 = 1.
3
2
Dabei ist insbesondere anzugeben, ob die Lösungen waagrechte oder senkrechte
Asymptoten besitzen. Für welche x ∈ IR sind die Lösungen jeweils definiert?
b4 ) Für welche y0 ∈ IR besitzt das obige Anfangswertproblem eine für alle x ∈ IR
existierende Lösung?
Aufgabe 2
a) Gegeben sind die Vektoren a und b mit | a | = 2, | b | = 3 und <) (a, b) = 30o . Wie groß ist
der Flächeninhalt des von v = −a + 3b und w = 3a − 2b aufgespannten Parallelogramms?
b) Gegeben sind die zwei Vektoren x = (−4, 4, 6) und a = (2, −1, 1). Stellen Sie den Vektor
~x als Summe zweier Vektoren dar, wobei der erste Vektor parallel zu a und der zweite
Vektor senkrecht zu a verläuft.
c) Bestimmen Sie mit partieller Integration eine Stammfunktion der Funktion
√
f (x) = x ln x
und berechnen Sie das Integral
Ze √
x ln xdx.
1
d) Berechnen Sie das uneigentliche Integral
Z∞
2
x
1
−
+ 2
dx .
x x+2 x +2
1
Aufgabe 3
a) a1 ) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen
Zahl
√
1 + 3i
.
z0 =
1+i √
a2 ) Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = −1 + 3 i und z2 = 2 + 2i. Geben Sie die
Polarkoordinatendarstellungen von z1 und z2 an und berechnen Sie damit z120 sowie
z213 . Wie lauten die Real- und Imaginärteile von z120 sowie z213 ?
a + bi
z120
. Geben Sie z in der Form
an und ermitteln Sie daraus Re (z)
13
z2
c + di
und Im (z).
a3 ) Es sei z =
b) Skizzieren Sie in der komplexen Zahlenebene die Menge aller Punkte z ∈ C mit
1
1
1
− ≤ Im
≤− .
2
z
4
c) Gegeben ist die Differenzengleichung
yn+2 + 2yn+1 + 4yn = 2n .
c1 ) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzengleichung.
c2 ) Wie lautet die allgemeine reelle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung?
Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler
Klausur am 26.07.2005 von 11.45 – 13.45 Uhr
Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe 4
a) Gegeben ist die Matrix


2
1
2


A =  2 −2 −1 
1
2 −2
.
a2 ) Geben Sie die inverse Matrix A−1 an:
a1 ) Berechnen Sie AAT :








T
AA = 



























A−1 =
b) Gegeben ist das von einem reellen Parameter k abhängige lineare Gleichungssystem
A(k)x = b mit


2
k
2


A(k) =  2 −2 −k  ,
k
2 −2



x1


x =  x2  ,
x3

3


b =  3 .
−3
b1 ) Die Determinante von A ist (richtigen Wert bitte ankreuzen):
− k 3 + k 2 + 10k + 8
− k 3 + 4k 2 + 4k − 16
− k 3 + 12k + 16
b2 ) Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems A(k)x = b ist








für k = 1: x = 









,









für k = −2: x = 










.




b3 ) Das inhomogene System A(k) x = b ist eindeutig lösbar für
k∈
.
b4 ) Welche Bedingung müssen die Zahlen a, b und c erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem A(4)x = b1 mit b1 = (a, b, c)T eine Lösung besitzt?
Bedingung: