1. Grundbegriffe
Werbung
' Realz.-Bs
WS02/03
$
1. Grundbegriffe
• Allgemeiner Graph
◦ Knotenmenge V (nicht leer)
◦ Linienmenge L = E ∪ A (Inzidentpunkte)
E Kanten (Inzidenzpunkte)
A Bögen (Startpunkt, Zielpunkt)
◦ Schlingen, Mehrfachlinien, Mehrfachkanten, Mehrfachbögen
◦ ungerichteter Graph, gerichteter Graph (Digraph)
◦ Grad eines Knotens
◦ Handschlaglemma: Die Anzahl Knoten ungeraden Grades ist gerade.
• Untergraph H: Untermenge von V 0 von Knoten, Untermengen E 0 , A0 von Kanten und Bögen.
◦ Die Inzidenzpunkte der Linien müssen zu V 0 gehören.
◦ G[V 0 ] ist der von der Knotenmenge V 0 erzeugte Untergraph von G.
G[L0 ] ist der von der Linienmenge L0 erzeugte Untergraph von G.
• Orientierungsklassen. Umorientierung. Orientierung. Desorientierung. Vollständige Orientierung. Vollsändige Desorientierung.
& G.Stiege
01.01
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
2. Darstellungen
• Darstellung durch Matrizen
◦ Adjazenzmatrizen (Zeilen: Knoten; Spalten: Knoten) quadratische Matrizen
◦ Inzidenzmatrizen (Zeilen: Linien, Spalten: Knoten) Rechtecksmatrizen
• Darstellung durch Listen
◦ Adjazenzlisten
◦ Inzidenzlisten
• Listen oft durch Binärbäume realisiert
& G.Stiege
02.01
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
UniOL GuN
%
2. Darstellungen
...
...
B .........r ..r..................................... .........r ..r.................................. .........r r
...
...
...
...
..
.........
........
...
....... ..
........
...
E .........r r
...
...
...
...
..
.........
........
...
rr
C
..
....................................... ..
...
..
...
..........
.......
...
A .........r r
...
...
...
...
..
....... ..
........
...
A
....... ..
........
...
C
rr
rr
..
..
...................................... .. ................................... ..
...
...
..
..
...
..
.
.
........
..........
.......
........
..
..
.
B
C
....... ..
........
...
....... ..
........
...
...
...
...
...
...
C .........r ..r..................................... .........r ..r.................................. .........r ..r.................................. .........r ..r.................................. .........r ..r.................................. .........r r
...
...
...
...
..
.........
........
...
F .........r r
...
...
...
...
..
....... ..
........
..
F
rr
D
rr
....... ..
........
...
A
....... ..
.......
...
E
....... ..
.......
...
B
..
..
....................................... .. .................................... ..
...
...
..
..
...
...
.
.
........
..........
.......
........
...
..
D r r
C
rr
D
rr
..
..
...................................... .. .................................... ...
...
..
..
...
..
..
.
.........
..........
.........
.......
..
..
C
F
Adjazenlistendarstellung von Graph G1
& G.Stiege
02.02
' Realz.-Bs
WS02/03
$
2. Darstellungen
...
...
B .........r ..r...................................... .........r ..r................................... .........r r
...
...
...
...
..
.........
........
...
..........
......
...
E .........r r
...
...
...
...
..
....... ..
........
..
h
rr
...
...
...
...
..
....... ..
........
..
..........
......
...
F .........r r
...
...
...
...
..
....... ..
........
...
rr
r r ....r
g
r r ....r
h
r r ....r
i
r r ....r
j
r r r
k
...
...
...
...
.
.
.......... ..........
.
....... .......
..
..
....... ..
........
...
e
...
...
...
...
...
C .........r ..r...................................... .........r ..r................................... .........r ..r.................................. .........r ..r................................... .........r ..r................................... .........r r
j
f
BC
...
...
A .........r ..r..................................... .........r ..r.................................. .........r r
h
r r ....r
...
...
...
...
..
..
.......... ..........
........ .......
...
..
k
....... ..
.......
...
e
AC
f
..
...................................... ..
...
..
..
.
.........
......
...
...
...
...
...
..
.........
........
...
r r ....r
...
..
...
...
..
..
....... .. ....... ..
......... ........
...
..
..........
.......
...
..........
.......
...
g
rr
..........
.......
...
e
..........
.......
...
k
..........
.......
...
f
..
..
...................................... .. .................................... ..
...
...
..
..
...
..
..
........
..........
......
........
...
..
CD
...
..
...
...
..
..
....... .. ....... ..
......... ........
...
..
AB
..
.
...
...
...
...
.......... ..........
........ .......
...
..
j
i
DF
..........
......
...
..........
........
..
..
..
...
....
...
.
.......... ..........
........ .......
..
..
...
...
D r ..r..................................... ........r ..r.................................. ........r r
g
CF
i
..
...
...
...
...
.
....... .. ........ ..
......... .......
...
..
...
...
...
...
...
...
.........
.........
..
...
...
...
...
...
...
.........
.........
..
...
...
...
...
...
...
....... ..
.........
..
...
...
...
...
...
...
.........
.........
..
...
...
...
...
...
...
.........
.........
..
..
...
...
...
...
...
.
....... ..
.........
..
CE
Inzidenzlistendarstellung von Graph G1
& G.Stiege
02.03
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
$
WS02/03
2. Darstellungen
GRAPH
Bögen
Kanten
?
VERTEX
?
?
?
INC
INC
INC
?
?
?
EDGE
EDGE
EDGE
Kanten
Ausgangsbögen
Eingangsbögen
?
?
EDGE
EDGE
?
?
VERTEX
VERTEX
Endpunkt
Endpunkt
?
VERTEX
?
VERTEX
Startpunkt Zielpunkt
Schema für Graphdarstellungen durch Inzidenzlisten
& G.Stiege
02.04
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
3. Wege und Zusammenhang
a-Wege (any)
v0 , l1 , v1 , . . . vn−1 , ln , vn mit n ≥ 1
li ist eine Linie.
vi−1 ist ein Inzidenzpunkt von li ; vi ist der andere Inzidenzpunkt.
f-Wege (forward)
Wie bei a-Wegen.
Zusätzlich: Ist li ein Bogen, so ist vi−1 sein Startpunkt und vi sein Zielpunkt.
b-Wege (backward)
Wie bei a-Wegen.
Zusätzlich: Ist li ein Bogen, so ist vi sein Startpunkt und vi−1 sein Zielpunkt.
Wege haben immer eine Richtung, nämlich von v0 nach vn
1. Offene Wege, geschlossenen Wege
2. Einfache Wege
3. Linieneinfache Wege
Satz: Alle offenen einfachen Wege sind linieneinfach. Mit einer einzigen Ausnahme
sind alle geschlossenen einfachen Wege linieneinfach.
Ausnahme: Wege vom Typ u, l, v, l, u.
a-Kreis: Geschlossener einfacher und linieneinfacher a-Weg.
f-Kreis: Geschlossener einfacher und linieneinfacher f-Weg.
& G.Stiege
03.01
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
3. Wege und Zusammenhang
• a-Erreichbarkeit
• f-Erreichbarkeit
• b-Erreichbarkeit
Ein isolierter Knoten ist von keinem Knoten a-erreichbar.
Ein Knoten, der von sich selbst nicht f-erreichbar ist, heißt Knoten ohne Rückkehr.
Satz: a-Erreichbarkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der nicht isolierten
Knoten.
Gegenseitige f-Erreichbarkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Knoten
mit Rückkehr.
Schwache Zusammenhangskomponenten
Die Untergraphen, die durch die Äquivalenzklassen von a-Erreichbarkeit erzeugt
werden.
Starke Zusammenhangskomponenten
Die Untergraphen, die durch die Äquivalenklassen gegenseitiger f-Erreichbarkeit erzeugt werden.
Jede starke Zusamenhangskomponente ist Untergraph einer schwachen Zusammenhangskomponente.
Jede Kante gehört zu einer starken Zusammenhangskomponente.
Satz: Ein allgemeiner Graph besitzt genau dann keine starken Zusammenhangskomponenten, wenn es ein f-kreisfreier Digraph ist.
Dag (directed acyclic grapha): Allgemeiner Graph ohne starke Zusammenhangskomponenten. Wird auch Präzedenzgraph genannt.
& G.Stiege
03.02
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
3. Wege und Zusammenhang
Schnittpunkt: Ein Knoten eines allgemeine Graphen ist ein Schnittpunkt, wenn
seine Entfernung aus dem Graphen zusammen mit allen mit ihm inzidierenden Linien
die Zahl der (eigentlichen oder uneigentlichen) schwachen Zusammenhangskomponenten erhöht.
Satz: Ein Knoten v eines allgemeinen Graphen ist genau dann ein Schnittpunkt,
wenn es Knoten u und w gibt, die von v und untereinander verschieden sind und
für die gilt:
1. Jeder a-Weg von u nach w führt über v und
2. es gibt einen solchen a-Weg.
Brücke: Eine Brücke eines allgemeinen Graphen ist eine Linie, deren Entfernung
aus dem Graphen die Zahl der (eigentlichen und uneigentlichen) schwachen Zusammenhangskomponenten erhöht.
Satz: Eine Linie eines allgemeinen Graphen ist genau dann eine Brücke, wenn sie
auf einem a-Kreis liegt.
& G.Stiege
03.03
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
3. Wege und Zusammenhang
Externer Dag:
In einem schwach zusammenhängenden allgemeinen Graphen erzeugen die Bögen,
die zu keiner starken Zusammenhangskomponente gehören, einen f-kreisfreien gerichteten Untergraphen. Er wird der externe Dag des allgemeinen Graphen genannt.
Der externe Dag braucht nicht schwach zusammenhängend zu sein. Er kann auch
ganz fehlen.
Alle Knoten ohne Rückkehr gehören zum externen Dag. Darüber hinaus kann es
Knoten geben, die sowohl zum externen Dag als auch zu einer starken Zusammenhangskomponente gehören. Sie werden schwache Verheftungspunkte genannt.
In einem schwach zusammenhängenden Graphen mit mehreren starken Zusammenhangskomponenten gibt es mindestens zwei schwache Verheftungspunkte.
Satz: Jeder Bogen einer starken Zusammenhangskomponente liegt auf einem f-Kreis.
Satz: Eine starke Zusammenhangskomponente ist genau dann f-kreisfrei, wenn sie
ungerichtet ist und keinen a-Kreis enthält.
Satz: Eine Kante einer starken Zusammenhangskomponente liegt genau dann auf
einem f-Kreis, wenn sie auf einem a-Kreis liegt, der ganz in der starken Zusammenhangskomponente veräuft.
& G.Stiege
03.04
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
3. Wege und Zusammenhang
Schichtennummern
Es sei C(v) die starke Komponente, zu der der Knoten v gehört. Falls v ein Knoten
ohne Rückkehr ist, sei C(v) der Untergraph der nur aus v besteht.
Satz: Ist C(u) 6= C(v) und u von v f-erreichbar, dann sind alle u0 ∈ C(u) von allen
v 0 ∈ C(v) f-erreichbar und kein v 0 ∈ C(v) ist von irgendeinem u0 ∈ C(u) f-erreichbar.
Damit läßt sich durch
C(v) ≺ C(u) := C(v) 6= C(u) und u ist von v f-erreichbar
eine strikte partielle Ordnung auf der Menge der Klassen C(x) definieren.
Wie bei allen strikt partiell geordneten endlichen Mengen, läßt sich auch auf den
Klassen C(x) eine Nummer definieren, die mit der Ordnung verträglich ist. Diese
Nummer soll Schichtenummer heißen und wird mit lv(C(v)) bezeichnet:
1. Hat C(v) bezüglich ≺ keine Vorgänger, so wird lv(C(v)) := 0 gesetzt.
2. Sind alle Vorgänger
von C(v) nummeriert,
so wird
lv(C(v)) :=
max lv(C(u)) + 1 gesetzt.
C(u)≺C(v)
Allen Knoten einer Klasse wird die Schichtennummer der Klasse zugeteilt.
Eine Klasse heißt Anfangselement, wenn sie keine Vorgänger hat. Sie heißt Endelement, wenn sie keine Nachfolger hat. Anfangselemente haben die Schichtennummer
0, Endelemente haben i.a. verschiedene Schichtenummern.
Die Schichtennummer entspricht der maximalen Länge einer Vorgängerkette.
Satz: 1. Beim Durchlaufen eines f-Weges kann die Schichtennummer nicht fallen.
Sie wächst genau dann, wenn ein Bogen des externen Dags durchlaufen wird.
2. Beim Durchlaufen eines a-Weges ändert sich die Schichtennummer genau dann,
wenn ein Bogen des externen Dags durchlaufen wird. Sie wächst, wenn der Bogen in
f-Richtung durchlaufen wird. Sie fällt, wenn der Bogen in b-Richtung durchlaufen
wird.
& G.Stiege
03.05
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
3. Wege und Zusammenhang
.........
..................
.......................
........ .............
........
.....
......
....
.....
....
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
..
..
.
.
.
..
.
.....
.
.
...
..
..
.................................................................................................................................................
...
............................................................................
. ..
...... ....
..
..
..
...
.
.
...
...
..
.
...
.
..
.
.
.
.
...
.....................
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
......
......
......... ......................................
........................
..... ...................
...
.......
...............
...............
......
.......
......................
...
..
.
.......
.... ............
...
..........
..
..
........
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
..
..
..
....
...
..
...
...
..
...
..
...
...
...
....
...
..
..
..
...
....
...
..
..
..
.
.
.
.
..
.
.
.
...
.
..
.......................
.
.
...
.
.
.
.
.
...
... .
..
.
...... .......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
................
.
.
...........
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............................
........................
....
.
...........................
.
.
.
.............................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
....
....
... .........
...
..
...
.
.
.
.
....
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
....
..
..
..
..
.
..
.
...........................................................................
..
..
....
....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
..
.
.
.
..
......
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
... .........
......
..... ....
....
......... .............
......... ..............
.............................. ............... ..............................
........................... ................ ...............................
........
........
..........
.........
....
.....
............. ..
...
...
.
...
..
.......
.....
..
..
...
.
..
.
.
...
..
.
.
.
.
.
... ...
............
... ...
.
.
...
.
... ..
. ...
. ......................................................................
.
.
.
.
.
....
... ..
...
. ...
.............
.
... ...
..
.
.
.
. ..
. .........
.........
.
.
.
.
.
... ....
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
......
....
... ...
... .. ...........
... ........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.......
............... ..
... ...............
.....................
...
.
.
...
........
........
.
.
.
.
...
.
.
.......
.
.
.
.......
......
....
.
.
.
.
.
.
.
.
................
.
.
.
.
.................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
......
.....
..... .. .........
.....
..
...
...
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
....... .
...
...
...................
.
.
.
..
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
..
...
.
..
..
....
.
..
....... ...
.. .......
....
..
..
...
........................................................................
....
...................................
.
.
.
. ..
.
.. ..
...
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
...
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
...
....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.......
............... ............................ .......
................ ............................
......................
.....................
...
.
....
..
.. .
....
.... .
........
....
.... .
....
...
....
...
....
.........
....
...
...
.
.
.
....
.
.
.
.
.
...
..
.....
.
..
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.......
..
.
..
...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
..........
.
..
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.................
......
......
.........
.........
.
.....
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
...
...
...
...
.
..
..
..
.
...
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.....
.
.
.
.
.
...
..
..
...
....................................................................
...
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
...
...
...
.
.
.
...
..
.
.
.
..
...
.
.
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
...
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
......
.
...
... ..............
.............. ...............
.......... ............ ......
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
........
........
......
..... ..
...
...
...
..
.
... ......
.
.
.
.
.
....
...
....
..
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
....
....
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
....
....
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
...
...
....
...........
..
.
.... ..
.
...
.
.
.
....
. ...
...
....
..........
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....... ...........
............. .......
...
.... ........
...
.....
.......
....
.. .
..
...
...
...
...
...
...............
...
...
...
..
..
.
.
.
.
.
.
.
..
.
...
.
..
...................
..................
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.....
.....
...
...
....
...
.
.
...
...........................
.
.
.
..
.
.
.
.
.
...
.
.
...
...
.......................
...
.
..
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...................... ..... .
...
...
...
...
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
......
.
...
.
. ....
...... ...
............................
.........................
...........................................................................
...
...
...
...
...
...
...
....
....
...
..
...
..
...
...
...
..
.........
.....
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........ ........
........ ........
..
...
...........
........... ..
.....
.....
......
...
.....
...
...
...
....... ...
...
.....
...
...
...
......
.......... ...
...
...
...
.....
...
...
.
.
.
...
.
.
.
. ..
..
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
...
...
. ...
...
.....
.
.
.
...
.
.
.
..
..
...
. ...
...
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
...
. ....
...
.
.
.
.
.
.
... . ..........
.
.
.
.
.
.
.
.
........
..........
. ........
.....
.
.
.......... .......
.
.
.
.
.
.
.....
......
..
. ......
...... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........................
.........................
......................... ............
.
.
...........................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.................
....
....
....
..
..
..
..
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
...
...
..
...
...
..
..
.. ..
..
..
..
............................................................................
...
....
................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
.
.
..
.
...
.
.
.
.
.
...
...
...
..
..
..
..
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
.....
..
..
..
..
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....................
.....................
.....................
....................
V01
V26
V02
V03
V04
V09
V12
V07
V08
V10
V11
V13
V14
V16
V15
V17
V21
& G.Stiege
V25
V06
V05
V20
V18
V19
V22
V23
03.06
V24
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
$
WS02/03
3. Wege und Zusammenhang
...................
.....................
.....
...
....
...
..
..
..
...
.....
..
....
.
.
...
.
..
.
..
.
.
...
....
..
.
....... ..........
.
.
.
.
....... ...
..................
.
.
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
.
.
... .
. ...
......
................
.....................................
...
..
.
.
.
...
.
....
.
...
..
..
....
........ ..........
......
...
...
...
...
.
........
.........
.
.
..................
.
.
.
.
.
...
...
..
..
....
...
..
...
...
....... ........
.........
.....................
....
...
..
..
.....
..
...
..
....
..
.
.
.
.
.
.................. ....
.
.
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
.
.
... .
.. .....
.........
................
.
.....
........................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
...
..
....
.
.
...
.
...
..
....
.
..
.....
...
.
.
...
.
...
...
.
..
.
.
.
....
.....
.....................
...................
....
....
...
...
...
...
...
...
.
...
........
......
.
.
.........
.......
.
.
.
.
................
................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
..
...
...
...
...
...
..
..
.
....
...
...
..
..
...
...
...
...
.
.
.
.
.
....... ......
....... ......
.........
.........
......................
.....................
....
...
....
...
..
..
...
..
....
.....
.
.
..
...
...
..
...
...
....
..
.
.
.
.
.
.
......................
.
.
.
.
... ...............
..
.
.
...
...
...
...
....
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
....
.......
...................................
......
...
.
.
...
..
.
....
...
...
....
...
.....................
....
...
...
...
.
........
.........
.
.
..................
.
.
......................
.
.
...
.
...
...
...
...
...
..
....
.
........................................
...
.
.
...
.
...
...
..
..
.
.
.
.
.
......
....... ......
.................
.........
..........
......................
...... .........
....
...
...
..
..
..
..
.....
.....
.
.
.
...
...
..
...
...
....
..
.
.
.
.
.
.
......................
.
.
.
.
... ...............
..
.
.
...
...
...
...
....
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
...
.
...
........................
......
...
.
.
...
...
....
...
...
...
.....
...................
....
...
...
...
.
........
.........
.
..................
.
.
...................
.
.
.
..
...
...
.....
...
...
..
..
.......................................
..
.....
.
..
.
...
.
...
...
..
....
.
...
.
.
.
......
....................
.................
........
.................
....... .........
......
...
...
...
...
..
..
..
..
..
.....
.....
.
.
..
.
...
...
..
..
.
.
.
.....
.
.
.
......
.....................
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
..
.
.
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
..
.......
...............
.....................................
....
...
...
....
...
...
...
..
..
....
......................
... ...
... ...
... ...
... ...
.. ..
....... ........ .
........ .........
...............
.
.
.
......
.....
...
...
..
.....
...
...
...
...
....... ........
.........
....................
.....
...
...
..
.....
.
..
...
...
....
.
.
.......................
.
.
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
.
..
...
.
.
.
.. .
...........
..............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........................
.
........ ...........
...
.
...
.
...
...
..
....
..
...
...
...
.
...
...
..
..
.
.
...
..
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.....................
....................
.
...
.
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
...
..
.. .
...
.......
................
......................................
...
...
.
...
..
.
...
...
...
...
...
....... ........
.........
........
....................
....... .........
....
...
...
...
...
..
..
..
.....
..
....
...
.
...
.
.
...
..
..
.
....
.
.
.
.
.
....................
........................
.
.
.
...
..
.
.....
.
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
.
.
...
..
...
.
.
.
.
..
.......
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
........ ..................
.
.
...
...
.....
...
..
...
..
...
...
.
...
.
.
....
.
.
...
.
...................
...
...
...
...
...
...
....
...
..
...
....... ..
...... ..
.......
.........
.....
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.. ...........
.....
...
....
...
..
...
..
..
....
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
...
...
...
...
...
...
....... ........
....... ........
.........
.........
.......................
.......................
...
...
...
...
...... ...
...
..
..
.....
.
.............................................................................
.
.
...
...
...
.
..
.
.
.
.....
.
.
......
....
.....................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. ....
.
..... .....
.
.
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
.
.
.
.
... .
..........
.
...
.
.
.
.
.
.
.
..
.....
............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ...
......... ...........
....... ............
.
...... .........
.
.
.
.
.
.
...
...
.
...
...
..
...
..
...
..
....
.
....
.....
.
..
...
..
..
...
...
...
....
..
.
...
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...................
.................
........................
.
.
...
.
...
.
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
...
..
...... ..
.
.
.
... . ....
......... ........
.
.
............ ...
........ ............
.
.
.
.
.
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
..
...
...
.....
....
...
..
..
..
..
.....................................................................
....
.
.
..
...
...
.
.
.
...
....
....
.......................
.......................
..................
.......................
.....
.................
....
...
...
...
...
..
........................................
..
..
.....
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
...................
....
....
......................
......................
..................
..................
..................
..................
...................
...................
.....
.....
.....
.....
...
...
...
...
...
...
.....
.....
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
...
.............................
.............................
..
.....
.....
.....
....
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
...
...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
....
....
....
....
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........ .............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..............
..............
............. ...
............
....... ..
............ ...............
.
.....
.
....
.
...
.....
.
...
...
.
...
....
...
....
... ..
...
...
...
.......
.........
...
...
....
...
...
...
...
...
...
....
...
..
....
...
....
...
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
...
...
.
..
.
..........
.
...
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
... ..
........
.......
...
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.................
.
.
.
.
.......... .............
.......... .............
..
........
..................
. ......
........
........
......................
.....
...................
.....
....................
...... ..........
.....
.....
...
...
...
...
.....
...
...
.....
.
....
...
...
...
...
..
...
..
..
..
...
...
.. ....
...
...
...
...
..
..
.
.
.
.
.
.
.............................
.....................................
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
............................
..............................
.............................
.
.
...................................
.............................
...
...
...
...
....... ....
...
...
...
...
..
..
..
..
.. ..
..
..
...
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
......
......
.....
......
......
......
....... .......
...
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
......
......
......
......
.............. .......
...
...
...
.
..
....
...
...
... .
....
...
...
...
...
...
...
.
...
.
...
.
.
..
....
....
.
.
.
.
.
.........
......
......
......
..
.
.
.
.
.
........
.
.
.....
.....
.........
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........... .
...................
..................
...................
......................
......................
...... ..........
...
...
.....
.....
...
.....
...
....
....
...
...
...
...
...
...
..
...
.....................
..
...
...
...
..
...
..
..
...
.....
....
...........................
..
....
.....
....
.
............................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....................
...
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....... .......
....... ......
....... ......
....... .......
....... .......
..
.................
.........
.........
.........
.......
.......
A01
A02
A03
A04
C01
C02
C03
C04
E01
E02
...............
....
..
.
.
.................
.
......
.
.
.
...
...
.
.
..
..
....
...
...
...
...
......
..................
......
..... .....
.... ..........
.....................
.
......
.
.
.
...
...
..
...
..
...
...
...
...
...
.....
..................
E03
E04
...........
...........
...... ........
...... ....................
...
...
...
.. .......
..
..............................................
..
.
.....
.... ...
.
.
.
..
.
..
.
.
.
...
...
.
..............................
.
.
.
.
.....
.
.
.
....... ...... ...
..................
.........
E05
E06
& G.Stiege
A05
A06
A07
A08
A09
C05
C07
C06
C08
E07
B01
B03
B04
D01
D02
D04
E11
E14
E09
E12
E15
E10
E13
E16
D05
E17
B07
B08
B05
D03
E08
03.07
B06
B02
B09
B10
D07
D06
D08
D09
D10
D12
D11
E18
E21
E24
E19
E22
E25
E20
E23
E26
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
4. Tiefensuche und Breitensuche
Tiefensuche
'
$
f-DFS(v)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
&
'
&
if (v markiert) return;
markiere v;
setze v aktiv;
for (alle Kanten und Ausgangsbögen l, die mit v inzidieren)
{ if (l nicht markiert)
{ markiere l;
f-DFS (otherend(l, v));
} }
setze v inaktiv;
return;
f-DFSgesamt(v)
1
2
3
4
for (alle Knoten v aus V ) /* Knotenliste */
{ if (v nicht markiert)
{ f-DFS (v);
} }
%
$
%
a-DFS, a-DFSgesamt
b-DFS, b-DFSgesamt
& G.Stiege
04.01
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
4. Tiefensuche und Breitensuche
Breitensuche
'
&
'
&
$
f-BFS(v)
1 enqueue(v);
2 markiere v;
3 while (Warteschlange nicht leer)
4
{ u = dequeue;
5
for (alle Kanten und Ausgangsbögen l von u)
6
{ if (l markiert) return;
7
markiere l;
8
w = otherend(l, u);
9
if (nicht markiert w)
10
{ enqueue(w);
11
markiere w;
12
} } };
f-BFSgesamt
1
2
3
4
/* Anfangs sind alle Knoten */
/* und alle Kanten unmarkiert */
for (alle Knoten v aus V ) /* Knotenliste */
{ if (v unmarkiert)
{ f-BFS(v);
} };
%
$
%
a-BFS, a-BFSgesamt
b-BFS, b-BFSgesamt
& G.Stiege
04.02
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
4. Tiefensuche und Breitensuche
Satz: Es sei v ein Knoten eines allgemeinen Graphen. Sind anfangs alle Knoten
unmarkiert, so besucht f-DFS den Knoten v und alle von v f-erreichbaren Knoten
und nur diese.
Satz: Es sei v ein unmarkierter Knoten eines allgemeinen Graphen, dann werden mit
f-DFS alle von v f-erreichbaren Knoten besucht, zu denen es zum Aufrufszeitpunkt
einen f-Weg aus unmarkierten Knoten gibt, und nur diese.
Tiefensuchbäume
• Baumbogen
• Rückwärtsbogen
• Vorwärtsbogen
• Querbogen
Satz: Es sei v ein Knoten eines allgemeinen Graphen. Sind anfangs alle Knoten
unmarkiert, so bilden die Baumbögen von f-DFS (a-DFS, b-DFS) einen gerichteten
Baum mit Wurzel v.
Tiefensuchwald.
Wird ausgehend von einem ersten Knoten v ein Tiefensuchbaum aufgebaut, so kann
es Knoten geben, die dabei nicht erreicht werden. Beginnend mit einem solchen
Knoten u wird ein zusätzlicher Tiefensuchbaum aufgebaut und so fort. Es wird
so der zum Ablauf der Tiefensuche gehörende Tiefensuchwald bestimmt. Bei aTiefensuche erezugen die Tiefensuchbäume die schwachen Zusammenhangskomponenten des Graphen. Bei f-Tiefensuche und b-Tiefensuche kann es sein, das von
einem Tiefensuchbaum zu einem vorher gefundenen ein Bogen geht. Das ist ein
Querbogen. Einen solchen rechnen wir zu keinem Tiefensuchbaum.
& G.Stiege
04.03
UniOL GuN
%
' Realz.-Bs
WS02/03
$
4. Tiefensuche und Breitensuche
Satz:
• Bei Ablauf einer f-Tiefensuche (a-Tiefensiuche) schließt jeder Rückwärtsbogen
einen f-Kreis (a-Kreis) durch Start- und Zielpunkt des Bogens.
• Eine Kante kann niemals Vorwärtsbogen oder Querbogen sein.
• Bei a-Tiefensuche gibt es keine Vorwärtsbögen und keine Querbögen.
Satz:
• Ein allgemeiner Graph besitzt genau dann eine a-Kreis, wenn jeder Ablauf
einer a-Tiefensuche einen Rückwärtsbogen findet.
• Ein Digraph besitzt genau dann einen f-Kreis, wenn jeder Ablauf einer fTiefensuche einen Rückwärtsbogen findet.
• Ein stark zusammenhängender allgemeiner Graph besitzt genau dann einen
f-Kreis, wenn jeder Ablauf einer f-Tiefensuche einen markierten Knoten trifft.
& G.Stiege
04.04
UniOL GuN
%
