Der goldene Schnitt

- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Inhaltsverzeichnis
Kapitel
Seite
Vorwort……………………………………………………………………………....
2
1. Mathematische Grundlagen des Goldenen Schnittes………………….
1.1. Was ist der „Goldene Schnitt“?..............................................................
1.2. Nähere Betrachtung des Teilungsverhältnisses – Herleitung der
Zahlen τ und ρ……………………………………………………………….
1.3. Die Zahlen τ und ρ…………………………………………………………..
3
3
1.3.1. Allgemeine Eigenschaften…………………………………………………………
1.3.2. Linealisierung der Potenzen des Goldenen Schnittes…………………………
4
5
3
4
1.4.
Geometrische Verfahren zur Konstruktion des Goldenen
Schnittes……………………………………………………………………..
7
1.4.1.
1.4.2.
1.4.3.
1.4.4.
„Die klassische Konstuktion“………………………………………………………
„Die beliebte Konstruktion“………………………………………………………...
Konstruktion des Goldenen Schnittes nach Euklid……………………………...
Das Verfahren mit „äußerer Teilung“……………………………………………..
7
8
9
10
2. Vorkommen des Goldenen Schnittes in der Mathematik………………
2.1. Angewandter Goldener Schnitt…………………………………………….
11
11
2.1.1. Goldenes Rechteck…………………………………………………………………
2.1.2. Die Goldenen Dreiecke – das spitze und das stumpfe…………………………
2.1.3. Goldener Winkel Ψ………………………………………………………………….
11
12
15
2.2.
Entdeckt und bewiesen – Vorkommen des Goldenen Schnittes ohne
beabsichtigtes Anwenden………………………………………………….
15
2.2.1. Regelmäßiges Fünfeck – Pentagramm – regelmäßiges Zehneck……………
2.2.2. Der Goldene Schnitt im Ikosaeder………………………………………………..
2.2.3. Die Reihe der Fibonacci-Zahlen…………………………………………………..
2.2.3.1. Der Stammbaum einer Drohne als Beispiel für die Fibonacci-Reihe………..
2.2.3.2. Mathematische Eigenschaften der Fibonacci-Reihe…………………………..
15
18
18
18
20
3. Vorkommen des Goldenen Schnittes außerhalb der Mathematik……
3.1. Der Goldene Schnitt in der Biologie………………………………………
22
22
3.1.1. Goldener Schnitt in der Anatomie…………………………………………………
3.1.2. Goldener Schnitt in der Botanik …………………………………………………..
22
23
3.2.
3.3.
3.4.
Der Goldene Schnitt in der Architektur……………………………………
Der Goldene Schnitt in der Kunst………………………………………….
Der Goldene Schnitt in der Musik…………………………………………
24
25
25
4. Die Historie des Goldenen Schnittes………………………………………
4.1. Der Goldene Schnitt in der Antike: Pythagoräer – Euklid………………
4.2. Der Goldene Schnitt in der Renaissance…………………………………
4.3. Der Goldene Schnitt von der Frühen Neuzeit bis zur Gegenwart……..
26
26
27
28
5. Die Popularität des Goldenen Schnittes………………………………….
29
Nachwort…………………………………………………………………………….
Glossar……………………………………………………………………………….
Literaturverzeichnis……………………………………………………………….
Erklärung…………………………………………………………………………….
30
31
31
31
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Vorwort
Der Begriff des „Goldenen Schnittes“ wird wahrscheinlich keinem ganz fremd erscheinen – allerdings wissen abgesehen von Architekten und Mathematikern vermutlich nur
wenige, worum es sich dabei im Einzelnen handelt. Bevor ich mich entschloss, meine
Jahresarbeit diesem Thema zu widmen, gehörte ich wie die meisten anderen zu denjenigen, die ausschließlich durch kurzes Ansprechen im schulischen Unterricht im Groben wissen, worum es sich bei diesem Ausdruck handelt.
Ich muss eingestehen, dass der Grund, der mich dazu veranlasste, meine Facharbeit
über den Goldenen Schnitt zu schreiben, zunächst einmal nicht das Thema an sich
war, sondern der Wunsch, aufgrund meiner Vorliebe für Mathematik meine Arbeit in
eben diesem Fach zu schreiben. Jedoch wurde ich bei meiner Suche nach einem passenden Thema schnell auf den Goldenen Schnitt, einem einzigartigen Phänomen in
der riesigen Welt der Mathematik, aufmerksam und mein Interesse dafür steigerte sich
umso mehr, je weiter ich mich mit diesem Gebiet befasste.
Meine Annahme, dass dieses Thema nicht genug Stoff für meine Abhandlung liefern
würde, wurde sehr schnell widerlegt. Im Gegenteil: Aufgrund der Fülle an höchst interessantem Material sehe ich mich gezwungen in dieser Arbeit einen Schwerpunkt zu
setzen. Ich habe mich entschlossen mehr auf die „mathematischen“ den Goldenen
Schnitt betreffenden Dinge einzugehen als auf Aspekte wie seine Geschichte oder sein
Vorkommen in Kunst und Natur. Allerdings werde ich auch diese Bereiche nicht ganz
außer Acht lassen.
Alles in einem soll dies nach meinem Wunsch eine schwerpunktmäßig mathematische
Facharbeit werden, in der die mathematischen Eigenschaften des als „Goldener
Schnitt“ benannten Teilungsverhältnisses in den Vordergrund gestellt werden. Mithilfe
der insbesondere mathematischen und anderer Besonderheiten möchte ich Ihnen und
mir durch diese Arbeit zu erklären versuchen, woher die große Popularität des Goldenen Schnittes rührt.
Aufgrund meiner Schwerpunktsetzung besteht die gesamte Jahresarbeit aus zwei Teilen: Der erste von ihnen beinhaltet die ersten beiden – nicht unwesentlich größeren –
mathematischen Kapitel und der zweite die restlichen nichtmathematischen Kapitel.
Ich wünsche Ihnen viel Vergnügen beim Lesen meiner Arbeit und hoffe, dass ich Sie
mit neuen Erkenntnissen bereichern kann.
Anmerkung: kursiv und blau geschriebene Wörter sind im Glossar erläutert
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
1. Mathematische Grundlagen des Goldenen Schnittes
1.1.
Was ist der „Goldene Schnitt“?
Der Goldene Schnitt beschreibt die Teilung einer Strecke, bei der das Verhältnis des
längeren Teilstücks zum kürzeren mit dem Verhältnis der gesamten Strecke zum längeren Teilstück übereinstimmt.
Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt
Bezeichnet man gemäß der obigen Abbildung die längere Teilstrecke als a und die
kürzere als b, erhält man folgende Gleichung, die den Goldenen Schnitt beschreibt:
a a+b
=
b
a
1.2.
Nähere Betrachtung des Teilungsverhältnisses – Herleitung der
Zahlen τ und ρ
Der Quotient aus dem längeren Teilstück a und dem kürzeren Teilstück b der durch
den Goldenen Schnitt geteilten Strecke ist konstant und wird mit dem griechischen
Buchstaben τ (ausgesprochen „tau“; bezieht sich auf das griechische Wort „tome“ für
„Schnitt“1.) bezeichnet2:
a a+b
=
=τ
b
a
Demzufolge gilt a = b ⋅ τ . Man nehme nun, um die Größe von τ zu ermitteln, an, dass
die Länge der kürzeren Teilstrecke b = 1 betrage und bezeichne die längere Teilstrecke
a als x, sodass gelte x = 1 ⋅ τ bzw. x = τ . Eingesetzt in die obere Gleichung ergibt sich
Folgendes:
x x +1
=
1
x
Durch Umformen erhält man diese quadratische Gleichung:
1
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
Vgl. Walser, Hans; Der Goldene Schnitt, Stuttgart; Leipzig: Teubner; Zürich: Verl. der Fachvereine, 1993,
S.12 f.
2
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
x2 − x −1 = 0
die durch Anwenden der pq-Formel und erneutes Umformen für x zwei Ergebnisse liefert:
1
+1
4
x1 = 0,5 +
∩
x 2 = 0,5 −
1
+1
4
x1 =
1
5
+
2 2
∩
x2 =
1
5
−
2 2
x1 =
1+ 5
2
∩
x2 =
1− 5
2
x1 ≈ 1,618
∩
x 2 ≈ −0,618
Da der Quotient positiv sein muss, ist mit x1 =
1+ 5
≈ 1,618 ein eindeutiges Ergebnis
2
für τ gegeben; es gilt also:
τ=
1+ 5
≈ 1,618
2
So wie die Zahl τ das Verhältnis der längeren Teilstrecke zur kürzeren beschreibt, steht
ihr Kehrwert für das Verhältnis der kürzeren Teilstrecke zur längeren. Dieser wird mit
dem griechischen Buchstaben ρ (ausgesprochen: „rho“) beschrieben3 und beträgt ca.
0,618. Es gilt also:
ρ=
1.3.
1
τ
=
b
a
2
=
=
≈ 0,618
a a + b 1+ 5
Die Zahlen τ und ρ
1.3.1. Allgemeine Eigenschaften
Die beiden Zahlen τ und ρ sind irrational, d.h. sie können nicht durch den Quotienten
zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden. Für sie beide gelten folgende Beziehungen4:
3
4
Vgl. Walser, S.12 f.
Vgl. Walser, S.13
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
τ ⋅ρ =1
τ +ρ = 5
τ − ρ =1
ρ2 + ρ =1
τ 2 −τ = 1
Die quadratische Gleichung x 2 − x − 1 = 0 aus → Kap.1.2. hat die beiden Lösungen
x1 = τ und x2 = -ρ. Wenn man bei der Anwendung des Goldenen Schnittes auf eine
Strecke mit der Annahme, dass das kürzere Teilstück b = 1 lang werden soll, das längere Teilstück a berechnen möchte, erhält man aus der Gleichung x 2 + x − 1 = 0 die
beiden Ergebnisse x1 = ρ und x2 = -τ. Diese beiden Gleichungen
x2 + x −1 = 0
x2 = 1− x
x2 − x −1 = 0
x2 = x +1
sind „die beiden Schlüsselgleichungen für den Goldenen Schnitt“5.
1.3.2. Linealisierung der Potenzen des Goldenen Schnittes6
Dadurch, dass τ eine Lösung der Gleichung
x2 = x +1
ist, und dass somit gilt
τ 2 = τ + 1,
kann τ2 durch den linearen Ausdruck τ + 1 ersetzt werden und höhere Potenzen von τ
können durch einen linearen Ausdruck in τ ersetzt werden, beispielsweise τ3:
τ 3 = τ 2τ = (τ + 1)τ = τ 2 + τ = τ + 1 + τ = 2τ + 1
oder τ4:
τ 4 = τ 3τ = (2τ + 1)τ = 2τ 2 + τ = 2(τ + 1) + τ = 3τ + 2
Wenn man die Gleichung
τ 2 = τ +1
mit τn multipliziert, erhält man folgende allgemeine Beziehung:
τ n + 2 = τ n +1 + τ n
Kennt man die linearen Ausdrücke für τn+1 und τn, erhält man nun durch Addition den
linearen Ausdruck für τn+2:
5
6
Vgl. Walser, S.13
Vgl. Walser, S.73 ff.
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- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Linealisierung der Potenzen von τ7
τ0
=
1
=
1
τ1
=
τ
=
τ
τ2
=
τ +1
=
τ +1
τ3
=
τ 2 +τ
=
2τ + 1
τ4
=
τ 3 +τ 2
=
3τ + 2
τ5
=
τ 4 +τ 3
=
5τ + 3
τ6
=
τ 5 +τ 4
=
8τ + 5
…
...
…
…
…
τ n+2
=
τ n +1 + τ n
=
a n + 2τ + a n +1
Die neue Zeile ist jeweils die Summe aus den beiden vorhergehenden.
Die Koeffizienten an in
τ n = a nτ + a n −1 , n ∈ {2,3,4,...}
sind die so genannten Fibonacci-Zahlen (→ Kap. 2.4.). Sie werden entsprechend der
obigen Tabelle folgendermaßen definiert:
a n + 2 = a n +1 + a n
Da –ρ wie τ eine Lösung der Gleichung
x2 = x +1
ist, muss für sie ebenfalls gelten:
(− ρ ) n + 2 = (− ρ ) n +1 + (− ρ ) n
(− ρ ) n = a n (− ρ ) + a n −1 , n ∈ {2,3,4,...}
7
Vgl. Walser, S.74 (verändert)
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
1.4.
Geometrische Verfahren zur Konstruktion des Goldenen Schnittes
Es gibt viele Möglichkeiten, den Goldenen Schnitt zu konstruieren. Konstruktionsverfahren, die einzig mit Lineal und Zirkel auskommen, waren in der Vergangenheit, als
man keine so große Auswahl an Hilfsmitteln wie z.B. den Computer hatte wie heute,
von großer Bedeutung. Vier solche Verfahren, mit deren Hilfe der Goldene Schnitt konstruiert werden kann, sollen hier präsentiert und bewiesen werden.
1.4.1. „Die klassische Konstuktion“ 8
Dieses Verfahren ist laut Hans Walser das bekannteste. Anleitung:
1 Man zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Katheten a = 1 und b = ½
2 Anschließend konstruiere man um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius b = ½
3 Man bezeichne daraufhin den inneren Schnittpunkt des Kreises mit der Hypotenuse c als Punkt D und den äußeren mit ihrer Verlängerung als Punkt E.
Klassische Konstruktion des Goldenen Schnittes9
Die Strecke BE wird vom Punkt D nach dem Goldenen Schnitt geteilt. Beweis:
2

5 −1
1  1
BD = 12 +    − =
=ρ


2
2
2




DE = BE − BD = τ − ρ = 1
8
9
2

5 +1
1  1
BE = 12 +    + =
=τ


2
2
2




BE
DE
=
τ
1
=τ
Vgl. Hans Walser: Der Goldene Schnitt, 1993, S.32
eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
1.4.2. „Die beliebte Konstruktion“10
Dieses Verfahren ist „wegen seiner Einfachheit beliebt“11. Anleitung:
Die Schritte 1 und 2 entsprechen den ersten beiden Schritten der „Klassischen Konstruktion“. Weiter geht es folgendermaßen:
3 Man bezeichne den Schnittpunkt des Kreises mit der Hypotenuse c als Punkt D
4 Daraufhin zeichne man um den Punkt B einen Kreis mit dem Radius r = BD
5 Anschließend bezeichnet man den Schnittpunkt des Kreises um Punkt B mit der
Kathete a als Punkt S
Die „beliebte“ Konstruktion des Goldenen Schnittes12
Der Punkt S teilt die Strecke BC im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Beweis:
2

5 −1
1  1
BS = BD = 12 +    − =
=ρ

 2
2
2




BC
BS
=
1
ρ
BC = a = 1
=τ
10
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
12
eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
11
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
1.4.3. Konstruktion des Goldenen Schnittes nach Euklid13
Diese Anleitung geht auf den griechischen Mathematiker Euklid (325-270 v.Chr.; →
Kap.4.1.) zurück:
1 Man zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Katheten a = 1 und b = ½
2 Anschließend konstruiere man um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius r = AB
3 Man bezeichne daraufhin den Schnittpunkt des Kreises um Punkt A mit der Verlängerung von AC als Punkt D
4 Zuletzt konstruiere man um den Punkt C einen Kreis mit dem Radius r = CD und
bezeichne den Schnittpunkt dieses Kreises mit der Strecke BC als Punkt S
Konstruktion des Goldenen Schnittes nach Euklid14
Der Punkt S teilt die Strecke BC nach dem Goldenen Schnitt. Beweis:
AD = AB =
BC
CD
13
14
=
1
ρ
5
2
CD = AD − AC =
5 1
5 −1
− =
=ρ
2 2
2
BC = 1
=τ
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
1.4.4. Das Verfahren mit „äußerer Teilung“15
Diese Konstruktion wird so bezeichnet, weil der zu konstruierende Punkt nicht auf der
Ausgangsstrecke liegt. Anleitung:
1 Man zeichne ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Katheten a =
1 und b = 1
2 Anschließend konstruiere man den Mittelpunkt M der Kathete a
3 Man Zeichne um den Punkt M einen Kreis mit dem Radius r = AM
4 Anschließend bezeichne man den Schnittpunkt dieses Kreises mit der Verlängerung von BC als Punkt D
Konstruktion des Goldenen Schnittes mit „äußerer Teilung“16
Der Punkt C teilt die Strecke BD im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Beweis:
CD = MA −
15
16
1
5 1
BC =
− =ρ
2
2 2
BC
CD
=
1
ρ
=τ
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
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- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
2. Vorkommen des Goldenen Schnittes in der Mathematik
Die Teilung einer Strecke nach dem Verhältnis des Goldenen Schnittes ist nicht der
einzige Fall in der Mathematik, bei der der Quotient zweier „Objekte“ der Zahl τ bzw. ρ
entspricht. Wie wir gleich feststellen werden, ergeben sich durch Anwendung der Proportionen des Goldenen Schnittes auf geometrische Figuren wie beispielsweise Rechtecke, Dreiecke oder Kreise zahlreiche besondere Eigenschaften, die zu einem nicht
geringen Teil zur Popularität der „göttlichen Teilung“ beitragen. Zusätzlich findet man in
der riesigen Welt der Mathematik aber auch Fälle, bei denen die „Göttliche Teilung“
auftaucht, obwohl sie dort nicht bewusst angewandt wurde – so z.B. beim Pentagramm
oder bei der jedem Mathematiker bekannten Reihe der Fibonacci-Zahlen, die wir bereits bei der Linealisierung von τ und –ρ angetroffen haben. Mit diesen und weiteren
Fällen befasst sich dieses Kapitel.
2.1.
Angewandter Goldener Schnitt
2.1.1. Goldenes Rechteck17
Man betrachte folgendes Problem: Wie muss man die Seitenlängen eines Rechtecks
wählen, damit nach Abschneiden eines Quadrates von diesem ein weiteres Rechteck
entsteht, das der Ausgangsfigur ähnlich ist? Zur Bestimmung dieses Rechtecks bezeichne man seine längere Seite als a und die kürzere als b. Nach Abschneiden eines
Quadrates mit der Seitenlänge b erhält man ein neues Rechteck mit den Seiten a’ = b
und b’ = a-b. Damit die Ähnlichkeit des erhaltenen Rechtecks mit dem Ausgangsrechteck gegeben ist, muss gelten
a a'
a
b
=
=
b b'
b a −b
Wenn man nun annimmt, dass die Länge des Ausgangsrechtecks a = 1 und seine
Breite b = x betrage, erhält man folgende Gleichung:
1
x
=
x 1− x
Diese Gleichung liefert das positive Ergebnis x1 = ρ (das negative Ergebnis x2= -τ wird
nicht berücksichtigt, weil für die Seitenlänge des Rechtecks nur positive Ergebnisse in
Frage kommen) und somit auch den Beweis, dass ein Rechteck, welches der obigen
Voraussetzung entspricht, ein Goldenes Rechteck ist:
17
Vgl. Walser, S.42 ff.
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
a
b
1
=
= =τ
b a −b ρ
Goldenes Rechteck18
Wenn man nun von dem erhaltenen Rechteck mit den Seiten a’ und b’ ein Quadrat mit
der Seitenlänge b’ abschneidet, erhält man ein Rechteck, das logischerweise wiederum den beiden vorhergegangenen ähnlich ist. Dieser Schritt lässt sich beliebig oft mit
dem gleichen Ergebnis wiederholen; natürlich muss dabei vorausgesetzt werden, dass
das Ausgangsrechteck „golden“ ist:
a
b
a−b
2b − a
=
=
=
= ... = τ
b a − b 2b − a 2a − 3b
Bei spezieller Betrachtung des goldenen Rechtecks mit der Länge a = 1 und der Breite
b = ρ stellt man eine weitere Eigenschaft der Zahl ρ fest (restliche Eigenschaften s.
Kap.1.3.):
Für die Quadrate, die Schritt für Schritt von diesem Rechteck abgeschnitten werden,
ergeben sich, weil die Länge ihrer Seiten bei jedem Schritt um den Faktor ρ abnimmt,
die Seitenlängen ρ, ρ2, ρ3, ρ4, …, ρn. Bei unendlicher Wiederholung dieses Schrittes
summieren sich diese Quadrate zur Fläche des Ausgangsrechtecks mit dem Inhalt A =
ρ auf. Somit gilt für ρ unter anderem:
ρ = ρ 2⋅1 + ρ 2⋅2 + ρ 2⋅3 + ρ 2⋅4 + ... + ρ 2⋅n
2.1.2. Die Goldenen Dreiecke – das spitze und das stumpfe19
Allgemein gilt: Goldene Dreiecke sind gleichschenklige Dreiecke, bei denen zwei Seiten im Verhältnis des Goldenen Schnittes zueinander stehen. Es gibt zwei Arten davon
– die spitzen und die stumpfen goldenen Dreiecke.
Das spitze Goldene Dreieck hat den Spitzenwinkel 36° und die Basiswinkel 72°. Bei
der Annahme der Länge 1 für die Schenkel ergibt sich für die Länge der Basis das
18
19
eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
Vgl. Walser, S.36ff., S.54f.
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Doppelte von sin18°, was ρ entspricht. Somit verhält sich im spitzen Goldenen Dreieck
jeder Schenkel zur Basis wie 1 zur ρ.
Spitzes Goldenes Dreieck20
Dadurch, dass der Spitzenwinkel des spitzen Golden Dreiecks ABC der Hälfte eines
Basiswinkels entspricht, trennt die Winkelhalbierende eines Basiswinkels vom ganzen
Dreieck ein ähnliches Dreieck ABD ab:
Teilung des spitzen Goldenen Dreiecks21
Das übrig bleibende Dreieck ADC ist ebenfalls gleichschenklig; es hat die Basiswinkel
36° und den Spitzenwinkel 108°. Es handelt sich dab ei um das stumpfe Goldene Dreieck. Nimmt man bei diesem Dreieck für die Basis eine Länge von 1 an, ergibt sich für
die Länge eines Schenkels der Kehrwert des Doppelten vom cos36° und das ist ebenfalls ρ. Im stumpfen Goldenen Dreieck verhält sich also die Basis zu einem Schenkel
wie 1 zu ρ – der umgekehrte Fall vom spitzen Goldenen Dreieck.
20
21
eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
Vgl. Anmerkung 20
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Stumpfes Goldenes Dreieck22
Dadurch, dass, wenn von einem spitzen Goldenen Dreieck durch die Winkelhalbierende eines Basiswinkels ein stumpfes Goldenes Dreieck abgeschnitten wird, wiederum
ein spitzes goldenes Dreieck als Rest übrig bleibt, kann ein spitzes Goldenes Dreieck
in unendlich viele stumpfe Goldene Dreiecke zerlegt werden.
Genauso kann wiederum ein stumpfes Goldenes Dreieck in unendlich viele spitze Goldene Dreiecke zerlegt werden, wobei der stumpfe Spitzenwinkel jedes Mal in 36° und
72° aufgeteilt wird:
Teilung des stumpfen Goldenen Dreiecks23
In beiden Fällen besteht bei jedem Zerlegungsschritt zwischen dem Restdreieck und
dem Ausgangsdreieck eine Ähnlichkeit mit dem Ähnlichkeitsfaktor ρ. Dies ist bei der
Zerlegung des spitzen Dreiecks der Fall, weil das Produkt aus der Basis des Restdreiecks BD und ρ mit der Länge der Strecke AB, der Basis des Ausgangsdreiecks, übereinstimmt:
BD = 2 ⋅ cos 72° ⋅ AB = ρ ⋅ AB
Beim stumpfen Goldenen Dreieck beträgt der Ähnlichkeitsfaktor ρ, weil die Basis des
bei seiner Zerlegung entstehenden Restdreiecks gleichzeitig ein Schenkel des Ausgangsdreiecks ist und ein Schenkel des stumpfen Goldenen Dreiecks entspricht dem
Produkt aus seiner Basis und ρ.
Diese beiden Goldenen Dreiecke sind besonders insofern wichtig, dass sie bei der
Bildung des regelmäßigen Fünfecks, des aus den Diagonalen eines regelmäßigen
Fünfecks aufgebauten Pentagramms und des regelmäßigen Zehnecks eine sehr wichtige Rolle einnehmen (→ Kap.2.2.1.)
22
23
eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
Vgl. Anmerkung 22
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
2.1.3. Goldener Winkel Ψ 24
Durch Anwendung des Goldenen Schnittes auf den Kreis erhält man den Goldenen
Winkel Ψ (ausgesprochen: „psi“). Dazu subtrahiert man den Quotienten aus 360° und
der Zahl τ von 360°:
Ψ = 360° −
360°
τ
≈ 137,5°
Der Goldene Winkel Ψ25
Der durch die Anwendung des Goldenen Winkels Ψ auf den Einheitskreis entstehende
Kreissektor hat die Bogenlänge
bΨ = 2π (1 − ρ )
und seine Fläche beträgt
AΨ = π (1 − ρ )
2.2.
Entdeckt und bewiesen – Vorkommen des Goldenen Schnittes ohne
beabsichtigtes Anwenden
2.2.1. Regelmäßiges Fünfeck – Pentagramm – regelmäßiges Zehneck26
Kommen wir zu Beginn dieses Unterkapitels zu der geometrischen Figur, an der der
Grieche Hippasos von Metapont vor ungefähr 2500 Jahren erstmalig den Goldenen
Schnitt entdeckte (→ Kap.4.1.) - dem regelmäßigen Fünfeck bzw. dem berüchtigten
Pentagramm, das man erhält, indem man alle Ecken des Fünfecks miteinander verbindet:
24
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
Grafik eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
26
Vgl. Walser, S 36 ff.
25
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Das regelmäßige Fünfeck mit eingeschriebenem Pentagramm27
In dieser Figur „wimmelt es nur so“ vom Goldenen Schnitt. Es fängt damit an, dass sie
sich auf viele unterschiedliche Weisen in stumpfe (hellgrau) und spitze (dunkelgrau)
Goldene Dreiecke zerlegen lässt (→ Kap.2.1.2.); wenn man alle Diagonalen einzeichnet, erhält man außerdem eine um 180° gedrehte Kopi e des Ausgangsfünfecks, deren
Kantenlänge im Vergleich zur Ausgangsfigur um den Faktor ρ2 verkleinert ist (schwarz):
Vorschläge zur Zerlegung des regelmäßigen
Fünfecks in Goldene Dreiecke28
Ferner steht die Länge einer Kante des regelmäßigen Fünfecks zu einer seiner Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes und jede Diagonale wird von 2 anderen
jeweils nach dem Goldenen Schnitt geschnitten:
Der Goldene Schnitt im regelmäßigen Fünfeck29
27
eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
Vgl. Anmerkung 27
29
Vgl. Anmerkung 27
28
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Das Verhältnis der Kantenlänge zur Diagonale lässt sich mithilfe des stumpfen Goldenen Dreiecks (s. Kap. 2.1.2.) herleiten: Seine Basis entspricht einer Diagonale und
seine Schenkel den Kanten des regelmäßigen Fünfecks.
Dass die Diagonalen sich gegenseitig nach dem Goldenen Schnitt teilen, ist ebenfalls
einfach nachzuweisen: Das mittlere Stück der geteilten Diagonale entspricht der Länge
der Basis eines spitzen Goldenen Dreiecks, die beiden anderen gleich langen Stücke
links und rechts davon entsprechen in ihrer Länge dem Schenkel des gleichen spitzen
Goldenen Dreiecks – also 1.
Auch in dem mit dem regelmäßigen Fünfeck verwandten regelmäßigen Zehneck
kommt der Goldene Schnitt an vielen Stellen vor - angefangen damit, dass es sich aus
zehn spitzen goldenen Dreiecken (ABM, BCM etc.) zusammensetzt:
Das regelmäßige Zehneck – zusammengesetzt aus spitzen goldenen Dreiecken30
Des Weiteren bildet in dieser Figur die Diagonale zwischen zwei Ecken, die zwei weitere Ecken einschließen - z.B. zwischen A und D - mit den zu diesen beiden Ecken gehörigen Radien (AM und DM) ein stumpfes Goldenes Dreieck, welches durch die beiden
dazwischen liegenden Radien (BM und BC) wiederum in zwei stumpfe und ein spitzes
Goldenes Dreieck dividiert wird. Die beiden eben erwähnten Radien BM und BC teilen
die Diagonale AD im Verhältnis des Goldenen Schnittes:
AS1
AS 2
30
=
DS 2
DS1
=ρ
eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
2.2.2. Der Goldene Schnitt im Ikosaeder31
Ein Beispiel für den Goldenen Schnitt in der dreidimensionalen Geometrie ist das Ikosaeder. Es gehört zu den platonischen Körpern und ist aufgebaut aus 20 gleichseitigen
Dreiecken:
Das Ikosaeder32
Diese Figur unterliegt den Regeln des Goldenen Schnittes zunächst dadurch, dass sie
auf dem bekanntlich „goldenen“ regelmäßigen Fünfeck (→ Kap.2.2.1.) basiert: Die fünf
Dreiecke, die an jeder Ecke des Ikosaeders zusammentreffen, bilden aus ihren nicht zu
dieser Ecke laufenden Seiten ein regelmäßiges Fünfeck (in der Grafik rot gekennzeichnet).
Aufgrund dieser Tatsache kann man es nicht anders erwarten, als dass der Goldene
Schnitt bei diesem geometrischen Körper auch an weiteren Stellen auftaucht.
So lassen sich zum Beispiel die 12 Ecken des Ikosaeders so verbinden, dass sie drei
gleich große, aufeinander stehende Goldene Rechtecke (→ Kap.2.1.1.) mit gemeinsamem Mittelpunkt bilden:
Goldene Rechtecke im Ikosaeder33
2.2.3. Die Reihe der Fibonacci-Zahlen
2.2.3.1. Der Stammbaum einer Drohne als Beispiel für die Fibonacci-Reihe34
Man betrachte folgendes extreme Beispiel:
31
Vgl. Walser, S.101 ff.
Vgl. Walser, S.101, Abb. 93d), verändert mithilfe von Microsoft Paint
33
Vgl. Walser, S.103, Abb. 96
34
Vgl. Walser, S.77 f.
32
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Aus einem unbefruchteten Bienen-Ei entsteht eine Drohne (männliche Biene), aus einem befruchteten Ei - abhängig von der Ernährung - eine Königin oder eine Arbeitsbiene. Demzufolge hat eine Drohne nur ein mütterliches Elternteil, eine weibliche Biene,
also Königin oder Arbeitsbiene, hingegen ein mütterliches und ein väterliches. Aus dieser Annahme ergibt sich der Stammbaum einer Drohne:
Stammbaum der Drohne35
In der 1.Generation gibt es nur eine Drohne (
), in der 2. nur ein Weibchen (
), wel-
ches als einziger Abkömmling von der Drohne abstammt. Da von einem Weibchen
sowohl eine Drohne, als auch ein weiteres Weibchen abstammen kann, gibt es in der
3. Generation 2 Bienen unterschiedlichen Geschlechts. Ab der 4. Generation ist der
Stammbaum asymmetrisch - es gibt mehr Weibchen als Männchen: Da von jedem
Weibchen in der folgenden Generation immer je eine weibliche und eine männliche
Biene abstammt, von einer Drohne allerdings immer nur ein Weibchen, gibt es in der nten Elterngeneration an Weibchen und an-1 Männchen, wobei an der Summe aus an-1
und an-2 entspricht:
Stammbaum einer Drohne in tabellarischer Form
Elterngeneration n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
n
Anzahl der Bienen an
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
…
an= an-1+ an-2
35
Vgl. Walser, S.77, Abb. 82
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
2.2.3.2.Mathematische Eigenschaften der Fibonacci-Reihe36
Die Anzahl der im vorherigen Kapitel besprochenen Bienen in Abhängigkeit von der
Generation an entspricht der bereits aus → Kap.1.3.2. bekannten Reihe der FibonacciZahlen
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
bei der sich abgesehen von den beiden Startwerten a1 = 1 und a2 = 1 jede Zahl durch
die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen zusammensetzt:
a n + 2 = a n +1 + a n bzw. a n = a n −1 + a n − 2
Um auf eine explizite Formel für die Fibonacci-Zahlen an zu kommen, mit der man jede
Zahl dieser Reihe auf Anhieb berechnen kann, müssen wir auf die Linealisierung der
Potenzen des Goldenen Schnittes zurückgreifen (→ Kap. 1.3.2.). Dort sind wir den
Fibonacci-Zahlen zum ersten Mal begegnet und haben folgende Beziehungen festgestellt:
τ n = a nτ + a n −1
(− ρ ) n = a n (− ρ ) + a n −1
Durch Subtraktion der unteren Gleichung von der oberen:
τ n − (− ρ ) n = a n (τ + ρ )
und Berücksichtigung folgender Beziehung zwischen τ und ρ (→ Kap. 1.3.1.)
τ +ρ = 5
ergibt sich für an folgende Abhängigkeit von τ und ρ:
an =
τ n − (− ρ ) n
5
Mithilfe dieser Formel kann jede Fibonacci-Zahl ohne Weiteres berechnet werden.
Lässt man nun das n gegen + ∞ laufen, erhält man, da τ n dann gegen + ∞ und
(− ρ ) n gegen 0 strebt, für große n folgende vereinfachte Formel:
an =
τn
5
Man sieht also bereits hier, dass zwischen der Fibonacci-Reihe und dem Goldenen
Schnitt eine enge Verbindung besteht. Ein weiteres Phänomen, das diese Aussage
weiter verstärkt, entdeckt man bei der Betrachtung des Quotienten zweier aufeinander
folgenden Fibonacci-Zahlen:
36
Vgl. Walser, S. 75 ff.
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
a1
a2
a2
a3
a3
a4
a4
a5
1
= =1
1
=
1
= 0,5
2
=
2
= 0, 6
3
=
3
= 0,6
5
a5
a6
a6
a7
a7
a8
a8
a9
=
5
= 0,625
8
=
8
≈ 0,615
13
=
13
≈ 0,619
21
=
21
≈ 0,6176
34
Spätestens ab dem Quotienten aus den Zahlen a6 und a7 wird es offensichtlich, dass
sich der Quotient zweier aufeinander folgenden Fibonaccizahlen an-1 und an mit Zunahme der Größe von n immer mehr ρ = 0,618 – der Zahl, die das Teilungsverhältnis
des Goldenen Schnittes beschreibt – annähert. Dies lässt sich durch die Betrachtung
des Grenzwertes dieses Quotienten bestätigen:
lim
n→∞
a n −1
=
an
lim
n→∞
τ n −1 − (− ρ ) n −1
5
⋅
τ n −1 1
5
=
= =ρ
τ n − (− ρ ) n τ n τ
Die Fibonacci-Zahlen sind ein in der Mathematik häufig auftretendes Phänomen, z.B.
im Pascal’schen Dreieck als „Schrägzeilen-Summen“37:
Die Fibonacci-Zahlen als Schrägzeilen-Summen
im Pascal’schen Dreieck38
37
38
Vgl. Walser, S. 85 ff.
Vgl. Walser, S. 87, Abb. 88
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
3. Vorkommen des Goldenen Schnittes außerhalb der Mathematik
In den ersten beiden Kapiteln sind viele besondere mathematische Eigenschaften des
als „Goldener Schnitt“ bezeichneten irrationalen Teilungsverhältnisses genannt worden, ohne die es sich nicht so sehr von anderen – insbesondere rationalen – Teilungsverhältnissen wie beispielsweise 1 zu 2 oder 9 zu 16 abheben würde.
Nun behaupte ich aber, dass, wenn es ausschließlich bei diesen „rein mathematischen“ Besonderheiten geblieben wäre, der Goldene Schnitt nicht zu der Popularität
gelangt wäre, die er tatsächlich genießt. Meiner Meinung nach hat er seinen Bekanntheitsgrad unter anderem auch der Tatsache zu verdanken, dass man ihn nicht nur in
der leblosen Welt der Mathematik, sondern sehr oft auch in „lebendigen“ Gebieten der
Naturwissenschaften wie Biologie – sprich in der Natur – entdeckt hat. Dies veranlasste in der Vergangenheit unter anderem den Franziskanermönch Luca Pacioli dazu, den
Goldenen Schnitt als „Göttliche Teilung“ zu bezeichnen (→ Kap. 4.2.) und den Philosophen Adolf Zeising, ihn als die Basis für ein „Naturgesetzt der Ästhetik“ zu beschreiben
(→ Kap. 4.3.).
Auch gibt es Annahmen, dass der menschliche Geist die „göttliche Proportion“ aus
dem Unterbewusstsein heraus anderen Teilungsverhältnissen bevorzugt. Diese Annahmen liefern die Erklärung dafür, dass sich in Bauwerken der Antike das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes finden lässt, obgleich es nicht intentional angewendet wurde.
In diesem Kapitel sollen einige solche Beispiele aus den Bereichen Biologie, Architektur, Kunst und Musik kurz präsentiert werden. Trotz der Tatsache, dass ich dieses Kapitel aufgrund meiner Schwerpunktsetzung auf „einige kurz präsentierte Beispiele“ beschränken werde, sollte es Ihnen, dem Leser, ganz klar sein, dass die Anzahl solcher
Beispiele sehr groß ist – dass der Goldene Schnitt nicht nur an wenigen Stellen, sondern nahezu in allen nur erdenklichen Bereichen unseres Lebens vorkommt.
3.1.
Der Goldene Schnitt in der Biologie
3.1.1. Goldener Schnitt in der Anatomie39
Das wohl bekannteste Beispiel für das Vorkommen des Goldenen Schnittes in der Biologie wurde durch den im Kapitel „Historie des Goldenen Schnittes“ (→ Kap.4.3.) näher
beschriebenen Philosophen Adolf Zeising entdeckt: Seinen Nachforschungen zufolge
sollen – um nur zwei seiner Ergebnisse zu nennen – der menschliche Körper in seiner
39
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Höhe vom Bauchnabel und der durch diese Teilung entstehende untere Teil davon
wiederum vom Knie im Goldenen Schnitt geteilt sein.
Allerdings basieren diese und alle weiteren Entdeckungen des Goldenen Schnittes am
menschlichen Körper durch den Philosophen nicht auf wissenschaftlichen Grundlagen,
sondern ausschließlich auf Beobachtungen. Ernüchternd sind auch genauere Überprüfungen dieser Thesen: die Abweichungen liegen in extremsten Fällen bei bis zu 20
Prozent.
Bei der Vermessung der Teilung meines eigenen Körpers durch den Bauchnabel stellte
ich zu meinem Erstaunen eine Abweichung vom Goldenen Schnitt von nur ungefähr
3% fest.
3.1.2. Goldener Schnitt in der Botanik
In der Botanik wäre zum einen ein Beispiel für den Goldenen Schnitt das Wachstum
einiger Pflanzen, bei denen die Knoten die ganzen Zweige im Verhältnis des Goldenen
Schnittes teilen40:
Die Teilung einer Pflanze im Goldenen Schnitt41
Ein weiteres Beispiel liefern die Blüten einiger Pflanzen wie zum Beispiel die der Sonneblume oder der Rose: Sortiert man ihre einzelnen Blütenblätter nach ihrer Größe, so
stellt man fest, dass zwei in ihrer Größe „benachbarten“ Blätter (1 und 2, 2 und 3 usw.)
zum Zweck der optimalen Nutzung des Sonnenlichtes immer den Goldenen Winkel Ψ =
137,5° bilden 42:
Anordnung von Blütenblättern im Abstand des
Goldenen Winkels (von oben betrachtet)43
40
Vgl. http://uni-schule.san-ev.de/space/Bayreuth/1024/
Vgl. Anmerkung 40
42
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
43
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
41
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
3.2.
Der Goldene Schnitt in der Architektur
In der Architektur gibt es sowohl Fälle, bei denen der Goldene Schnitt bewusst angewendet wurde, als auch welche, bei denen er erst im Nachhinein an den Bauwerken
entdeckt wurde, obwohl er nicht bewusst angewandt worden war. Diese Tatsache
spricht wiederum dafür, dass der Goldene Schnitt dem Menschen im Unterbewusstsein
veranlagt ist.
Für jeden der beiden Fälle möchte ich hier jeweils ein Beispiel bringen:
44
Die Cheopspyramide
Die Cheopspyramide wurde ungefähr um 2600 v. Chr. von den Ägyptern erbaut45; d.h.
sie hätten, insofern sie nicht doch entgegen unserer Annahmen den Goldenen Schnitt
schon kannten, bei ihrem Bau noch nicht mit diesem Teilungsverhältnis arbeiten können, da dieses erst um 500 v. Chr. von den Griechen entdeckt wurde. Nichtsdestotrotz
findet man in diesem riesigen Bauwerk den Goldenen Schnitt: Die Pyramidenhöhe verhält sich zur Hälfte der Seitenkante nach dem Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Ein Beispiel für angewendeten Goldenen Schnitt in der Architektur bildet der aus der
Renaissance stammende Dom Santa Maria del Fiore in Florenz. Die Höhe seiner 1434
fertig gestellten Kuppel46 beträgt genau 144 Bracci47 und die Höhe ihres Ansatzes genau 89 Bracci, d.h. die Kuppel des Doms verhält sich im Goldenen Schnitt zu ihrem
Ansatz48:
Santa Maria del Fiore (Florenz) 49
44
Vgl. www.lupi.ch/Schools/ weltwunder/cheopspyramide.jpg
Vgl. „Cheops“: Microsoft ® Encarta ® Enzyklopädie 2005. © 1993-2004 Microsoft Corporation
46
Vgl. „Florenz“: Microsoft ® Encarta ® Enzyklopädie 2005. © 1993-2004 Microsoft Corporation
47
1 Braccio = 58.4 cm
48
Vgl. http://www.asamnet.de/~hollwecm/section/inhalt.htm
49
Vgl. Anmerkung 46
45
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
3.3.
Der Goldene Schnitt in der Kunst
In der bildenden Kunst wurde und wird der Goldene Schnitt oft – mit Erfolg – verwendet, um irgendwelche Details im Bild hervorzuheben und um Harmonie in das Bild zu
bringen. Es gibt unzählige Beispiele für die Verwendung der „Göttlichen Teilung“50 in
der Kunst: Zu den berühmtesten davon zählen das Bild zu den menschlichen Proportionen von Vitruv De Divina Proporzione (1509; → Kap.4.2.) und die Mona Lisa (15031506) von Leonardo da Vinci:
„Mona Lisa“ von Da Vinci mit eingeschriebenem
spitzem Goldenem Dreieck51
3.4.
Der Goldene Schnitt in der Musik
Es mag zwar anfangs unlogisch klingen, aber der Goldene Schnitt lässt sich sogar in
der Musik verwenden. Zum Beispiel verwendete ihn der ungarische Komponist Béla
Bartók bei seinen Kompositionen: Bei seiner „Sonate für zwei Klaviere und ein Schlagzeug“ hat der erste Satz eine Länge von 2457 und der zweite eine Länge von 3975
Achtelnoten. Der Quotient dieser beiden Zahlen beträgt ungefähr 1,618, was unter
Vernachlässigung der kleinen Differenz aufgrund ganzer Zahlen ziemlich genau τ entspricht.52
Auch spielt der Goldene Schnitt eine wichtige Rolle beim Bau von Geigen und Flöten:
Da Frequenzen im Verhältnis der Fibonacci-Zahlen als „besonders reizvoll“53 empfunden werden, „bürgt der Goldene Schnitt bei ihrem Bau für einen schönen Klang“. Sogar
der berühmte Geigenbauer Stradivari soll angeblich von dem Goldenen Schnitt
Gebrauch gemacht haben.54
50
Bezeichnung des Goldenen Schnittes durch Luca Pacioli (→ Kap. 4.2.)
Vgl. „Leonardo Da Vinci“: Encarta 2005; Dreieck ergänzt mit Microsoft Paint
52
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
53
Vgl. http://www.asamnet.de/~hollwecm/section/inhalt.htm
54
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
51
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
55
4. Die Historie des Goldenen Schnittes
Der Goldene Schnitt ist als Phänomen in der Mathematik seit Jahrtausenden bekannt.
Die Faszination, die er auslöste, war nie gering.
In diesem Kapitel werden die wichtigsten historischen Personen von der Antike bis zur
Gegenwart dargestellt, die durch ihre Forschungen und Schriften zur Entwicklung der
Bekanntheit und der Popularität des Goldenen Schnittes beigetragen haben.
4.1.
Der Goldene Schnitt in der Antike: Pythagoräer - Euklid56
Das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes soll erstmals um 450 v. Chr. durch
Hippasos von Metapont, einem Angehörigen des Geheimbunds der Pythagoräer – den
Nachfolgern des berühmten Pythagoras, entdeckt worden sein, als dieser Untersuchungen am regelmäßigen Fünfeck durchführte und entgegengesetzt der Annahme
der Pythagoräer, dass sich alles auf der Welt durch ganze Zahlen bzw. Quotienten
ganzer Zahlen ausdrücken ließe, entdeckte, dass bei einem regelmäßigen Fünfeck das
Verhältnis der Kantenlänge zur Diagonale irrational ist; diese beiden Strecken stehen
nämlich im Verhältnis des Goldenen Schnittes zueinander (→ Kap.2.2.1.). Dabei war
das Fünfeck bzw. das Pentagramm ironischerweise das Symbol der Pythagoräer.
Mit der Entdeckung des Goldenen Schnittes entdeckte Hippasos zugleich die Inkommensurabilität von Strecken, anhand derer er letztlich auch die Existenz irrationaler
Zahlen bewies. Seine Entdeckung bildete also die Widerlegung der Grundannahme
des Pythagoreischen Geheimbundes von der Alleinexistenz rationaler Zahlen. Als Angehöriger dieses Bundes durfte der Mathematiker diese Entdeckung nicht öffentlich
verbreiten; als er dies jedoch dennoch tat, soll er Gerüchten zufolge zur Strafe von
seinen Kameraden ertränkt worden sein.
Die erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes stammt ebenfalls von einem
Griechen - dem Mathematiker Euklid aus der Zeit 325-270 v. Chr.. Er zählt zu den bedeutendsten Mathematikern seiner Zeit; sein im Original auf Arabisch geschriebenes
Hauptwerk Elemente, eine Abhandlung über Mathematik in 13 Bänden, bildete bis ins
19. Jahrhundert „die Grundlage der Geometrie überhaupt“57. Unter anderem stammt
von ihm der Euklidische Lehrsatz, besser bekannt als der Kathetensatz58.
55
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
57
Vgl. „Euklid (Mathematiker)“: Encarta 2005
58
Vgl. Großes Lexikon, ISIS Verlag, 1996
56
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Euklid entdeckte den Goldenen Schnitt bei Untersuchungen an Platonischen Körpern
und – wie auch Hippasos von Metapont – dem regelmäßigen Fünfeck bzw. dem Pentagramm. Seine Bezeichnung für den Goldenen Schnitt wurde folgendermaßen ins
Lateinische übersetzt: „proportio habens medium et duo extrema“, was auf Deutsch
„Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ heißt.
4.2.
Der Goldene Schnitt in der Renaissance59
In der Renaissance beschäftigte sich der Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo
San Sepolcro (1445 - 1514), Mathematik-Dozent an der Universität von Perugia, mit
den Arbeiten Euklids. Er bezeichnete den Goldenen Schnitt als „divina proportio“ – „die
göttliche Teilung“. Dabei bezog er sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit
den platonischen Körpern, bei deren Konstruktion der Goldene Schnitt als wichtiges
Hilfsmittel fungiert (→ Kap. 2.2.2.). Der Franziskanermönch verfasste das Buch „De
Pivina Proportione“, in dem er sich auf rein mathematischer Basis mit dem Goldenen
Schnitt auseinandersetzt, d.h. ohne darin einen Bezug zur Kunst oder Architektur herzustellen. Allerdings verfasste er zur gleichen Zeit auch eine Abhandlung über die
Schriften des römischen Architekten Virtuv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr., dessen
architekturtheoretische Werk das einzige ist, das uns aus der Antike überliefert ist60,
und in dem der römische Gelehrte die Proportionen des menschlichen Körpers als
Vorbild für die Architektur darstellt. Der Universalgelehrte Leonardo da Vinci (14511519), der in Mailand 7 Jahre lang Luca Paciolis Schüler gewesen war, illustrierte diese Abhandlung. Seine Zeichnung über die menschlichen Proportionen nach Vitruv ist
eines der berühmtesten Kunstwerke der Kunstgeschichte:
Leonardo da Vinci: De Divina Propozione61
59
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
Vgl. „Vitruv“: Encarta 2005
61
Vgl. „Leonardo da Vinci“: Encarta 2005
60
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Die Abweichung des Verhältnisses zwischen der Quadratseite und dem Kreisradius in
diesem Bild vom Goldenen Schnitt beträgt 1,7%, allerdings wird der goldene Schnitt in
dem zum Bild gehörigen Buch überhaupt nicht erwähnt.
In der Renaissance wurde der Goldene Schnitt außerdem erstmals durch Architekten,
Typographen, Maler, Bildhauer und Musiker als das ideale Zahlenverhältnis des Klassizismus verbreitet.62
4.3.
Der Goldene Schnitt von der Frühen Neuzeit bis zur Gegenwart63
Im Jahre 1835 verwendete der Mathematiker Martin Ohm, Bruder des eher bekannten
Physikers Georg Simon Ohm, nach dem die Einheit des elektrischen Widerstandes
benannt ist64, in einem Mathematik-Lehrbuch erstmals die heute noch übliche Bezeichnung „Goldener Schnitt“.
Verschiedene Schriftsteller des 19. Jahrhunderts, darunter aber insbesondere der Philosoph Adolf Zeising, behaupteten in ihren Abhandlungen über die Schriften Luca Paciolis, er habe durch sie in Zusammenarbeit mit Leonardo da Vinci den Goldenen
Schnitt wieder mit der Kunst zusammengebracht und somit dazu beigetragen, dass
diese „göttliche Teilung“65 eine bedeutende Rolle in der Malerei der Renaissance einnahm. Aufgrund seiner Überzeugung, der Goldene Schnitt sei die Basis eines Naturgesetzes der Ästhetik, suchte und fand Zeising den Goldenen Schnitt überall. Trotz der
Tatsache, dass er der erste war, der in den Kunst- und Bauwerken der Antike und der
Renaissance den Goldenen Schnitt zu erkennen glaubte, löste der Philosoph mit seinen Schriften über dieses besondere Teilungsverhältnis viel Begeisterung aus.
Im Jahre 1876 führte der Psychologe Gustav Theodor Fechner Experimente mit Testpersonen durch, mithilfe derer er festzustellen versuchte, ob es bei diesen Personen
für Strecken, Rechtecke und Ellipsen, die nach den Proportionen des Goldenen Schnittes aufgeteilt bzw. aufgebaut sind (Goldenes Rechteck etc., → Kap.2.1.), Präferenzen
gibt. Ein positives Ergebnis erhielt er allerdings nur bei dem Goldenen Rechteck: Dieses wurde - im Gegensatz zu anderen nach dem Goldenen Schnitt proportionierten
Figuren - im Vergleich zu „nicht goldenen“ Rechtecken bevorzugt. Jüngeren Untersuchungen zufolge hängen die Ergebnisse solcher Experimente stark von den Umständen ab, die während des Experiments vorherrschen.
Personen aus dem 20. Jahrhundert, die man mit dem Goldenen Schnitt in Verbindung
bringt, sind zum einen der Rumäne Matila Costiescu Ghyka, der Anfang des Jahrhun62
Vgl. www.dirk-behlau.de/pdf/Dirk_ Behlau-MX-Magazin-Der_goldene_Schnitt.pdf
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
64
Vgl. „Ohm, Georg Simon“: Encarta 2005
65
Vgl. Anmerkung 50
63
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
derts den Goldenen Schnitt in seinen Schriften als „fundamentales Geheimnis des Universums“ beschrieb und viele Beispiele für den Goldenen Schnitt in der Natur präsentierte und zum anderen die Kunsthistorikerin Marguerite Neveux, die Ende des Jahrhunderts versuchte mithilfe von Röntgenstrahlen in alten Gemälden, in denen sie die
Verwendung des Goldenen Schnittes vermutete, Markierungspunkte für das sonderbare Teilungsverhältnis zu entdecken – allerdings ohne Erfolg.
Letztendlich kann man klar erkennen, dass sich der Goldene Schnitt wie ein roter Faden durch die Geschichte zieht und dass es immer Menschen gab, gibt und höchstwahrscheinlich auch geben wird, die sich auch in Zukunft mit ihm beschäftigen und
versuchen werden zu beweisen bzw. zu widerlegen, dass der Goldene Schnitt nicht
nur ein Teilungsverhältnis, sondern wie Ghyka schrieb das „fundamentale Geheimnis
des Universums“ ist.
5. Die Popularität des Goldenen Schnittes
Zum Ende der Arbeit möchte noch einmal explizit darauf eingehen, was den Goldenen
Schnitt eigentlich so populär macht.
Sind es die unzähligen mathematischen Besonderheiten, die er im Vergleich zu anderen Teilungsverhältnissen aufweist?
Ist es die Tatsache, dass man ihn abgesehen von der Mathematik auch in der Natur
und in den Proportionen des menschlichen Körpers vorfindet?
Ist es die Feststellung, dass der Goldene Schnitt dem „uns allen gemeinsamen Schönheitsempfinden“66 entspricht?
Meiner Meinung nach können all diese Fragen mit „Ja“ beantwortet werden. Diese drei
Faktoren tragen nach meiner Ansicht gleichermaßen dazu bei, dass der Goldene
Schnitt in bestimmten Kreisen einen so hohen Bekanntheits- und Beliebtheitsgrad genießt. Dabei variiert die Gewichtung dieser Faktoren wahrscheinlich für jeden einzelnen
abhängig davon, wo seine Interessen liegen. So finde ich persönlich – als ein an Mathematik interessierter Mensch – die mathematischen Besonderheiten des Goldenen
Schnittes bewundernswert. Ein Philosoph wie Adolf Zeising oder Matila Costiescu
Ghyka wird bei seiner Suche nach dem „fundamentalen Geheimnis des Universums“
auf den Goldenen Schnitt treffen und wegen seines unzähligen Vorkommens in der
66
Vgl. www.dirk-behlau.de/pdf/Dirk_ Behlau-MX-Magazin-Der_goldene_Schnitt.pdf
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Natur eine Faszination für ihn entwickeln (→ Kap.4.3.) und ein Architekt wird sich für
die Wirkung des Goldenen Schnittes auf sich selbst und seine Klienten begeistern67.
Somit betrachte ich es für logisch, dass es immer Menschen geben wird, die sich für
den Goldenen Schnitt begeistern werden.
Und wer weiß – vielleicht wird sich irgendwann wirklich herausstellen, dass der Goldene Schnitt „der Schlüssel des Lebens“ ist…
Nachwort
Obwohl ich meine Jahresarbeit anfangs nicht aus Begeisterung für den Goldenen
Schnitt geschrieben habe, bin ich doch zufrieden, wenn nicht sogar froh, dieses Thema
gewählt zu haben. Ich fand es von Beginn an interessant und mancherorts sogar faszinierend – trotz der Tatsache, dass die Beschäftigung damit relativ zeitaufwändig war.
Wie bereits im Vorwort angekündigt, habe ich mich bei der Auswahl meiner Themen
und ihrer Ausführung oft beschränken müssen, um nicht den Umfang meiner Arbeit zu
sprengen, aber vermutlich ergeht es jedem so.
Bei meiner Erforschung des Goldenen Schnittes habe ich oft Dinge festgestellt, die mir
so nie in den Sinn gekommen wären. Das langweilige Bild vom Goldenen Schnitt, das
ich aus der Mittelstufe behalten hatte, hat sich durch diese Jahresarbeit sehr verändert.
Ich fand es sehr spannend, die mathematischen Eigenschaften der Zahlen τ und ρ zu
erforschen und festzustellen, wie oft man den Goldenen Schnitt in der wirklichen Welt
tatsächlich wieder findet.
Ich muss eingestehen, dass ich mit der Ansicht des Rumänen Matila Costiescu Ghyka,
dass der Goldene Schnitt das „fundamentale Geheimnis des Universums“ sei, nicht
einverstanden bin. Trotz meiner Begeisterung für dieses sonderbare Teilungsverhältnis
empfinde ich diese Aussage als übertrieben. Wenn ich mir jetzt selbst die Frage stelle,
die im Titel meiner Jahresarbeit steht, stelle ich fest, dass ich zwar nicht mehr definitiv
der Meinung bin, der Goldene Schnitt sei nur ein Teilungsverhältnis, dass ich aber
dennoch noch lange nicht soweit gehe, dieses Phänomen der Mathematik als etwas so
sonderbares zu bezeichnen. Meiner Meinung nach liegt es bei jedem einzelnen selbst,
wie er diese Frage beantwortet, denn die tatsächliche Antwort kennt bislang keiner und
es ist nicht unbedingt abzusehen, dass sie bald jemand beantworten können wird.
67
Vgl. Anmerkung 56
31
- Goldener Schnitt Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Glossar
Koeffizienten
Unveränderlicher Faktor einer veränderlichen Größe
platonische Körper
Körper, bei denen alle Seiten gleiche, regelmäßige und flache
Vielecke sind: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
inkommensurabel
Nicht mit der gleichen Maßeinheit messbar; inkommensurable
Strecken sind die geometrischen Äquivalente der irrationalen
Zahlen
Präferenz
Vorzug
Literaturverzeichnis
Bücher und Lexika:
1. Dr. Schneider, Christoph (Redakteur); Großes Lexikon; ISIS Verlag, 1996
2. © 1993-2004 Microsoft Corporation;
Microsoft ® Encarta ® Enzyklopädie 2005. Alle Rechte vorbehalten.
3. Walser, Hans; Der Goldene Schnitt
Stuttgart; Leipzig: Teubner; Zürich: Verl. der Fachvereine, 1993
Internet:
1. http://www.asamnet.de/~hollwecm/section/inhalt.htm, 27.01.05
2. www.dirk-behlau.de/pdf/Dirk_Behlau-MX-Magazin-Der_goldene_Schnitt.pdf,
17.03.05
3. www.lupi.ch/Schools/ weltwunder/cheopspyramide.jpg, 04.05.05
4. http://uni-schule.san-ev.de/space/Bayreuth/1024/, 22.03.05
5. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt, 17.03.05
Erklärung:
Ich versichere hiermit, dass ich diese Facharbeit selbstständig verfasst, keine anderen
als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe und dass sämtliche Stellen, die benutzten Werken im Wortlaut oder dem Sinne nach entnommen worden sind, mit Quellenangaben kenntlich gemacht wurden. Diese Versicherung gilt auch für Zeichnungen, Skizzen und bildliche Darstellungen.
Heli, den 08.05.2005
31