3.3 Default-Logiken 3.3.1 Reiter`sche Default

Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen
3.3 Default-Logiken
3.3.1 Reiter’sche Default-Logik
DVEW – WS 2004/05 –
c Gabriele Kern-Isberner
1
Prozesse (Whlg.)
Default-Prozesse sind (endliche) Folgen Π = (δ0, δ1, . . .) von Defaults
(o. Whlg.), bei denen jedes δk auf In((δ0, . . . , δk−1)) angewendet
werden kann.
Ein Prozess Π heißt
• erfolgreich gdw. In(Π) ∩ Out(Π) = ∅;
• fehlgeschlagen gdw. In(Π) ∩ Out(Π) 6= ∅;
• geschlossen gdw. jedes δ ∈ ∆, das auf In(Π) angewendet werden
kann, auch in Π vorkommt.
Extensionen sind genau die In-Mengen von geschlossenen und erfolgreichen Prozessen.
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2
Prozessbäume
. . . geben einen Überblick über alle möglichen Prozesse einer DefaultTheorie T = (W, ∆):
• jeder Knoten entspricht einem Prozess Π und ist mit zwei Labels
markiert, In(Π) und Out(Π);
• die Wurzel entspricht dem leeren Prozess Π = () mit In(()) =
Cn(W) und Out(()) = ∅;
• jede Anwendung eines Defaults induziert einen neuen Zweig;
• jedes Blatt entspricht entweder
– einem fehlgeschlagenen Prozess oder
– einem geschlossenen und erfolgreichen Prozess.
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3
Konstruktion von Prozessbäumen
• In(N ) ∩ Out(N ) 6= ∅:
Knoten wird Blatt und als Fehlschlag markiert.
• In(N ) ∩ Out(N ) = ∅:
erfolgreicher Prozess mit Fortsetzung:
– Für jeden anwendbaren, noch nicht berücksichtigten Default
ϕ : ψ1 , . . . , ψ n
δ=
∈ ∆ erhält N einen Nachfolger N (δ) mit
χ
In(N (δ)) = Cn(In(N ) ∪ {χ}) und
Out(N (δ)) = Out(N ) ∪ {¬ψ1, . . . , ¬ψn}
– Gibt es keine noch nicht verwendeten und anwendbaren Defaults
mehr, so wird N Blatt und als erfolgreich und geschlossen
markiert; In(N ) ist Extension
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4
Prozessbaum
In(N )
Out(N )
N
H
HH
HH
H
HH
HH
HH
H
δ
HH
HH
H
HH
H
HH
...
HH
H
HH
HH
HH
H
Cn(In ∪ {χ})
N (δ) Out ∪ {¬ψ1, . . . , ¬ψn}
H
H
...
ϕ : ψ1 , . . . , ψ n
δ=
χ
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Prozessbaum – Beispiel 1
T :
> : p
> : q
W = ∅, ∆ = {δ1 =
, δ2 =
}
¬q
r
Cn(∅) • ∅
"b
"
"
"
"
"
δ1"""
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
Cn({¬q}) • {¬p}
geschlossen & erfolgreich
b
b
b
b
b
b
b
b
b
δ2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Cn({r}) • {¬q}
δ1
Cn({¬q, r}) • {¬q, ¬p}
Fehlschlag
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Prozessbaum – Beispiel 2



Pinguin ⇒ Vogel
W0
Pinguin ⇒ ¬fliegt

(Tweety ist ein) Vogel 
Cn(W0) • ∅
Cn(W0 ∪ {fliegt}) • {¬fliegt}
geschlossen & erfolgreich
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Vogel : fliegt
fliegt
o
∆
W1 := W0 ∪ {Pinguin}
Cn(W1) ist die einzige Extension von T1 = (W1, ∆),
→ hier ¬fliegt ∈ Cn(W1).
7
Beispiel – Nixon Raute 1/2
Republikaner ∧ Quäker (Nixon)
y
@
@
@
@
@
@
Republikaner
i
@
@
@
@
@
@
Ri
@
Quäker
@
@
Ri
@
Pazifist
∆
W0
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Republikaner : ¬ Pazifist
¬ Pazifist
Quäker : Pazifist
δ2 :
}
Pazifist
= {Quäker, Republikaner}
= {δ1 :
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8
Beispiel – Nixon Raute 2/2
Cn({Q, R}) • ∅
"b
"
"
"
"
δ1""""
"
"
"
"
"
"
"
"
b
b
b
b
b
δ2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Cn({Q, R, ¬P }) • {P }
Cn({Q, R, P }) • {¬P }
geschlossen & erfolgreich
geschlossen & erfolgreich
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Eigenschaften der Default-Logik 1/2
• Minimalität von Extensionen
Seien E, E 0 Extensionen einer Default-Theorie T mit E ⊆ E 0.
Dann gilt E = E 0.
• Eindeutigkeit der Extension
Sei T = (W, ∆) eine Default-Theorie, und sei die Menge
ϕ : ψ1 , . . . , ψ n
W ∪ {ψ1 ∧ . . . ∧ ψn ∧ χ |
∈ ∆}
χ
(klassisch) konsistent. Dann besitzt T genau eine Extension.
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Eigenschaften der Default-Logik 2/2
• Inkonsistenz 1
Eine Default-Theorie T = (W, ∆) besitzt genau dann eine inkonsistente Extension, wenn die Faktenmenge W selbst inkonsistent
ist.
• Inkonsistenz 2
Hat eine Default-Theorie T eine inkonsistente Extension E, so ist
E die einzige Extension von T .
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Erweiterungen von Default-Theorien: Defaults
T :
> : a
W = ∅, ∆ = δ0 =
a
T besitzt genau eine Extension: E = Cn({a})
>:b
¬b }. T1 = (W, ∆1) hat keine Extensionen.
{δ0, δ2 = b c: c }. T2 = (W, ∆2) hat immer noch E als
• Sei ∆1 = {δ0, δ1 =
• Sei ∆2 =
einzige Extension.
: ¬a
• Sei ∆3 = {δ0, δ3 = >¬a
}. T3 = (W, ∆3) hat zwei Extensionen,
nämlich E und Cn({¬a}).
• Sei ∆4 = {δ0, δ4 = a b: b }. T4 = (W, ∆4) besitzt die Extension
Cn({a, b}), die E enthält.
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Erweiterungen von Default-Theorien
Eine Erweiterung der Default-Menge/Fakten-Menge kann also
• Extensionen zunichte machen,
• Extensionen (nur) modifizieren oder auch
• zu ganz neuen Extensionen führen.
Semi-Monotonie
Seien T = (W, ∆) und T 0 = (W, ∆0) zwei Default-Theorien mit
gleicher Faktenmenge W und Default-Mengen ∆ ⊆ ∆0. Ist jede
Extension von T in einer Extension von T 0 enthalten, so nennt
man T 0 eine semi-monotone Erweiterung von T .
Im Allgemeinen kann man bei Default-Theorien keine Semi-Monotonie
erwarten.
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Normale Defaults
. . . sind Defaults der Form
ϕ : ψ
δ=
ψ
in denen also just(δ) = cons(δ) gilt.
Beispiel:
Vogel : Fliegen
Fliegen
Mit einem normalen Default kann man die Konsequenz ψ schließen,
wenn ψ mit dem bisherigen Wissen konsistent ist.
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Prozesse normaler Default-Theorien
Sei T = (W, ∆) eine normale Default-Theorie mit konsistenter Faktenmenge W , und
ϕi : ψ i
sei Π = (δ0, δ1, . . .) ein Prozess von T mit δi =
.
ψi
In(Π) = Cn(W ∪ {ψi}i≥0)
Out(Π) = {¬ψi}i≥0
Kann Π ein Fehlschlag sein?
Jeder Default δi war anwendbar, also gilt (insbesondere) ¬ψi 6∈ In(Π).
Damit ist aber In(Π) ∩ Out(Π) = ∅,und folglich gilt
Lemma: Jeder Prozess einer normalen Default-Theorie ist
erfolgreich.
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Extensionen normaler Default-Theorien
Proposition
Normale Default-Theorien besitzen immer Extensionen.
Jeder endliche Prozess kann zu einem geschlossenen Prozess erweitert werden.
Proposition
Normale Default-Theorien sind semi-monoton.
Normale Default-Theorien sind also besonders “gutmütig”.
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Normale Defaults und Konflikte
Normale Defaults sind zu harmlos – Konflikte zwischen Defaults
lassen sich nicht angemessen behandeln.
{student(Paul )};
student(Paul ) : ¬works(Paul )
∆
:
δ1 =
¬works(Paul )
adult(Paul ) : works(Paul )
δ2 =
works(Paul )
student(Paul ) : adult(Paul )
δ3 =
adult(Paul )
= Cn({student(Paul ), adult(Paul ), ¬works(Paul )})
W
E1
=
E2 = Cn({student(Paul ), adult(Paul ), works(Paul )})
adult(Paul ) : works(Paul ) ∧ ¬student(Paul )
0
δ2 =
works(Paul )
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Disjunktive Information
Die Reiter’sche Default-Logik kann bei vorliegender
disjunktiver Information zu kontraintuitiven Ergebnissen
führen.
(s. nachfolgendes Beispiel)
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Disjunktive Information – Beispiel
Die beiden mechanischen Arme al und ar eines Roboters sind
brauchbar, wenn man davon ausgehen kann, dass sie nicht gebrochen sind. Sind sie aber gebrochen, so sind sie definitiv unbrauchbar. Wir wissen, dass einer der Arme des Roboters NR-5 gebrochen
ist, wir wissen jedoch nicht welcher.
W = {broken(ar ) ∨ broken(al), broken(x) ⇒ ¬usable(x)};
δ1
δ2
> : ¬broken(ar )
=
usable(ar )
> : ¬broken(al)
=
usable(al)
E = Cn(W ∪ {usable(ar ), usable(al)}) ist Extension !
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19
Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen
3.3 Default-Logiken
3.3.2 Poole’sche Default-Logik
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Poole’s Default-Logik
Benutze klassische Logik – aber in einer anderen Art und Weise!
• basiert auf Prädikatenlogik;
• Default-Theorien bestehen aus einer Menge F geschlossener Formeln (Fakten) und einer Menge D (offener) Formeln (Hypothesen);
• ein Szenario ist eine konsistente Menge D ∪F, wobei D eine Menge
von Grundinstanzen von Formeln aus D ist;
• Extensionen sind die (klassischen) Konsequenzen Cn(D ∪ F) maximaler Szenarios (enthalten soviele Grundinstanzen von Defaults
wie möglich).
• Eine geschlossene Formel φ heißt erklärbar durch (F, D), wenn φ
in einer Extension von (F, D) liegt, d.h. wenn es ein maximales
Szenario D ∪ F gibt mit D ∪ F |= φ.
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Beispiel – Tweety
Universum = {Polly}


 F
Default-Theorie
D


= {bird (Polly) ∨ bat(Polly)}
: bird (X) ⇒ flies(X)
bat(X) ⇒ flies(X)
(maximales) Szenario:
F ∪ {bird (Polly) ⇒ flies(Polly), bat(Polly) ⇒ flies(Polly)}
Extension:
Cn(F ∪ {bird (Polly) ⇒ flies(Polly), bat(Polly) ⇒ flies(Polly)})
Abduktion: flies(Polly) kann durch (F, D) erklärt werden.
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22
Beispiel – Tweety und Polly
Universum = {Tweety, Polly}
F = { ∀XPinguin(X) ⇒ bird (X),
∀XPinguin(X) ⇒ ¬flies(X),
Pinguin(Tweety),
bird (Polly) }
D = { bird (X) ⇒ flies(X)}
F ∪ {bird (Polly) ⇒ flies(Polly)}
ist ein Szenario,aber
F ∪ {bird (Tweety) ⇒ flies(Tweety)} ist kein Szenario!
Cn(F ∪ {bird (Polly) ⇒ flies(Polly)}) = Cn(F ∪ {flies(Polly)})
ist einzige Extension von (F, D).
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Problem mit Kontraposition
Die Poole’sche Default-Logik beruht stärker auf klassischer Logik:
Ein Poole’scher Default A(X) ⇒ B(X) kann z.B. auch in der
kontrapositiven Form ¬B(X) ⇒ ¬A(X) aktiv werden !
(s. auch Studenten-Beispiel)
Beispiel:
D =
{Mensch(X) ⇒ Rechtshänder(X)}
F = {Mensch(Bill), ¬Rechtshänder(Paul)}
Extension:
E = { Mensch(Bill), ¬Rechtshänder(Paul),
Rechtshänder(Bill), ¬Mensch(Paul) }
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24
Beispiel – Student Paul
Universum = {Paul }
T :
F = { student(Paul ) }
D = { student(X) ⇒ ¬works(X),
adult(X) ⇒ works(X), student(X) ⇒ adult(X) }
Drei maximale Szenarien: F ∪ Di, i = 1, 2, 3 mit:
D1={student(Paul ) ⇒ ¬works(Paul ), adult(Paul ) ⇒ works(Paul )}
D2={student(Paul ) ⇒ adult(Paul ), adult(Paul ) ⇒ works(Paul )}
D3={student(Paul ) ⇒ ¬works(Paul ), student(Paul ) ⇒ adult(Paul )}
⇒ Drei Extensionen Ei0 = Cn(F ∪ Di), i = 1, 2, 3, mit
E10=Cn({student(Paul ), ¬works(Paul ), ¬adult(Paul )})
E20=Cn({student(Paul ), works(Paul ), adult(Paul )})
E30=Cn({student(Paul ), ¬works(Paul ), adult(Paul )})
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Beispiel – Student Paul
Universum = {Paul }
T :
F = { student(Paul ) }
D = { student(X) ⇒ ¬works(X),
adult(X) ⇒ works(X), student(X) ⇒ adult(X) }
Drei maximale Szenarien: F ∪ Di, i = 1, 2, 3 mit:
D1={student(Paul ) ⇒ ¬works(Paul ), adult(Paul ) ⇒ works(Paul )}
D2={student(Paul ) ⇒ adult(Paul ), adult(Paul ) ⇒ works(Paul )}
D3={student(Paul ) ⇒ ¬works(Paul ), student(Paul ) ⇒ adult(Paul )}
⇒ Drei Extensionen Ei0 = Cn(F ∪ Di), i = 1, 2, 3, mit
E10=Cn({student(Paul ), ¬works(Paul ), ¬adult(Paul )})
E20=Cn({student(Paul ), works(Paul ), adult(Paul )})
E30=Cn({student(Paul ), ¬works(Paul ), adult(Paul )})
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Eigenschaften von Extensionen
Proposition
Sei (F, D) eine Poole’sche Default-Theorie, und sei E
eine Extension von (F, D). Dann gilt:
• F ⊆ E;
• Cn(E) = E;
• Ist α eine Grundinstanz eines Defaults in ∆ mit ¬α 6∈ E,
dann ist α ∈ E.
Weiterhin ist E minimal mit diesen Eigenschaften.
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Beweis:
Es ist E = Cn(F ∪ D), F ∪ D maximales Szenario.
F ⊆ E und Cn(E) = E klar.
Sei also α eine Grundinstanz eines Defaults in ∆ mit ¬α 6∈ E. Wäre
α 6∈ E, so wäre auch F ∪ (D ∪ {α}) konsistent und eine echte
Obermenge von F ∪ D, was der Maximalität von F ∪ D widerspricht.
Also α ∈ E.
Noch z.z.: E ist minimal mit diesen Eigenschaften. Sei also E 0 ⊂
E, E 0 6= E eine Menge mit den obigen Eigenschaften. Dann muss
es eine Grundinstanz α eines Defaults aus D geben mit α ∈ D und
α 6∈ E 0 (sonst wäre F ∪ D ⊆ E 0 und folglich E = Cn(F ∪ D) ⊆
Cn(E 0) = E 0). Es ist aber auch ¬α 6∈ E, denn sonst wäre F ∪ D
inkonsistent. Insgesamt ergibt sich dazu ein Widerspruch zur dritten
Eigenschaft.
Q.E.D.
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Vergleich: Reiter-Logik ↔ Poole-Logik 1/2
Die Defaults bei Reiter und Poole sind nicht bedeutungsgleich:
Der Poole’sche Default A(X) ⇒ B(X) entspricht nicht dem Reiter’schen Default
A(X) : B(X)
> : A(X) ⇒ B(X)
, sondern eher
B(X)
A(X) ⇒ B(X)
Zu einer (klassischen) Formel ϕ bezeichne def(ϕ) den (Reiter’schen)
Default
> : ϕ
def(ϕ) =
ϕ
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Vergleich: Reiter-Logik ↔ Poole-Logik 2/2
Theorem
Seien F, D Mengen (prädikatenlogischer) Formeln, wobei
F konsistent ist und nur geschlossene Formeln enthalte.
E ist eine Extension der Poole’schen Default-Theorie
(F, D) genau dann, wenn E eine Extension der Reiter’schen Default-Theorie (F, def(D)) ist.
→ Die Poole’sche Default-Logik ist semi-monoton.
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Inferenzrelationen für Default-Logiken
• Sei (W, ∆) eine Reiter’sche Default-Theorie.
Reiter
W |∼∆
φ
wenn φ in allen Extensionen der Default-Theorie (W, ∆) liegt.
Reiter
Reiter
C∆
(W ) = {φ | W |∼∆
φ}
• Sei (F, D) eine Poole’sche Default-Theorie.
P oole
F |∼D
φ
wenn φ in allen Extensionen der Default-Theorie (F, D) liegt.
P oole
P oole
CD
(F) = {φ | F |∼D
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φ}
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Beispiel – Student Paul
• Reiter’sche Default-Logik
E1 = Cn({student(Paul ), adult(Paul ), ¬works(Paul )})
E2 = Cn({student(Paul ), adult(Paul ), works(Paul )})
Reiter
C∆
({student(Paul )}) = Cn({student(Paul ), adult(Paul )})
• Poole’sche Default-Logik
E10=Cn({student(Paul ), ¬works(Paul ), ¬adult(Paul )})
E20=Cn({student(Paul ), works(Paul ), adult(Paul )})
E30=Cn({student(Paul ), ¬works(Paul ), adult(Paul )})
P oole
CD
({student(Paul )}) = Cn({student(Paul )})
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