Mathematik Teil 1 - Hochschule Mittweida

Mathematik Teil 1:
Mengen und Zahlen
Lineare Algebra
Differential- und Integralrechnung
für Funktionen einer reellen Variablen
Heinz Gründemann
Hochschule Mittweida
Fachbereich Mathematik/Physik/Informatik
Fachgruppe Mathematik
20. Dezember 2004
ii
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen und Zahlen
1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Begriffe und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Beziehungen zwischen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Einfache Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Ungleichungen und absolute Beträge . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Lösungen von Ungleichungen mit Beträgen . . . . . . . . . . . .
1.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definition komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Rechenregeln und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Trigonometrische und exponentielle Darstellung . . . . . . . . .
1.3.4 Produkt und Quotient in trigonometrischer bzw. exponentieller
Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Wurzelberechnung im Bereich komplexer Zahlen . . . . . . . . .
1.3.6 Logarithmieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Vektoren
Vektorraum Rn
........
2.1
2.2 Linearkombination und Basis
2.3 Vektorraum R3 . . . . . . . .
2.4 Gerade und Ebene im R3 . . .
3 Matrizen
3.1
3.2
3.3
3.4
Definitionen und Beispiele
Spezielle Matrizen . . . . .
Matrizenoperationen . . .
Quadratische Matrizen . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Determinanten
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
7
7
9
9
9
9
9
11
11
11
13
13
15
iii
INHALTSVERZEICHNIS
iv
5 Lineare Gleichungssysteme
5.1
5.2
5.3
5.4
Lösung linearer Gleichungssysteme . . . .
GAUßscher Algorithmus . . . . . . . . . .
CRAMERsche Regel . . . . . . . . . . . .
Eigenwerte (EW) und Eigenvektoren (EV)
5.4.1 Aufgabenstellung und Beispiele . .
5.4.2 Berechnung der Eigenwerte . . . .
5.4.3 Berechnung der Eigenvektoren . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 Grundlagen der Differential- und Integralrechnung
6.1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Konvergenz von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . .
6.1.3 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Abbildungen und Funktionsbegriff . . . . . . . . .
6.2.2 Grundfunktionen, Eigenschaften von Funktionen .
6.2.3 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . .
6.3 Parameterdarstellung für Funkt. und Kurven . . . . . . .
7 Differentiation von Funktionen einer Variablen
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
Der Ableitungsbegriff . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Differentiationsregeln . . . . . . .
Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . .
Differential und Fehlerrechnung . . . . . . . .
Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . .
Regeln von BERNOULLI und L’HOSPITAL .
TAYLORsche Formel . . . . . . . . . . . . . .
Untersuchung von Funkt. mittels Ableitungen
7.8.1 Monotonie und relative Extrema . . .
7.8.2 Konvexität und Wendepunkte . . . . .
7.8.3 Arbeitsschritte zur Kurvendiskussion .
7.9 Näherungsweise Nullstellenbestimmung . . . .
7.9.1 Allgemeines Iterationsverfahren . . . .
8 Integration von Funktionen einer Variablen
8.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . .
8.1.1 Definitionen und Bezeichnungen
8.1.2 Substitutionsmethode . . . . . .
8.1.3 Partielle Integration . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
17
17
17
17
17
19
19
19
19
19
20
20
21
23
26
30
31
31
33
35
36
38
39
42
44
44
45
46
51
51
55
55
56
56
56
INHALTSVERZEICHNIS
v
8.1.4 Integration gebrochen rationaler Funktionen . . . . . . .
8.1.5 Integration weiterer Funktionenklassen . . . . . . . . . .
8.2 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Berechnung bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Varablensubstitution bei bestimmter Integration . . . . .
8.2.4 Numerische Berechnung bestimmter Integrale . . . . . .
8.3 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Flächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Bogenlänge einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Volumen- und Flächenberechnung bei Rotationskörpern .
8.3.4 Sektorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Grundlagen der Logik
A.1
A.2
A.3
A.4
Aussagen . . . . . . .
Aussagenverbindungen
Aussageformen . . . .
Beweisverfahren . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
62
63
63
64
64
65
66
66
66
66
66
66
67
67
67
67
67
vi
INHALTSVERZEICHNIS
Literaturverzeichnis
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
MINÖL Band 1: Grundlagen der Mathemtik
MINÖL Band 2: Differential- und Integralrechnung
MINÖL Band 13: Lineare Algebra
MINÖL Band Ü1: Übungsaufgaben zur Analysis 1
MINÖL Band Ü3: Übungsaufgaben zur linearen Algebra ...
MINORSKI: Aufgabensammlung der höheren Mathematik
STINGEL, P.: Mathematik für Fachhochschulen; Hanser Verlag
Lehr- und Übungsbuch der Mathematik Bd. I-III, Fachbuchverlag Leipzig
GÖHLER: Höhere Mathematik - Formeln und Hinweise
BARTSCH: Taschenbuch mathematischer Formeln
BRONSTEIN/SEMENDJAJEW: Taschenbuch der Mathematik
1
2
LITERATURVERZEICHNIS
1
Mengen und Zahlen
1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
Begriffe und Bezeichnungen
Beziehungen zwischen Mengen
Einfache Mengenoperationen
Mächtigkeit von Mengen
Mengen und Abbildungen
1.2 Reelle Zahlen
1.2.1 Allgemeines
1.2.2 Ungleichungen und absolute Beträge
1.2.3 Lösungen von Ungleichungen mit Beträgen
1.3 Komplexe Zahlen
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
Definition komplexer Zahlen
Rechenregeln und Eigenschaften
Trigonometrische und exponentielle Darstellung
Produkt und Quotient in trigonometrischer bzw. exponentieller Darstellung
1.3.5 Wurzelberechnung im Bereich komplexer Zahlen
3
KAPITEL 1. MENGEN UND ZAHLEN
4
Geometrische Darstellung der n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl z
z = |z| (cos (ϕ) + i sin (ϕ)) = |z| exp (iϕ)
n−te Wurzel uk ( k = 0, 1, ..., n − 1 mit (uk )n = z ):
uk =
n
ϕ 2π ϕ 2π |z| cos n + n k + i sin n + n k
ϕ 2π = |z| exp n + n k i
k = 0, 1, ..., n − 1
n
1.3. KOMPLEXE ZAHLEN
5
Geometrische Interpretation (Beispiel)
z = |z| (cos (ϕ) + i sin (ϕ)) = |z| exp (iϕ)
3−te Wurzel uk ( k = 0, 1, 2 mit (uk )3 = z ):
u0 =
3
u1 =
3
u2 =
3
|z| cos ϕ3 + i sin ϕ3 = |z| exp ϕ3 i
ϕ + 2π ϕ + 2π ϕ + 2π |z| cos 3 + i sin 3
= |z| exp
3 i
ϕ + 4π |z| cos
3
+ i sin
3
ϕ + 4π 3
3
=
3
|z| exp
ϕ + 4π 3 i
KAPITEL 1. MENGEN UND ZAHLEN
6
Berechnung der Wurzeln uk (k = 0, 1, ..., 5) für z = −1
z = −1 = 1 (cos (π) + i sin (π))
und
(uk )6 = −1
uk = cos π +62kπ + i sin π +62kπ
k = 0, 1, ..., 5
u0 =
u1 =
u2 =
u3 =
u4 =
π
π 1√ 1
cos 6 + i sin 6 = 2 3 + 2 i
cos π2 + i sin π2 = i
5π 1 √ 1
5π cos 6 + i sin 6 = − 2 3 + 2 i
7π 1 √ 1
7π cos 6 + i sin 6 = − 2 3 − 2 i
3π 3π cos 2 + i sin 2 = −i
11π 11π 1 √ 1
u5 = cos
6
+ i sin
6
= 2 3 − 2i
1.4. POLYNOME
1.3.6 Logarithmieren komplexer Zahlen
1.4 Polynome
7
8
KAPITEL 1. MENGEN UND ZAHLEN
2
Vektoren
2.1
2.2
2.3
2.4
Vektorraum Rn
Linearkombination und Basis
Vektorraum R3
Gerade und Ebene im R3
9
10
KAPITEL 2. VEKTOREN
3
Matrizen
3.1 Definitionen und Beispiele
3.2 Spezielle Matrizen
11
KAPITEL 3. MATRIZEN
12
Berechnung von Kräften in der Statik
Gesucht: Auflagerkräfte FAx, FAy , FB
Bedingung: Erfüllung des statischen Gleichgewichtes
(Summe aller Kräfte und Momente muß verschwinden)
= −F
Kräfte in x − Richtung:
FAx
Kräfte in y − Richtung:
FB
+ FAy = 0
Momente bzg. des Punktes A: aFB
⎛ 0 1 0 −F ⎞ = hF
Wesentliche Informationen zur ⎝ 1 0 1 0 ⎠
Berechnung der Auflagekräfte:
a 0 0 hF
Berechnung von Stromstärken in der Elektrotechnik
Gesucht: Stromstärken I , I , I
1
2
3
− I
− I = 0
= U
⎛ 1 −1 R −I 1 − 0R ⎞I = 0
⎝R R 0 U ⎠
0 R −R 0
I1
2
3
KIRCHHOFFsche Gesetze: R I + R I
1 1
2 2
0
2 2
Wesentliche Informationen:
1
3 3
2
2
0
3
3.3. MATRIZENOPERATIONEN
3.3 Matrizenoperationen
3.4 Quadratische Matrizen
13
14
KAPITEL 3. MATRIZEN
4
Determinanten
15
KAPITEL 4. DETERMINANTEN
16
Definition der Determinante:
Gegeben sei die Matrix
⎛a
⎜a
A=⎜
⎝ ...
a
a
...
an
11
12
21
22
an
1
2
...
...
...
...
an
an
...
ann
1
2
⎞
⎟⎟ .
⎠
Als Determinante von A (det (A) oder | A |) bezeichnet man eine
reelle Zahl, die sich aus den Matrixelementen aij wie folgt berechnet:
1. Für n = 1 ist A = (a11) und det A = a11
2. Für n > 1 gilt:
det A = a11 det (A11) − a12 det (A12) + a13 det (A13) − ... + (−1)1+n a1n det (A1n)
=
n (−1)
1+
k =1
ka
k det (A1k )
1
wobei det (Aij ) die Determinante der Matrix Aij vom Typ (n − 1, n − 1) ist, die
aus A durch Streichen der i−ten Zeile und j −ten Spalte entsteht.
⎛ a
⎜⎜ ...
⎜⎜ ai− ,
⎜⎜ ai ,
⎝ ...
an
11
Aij =
11
+1 1
1
...
...
...
...
...
...
a ,j− a ,j
...
...
ai− ,j− ai− ,j
ai ,j− ai ,j
...
...
an,j− an,j
n − 1 Spalten
1
1
1 +1
1
1
1 +1
+1
1
+1 +1
1
+1
...
...
...
...
...
...
an
...
ai− ,n
ai ,n
...
ann
1
1
+1
⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎫⎪
⎪⎬
⎪⎪ n − 1 Zeilen
⎭
Die vorzeichenbehaftete Determinante (−1)i+j det (Aij ) heißt Adjunkte zu aij.
5
Lineare Gleichungssysteme
5.1
5.2
5.3
5.4
Lösung linearer Gleichungssysteme
GAUßscher Algorithmus
CRAMERsche Regel
Eigenwerte (EW) und Eigenvektoren (EV)
5.4.1 Aufgabenstellung und Beispiele
5.4.2 Berechnung der Eigenwerte
5.4.3 Berechnung der Eigenvektoren
17
18
KAPITEL 5. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
6 Grundlagen der Differentialund Integralrechnung
6.1 Zahlenfolgen
6.1.1 Grundbegriffe
6.1.2 Konvergenz von Zahlenfolgen
6.1.3 Konvergenzkriterien
19
20KAPITEL 6. GRUNDLAGEN DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
6.2 Funktionen
6.2.1 Abbildungen und Funktionsbegriff
Definition 6.1 Es seien M und M beliebige Mengen. Jede Teilmenge von M × M
1
heißt Abbildung von M1 in M2 .
Schreibweise: f : M1 −→ M2;
2
1
2
f : x −→ y; y = f (x)
Definitionsbereich (Urbildmenge) = { x ∈ M | ∃ y ∈ M mit y = f (x)} ≡ Df
Wertebereich (Bildmenge) = {y ∈ M | ∃ x ∈ M mit y = f (x)} ≡ Wf
Beispiel 6.1
1
2
2
1
M = N,
M = N,
A = {(1; 2) , (2; 4) , (3; 6) , ...}
Df = {1, 2, 3,...}; Wf = {2, 4, 6, ...}; =⇒
y = 2x
Definition 6.2 Eine Abbildung heißt eindeutig oder Funktion, wenn jedem Urbild
genau ein Bild zugeordnet wird. Eine Abbildung heißt eineindeutig, wenn außerdem
zu jedem Bild nur ein Urbild existiert.
1
2
f nicht eindeutig
f (x ) = f (x ),
aber x = x
1
2
1
2
f eindeutig
x = x ,
aber f (x ) = f (x )
1
2
1
f eineindeutig
2
Zu jeder eineindeutigen Abbildung (Funktion) existiert eine inverse Abbildung
(Funktion). Diese ordnet jedem Bild sein Urbild zu.
Ausgangsfunktion: f : Df −→ Wf ; y = f (x)
inverse Funktion: f −1 : Wf −→ Df ; x = f −1(y)
Bestimmung von f −1 :
Gleichung y = f (x) nach x auflösen,
x und y vertauschen (entspricht Spiegelung an der Geraden y = x).
6.2. FUNKTIONEN
21
Beispiel 6.2 f : y = 5x + 3
Df = Wf −1 ;
Wf = Df −1
⇒
x = 15 y − 53
⇒
f − : y = 15 x − 35
1
Definition 6.3 ( Gleichheit von Funktionen )
f = f ⇔ Df1 = Df2 = Df ∧ f (x) = f (x) ∀x ∈ Df
1
2
1
2
Definition 6.4 Eine mittelbare Funktion verwendet als Urbilder (Argumente) die
Bilder einer zweiten Funktion.
Beispiel 6.3
f (x) = e
sin
x
= h(g(x))
⇒
z = g(x) = sin x : innere Funktion;
h(z) = ez
: äußere Funktion
6.2.2 Grundfunktionen, Eigenschaften von Funktionen
Grundfunktionen:
• Potenzfunktionen: f (x) = xa; a ∈ Q
• Exponentialfunktionen: f (x) = ax; a ∈ R ; a > 0 , a = 1
• Logarithmusfunktionen: f = loga x; a ∈ R ; a > 0 , a = 1
• trigonometrische Funktionen: sin x, cos x, tan x, cot x
• Arcusfunktionen: arcsin x, arccos x, arctan x, arccot x
Definition 6.5 Jede Funktion, die sich durch endlich viele Operationen der Grund-
rechenarten und durch Verkettung aus den Grundfunktionen darstellen läßt, heißt elementare Funktion.
Definition 6.6 Zusammengesetzte Funktionen sind in Df nicht einheitlich defi-
nierte Funktionen.
Beispiel 6.4 f (x) = |x| ; f (x) = sgn(x)
Definition 6.7
f (x) ist nach unten beschränkt ⇔ ∃ C = const.| C ≤ f (x) ∀x ∈ Df
f (x) ist nach oben beschränkt ⇔ ∃ D = const.| f (x) ≤ D ∀x ∈ Df
Die Funktion f (x) ist beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.
22KAPITEL 6. GRUNDLAGEN DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Beispiel 6.5 0 < ex; −1 ≤ sin x ≤ 1
Definition 6.8 f (x) ist in dem Intervall I ⊂ Df
monoton wachsend
⇔ f (x ) ≤ f (x )
streng monoton wachsend ⇔ f (x ) < f (x )
monoton fallend
⇔ f (x ) ≥ f (x )
streng monoton fallend ⇔ f (x ) > f (x )
1
2
1
2
1
2
1
2
⎫⎪
⎬
⎪⎭ ∀ x , x ∈ I ∧
1
2
x <x
1
2
Beispiel 6.6 f (x) = cos x ist in (0; π) streng monoton fallend und in (−π; 0) streng
monoton wachsend.
Definition 6.9
f (x) heißt gerade ⇔ f (x) = f (−x) ∀ x ∈ Df (Symmetrie zur y-Achse)
f (x) heißt ungerade ⇔ f (x) = −f (−x) ∀ x ∈ Df (Symmetrie zum Koordinatenursprung)
f (x) heißt periodisch mit der Periode λ ⇔ ∃ λ ∈ R ; λ > 0 | f (x + λ) = f (x)
∀x ∈ Df . Die kleinste positive Zahl λ, für die gilt f (x + λ) = f (x) ∀x ∈ Df , heißt
primitive Periode. (Für periodische Funktionen gilt: f (x) = f (x + kλ); k ∈ Z.)
Beispiel 6.7
f (x) = sin x; f (−x) = − sin x → f (x) ist ungerade.
f (x) = cos x; f (−x) = cos x → f (x) ist gerade.
f (x) = cos x; f (2π + x) = cos x → f (x) ist periodisch mit der Periode λ = 2π.
Definition 6.10
f (x) ist in dem Intervall I ⊂ Df
konvex ⇔ ∀ x , x ∈ I ∧ ∀α ∈ (0, 1) gilt f (αx + (1 − α)x ) ≤ αf (x ) + (1 − α)f (x )
konkav ⇔ ∀ x ,x ∈ I ∧ ∀α ∈ (0, 1) gilt f (αx + (1 − α)x ) ≥ αf (x ) + (1 − α)f (x ).
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
6.2. FUNKTIONEN
23
Abbildung zur Konvexität: x3 = αx1 + (1 − α)x2,
f (x ) = αf (x ) + (1 − α)f (x )
3
1
2
Beispiel 6.8 f (x) = x ist konvex.
2
Beweis: zu zeigen ist: (αx1 + (1 − α)x2)2 ≤ αx21 + (1 − α)x22 für ∀α ∈ (0, 1)
α2x21 + 2α(1 − α)x1x2 + (1 − α)2x22 ≤ αx21 + (1 − α)x22
0 ≤ x21(α − α2) − 2α(1 − α)x1x2 + x22((1 − α) − (1 − α)2)
0 ≤ x21α(1 − α) − 2α(1 − α)x1x2 + x22(1 − α)[1 − (1 − α)]
0 ≤ α(1 − α)[x21 − 2x1x2 + x22]
0 ≤ α(1 − α)[ x1 − x2 ]2 ist eine wahre Aussage. q.e.d.
6.2.3 Grenzwerte von Funktionen
Beispiel 6.9 f (x) = x + xx ; x ∈ R ; x = 0
Kann x = 0 ein Funktionswert zugeordnet werden?
Wählen xn = n1 ; n ∈ N; n = 0; nlim
→∞ xn = 0
⇒ f (xn) = n1 + 1; nlim
→∞ f (xn ) = 1
Analog können beliebige andere Folgen betrachtet werden, die gegen Null konvergieren.
Mit ihnen erhält man stets das gleiche Resultat.
Definition 6.11 f (x) hat für gegen x konvergierendes x den Grenzwert a, wenn für
alle Punktfolgen {xn} mit nlim
→∞{xn} = x0; xn ∈ Df , xn = x0 die Folgen der Bilder
{f (xn)} gegen a konvergieren.
Schreibweise: xlim
→x0 f (x) = a
0
24KAPITEL 6. GRUNDLAGEN DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Satz 6.1 ( Konvergenz von f (x) → a bei x → x )
lim f (x) = a ⇔ ∀ε > 0
x→x0
0
∃ δ(ε) > 0 | |x − x | < δ → |f (x) − a| < ε
0
Interpretation: Die Differenz von Funktions- und Grenzwert wird beliebig klein kleiner als ε -, wenn nur das Argument hinreichend nahe am Punkt x0 liegt.
Bemerkung 6.1 Die im Abschnitt 6.1.3. angegebenen Rechenregeln für Grenzwerte
von Folgen lassen sich auf Grenzwerte von Funktionen übertragen, z.B.
lim cf (x) = c xlim
(c ∈ R)
x→x0
→x0 f (x)
lim (f (x) ± g(x)) = xlim
x→x0
→x0 f (x) ± xlim
→x0 g(x)
lim (f (x) · g(x)) = xlim
x→x0
→x0 f (x) · xlim
→x0 g(x)
lim f (x)
f
(
x
)
x→x0
lim
= lim g(x)
mit xlim
g(x) = 0
x→x0 g (x)
→
x0
x→x0
Bemerkung 6.2 Bei Funktionen über R spielen einseitige Grenzwerte eine beson-
dere Rolle, bei denen von links oder rechts gegen den Wert x0 konvergierende Folgen
zur Definition benutzt werden. Man schreibt:
f ür den linksseitigen Grenzwert :
lim f (x)
x→x0 −0
f ür den rechtsseitigen Grenzwert :
lim f (x)
x→x0 +0
Satz 6.2 f (x) sei eine Funktion einer Veränderlichen. Existieren für x = x die ein0
seitigen Grenzwerte g− = x→lim
f (x) und g+ = x→lim
f (x) und gilt g− = g+ = g, so
x0 −0
x0 +0
ist g Grenzwert von f (x) bei x = x0.
6.2. FUNKTIONEN
25
Beispiel 6.10
1. f (x) = x + xx ; Df = R \ {0}
x ) = lim (x + 1) = 1
lim
f
(
x
)
=
lim
(
x
+
x→0
x→0
x x→0
(obwohl f (x) für x=0 nicht definiert ist)
2.
⎧⎨ 1
f (x) = sgn(x) = ⎩ 0
−1
f ür x > 0
f ür x = 0
f ür x < 0
lim f (x) = −1; x→lim f (x) = 1
x→ −
⇒ xlim
→ f (x).
0
+0
0
3.
1
x = 0
f (x) = |sgn(x)| = 0 ff ür
ür x = 0
f
(
x
)
=
lim
f
(
x
)
=
lim f (x) = 1
lim
x→ −
x→
x→
Achtung! Es gilt: xlim
→ f (x) = 1 = 0 = f (0).
0
+0
0
0
Der Funktionswert f (x0) spielt bei der Grenzwertberechnung xlim
→x f (x) keine Rolle!
0
Erweiterung des Begriffes Grenzwert
Definition 6.12
f (x) sei definiert für x > c ; x ∈ R ; c ∈ R ; c = const. a heißt Grenzwert von f für
unbegrenzt wachsendes x, wenn für alle bestimmt divergenten Folgen
xk → +∞ f ür k → ∞ gilt: f (xk ) → a.
Man schreibt x→lim∞ f (x) = a.
f (x) sei definiert für x < c ; x ∈ R ; c ∈ R ; c = const. b heißt Grenzwert von f für
unbegrenzt fallendes x, wenn für alle bestimmt divergenten Folgen
xk → −∞ f ür k → ∞ gilt: f (xk ) → b.
Man schreibt x→−∞
lim f (x) = b.
Beispiel 6.11 f (x) = x1 ; xlim
lim f (x) = 0
→∞ f (x) = 0; x→−∞
+
Definition 6.13
Gilt für alle Folgen {xk } mit
lim x
k→∞ k
= x0; x0 ∈ R
26KAPITEL 6. GRUNDLAGEN DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
f (xk ) → ∞ bzw. f (xk ) → −∞, so schreibt man xlim
→x0 f (x) = ∞ bzw.
lim f (x) = −∞. Diese Grenzwerte heißen uneigentliche Grenzwerte. Die Funktion
x→x0
heißt in diesen Fällen bestimmt divergent gegen +∞ bzw. −∞.
Beispiel 6.12
1. f (x) = x12 :
lim f (x) = xlim
→+0 f (x) = xlim
→0 f (x) = +∞
x→−0
2. f (x) = 1 : xlim
→−0 f (x) = −∞ = xlim
→+0 f (x) = +∞
x
Es existiert kein Grenzwert. Man sagt, die Funktion ist unbestimmt divergent.
Wichtige Grenzwerte:
a )x = ea
x=1
lim
a
für
a
>
0
lim
(1
+
x→0
x→∞
x
x−1
sin
x
a
lim
=1
lim
= ln a für a > 0
x→0 x
x→0 x
tan x = 1
lim
x→0 x
Beispiel 6.13 Grenzwertberechnung:
n−1
x
n−1
n−2
1. xlim
→1 x − 1 = xlim
→1 (x + x + ... + x + 1) = n
1 √1 + x − 1 = lim √ 1
1
2. xlim
=
→0 x
x→0 1 + x + 1 2
6.2.4 Stetigkeit von Funktionen
Definition 6.14 ( Stetigkeit in einem Punkt )
Eine in einer Umgebung von x0 definierte Funktion f (x) heißt an der Stelle x0 stetig,
wenn gilt:
lim f (x) = f (x0).
x→x0
Definition 6.15 ( rechtsseitige bzw. linksseitige Stetigkeit in einem Punkt )
Eine im Intervall [x0,x0 + c] (bzw. [x0 − c, x0]) (c > 0) definierte Funktion f (x) heißt
an der Stelle x0 rechtsseitig (bzw. linksseitig) stetig, wenn gilt:
lim f (x) = f (x0) bzw. x→lim
f (x) = f (x0) .
x0 −0
x→x0 +0
6.2. FUNKTIONEN
27
Definition 6.16 ( Stetigkeit in einem Intervall I )
Eine auf dem Intervall I definierte Funktion f (x) heißt auf I stetig, wenn gilt:
1. f (x) ist in jedem inneren Punkt von I stetig.
2. Ist der linke (bzw. rechte) Randpunkt von I ein Element von I , dann ist f (x) dort
rechtsseitig (bzw. linksseitig) stetig.
Beispiel 6.14 1. f (x) =| sgn(x) | ist für x = 0 unstetig, da
lim f (x) = 1 = f (0) = 0, aber | sgn(x) | ist stetig für x ∈ (0, ∞) ∪ (−∞, 0) .
x→0
2. f (x) = |x| ist stetig in x = 0, denn xlim
→−0 f (x) = xlim
→+0 f (x) = 0 = f (0) .
0
Beispiele für Unstetigkeiten:
1. Hebbare Unstetigkeit in x0 (Lücke):
x0 innerer Punkt von Df ; f (x) unstetig in x0, aber xlim
→x0 f (x) = a
⇒ f ∗(x) =
f (x) x ∈ Df
a
x=a
ist dann stetig in x0.
Beispiele: f (x) = 12 xx == 00 unstetig in x0 = 0 ⇒ f ∗(x) ≡ 1 stetig.
∗
f (x) = x + xx ist unstetig für x0 = 0; xlim
→0 f (x) = 1 ⇒ f (x) = x + 1 stetig.
2. Sprungstelle x0 :
f (x) = a = x→lim
f (x) = b,
Ist x→lim
x0 −0
x0 +0
so hat f (x) an derStelle x0 einen Sprung der Größe | a − b | .
Beispiel: f (x) = 01 xx ≤> 00 hat in x0 = 0 einen Sprung der Größe 1.
3. Unendlichkeitsstelle x0 (Polstelle):
Ist xlim
→x0 | f (x) |= ∞, so heißt x0 Unendlichkeitsstelle von f (x).
Beispiele:
f (x) = x1 für x = 0 Polstelle ungerader Ordnung
f (x) = x1 für x = 0 Polstelle gerader Ordnung
0
2
0
28KAPITEL 6. GRUNDLAGEN DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
4. Oszillatorische Unstetigkeit:
Beispiel: f (x) = sin x1 bei x0 = 0 unbestimmte Divergenz für einen einseitigen
Grenzwert.
xn = 1 1 → 0 für n → ∞
n + 2 π
⇒ f (xn) = sin n + 12 π ⇒ sin 32 π, sin 52 π,... = {−1, 1, −1, ...}
Sätze zur Stetigkeit von Funktionen:
1. Jede Grundfunktion, ist auf jedem Intervall I ⊆ Df stetig.
2. f (x) und g(x) seien stetig in x = x0. ⇒ Die Funktionen
c f (x) + c g(x) (c , c ∈ R) ; f (x) · g(x) und fg ((xx)) (g(x ) = 0)
1
2
1
2
0
sind stetig in x0.
3. Die inverse Funktion einer stetigen Funktion ist stetig.
4. Sei y = g(x) stetig für x = x0, f (y) stetig für y0 = g (x0)
⇒ h(x) = f (g(x)) ist stetig für x = x0.
Bemerkung 6.3
1. Jedes Polynom ist in (−∞, ∞) stetig.
P (x) ist für jedes x, welches nicht NST von Q(x)
2. Jede rationale Funktion R(x) = Q
(x)
ist, stetig. (Ist x0 NST von Q(x) und P (x) mit gleicher Vielfachheit, so ist x0 hebbare
Unstetigkeitsstelle von R(x).)
Definition 6.17 Sei x ∈ G ⊂ Df . f (x ) heißt absolutes Maximum (bzw. Minimum) von f (x) auf G, wenn
0
0
f (x) ≤ f (x ) (bzw. f (x) ≥ f (x )) für alle x ∈ G
0
0
Satz 6.3 f (x) sei stetig auf [a, b] . Dann nimmt f (x) auf [a, b] ihr absolutes Maximum
( bzw. Minimum) an.
Bemerkung 6.4 Satz gilt nicht für unstetige Funktionen oder nicht abgeschlossene
Intervalle.
Beispiele: 1. f (x) = x auf [−1, 1]
2. f (x) = x auf (0, 1)
1
2
6.2. FUNKTIONEN
29
Satz 6.4 (Zwischenwertsatz)
f (x) sei stetig auf [a,b], f (a) = A; f (b) = B. Für alle Zahlen X zwischen A und
B existiert ein x ∈ (a, b) mit f (x) = X.
Abbildung zum Zwischenwertsatz: Es können mehrere Punkte x, x’ und x” existieren,
die der Aussage des Satzes genügen.
Bemerkung 6.5 Der Zwischenwertsatz kann mit X = 0 zum Lokalisieren von Nullstellen verwendet werden:
Intervallhalbierungsverfahren
1.
Wähle [a, b] mit f (a) < 0 und f (b) > 0
2.
Bilde m = f ( a +2 b )
3.
Ist m > 0 → aneu = a; bneu = a +2 b
Ist m < 0 → aneu = a +2 b ; bneu = b
4.
Wiederhole die Schritte 2. und 3. mit a = aneu und b = bneu solange,
bis die Nullstelle mit ausreichender Genauigkeit bestimmt ist.
30KAPITEL 6. GRUNDLAGEN DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
6.3 Parameterdarstellung für Funkt. und Kurven
7 Differentiation von Funktionen
einer Variablen
7.1 Der Ableitungsbegriff
Auf dem Intervall [x0, x0 + h] (h > 0) sei die Funktion f (x) gegeben.
Für die mittlere Änderung der Funktion f (x) im Intervall [x0, x0 + h] gilt:
f (x0 + h) − f (x0) =
tan
αh
h
Anstieg der
Differenzenquotient
Sekante
Der Grenzwert des Differenzenquotienten für h → 0 führt zum Anstieg der Tangente
an den Grafen der Funktion f (x) im Punkt x0.
f (x0 + h) − f (x0) =
f (x0) = hlim
tan
α
→
0
h
Anstieg der
Differentialquotient,
Tangente in x0
Ableitung bei x = x0
Definition 7.1 ( Ableitung in einem Punkt ) y = f (x) sei definiert in einer Umge-
bung des Punktes x0. Existiert ein endlicher Grenzwert
f (x0 + h) − f (x0) ≡ f (x ) ,
lim
0
h→0
h
31
32 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
so heißt dieser Ableitung 1. Ordnung von f (x) an der Stelle x0 und f (x) differenzierbar für x = x0.
dy
Schreibweisen: f (x)|x=x0 , f (x0), y (x0), dx
x=x0
Definition 7.2 ( einseitige Ableitung in x ) y = f (x) sei definiert im Intervall
[x0, x0 + c] ( bzw. [x0 − c, x0] ) mit c > 0. Existiert der rechtsseitige (bzw. linksseitige)
Grenzwert
0
f (x + h) − f (x ) ≡ f (x )
lim
h→
h
0
0
+
0+
0
f (x + h) − f (x ) ≡ f (x ) ,
bzw. hlim
−
→−
h
0
0
0
0
so heißt dieser rechtsseitige (bzw. linksseitige) Ableitung von f (x) an der Stelle
x = x0. f (x) heißt dann rechtsseitig (bzw. linksseitig) differenzierbar in x0.
Satz 7.1 f (x) ist genau dann differenzierenbar, wenn f (x ) und f− (x ) existieren
+
und f+ (x0) = f− (x0) gilt. Dann ist f (x0) = f+ (x0) = f− (x0) .
0
0
Definition 7.3 ( Differenzierbarkeit in einem Intervall ) Eine auf einem Inter-
vall I definierte Funktion f (x) heißt differenzierbar, wenn gilt:
1. f (x) ist differenzierbar in jedem inneren Punkt von I und
2. ist der linke (bzw. rechte) Punkt von I ein Element von I , dann ist f (x) dort rechtsseitig (bzw. linksseitig) differenzierbar.
Für jedes x ∈ I ist dann f (x) f+ (x) , f− (x) in den Randpunkten definiert und
diese Funktion heißt Ableitung (1. Ordnung) von f (x) auf dem Intervall I .
Beispiel 7.1 f (x) = |x| ist differenzierbar in R − {0} :
1 für x > 0
1 für x > 0
|
x
+
h
|
−
|
x
|
lim
= −1 für x < 0
⇒ f (x) = −1 für x < 0
h→
h
Für x = 0 ist f (x) = 1 und f− (x) = −1 und damit existiert f (0) nicht. Andererseits
0
+
ist f (x) stetig für x = 0.
Satz 7.2 Ist f (x) in x differenzierbar ( bzw. einseitig differenzierbar ), so ist f (x) in
0
x auch stetig ( bzw. einseitig stetig ).
0
Bemerkung 7.1 Wie das Beispiel 7.1 zeigt, gilt die Umkehrung der Aussage dieses
Satzes nicht.
7.2. ALLGEMEINE DIFFERENTIATIONSREGELN
33
7.2 Allgemeine Differentiationsregeln
Satz 7.3 u = u(x) und v = v(x) seien differenzierbar in x , dann gilt im Punkt x :
0
(u ± v ) = u ± v
(u · v) = uv + uv
u uv − uv
v =
v2
0
(Produktregel)
v (x0) = 0
(Quotientenregel)
1 u
Bemerkung 7.2 (cu) = cu für c ∈ R und u = − u2
Beispiel 7.2
x
f (x) = 1sin
+x
f (x) = 2 + 1sin x
2
⇒ f (x) = (1 + x )(1cos+ xx −) 2x sin x
2
2 2
⇒ f (x) = − (2 +cossinxx)
2
Satz 7.4 (Kettenregel)
g(x) sei differenzierbar in x und f (z) sei differenzierbar für z = g(x ). Dann ist
F (x) = f (g(x)) differenzierbar für x = x und es gilt:
F (x ) = f (z ) · g (x ).
(1)
0
0
0
0
0
0
0
Setzt man y = f (z) und z = g (x), dann gilt y = f (g (x)) und (1) kann in folgender
Form geschrieben werden:
df = df · dg .
dx dg dx
Beispiel 7.3 y = f (z) = sin z, z = g (x) = x
2
⇒ y = f (g(x)) = sin (x )
dy = cos z und dz = 2x folgt dy = 2x cos (x2) .
Mit den Ableitungen dz
dx
dx
1. f (x) = ln (ln x)
f (x) = ln1x · x1
2. f (x) = ecos x sin x f (x) = cos x − sin2 x ecos x
2
34 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
Bemerkung 7.3 ( Kettenregel für mehrfach geschachtelte Funktionen ):
Sei y = f (g (h (x))) mit y = f (z), z = g (w) und w = h (x), dann gilt:
dy = dy dz dw .
dx dz dw dx
Beispiel 7.4
y = sin cos x
mit y = sin z , z = cos w , w = x
dy = − cos cos x · sin x · 3x
dx
Satz 7.5 (logarithmische Differentiation) Es gilt
f (x) = f (x) · (ln |f (x)|) .
Beweis: Mit der Kettenregel erhält man
(ln |f (x)|) = f (1x) f (x)
Beispiel 7.5 f (x) = xx ( mit x > 0 ) ⇒
d (x ln x) = xx (ln x + 1)
f (x) = xx · dx
3
3
3
3
2
Satz 7.6 ( Ableitung der inversen Funktion) Die Funktion f (x) sei eineindeutig
und in einer Umgebung des Punktes x0 differenzierbar mit f (x0) = 0. Dann ist die
inverse Funktion f −1 an der Stelle y0 = f (x0) differenzierbar und es gilt:
f −1 (y0) = 1 .
f (x0)
Beweis: Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung von y = f (f −1 (y)) :
1 = f (x0) · f −1 (y0) .
1.
Alternative Schreibweise: dx = dy
dy
dx
Beispiel 7.6
1. y = f (x) = sin x für | x |< π2 ⇒ x = f −1 (y) = arcsin y für | y |< 1
1
(f −1 (y)) = cos1 x =
= 1 2
2
1−y
1 − sin x
7.3. ABLEITUNGEN HÖHERER ORDNUNG
35
2. y = f (x) = tan x für | x |< π2 ⇒ x = f −1 (y) = arctan y für −∞ < y < ∞
2
1
cos
1
−
1
2
(f (y)) = cos x = 2 x 2 = 1 + tan
=
2
x 1 + y2
cos x + sin x
Differentiation einer Funktion in Parameterdarstellung
Satz 7.7 f (x) sei gegeben durch x = x(t), y = y(t); x(t), y(t) seien differenzierbar,
x(t) = 0. Dann gilt:
dy = dydt
dx dx
dy · dx
Beweis: y = y(x) = y(x(t)) ⇒ dy
=
dt dx dt
dt
(Kettenregel)
Beispiel 7.7 x = a cos t, y = b sin t Parameterdarstellung der Ellipse: xa + yb = 1
2
2
2
2
dy = − b cos t = − b x .
⇒ dx
a sin t
ay
2
2
7.3 Ableitungen höherer Ordnung
Definition 7.4 Ist f (x) als erste Ableitung der Funktion f (x) auf einem gegebenen
Intervall (a, b) wieder differenzierbar, so heißt
(x)
df
f (x) = dx für x ∈ (a, b)
Ableitung zweiter Ordnung von f (x).
Allgemein: Ist f (k) (x) als k−te Ableitung der Funktion f (x) auf einem gegebenen
Intervall (a, b) wieder differenzierbar, so heißt
dk+1f (x) = f (k+1) (x) = df (k) (x) für x ∈ (a,b)
dxk+1
dx
Ableitung (k + 1) −ter Ordnung (k = 0, 1, 2, ...) von f (x).
Beispiel 7.8 f (x) = ex
f (x) = xn
⇒
f k (x) = ex k = 0, 1, 2, 3, ...
n · ... · (n − k + 1) · xn−k für k ≤ n
k
(n ∈ N) ⇒ f (x) =
0
für k > n
( )
( )
36 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
Bemerkung 7.4 Die Existenz der n-ten Ableitung von f (x) für x = x garantiert die
0
Existenz aller Ableitungen niedrigerer Ordnung in x0 . Die Umkehrung gilt nicht.
Anwendungen in der Punktmechanik:
v (t) = ṡ (t) = ds
dt - Geschwindigkeit
a (t) = s̈ (t) = ddts - Beschleunigung
s (t) - Weg
2
2
Regeln für Ableitungen höherer Ordnung:
(c1f1 ± c2f2)(n) = c1f1(n) ± c2f2(n)
n n f (n−k)g (k)
(f · g)(n) =
k=0 k
Speziell für k = 2 : (f · g ) = f · g + 2f · g + f · g
7.4 Differential und Fehlerrechnung
f (x) sei definiert in einer Umgebung von x . Es existiere f (x ). h ∈ R, h > 0.
0
0
ϕ(h)
f = y = f (x + h) − f (x ) = f (x ) · h + ϕ(h) mit hlim
→ h =0
0
0
0
0
Definition 7.5 Die Größe df = dy = f (x ) · h heißt Differential der Funktion f an
der Stelle x0. ( Schreibweise auch: df = f (x0) · dx )
0
Interpretation:
7.4. DIFFERENTIAL UND FEHLERRECHNUNG
37
1. df ist der lineare Anteil von y, d.h. bei linearen Funktionen gilt
y = dy = df . Das Differential dy kann als Näherung für die Funktionsdifferenz
y = f (x0 + dx) − f (x0) aufgefasst werden. Bei festem x0 ist dy eine lineare
Funktion von dx. Je kleiner dx, desto genauer beschreibt die lineare Funktion
dy = f (x0) dx die Kurve y = f (x).
2. f (x0) ist der ”Differentialquotient” dy
dx x=x0 im Sinne von ”Quotient der Differentiale”. Differentiale sind keine infinitesimalen Größen, sondern konkrete Zahlen.
In diesem Sinn kann man mit Differentialen wie mit Zahlen rechnen:
dy = 1 ⇒ y = 1 .
dx dx
x
dy
Beispiel 7.9 y = f (x) = sin x ⇒
Differential: dy = (cos (x0)) dx
für f (x) an der Stelle x = x0
y = sin (x + dx) − sin (x )
0
0
Anwendung in der Fehlerrechnung:
x − exakter Wert ; x − Näherungswert (Meßwert)
0
|x − x |
− absoluter Fehler von x
0
0
Gegeben: Meßwert x und
|x − x | ≤ |x| − obere Schranke des absoluten Meßfehlers von x .
y = f (x) − funktionelle Abhängigkeit zwischen x und y.
Gesucht: |y − y | ≤ |y| − Schranke des absoluten Fehlers von y = f (x ).
|y − y | ≈ |dy| = |f (x )| |dx| ≤ |f (x )||x| ≡ |y| mit |dx| = |x − x | ≤ |x| .
|y − y | ≤ |y|
− relativer Fehler von y .
|y |
|y |
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
38 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
Beispiel 7.10 ( Volumenberechnung einer Kugel )
Kugeldurchmesser D = 6.35 ± 0.02 mm
V = V (D) = π6 D3 ⇒ V (D) = π2 D2 ⇒
⇒ D = 6.35 mm und |D| = 0.02 mm.
0
1.267 = 0.00945
|V | = π2 D |D| = 1.267 mm und ||VV| | = 134
.07
2
0
3
0
Dies entspricht einem relativen Fehler von 0.945 %.
7.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Satz 7.8 ( Satz von ROLLE )
f (x) sei auf dem Intervall [a, b] stetig und in (a,b) differenzierbar. Gilt f (a) = f (b) ,
so existiert wenigstens ein x ∈ (a, b) mit f (x ) = 0.
0
0
Satz 7.9 ( Mittelwertsatz )
f (x) sei stetig auf [a, b] und in (a, b) differenzierbar. Dann existiert wenigstens ein
x ∈ (a, b), so dass gilt
f (a) .
f (x ) = f (bb) −
−a
Interpretation:
0
0
7.6. REGELN VON BERNOULLI UND L’HOSPITAL
39
In x0, x0, und x0 hat f den gleichen Anstieg wie die Sekante.
Satz 7.10 ( Erweiterter Mittelwertsatz )
f (x) und g(x) seien stetig auf [a,b] und in (a, b) differenzierbar. Ferner sei g (x) = 0
für ∀ x ∈ (a, b). Dann existiert wenigstens ein x ∈ (a, b) mit
f (x ) = f (b) − f (a) .
g (x ) g (b) − g (a)
Beweis: Definieren die Funktion
f
(
b
)
−
f
(
a
)
ϕ (x) = f (x) − f (a) + g (b) − g (a) (g (x) − g (a)) .
ϕ (x) ist auf [a, b] stetig und in (a, b) differenzierbar, wobei ϕ (a) = ϕ (b) ⇒ (Satz von
ROLLE) es existiert ein x ∈ (a, b) mit ϕ (x ) = 0. Folglich ist
f (a) g (x ) .
0 = ϕ (x ) = f (x ) − fg ((bb)) −
− g (a)
Bemerkung 7.5 f (x) und g(x) seien stetig auf [a,b] und es gelte f (x) = g (x) ∀x ∈
(a,b), dann unterscheiden sich die beiden Funktionen f (x) und g (x) nur durch eine
Konstante.
Zum Beweis betrachte man h(x) = f (x) − g(x) und berechne
h(x) − h(a) = h (ξ) = 0
mit a < ξ < x
x−a
Wegen f (x) = g (x) ⇒ h(x) = h(a) ∀x ∈ (a, b) ⇒ f (x) − g(x) = h(a) = const.
0
0
0
0
0
0
0
0
7.6 Regeln von BERNOULLI und L’HOSPITAL
Satz 7.11 f (x) und g(x) seien in einer Umgebung von x = x differenzierbar und es
0
gelte g (x) = 0.
Wenn f (x) → 0 und g(x) → 0 ( bzw. f (x) → ±∞ und g(x) → ±∞ ) für x → x0 und
f (x) existiert, so gilt
wenn der Grenzwert xlim
→x0 g (x)
f (x) = lim f (x) .
lim
x→x0 g (x) x→x0 g (x)
Beweisgrundlage: Erweiterter Mittelwertsatz.
40 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
Bemerkung 7.6
1. Der Satz gilt auch für einseitige Ableitungen x → x0 + 0 , x → x0 − 0 und für
x → +∞ und x → −∞.
2. Grenzwerte vom Typ 0 · ∞, ∞ − ∞, 00, ∞0, 1∞ werden auf die Fälle ” 00 ” bzw.
”∞
∞ ” zurückgeführt (siehe Grenzwerte verschiedenen Typs).
Beispiel 7.11
ln x = lim x1 = 1
1. xlim
(Typ: ” 00 ”)
→1 x − 1 x→1 1
√x − 1
x = +∞
0
√
”)
=
lim
(Typ:
”
2. x→lim
0
1+0
x
→
1+0
ln x
2 x−1
x2 = lim 2x = lim 2 = 0
3. xlim
(Typ: ” ∞
∞ ”)
→∞ ex x→∞ ex x→∞ ex
x + 1 ln (x + 1) − ln (x − 1)
4. xlim
1
→∞ x ln x − 1 = xlim
→∞
x
2
2x
= xlim
(Typ: ”0 · ∞”)
→∞ (x + 1) (x − 1) = 2
1
1 = lim sin x − x
5. xlim
−
→0 x sin x
x→0 x sin x
cos x − 1
− sin x
= xlim
→0 x cos x + sin x = xlim
→0 2 cos x − x sin x = 0 (Typ: ”∞ − ∞”)
x + sin x
6. xlim
lim (1 + cos x) Grenzwert existiert nicht!
→∞ x
x→∞
x + sin x = 1 + lim sin x = 1.
Tatsächlich ist aber: xlim
→∞ x
x→∞ x
Grenzwerte verschiedenen Typs
1. Grenzwerte vom Typ ”(0 · (±∞))”:
f (x) → 0, g(x) → ±∞ für x → x
0
f (x) = lim g(x)
= xlim
→x0 1
x→x0 1
g (x)
f (x)
Typ: ” (0 · (±∞)) ” Typ:” 00 ” ” Typ:” ±∞
±∞
lim f (x) · g(x)
x→x0
7.6. REGELN VON BERNOULLI UND L’HOSPITAL
41
Beispiel:
ln x = lim (−x) = 0
lim
(
x
ln
x
)
=
lim
x→0+
x→0+ x1
x→0+
2. Grenzwerte vom Typ ”((+∞) − (+∞))”:
f (x) → +∞, g(x) → +∞ für x → x0
1 − 1
wegen f (x) − g(x) = 11 − 11 = g(x) 1 f (x) folgt
f (x) g(x) f (x) · g(x)
1 − 1 0 g
(
x
)
f
(
x
)
lim (f (x) − g(x)) = xlim
Typ:” 0 ”
1
x→x0
→x0
f (x) · g (x)
Beispiel:
1 1 sin x − x
cos x − 1
= xlim
lim −
x→0 x sin x
→0 x sin x = xlim
→0 x cos x + sin x
− sin x = 0
= xlim
→0 2 cos x − x sin x
3. Grenzwerte vom Typ ”00”, ”(+∞)0” und ”1±∞ ”:
f (x)g(x)
= exp xlim
→x0 g(x) ln f (x)
⇒ xlim
→x0 g(x) ln f (x) ist in den angegebenen Fällen vom Typ ”(0 · (±∞))” und
deshalb gemäß 1. zu berechnen.
Beispiele: 1. ( Typ ”00”)
x
0
wegen xlim
→0+ x ln x = 0 ⇒ xlim
→0+ x = e = 1
2. ( Typ ”1−∞”)
cos x
1
1 + sin x = 1 ⇒ lim (1 + sin x) 1 = e
ln
(1
+
sin
x
)
=
lim
wegen xlim
→0− x
x→0−
x→0−
1
lim
x→x0
x
3. ( Typ ”(+∞)0”)
1 = lim ln x = lim x1 = lim sin x · sin x = 0
wegen xlim
sin
x
·
ln
→0+
x→0+ −1
x→0+ cos x
x→0+ x
x
cos x
2
sin
x
sin1 x sin x
⇒ xlim
=1
→0+ x
42 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
7.7 TAYLORsche Formel
Satz 7.12 ( Satz von TAYLOR )
f (x) sei (n +1)-mal stetig differenzierbar auf [a, b], x ∈ (a, b) , x = x + h, x ∈ [a, b],
θ ∈ (0, 1). Dann gilt:
n
f (x) = f (x ) + (x − x )f (x ) + (x −2!x ) f (x ) + ... + (x −n!x ) f n (x ) + Rn (1)
n
= f (x ) + hf (x ) + h2! f (x ) + ... + hn! f n (x ) + Rn mit dem Restglied
x )n f n (x + θ(x − x ))
Rn = (x(−
(LAGRANGE)
n + 1)!
Beweis zum TAYLORschen Satz: Es sei
ϕ (z) = f (z) + 1!1 f (z) (x − z) + ... + n1! f n (z) (x − z)n ,
dann ist
n
ϕ (x) = f (x) und ϕ (x ) = k1! f k (x )(x − x )k
k
⇒ ϕ (x) − ϕ (x ) = Rn (x) .
Zu zeigen ist: Rn (x) = (n +1 1)! f n (x + θ(x − x ))(x − x )n
a)
1 1
ϕ (z) = f (z) + 1! f (z) (x − z) − 1! f (z) + ...
1 n
1
n
n
−
n
+ n! f
(z) (x − z) − (n − 1)! f (z) (x − z)
= n1! f n (z) (x − z)n
b) Für die Hilfsfunktion g (z) = (x − z)n gilt:
g (x) = 0; g (x ) = (x − x )n
und g (z) = − (n + 1) (x − z)n
− ϕ (x ) = ϕ (ξ) mit ξ = x +θ(x−x ) und 0 < θ < 1
c) Aus dem Mittelwertsatz ϕg ((xx)) −
g (x ) g (ξ )
folgt
n (ξ ) (x − ξ )n
ϕ (x) − ϕ (x ) = [g (x) − g (x )] ϕg ((ξξ)) = (x − x )n f(n + 1)!
(x − ξ)n
= (n +1 1)! f n (ξ ) (x − x )n = Rn (x) .
0
0
0
0
0
2
0
+1
0
( )
0
( +1)
0
0
2
0
0
0
( )
0
0
0
( )
( )
0
0
0
=0
0
( +1)
0
0
0
( +1)
+1
1
( )
( +1)
+1
0
0
+1
0
0
0
0
0
( +1)
0
0
+1
+1
0
( +1)
7.7. TAYLORSCHE FORMEL
43
Bemerkung 7.7 1. Die Formel (1) heißt TAYLORsche Formel. Die Funktion f (x)
hat die Darstellung
f (x) = Pn (x) + Rn (x) mit dem Polynom Pn
n
1 f k (x )(x − x )k .
(x) =
k =0
k!
( )
0
0
Das Restglied Rn (x) gibt die Differenz von f (x) zu einem Polynom n−ten Grades an.
Da θ ∈ (0, 1) nicht bekannt ist, muß Rn (x) oft abgeschätzt werden.
2. Für beliebige Funktionen f (x) muß nicht nlim
→∞ Rn(x) = 0, ∀x ∈ R gelten. Das
Gebiet, in dem diese Beziehung erfüllt ist, heißt Konvergenzgebiet.
3. Ist die Entwicklungsstelle x0 = 0, so erhält man die Mc LAURINsche Form der
TAYLORschen Formel:
(n)
(n)
) xn+1.
f (x) = f (0)+ f (0)x + f 2!(0) x2 + ... + f n!(0) xn + Rn (x) mit Rn (x) = f(n +(θx
1)!
4. Hauptanwendung der TAYLORschen Formel: Approximation einer Funktion f (x)
in der Umgebung von x = x0 durch ein Polynom.
5. Entwicklung eines Polynoms n−ten Grades in eine TAYLOR-Reihe
n
Pn(x) = Pn(x ) + (x − x )Pn (x ) + (x −2!x ) Pn(x ) + ... + (x −n!x ) Pnn (x )
0
0
0
0
2
0
0
( )
0
⇒ Ein Polynom n−ten Grades ist durch seine Ableitungen P k (x ) (k = 0, 1, ..., n) an
( )
einer Stelle x0 vollständig bestimmt.
0
Beispiel 7.12 f (x) = ex; ⇒ f k (x) = ex f ür k ∈ N
( )
TAYLOR-Formel für
f (x) = ex
an einer Stelle x0 = 0
ex = 1 + x + 12 x + ... + n1! xn + Rn (x)
2
n+1
mit Rn (x) = (nx+ 1)! eθx; 0 < θ < 1
Es gilt nlim
→∞ Rn(x) = 0 ∀x ∈nR.
1
Mit x = 1 erhält man e = nlim
→∞ k !
k=0
Approximation: e = 1 + 1 + 12 + 16 , dann gilt für den absoluten Fehler:
|e| = |R (1)| = 4!1 eθ < 4!1 e und relativen Fehler: ||ee| | < 4!1 .
4
44 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
√
Beispiel 7.13 f (x) = 1 + x und damit f (x) = 2√11+ x
TAYLOR-Formel für x0 = 0 bis zum 2. Glied:
√
f (x) = 1 + x ≈ f (x0) + f (x0) (x − x0) = 1 + x2
√
Damit ist 1.01 = 1.00498.... ≈ 1 + 0.005 und
√50 = 7.07106... = ! 49 50 = 7! 50 ≈ 7(1 + 1 ) = 7.07142.
49
49
2·49
7.8 Untersuchung von Funkt. mittels Ableitungen
7.8.1 Monotonie und relative Extrema
Satz 7.13 (Monotonie):
f (x) sei auf dem Intervall I stetig und in I differenzierbar. Es gilt f (x) ≥ 0 (f (x) ≤ 0)
für alle x aus dem Inneren von I genau dann, wenn f (x) auf I monoton wachsend
(monoton fallend) ist.
Definition 7.6 (relative Extremwerte):
∈ Df der Funktion f (x) heißt Stelle eines relativen Maximums
(Minimums) von f , wenn es eine Umgebung U (x ) ⊂ Df gibt, so daß x Stelle
Eine Stelle x0
des absoluten Maximums (Minimums) von f auf U (x0) ist, d. h. es gilt f (x0) ≥ f (x)
(bzw. f (x0) ≤ f (x)) für alle x ∈ U (x0).
f (x0) heißt dann relatives Maximum (Minimum) von f.
0
0
Satz 7.14 (notwendige Extremumbedingung):
f (x) sei in x differenzierbar und habe dort einen relativen Extremwert. Dann gilt:
f (x ) = 0.
0
0
Bemerkung 7.8 Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht!
Beispiel: f (x) = x3, x0 = 0, f (x0) = 3x20 = 0 aber x0 ist kein Extrempunkt von f (x),
sondern ein Wendepunkt.
Mit f (x) = 0 können extremwertverdächtige Punkte gefunden werden!
Satz 7.15 (hinreichende Extremumbedingung):
f (x) sei in einer Umgebung U (x ) der Stelle x stetig differenzierbar bis zur n−ten
Ableitung (n ≥ 2) und es gelte:
f (x ) = f (x ) = ... = f n− (x ) = 0 aber f n (x ) = 0.
0
0
0
0
(
1)
0
( )
0
7.8. UNTERSUCHUNG VON FUNKT. MITTELS ABLEITUNGEN
45
a) Ist n gerade, so gilt:
Aus f (n)(x0) < 0 ⇒ x0− Stelle eines relativen Maximums von f
Aus f (n)(x0) > 0 ⇒ x0− Stelle eines relativen Minimums von f
b) Ist n ungerade, so gilt:
Aus f (n)(x0) < 0 ⇒ f ist in der Umgebung von x0 monoton fallend.
Aus f (n)(x0) > 0 ⇒ f ist in der Umgebung von x0 monoton wachsend.
Beispiel 7.14
1. f (x) = x , x = 0, f (0) = f (0) = 0, f (0) = 6 ⇒ n = 3, f (0) > 0
⇒ f (x) ist in der Umgebung von 0 monoton wachsend.
2. f (x) = x , x = 0, f (0) = 0, f (0) = 2 ⇒ n = 2, f (0) > 0
3
2
0
⇒ f (x) besitzt in x = 0 ein Minimum.
0
0
7.8.2 Konvexität und Wendepunkte
Satz 7.16 (Konvexität):
f (x) sei auf dem Intervall I stetig differenzierbar und habe in I eine stetige zweite
Ableitung. Dann gilt:
a) f (x) ≥ 0 für jedes x ∈ I ⇔ f ist auf I konvex.
b) f (x) ≤ 0 für jedes x ∈ I ⇔ f ist auf I konkav.
Definition 7.7 (Wendepunkt):
Wechselt f (x) in x0 zwischen konvexem und konkavem Verhalten, so heißt x0 Wen-
depunkt von f (x).
Satz 7.17 (Existenz von Wendepunkten):
f (x) besitze in einer Umgebung von x stetige Ableitungen bis zur Ordnung n (n ≥ 3)
und es gelte:
f (x ) = f (x ) = ... = f n− (x ) = 0 aber f n (x ) = 0.
0
0
(
0
1)
( )
0
0
Ist n ungerade, so hat f (x) in x0 einen Wendepunkt, anderenfalls nicht.
Bemerkung 7.9 f (x) hat in x einen Wendepunkt ⇔ x ist Extrempunkt von f (x).
f (x ) gibt den Anstieg der Wendetangente an.
0
0
0
46 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
7.8.3 Arbeitsschritte zur Kurvendiskussion
1. Definitionsbereich X :
Untersuchung, welche Werte aus dem Definitionsgebiet der reellen Zahlen R ausgeschlossen werden müssen (Untersuchung, wo Nenner Null wird, wo Radikant
negativ wird, wo das Argument einer Logarithmusfunktion negativ oder Null
wird.).
Bemerkung: Bei allen später zu berechnenden Werten (Achsenabschnitte, Extremwerte, Wendepunkte) ist nachzuprüfen, ob sie im Definitionsgebiet X enthalten sind!
2. Symmetrie, Periodizität:
Es ist nachzuprüfen, ob die Funktion y = f (x)
achsensymmetrisch zur y−Achse
(Bedingung: f (−x) = f (x) ) oder
zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung (Bedingung: f (−x) = −f (x) )
ist. Für zusammengesetzte Funktionen ist dabei zu berücksichtigen, dass folgendes gilt:
a) Summe, Differenz, Produkt und Quotient achsensym. Fkt. sind achsensym.
b) Summe und Differenz zweier zentralsym. Fkt. sind wieder zentralsym.
c) Produkt und Quotient zweier zentralsym. Fkt. sind achsensym.
d) Produkt und Quotient einer achsen- und einer zentralsym. Fktn. sind zentralsym.
3. Verhalten an den Randpunkten des Definitionsgebietes:
3.1. a) Ist f in ganz R mit Ausnahme von endlich vielen Punkten erklärt, so
ist hier das Verhalten im Unendlichen i.a. über die Grenzwerte für x → ±∞ zu
bestimmen, also x→−∞
lim f (x) bzw. xlim
→∞ f (x) .
b) Ist f eine gebrochen rationale Funktion, so ist es für die Erstellung des Grafen
günstiger, die Asymptote yAs zu bestimmen. Es sei
m
m−1
y = f (x) = uv ((xx)) = bamxxn ++ abm−1xxn−1 ++......++ab1xx++ab0
n
n−1
1
0
eine gebrochen rationale Funktion. Dann gilt:
α) Ist Grad(u (x)) = m < n = Grad(v (x)) (f echt gebrochen rational), so ist
yAs = 0.
β) Ist Grad(u (x)) = m = n = Grad(v (x)) ( Spezialfall von γ ), so ist yAs = bam
n
(Damit also der Quotient der Koeffizienten, die im Zähler und Nenner jeweils vor
der höchsten Potenz von x stehen.).
γ ) Ist Grad(u (x)) = m > n = Grad(v (x)) (f unecht gebrochen rational), so ist f
mit Hilfe der Polynomdivision in einen ganzen Teil g (x) und einen echt gebrochen
7.8. UNTERSUCHUNG VON FUNKT. MITTELS ABLEITUNGEN
47
rationalen Teil h (x) = hv1((xx)) zu zerlegen, also y = f (x) = g (x) + h (x) . Für die
Asymptote gilt dann yAs = g (x) = ganzrationaler Teil von f .
3.2. Ist f nur in einem endlichen Intervall I ( offen I = (a, b), halboffen I = [a, b)
oder I = (a, b] , abgeschlossen I = [a,b] mit |a| , |b| < ∞ ) definiert, so sind
die einseitigen Grenzwerte x→lim
f (x) und x→lim
f (x) zu bestimmen. Ist eine
a+0
b−0
Randstelle −∞ oder +∞, so ist dort nach 3.1. a) zu verfahren.
4. Achsenschnittpunkte:
4.1. Nullstellen: Setze y = 0 und löse die Gleichung f (x) = 0 (Beachte Bemerkung in 1.)
4.2. Schnittpunkte mit der y−Achse: Setze x = 0 in f , berechne also y (0) = f (0),
wenn möglich.
5. Unstetigkeitsstellen:
Hier sind alle Stellen zu untersuchen, die im Punkt 1. als isolierte Punkte aus
den reellen Zahlen ausgeschlossen wurden.
5.1. xP = a = Polstelle :
a) Sind die Grenzwerte x→lim
f (x) und x→lim
f (x) entweder beide +∞ oder beia−0
a+0
de −∞, so ist x = a ein Pol gerader Ordnung.
b) Gilt x→lim
f (x) = −∞ und x→lim
f (x) = +∞ oder umgekehrt, so ist x = a
a−0
a+0
ein Pol ungerader Ordnung.
5.2. xL = a = Stelle einer Lücke : Hier existiert der Grenzwert xlim
→a f (x) = g.
Die Funktion f hat dann im Punkt P (a, g) eine Lücke. Ist f eine gebrochen
rationale Funktion, so kann die Funktion gekürzt werden. Alle weiteren Untersuchungen (Extrema, Wendepunkte) können an der gekürzten Funktion erfolgen!
5.3. xS = a = Sprungstelle : Hier existiert der links- und rechtsseitige Grenzwert
der Funktion an der Stelle x = a, sie sind aber nicht gleich, d.h. x→lim
f (x) =
a−0
g− = x→lim
f (x) = g+, wobei |g−| , |g+ | < ∞ (endlich). (Sonderfall: einer der
a+0
beiden Werte ist +∞ oder −∞ ).
Bemerkung: Für gebrochen rationale Funktionen y = f (x) = uv ((xx)) , gilt folgendes:
Sei x1 k-fache Lösung von u (x) = 0 (im Zähler), d.h. u (x) = (x − x1)k u1 (x) ,
und x1 j-fache Lösung von v (x) = 0 (im Nenner), d.h. v (x) = (x − x1)j v1 (x) ,
dann gilt:
Ist k < j, so ist x1 eine Polstelle. (Ist insbesondere k = 0, macht also x1 nur den
Nenner Null, so ist dort stets eine Polstelle.)
Ist k j , so ist x1 die Stelle einer Lücke.
48 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
In beiden Fällen kann gekürzt werden, wenn k > 0 und j > 0 sind, nämlich:
k u (x)
)
u
(
x
)
(
x
−
x
y = v (x) =
= (x − x )k−j uv ((xx)) .
j
(x − x ) v (x)
1
1
1
1
1
1
1
6. Extremwerte:
6.1. Bildung der Ableitungen: Man berechne y, y und y , wobei die Berechnung
von y auch im Punkt 7 erfolgen kann.
6.2. Setze y = 0 und löse diese Gleichung. Seien xk (k = 1, ..., n) die Lösungen.
6.3. Überprüfung: Wenn y (xk ) = 0, dann ist xk eine Extremstelle. Gilt überdies
y (xk ) < 0, so ist xk Maximumstelle bzw. im Falle y (xk ) > 0 eine Minimumstelle.
6.4. Funktionswert: Man berechne yE = f (xk ) durch Einsetzen von xk in die
gegebene Funktion.
7. Wendepunkte:
7.1. Setze y = 0 und löse diese Gleichung. Seien xj (j = 1, ..., n) die Lösungen.
7.2. Überprüfung: Wenn y (xj ) = 0, dann ist xj Wendestelle.
7.3. Funktionswert: Man berechne yW = f (xj ) durch Einsetzen von xj in die
gegebene Funktion.
8. Skizze:
Aus allen berechneten Größen ist die Skizze zu erstellen (eventuell unter zusätzlicher Berechnung von einigen wenigen Hilfspunkten).
9. Wertevorrat:
Aus der Skizze ist der Wertevorrat (Wertebereich) Y abzuleiten.
7.8. UNTERSUCHUNG VON FUNKT. MITTELS ABLEITUNGEN
49
Beispiel einer Kurvendiskussion:
.5)
f (x) = x4x+−42x = 4(xx(x−+04)
2
1. Df = R \ {−4; 0}
f (x)
−
4
x
−
2
nicht gerade
2. f (−x) = x2 − 4x = −f (x) ⇒ ff ((xx)) ist
ist nicht ungerade
3. xlim
(Annäherung von oben, da 4x − 2 > 0)
→∞ f (x) = 0
lim f (x) = 0 (Annäherung von unten, da 4x − 2 < 0)
x→−∞
lim f (x) = −∞
lim f (x) = +∞
x→0+0
x→0−0
lim f (x) = +∞
lim f (x) = −∞
x→−4+0
x→−4−0
4. x = 0 entsprechend 1. ⇒ kein Schnittpunkt mit der y-Achse
f (x) = 0 ⇒ 4(x − 0.5) = 0 ⇒ x = 0.5
5. ungerader Pol bei xp1 = 0 und xp2 = −4
2
2
2
4(
x
4
x
+
4
x
)
−
(4
x
−
2)(2
x
+
4)
+
16
x
−
8
x
− 16x + 4x + 8
6. 0 = f (x) =
=
2
2
2
x (x + 4)
x (x + 4)2
2
= −4x2 + 4x +2 8
x (x + 4)
x − 2)
0 = −4 (xx+2(1)(
⇒ x1 = −1; x2 = 2 sind extremwertverdächtig.
x + 4)2
4
3
24x2 − 64x − 64)
f (x) = 4x(2x + 5xx4−
(x + 4)4
⇒ f (−1) = 43 > 0 → Extremum (lokales Minimum)
⇒ f (2) = − 121 < 0 → Extremum (lokales Maximum)
Insgesamt ergibt sich:
Minimum bei x1 = −1 mit dem Funktionswert f (x1) = 2
Maximum bei x2 = 2 mit dem Funktionswert f (x2) = 0.5
4
3
24x2 − 64x − 64) = 4x(x + 4)(x − 3.703)(2x2 + 4.406x + 4.1315)
7. 0 = 4x(2x + 5xx4−
(x + 4)4
x4(x + 4)4
⇒ wendepunktverdächtig sind: xw1 = 0 xw2 = −4; xw3 = 3.703;
aber xw1 ∈/ Df , xw2 ∈/ Df
50 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
4
3
2
3
2
2
x
+
5
x
−
24
x
−
64
x
−
64
4
8
x
+
15
x
− 48x − 64
f (x) = −12
+ x3
4
4
x (x + 4)
(x + 4)4
4
3
2
2x + 5x − 24x − 64x − 64
− 16
x3
(x + 4)5
f (3.703) = 8. 2866 × 10−3
0 < x < xw3 : f (x) ≤ 0 → f ist konkav
x > xw3 : f (x) ≥ 0 → f ist konvex
Insgesamt ergibt sich:
Wendepunkt bei xw3 = 3.703; mit dem Funktionswert f (xw3) = 0.45
8. Wf = (−∞; 0.5] ∪ [2; ∞)
9.
f (x) = x4x+−42x
2
7.9. NÄHERUNGSWEISE NULLSTELLENBESTIMMUNG
7.9 Näherungsweise Nullstellenbestimmung
7.9.1 Allgemeines Iterationsverfahren
Zur Konvergenz der sukzessiven Approximation
Einschliessende Konvergenz
Monotone Konvergenz
Divergenz
Divergenz
51
52 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
Beispiel zur Methode der sukzessiven Approximation
f (x) = log x − x + 3 = 0
2
1. Abschätzung der NST:
log x = x2 − 3 ⇒ 1 < ξ < 2 (siehe Grafik)
2. Iterative Form (x = ϕ(x)) :
x = log x + 3 ⇒ ϕ(x) = log x + 3
3. Abschätzung von q im Intervall [1, 2] :
ϕ (x) = √log e
⇒
|
ϕ(x) |≤ √ 1 = 0.28867 = q < 1
2x log x + 3
2 0+3
4. ϕ(x) bildet [1, 2] in [1, 2] ab:
Denn: ϕ(x) ist auf [1, 2] monoton wachsend und es gilt.
√
ϕ(1) = 3 ≈ 1.73; ϕ(2) = log 2 + 3 ≈ 1.817
5. Iterationsfolge (Startwert: x = 2.0 ):
0
x = ϕ(x ) = log 2.0 + 3 = 1.817
x = ϕ(x ) = log 1.817 + 3 = 1.805
x = ϕ(x ) = log 1.805 + 3 = 1.8045
x = ϕ(x ) = log 1.8045 + 3 = 1.8045
⇒ NST: ξ = 1.8045.
Beachte: Je kleiner q, desto schneller konvergiert die Iterationsfolge {xn } .
1
0
2
1
3
2
4
3
7.9. NÄHERUNGSWEISE NULLSTELLENBESTIMMUNG
NEWTON-Verfahren
53
54 KAPITEL 7. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
8 Integration von Funktionen
einer Variablen
8.1 Unbestimmtes Integral
Unbestimmte Integrale der Grundfunktionen
"
α
xαdx = αx + 1 + c
+1
" x
e dx
" x
a dx
"1
= ex + c
x
= lna a + c
x dx = ln | x | + c
cos xdx = sin x + c
"
"
sin xdx
" dx
" cosdxx
2
=
( α beliebige reelle Zahl = −1; x > 0 )
( a > 0; a = 1 )
( x = 0 )
− cos x + c
( cos x = 0 )
= tan x + c
= − cot x + c
( sin x = 0 )
2
sin
x
" dx
√1 − x2 = arcsin x + c1 = − arccos x + c2 (
" dx
1 + x2 = arctan x + c1 = − arccot x + c2
55
−1<x<1 )
56
KAPITEL 8. INTEGRATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
8.1.1 Definitionen und Bezeichnungen
8.1.2 Substitutionsmethode
8.1.3 Partielle Integration
8.1. UNBESTIMMTES INTEGRAL
57
8.1.4 Integration gebrochen rationaler Funktionen
Integration von Partialbrüchen
1. Voraussetzung: ν > 1; x = a
"
A
(x −
2. Voraussetzung: x = a :
"
3. Voraussetzung: µ > 1 :
"
a)ν dx =
− (ν − 1) · A(x − a)ν − + c
1
A dx = A · ln | x − a | + c
x−a
1
Bx + C dx = − B ·
µ
(x + px + q)
2 (µ − 1) (x + px + q)µ−
1 "
dx
+ C − 2 Bp
(x + px + q)µ
2
1
2
2
4. Voraussetzung: µ > 1 :
"
1
dx
2x + p
=
·
µ
(x + px + q)
(µ − 1) (4q − p ) (x + px + q)µ−
"
4
µ
−
6
dx
+ (µ − 1) (4q − p )
(x + px + q)µ−
5. Voraussetzung: p − 4q < 0 :
" dx
2
2x + p + c
=
·
arctan
x + px + q
4q − p
4q − p
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
6. Voraussetzung: x + px + q = 0 :
"
2
Bx + C dx = B ln | x + px + q |
x + px + q
2
" dx
1
+ C − 2 Bp · x + px + q
2
2
2
58
KAPITEL 8. INTEGRATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
Partialbruchzerlegung für gebrochen rationale Funktionen
n
n−
R(x) = PQ((xx)) = xxm ++ abn− xxm− ++......++ab xx++ab
m−
1. Im Falle n ≥ m (d. h. Grad n des Zählerpolynoms P (x) ist größer oder
gleich dem Grad m des Nennerpolynoms Q(x) ) muß durch Polynomdivision ein ganzrationaler Ausdruck (Polynom) abdividiert werden. Der
bei der Polynomdivision entstehende Rest ist dann eine echt gebrochen
rationale Funktion. Im weiteren wird n < m vorausgesetzt.
2. Bestimmung der NST des Nennerpolynoms Q(x).
3. Zerlegung
von Q(x) in das Produkt von Faktoren der Form
k
a) (x − a) , wenn a eine k−fache reellwertige NST von Q(x) ist und
b) (x + px + q)l , wenn a eine l−fache komplexwertige NST von Q(x)
ist ( mit a ist dann auch die konjugiert komplexe Zahl ā eine l−fache
NST von Q(x), und man erhält: p = −(a + ā) = −2Re(a),
q = a · ā =| a | ). In diesem Falle ist p − 4q < 0.
4. Überprüfung, ob NST von Q(x) auch NST des Zählerpolynoms P (x) sind.
Ist dies der Fall, so kann mit x − a bzw. x + px + q gekürzt werden.
5. Ansatz der Partialbruchzerlegung:
P (x)
= A + A + ... + Ak k
k
l
x − a (x − a)
... (x − a) (x + px + q) ...
(x − a)
+ C + B x + C + ... + Bl x + Cl
+ xB+xpx
+ q (x + px + q)
(x + px + q)l
6. Bestimmung der Koeffizienten Ai, Bi und Ci. Dazu stehen die folgenden
Verfahren zur Verfügung.
a) Koeffizientenvergleich
b) Einsetzmethode
c) Grenzwertmethode
Um den Rechenaufwand zu reduzieren, wird man in der Regel zunächst
Koeffizienten mittels der Grenzwert- oder Einsetzmethode bestimmen.
Sind mehrfache NST des Nennerpolynoms vorhanden, so können die
verbleibenden Koeffizienten mit der Grenzwertmethode oder mittels
Koeffizientenvergleich bei Berücksichtigung der schon berechneten Werte
ermittelt werden.
7. Probe: Mit den berechneten Koeffizienten werden sämtliche Partialbrüche
durch Hauptnennerbildung zusammengefaßt und mit R(x) verglichen.
1
1
1
1
1
0
1
0
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
8.1. UNBESTIMMTES INTEGRAL
59
Grenzwertmethode zur Koeffizientenbestimmung bei der
Partialbruchzerlegung
P (x) =
P (x)
R(x) = Q
k
(x) ... (x − a) (x + px + q)l ...
= A + ... + Ak k + B x + C + ... + Bl x + Cl l
x−a
(x − a) (x + px + q)
(x + px + q)
A. Bestimmung von A , A ,..., Ak :
Beide Seiten der Ansatzgleichung mit (x − a)k multiplizieren:
⎧⎨ verbl. ⎫⎬
R(x) (x − a)k = Ak + (x − a) Ak− + ... + (x − a)k− A + (x − a)k ⎩ Partial- ⎭
brüche
Entspricht einer TAYLOR-Entwicklung von R(x) (x − a)k
an der Stelle
x = a. ⇒ k
R(x) (x − a)k
Ak = R(x) (x − a) x a = xlim
→
a
1 d
d
1
k
k
Ak− = 1! dx R(x) (x − a)
= 1! xlim
R
(
x
)
(
x
−
a
)
→
a
dx
x a
.....................................................
dk− R(x) (x − a)k
1 lim dk− R(x) (x − a)k
A = (k −1 1)! dx
=
k−
(k − 1)! x→a dxk−
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
=
1
=
1
1
1
B. Bestimmung von Bl und Cl :
1
x=a
1
Multiplikation beider Seiten der Ansatzgleichung mit (x2 + px + q)l und
in dieser Gleichung den Grenzwert für x → a berechnen
(wobei a komplexwertige NST von x2 + px + q = 0 ist) :
x2 + px + ql
Bl a + Cl = R(x) x2 + px + q l x=a = xlim
R
(
x
)
→a
Beide Seiten dieser Beziehung werden nach Real- und Imaginärteil geordnet.
Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil beider Seiten erhält man zwei
lineare Gleichungen, aus denen die Größen Bl und Cl zu bestimmen sind.
C. Auch im Falle komplexwertiger NST a kann eine Partialbruchzerlegung
ausschließlich nach Partialbrüchen der Form
Dk
(x − a)k
vorgenommen werden. Wird dies angestrebt, so können alle unbekannten
Koeffizienten wie unter A. beschrieben, nach der Grenzwertmethode
berechnet werden.
60
KAPITEL 8. INTEGRATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
Beispiel zur Partialbruchzerlegung
P (x) = x + 1
R(x) = Q
(x) x + x
4
4
2
1. Wegen n = m = 4 ist R(x) keine echt gebrochen rationale Funktion.
→ Polynomdivision:
x
4
2
+ 1 : x4 + x2 = 1 + x14−+xx2
⇒ R(x) = 1 + x1 −+xx
2
4
2
1 − x2 → echt gebrochen rationale Funktion
x4 + x2
2. NST für Q(x) = x4 + x2 = x2 (x2 + 1)
→ x1 = x2 = 0 ist doppelte NST, x3 = i, x4 = −i sind NST.
3. Mit Q(x) = x2 (x2 + 1) liegt die geforderte Zerlegung in Faktoren vor.
4. Zähler- und Nennerpolynom besitzen keine gemeinsamen NST.
5. Ansatz:
1 − x2 = A + B + Cx + D
x4 + x2 x x2 x2 + 1
6. Bestimmung der Koeffizienten A, B,C und D.
a) Koeffizientenvergleich:
- Hauptnenner bilden:
1 − x2 = x (x2 + 1) A + (x2 + 1) B + x2 (Cx + D)
x4 + x2
x4 + x2
- Ordnen der Zählerpolynome nach Potenzen von x. Für den Vergleich
ist nur die Berücksichtigung der Zählerpolynome notwendig.
1 − x2 = (A + C ) x3 + (B + D) x2 + Ax + B
- Vergleich der Koeffizienten bei gleichen Potenzen von x
→ lineares Gleichungssystem
x : A
+C
x :
B
+D
x : A
x :
B
- Lösen des linearen Gleichungssystems:
→ A = C = 0, B = 1, D = −2
3
2
1
0
=0
= −1
=0
=1
8.1. UNBESTIMMTES INTEGRAL
61
b) Einsetzmethode:
- Hauptnenner bilden ( nur Zählerpolynome betrachten! ):
1 − x2 = x x2 + 1 A + x2 + 1 B + x2 (Cx + D)
- Vergleich durch Einsetzen ausgewählter Werte für x:
x=0: 1=B
x = i : 2 = − (iC + D) → C = 0,D = −2
( zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sowohl
Real- als auch Imaginärteil gleich sind! )
x = 1 : 0 = 2A + 2B + C + D = 2A → A = 0
c) Grenzwertmethode:
(1 − x ) x = 1
B = xlim
→ x (x + 1)
d (1 − x )
−4x
A = xlim
→ dx (x + 1) = xlim
→ (x + 1) = 0
(1 − x ) = −2 → C = 0, D = −2
iC + D = xlim
→i x
2
0
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
7. Ergebnis und Probe:
x +1 =1+ 1 − 2
x +x
x x +1
1 + 1 − 2 = x + x + x + 1 − 2x = x + 1
x x +1
x (x + 1)
x +x
4
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
62
KAPITEL 8. INTEGRATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
8.1.5 Integration weiterer Funktionenklassen
8.2. BESTIMMTES INTEGRAL
63
8.2 Bestimmtes Integral
8.2.1 Definition und Eigenschaften
Definition des bestimmten Integrals
f (x) sei auf dem Intervall [a, b] eine beschränkte und stückweise
stetige Funktion. Durch Einfügen von n − 1 Teilpunkten
a = x < x < ... < xn− < xn = b
wird [a, b] in n Teilintervalle [xi− , xi] zerlegt.
Zn = {xi | i = 0, 1, ..., n} - Folge der Zerlegungspunkte
In jedem Teilintervall wird ein Zwischenpunkt ξi (xi− ≤ ξ i ≤ xi)
beliebig ausgewählt und die RIEMANNsche Summe
0
1
1
1
1
n
R (f ) = f (ξ )x
n
gebildet (xi = xi − xi−1) .
i=1
i
i
Definition: Wenn die RIEMANNschen Summen Rn (f ) für jede Folge
Zn = {xi} mit
δ = max
≤i≤n xi → 0 für n → ∞
stets den endlichen Grenzwert I (f ) bei n → ∞ besitzen, so heißt dieser
bestimmtes (RIEMANNsches) Integral der Funktion f (x) über
dem Intervall [a,b]:
1
I (f ) =
"b
a
n
f (x)dx ≡ lim f (ξ )x
n→∞
i=1
i
i
Definition: Funktionen f (x), für die I (f ) = # f (x)dx existiert, heißen auf
a
dem Intervall [a, b] (RIEMANN-) integrierbar.
b
64
KAPITEL 8. INTEGRATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
8.2.2 Berechnung bestimmter Integrale
8.2.3 Varablensubstitution bei bestimmter Integration
8.2. BESTIMMTES INTEGRAL
65
8.2.4 Numerische Berechnung bestimmter Integrale
Spezielle Quadraturformeln
1. Sehnen-Trapez-Regel
In jedem Intervall [xi−1,xi] (i = 1,...N )
wird f (x) durch ein Geradenstück interpoliert:
#x f (x)dx ≈ h (f (xi−1 + f (xi))
2
x −1
Damit erhält man:
i
i
"b
a
$
%
N
−
h
f (x)dx ≈ 2 f (a) + f (b) + 2 f (xi)
i
1
=1
Beispiel: f (x) = x3; a = 0, b = 4; N = 4 ⇒ h = 1
"
4
I = x dx ≈ 12 · 0 + 12 · 4 + 1 + 2 + 3 = 68
3
3
3
3
3
0
( exakter Wert: I = 64 ).
2. SIMPSONsche Regel
In jedem Intervall [xi−2, xi]
(i = 2, 4, 6, ..., N − 2, N − gerade)
wird f (x) durch ein Parabelstück interpoliert:
#x f (x)dx ≈ h (f (xi−2) + 4f (xi−1) + f (xi))
3
x −2
(KEPLERsche Faßregel )
Damit erhält man:
i
i
"b
f (x) ≈ h3 (f (a) + f (b) + 4u + 2g)
a
mit u = f (x ) + f (x ) + ... + f (xN − )
und g = f (x ) + f (x ) + ... + f (xN − )
Beispiel: f (x) = x ; a = 0, b = 4; N = 4 ⇒ h = 1
1
3
1
2
4
2
3
"
4
I=
0
x dx = 31 0 + 4 + 4 · 1 + 3 + 2 · 2 = 64.
3
3
3
3
3
66
KAPITEL 8. INTEGRATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
8.3.1
8.3.2
8.3.3
8.3.4
Flächenberechnung
Bogenlänge einer Kurve
Volumen- und Flächenberechnung bei Rotationskörpern
Sektorformel
8.3 Anwendungen der Integralrechnung
8.4 Uneigentliche Integrale
A
Grundlagen der Logik
A.1
A.2
A.3
A.4
Aussagen
Aussagenverbindungen
Aussageformen
Beweisverfahren
67