Die Gesetze der großen Zahlen

WR 1
W. Merz
Kapitel 13
Die Gesetze der großen Zahlen
Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom 17. Juni 2009
W. Merz
Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1
FAU
13.1
Der statistische Mittelwert
WR 1
W. Merz
X1 , X2 , X3 , . . . sei eine Folge von Zufallsvariablen auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit den folgenden
Eigenschaften:
• EXk = µ für alle k = 1, 2, 3, . . .
• var(Xk ) = σ 2 für alle k = 1, 2, 3, . . .
• Die Xk sind paarweise unkorreliert, d.h. cov(Xi , Xk ) = 0 für
alle Paare i, k von Indizes mit i 6= k .
Für n = 1, 2, 3, . . . sei
Sn = X1 + X2 + X3 + · · · + Xn
Xn =
1
1
Sn = (X1 + X2 + X3 + · · · + Xn )
n
n
Sn nennen wir die n-te Partialsumme und X n den n-ten
statistischen Mittelwert der Folge (Xk ).
13.2
WR 1
Erwartungswerte und Varianzen
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Partialsummen
ESn = E (X1 + X2 + X3 + · · · + Xn )
= EX1 + EX2 + EX3 + · · · + EXn = nµ
Da die Xk unkorreliert sind, ist die Kovarianzmatrix eine
Diagonalmatrix.
var(Sn ) = var (X1 + X2 + X3 + · · · + Xn )
= (1, 1, . . . , 1)CX (1, 1, . . . , 1)>

var(X1 )
0
···

0
var(X
)
···
2

= (1, 1, . . . , 1) 
..
..
..

.
.
.
0
=
n
X
0
0
0
..
.
. . . var(Xn )





1
1
..
.





1
var(Xk ) = nσ 2
k =1
13.3
Erwartungswerte und Varianzen
WR 1
W. Merz
Mittelwerte
1
1
Sn = ESn = µ
n
n
2
1
1
1
var(X n ) = var
Sn =
var(Sn ) = σ 2
n
n
n
EX n = E
Aus der Ungleichung von Tschebyscheff
var(X n )
P |X n − EX n | > ε ≤
ε2
bzw.
1 σ2
P |X n − µ| > ε ≤
n ε2
folgt für alle ε > 0
lim P |X n − µ| > ε = 0
n→∞
13.4
Gesetz der großen Zahlen
WR 1
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Durch Übergang zum Komplementärereignis erhält man
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Für beliebige positive reelle Zahlen ε gilt
lim P |X n − µ| ≤ ε = 1
n→∞
„Die Folge der Zufallsvariablen X n konvergiert stochastisch
gegen µ = EXk “
Unter den angegebenen Voraussetzungen gilt auch
Starkes Gesetz der großen Zahlen
P
lim X n = µ = 1
n→∞
„Die Folge der Zufallsvariablen X n konvergiert fast sicher
gegen µ = EXk “
13.5
Gesetz der großen Zahlen
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Die Aussage „Die relativen Häufigkeiten konvergieren gegen
die Wahrscheinlichkeit“ ist ein Spezialfall der oben formulierten
Gesetze:
(Ω0 , A0 , P0 ) sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, A ∈ A0 ein
Ereignis mit P0 (A) = p und
X (ω) = 1A (ω) = 1 · 1A (ω) + 0 · 1A (ω)
die Indikatorfunktion des Ereignisses A.
R
EX = X dP0 = 1P0 (A) + 0P0 (A) = p
R
E(X 2 ) = X 2 dP0 = 12 P0 (A) + 02 P0 (A) = p
var(X ) = E(X 2 ) − (EX )2 = p − p2 = p(1 − p)
13.6
Gesetz der großen Zahlen
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(Ω, A, P) sei die ∞-fache Wiederholung von (Ω0 , A0 , P0 ) und
Xk die Indikatorfunktion mit Xk = 1, wenn bei der k -ten
Durchführung von (Ω0 , A0 , P0 ) das Ereignis A eintritt und
Xk = 0 sonst.
Die Xk sind stochastisch unabhängig, EXk = EX = p und
var(Xk ) = var(X ) = p(1 − p).
Sn = X1 + X2 + · · · + Xn ist die absolute Häufigkeit des
Eintretens von A bei den ersten n Durchführungen.
1
1
Sn = (X1 + X2 + · · · + Xn ) ist die relative Häufigkeit
n
n
des Eintretens von A bei den ersten n Durchführungen.
Hn =
Gesetze der großen Zahlen
lim P (|Hn − p| ≤ ε) = 1
n→∞
bzw.
P
lim Hn = p = 1
n→∞
13.7