Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen

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Methoden des
Algorithmenentwurfs
Kapitel 1: Einführung
Christian Scheideler
SS 2009
08.04.2015
Kapitel 1
1
Organisatorisches
Leitung: Prof. Dr. Christian Scheideler
• Sprechstunde: Do, 16-17 Uhr
• Email: scheideler@upb.de
Modulinformation:
• Modul II.2.1 Modelle und Algorithmen (MuA)
• V2+Ü1
• 3 ECTS Credits
Zeit und Ort:
• Mi 16-18 Uhr, F0.530
Webseite:
• http://www.cs.upb.de/fachgebiete/fg-ti/lehre0/ss2009/methoden.html
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Kapitel 1
2
Organisatorisches
Übungen:
• Übungsleitung: NN
• Mi 14-16 Uhr, F0.530, 14-tägig ab 29. April
• Übungszettel:
Ausgabe: 14-tägig auf dieser Seite zum Übungstermin
Abgabe: eine Woche danach in der Vorlesung
Rückgabe: eine Woche danach in der Übung
Schein:
Einen Schein erhält, wer die Klausur am Ende des
Semesters besteht. Bei Vorrechnen einer Aufgabe
verbessert sich die Note um 0,3 Punkte.
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Kapitel 1
3
Organisatorisches
Inhalt:
• Teil 1: Approximationsalgorithmen
– 1.1 Einführung [1w]
– 1.2 Approximation mit absoluter Güte [2w]
– 1.3 Approximation mit relativer Güte [2w]
– 1.4 Approximationsschemata [2w]
– 1.5 Lineare Optimierung und
Approximationsalgorithmen [2w]
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Kapitel 1
4
Organisatorisches
• Teil 2: Online-Algorithmen
– 2.1 Deterministische Online-Algorithmen
(Scheduling, Paging, selbstorganisierende
Datenstrukturen) [3w]
– 2.2 Randomisierte Online-Algorithmen
(Scheduling, Paging, selbstorganisierende
Datenstrukturen, Lastbalancierung) [2-3w]
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Kapitel 1
5
Literatur
• Approximationsalgorithmen:
– Rolf Wanka.
Approximationsalgorithmen: Eine Einführung
Vieweg & Teubner Verlag, 2006.
– Klaus Jansen und Marian Margraf.
Approximative Algorithmen und Nichtapproximierbarkeit.
De Gruyter Verlag, 2008.
• Online-Algorithmen:
– Susanne Albers.
Online- und Approximationsalgorithmen.
Universität Freiburg, SS 2004.
Verfügbar über WWW.
– Christian Scheideler.
Universal Routing Strategies for Interconnection Networks.
Springer Verlag, LNCS 1390, 2007.
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Kapitel 1
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Kapitel 1.1: Einführung
Inhalt:
• Einführung in P vs. NP
• Approximationsalgorithmen
• Beispiele
– Lastbalancierung
– Zentrumswahl
– Rucksackproblem
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Kapitel 1
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P vs. NP
• Algorithmus: berechnet in endlicher Zeit
aus einer Eingabe eine Ausgabe.
Algorithmus
Eingabe
Ausgabe
• zentrales Problem: möglichst effizienter
Algorithmus (Zeit und Speicher)
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Kapitel 1
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P vs. NP
• Ein Algorithmus ist „schnell“, falls seine
Laufzeit polynomiell in der Eingabegröße
ist.
• Eingabegröße: Anzahl der Elemente der
Eingabe (z.B. Sortierproblem, Graph) oder
Anzahl Bits / Wörter, aus denen Eingabe
besteht (Multiplikation großer Zahlen)
• Polynomiell: Laufzeit ist O(nk) für eine
Konstante k bei Eingabegröße n.
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Kapitel 1
9
P vs. NP
Laufzeitvergleiche:
n
20
60
100
300
1000
5n
100
300
500
1500
5000
n log n
86
354
665
2469
9966
n2
400
3 600
10 000
90 000
1 000 000
n3
8000
216 000
1 000 000
27 000 000
1 000 000 000
2n
1 048 576
19 Stellen
31 Stellen
91 Stellen
302 Stellen
n!
19 Stellen
82 Stellen
161 Stellen
623 Stellen
unvorstellbar
nn
27 Stellen
107 Stellen
201 Stellen
744 Stellen
Unvorstellbar
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Kapitel 1
10
P vs. NP
P: Klasse aller Entscheidungsprobleme
(Anworten sind aus {Ja, Nein}), die in
polynomieller Zeit entschieden werden
können.
Beispiele: Sortiertheit einer Folge, Auswertung eines Schaltkreises, Wortproblem
für kontextfreie Sprachen, Lineare
Optimierung,…
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Kapitel 1
11
P vs. NP
NP: Klasse aller Entscheidungsprobleme
(Anworten sind aus {Ja, Nein}), für die es für
Eingaben mit Antwort Ja ein Zertifikat gibt, so
dass die Antwort in polynomieller Zeit (in der
Eingabegröße) verifiziert werden kann.
Beispiele: Erfüllbarkeit einer Booleschen Formel,
3-Färbung von Graphen, Rucksackproblem,…
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Kapitel 1
12
P vs. NP
1.1 Beispiele für Probleme in NP:
• Clique = {(G,k) | G=(V,E) ist ein Graph, der einen
vollständigen Teilgraphen aus mindestens k
Knoten besitzt}
• IS = {(G,k) | G=(V,E) ist ein Graph, in dem es eine
Knotenmenge U aus k Knoten gibt, so dass keine
zwei Knoten in U durch eine Kante in G verbunden
sind}
• Hamilton = {G | G=(V,E) ist ein Graph, der einen
Hamilton-Kreis besitzt}
(Ein Hamilton-Kreis ist ein Kreis in G, in dem jeder
Knoten genau einmal besucht wird.)
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Kapitel 1
13
P vs. NP
Offensichtlich ist P eine Teilmenge von NP.
Die 1-Million-Dollar-Frage: Ist P=NP oder nicht?
• Antwort auf diese Frage scheint sehr schwer zu
sein.
• Bisher nur Ergebnisse des Typs:
“Das kann nicht in polynomieller Zeit gelöst
werden, es sei denn, P=NP.”
• Klasse der NP-harten Probleme: sind nicht in P,
es sei denn, P=NP.
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Kapitel 1
14
P vs. NP
Zu Entscheidungsproblemen gibt es häufig
entsprechende Optimierungsprobleme.
Beispiele:
• Optimierungsvariante zu Clique: finde
vollständigen Teilgraphen maximaler Größe.
• Optimierungsvariante zu IS: finde Knotenmenge
maximaler Größe, in der kein Knotenpaar
verbunden ist.
Einsicht: Ist das Entscheidungsproblem nicht in P,
dann ist auch die Optimierungsvariante nicht in
polynomieller Zeit lösbar (und umgekehrt).
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Kapitel 1
15
P vs. NP
1.2 Definition:
Ein kombinatorisches Optimierungsproblem P ist charakterisiert durch vier
Komponenten:
– D: Menge der Eingaben
– S(I) für ein ID: Menge der zur Eingabe I
zulässigen Lösungen
– Die Bewertungsfunktion f:S(I)
IN
– ziel{min, max}
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Kapitel 1
16
P vs. NP
• Gesucht: eine zu ID zulässige Lösung
sopt  S(I), so dass
f(sopt) = ziel{ f(s) | s S(I)}
• f(s) ist der Wert der zulässigen Lösung s.
• Wir schreiben OPT(I) = f(sopt).
Für viele komb. Optimierungsprobleme ist
es schwer, OPT(I) exakt zu bestimmen.
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Kapitel 1
17
P vs. NP
1.3 Beispiel:
(a) Das Traveling Salesperson Problem
(TSP) ist charakterisiert durch:
– D={(Kn,c) | Kn ist der vollständige Graph auf
n Knoten, c:E IN sind die Kantengewichte}
– S((Kn,c)) = { C | C=(vi1,vi2,...,vin,vi1) ist ein
Hamilton-Kreis}
– f(C) = c(vin, vi1) + Sj=1n-1 c(vij, vij+1)
– min
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Kapitel 1
18
P vs. NP
1.3 Beispiel:
(b) Das Rucksackproblem ist charakterisiert
durch:
– D={ (W,vol,p,B) | W={1,...,n}, vol:W IN, B  IN,
p:W
IN und für alle w  W gilt vol(w) ≤ B}
W ist das Warenangebot, vol die Zuordnung von
Volumina zu den Waren, p die Zuordnung von
Werten und B die Kapazität des Rucksacks
– S((W,vol,p,B)) = {A  W | SwA vol(w) ≤ B}
– f(A) = SwA pw
– max
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Kapitel 1
19
Übersicht
•
•
•
•
•
P vs. NP
Approximationsalgorithmen
Lastbalancierung
Zentrumswahl
Rucksackproblem
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Kapitel 1
20
Approximationsalgorithmen
Die NP-Härte eines Entscheidungsproblems
legt nahe, dass die Optimierungsvariante
keinen effizienten Algorithmus besitzt. Man
muss sich also mit Näherungslösungen
zufrieden geben.
1.4 Definition: Sei P ein kombinatorisches
Optimierungsproblem. Ein t(n)-Zeit-Approximationsalgorithmus A berechnet zu Eingabe
ID in Zeit t(|I|) eine Ausgabe sIA  S(I). Wir
schreiben A(I) = f(sIA).
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Kapitel 1
21
Approximationsalgorithmen
• Wir wollen natürlich nach t(n)-Zeit-Approximationsalgorithmen suchen, für die
– t(n) polynomiell in n ist und
– f(sIA) möglichst nah an OPT(I) ist.
Ziele:
• Bestimme untere und obere Schranken für
Approximationsgüte des Algorithmus
• Bestimme untere Schranken für die erreichbare
Approximationsgüte des Problems
• Bestimme Heuristiken, die in der Praxis gut
funktionieren ( Benchmarks)
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Kapitel 1
22
Übersicht
•
•
•
•
•
P vs. NP
Approximationsalgorithmen
Lastbalancierung
Zentrumswahl
Rucksackproblem
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Kapitel 1
23
Lastbalancierung
Eingabe: m identische Maschinen, n Jobs. Job i hat Laufzeit ti.
Einschränkungen:
• Ein einmal ausgeführter Job muss bis zum Ende auf derselben
Maschine ausgeführt werden.
• Jede Maschine kann höchstens einen Job gleichzeitig bearbeiten.
1.5 Definition: Sei J(i) die Teilmenge der Jobs, die Maschine i
zugewiesen werden. Dann ist Li = jJ(i) tj die Last der Maschine i.
1.6 Definition: Der Makespan L ist die maximale Last einer Maschine,
d.h. L = maxi Li
Lastbalancierung: finde Zuweisung, die Makespan minimiert
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Kapitel 1
24
Lastbalancierung: List Scheduling
List-Scheduling Algorithmus:
• Betrachte n Jobs in einer festen Reihenfolge
• Weise Job j der Maschine mit z.Zt. geringster Last zu
List-Scheduling(m, n, (t1,…,tn)):
for i:=1 to m do
Li := 0; J(i):=;
for j:=1 to n do
i:=argmink Lk
// wähle Maschine mit kleinster Last
J(i):=J(i)  {j}
// weise dieser Job i zu
Li:=Li + tj
return (J(1),…,J(m))
Laufzeit: O(n log m) mit Priority Queue
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Kapitel 1
25
Lastbalancierung: List Scheduling
1.7 Satz (Graham): List Scheduling ist 2-approximativ (d.h. für alle
Eingaben I ist List-Scheduling(I)  2OPT(I) ).
 vergleiche Güte des Algorithmus mit optimalem Makespan L*
1.8 Lemma: L* ≥ maxj tj
Beweis: Eine Maschine muss den zeitintensivsten Job bearbeiten.
1.9 Lemma: L* ≥ (1/m) j tj
Beweis:
• Die Gesamtlast ist j tj
• Eine der m Maschinen muss mindestens 1/m der Gesamtlast
bekommen.
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Kapitel 1
26
Lastbalancierung: List Scheduling
1.10 Satz: List Scheduling ist 2-approximativ.
Beweis:
• Betrache Maschine i mit höchster Last Li.
• Sei j der letzte Job in Maschine i.
• Da Job j Maschine i zugeordnet wurde, hatte i vorher die
kleinste Last. Es gilt also Li – tj ≤ Lk für alle k.
vor j
nach j
j
Li - tj
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Li
Kapitel 1
27
Lastbalancierung: List Scheduling
Beweis (Forsetzung):
• Es gilt: Li-tj ≤ Lk für alle k{1,…,m}
• Daraus folgt:
Li – tj ≤ (1/m) 1km Lk
= (1/m) 1kn tk
≤ L*
(Lemma 1.9)
• Also gilt wegen Lemma 1.8:
Li = (Li-tj) + tj ≤ 2L*
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Kapitel 1
28
Lastbalancierung: List Scheduling
Ist die Analyse scharf? Ja!
Beispiel: m Maschinen, m(m-1) Jobs der Länge 1,
ein Job der Länge m
m=10
Makespan = 19
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Kapitel 1
29
Lastbalancierung: List Scheduling
Ist die Analyse scharf? Ja!
Beispiel: m Maschinen, m(m-1) Jobs der Länge 1,
ein Job der Länge m
m=10
Optimaler Makespan = 10
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Kapitel 1
30
Lastbalancierung: LPT Regel
Longest Processing Time (LPT): Sortiere die n Jobs in
absteigender Reihenfolge und führe dann den List
Scheduling Algorithmus aus.
LPT-List-Scheduling(m, n, (t1,…,tn)):
sortiere Jobs, so dass t1≥t2≥…≥tn
for i:=1 to m do
Li := 0; J(i):=;
for j:=1 to n do
i:=argmink Lk
J(i):=J(i)  {j}
Li:=Li + tj
return (J(1),…,J(m))
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Kapitel 1
31
Lastbalancierung: LPT Regel
Beobachtung: Wenn es höchstens m Jobs gibt, dann ist
List Scheduling optimal.
Beweis: Weise jedem Job eigene Maschine zu.
1.11 Lemma: Falls es mehr als m Jobs gibt, dann ist
L*≥2tm+1.
Beweis:
• Betrachte die ersten m+1 Jobs t1,…,tm+1
• Da die ti’s absteigend sortiert sind, benötigt jeder dieser
Jobs mindestens tm+1 Zeit.
• Bei m+1 Jobs muss eine Maschine mindestens zwei
Jobs erhalten.
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Kapitel 1
32
Lastbalancierung: LPT Regel
1.12 Satz: Die LPT Regel liefert eine 3/2-Approximation.
Beweis:
Falls die Maschine i mit größter Last nur einen Job hat, ist
LPT offensichtlich optimal.
Sonst gilt für den letzten Job j auf Maschine i, dass j  m+1
und damit nach Lemma 1.11:
Li = (Li – tj) + tj
 L* + (1/2)L*
 (3/2)L*
Ist 3/2 scharf? Nein!
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Kapitel 1
33
Lastbalancierung: LPT Regel
1.13 Satz: (Graham): Die LPT Regel ist eine 4/3Approximation.
Beweis: aufwändig
Satz 1.13 ist im Wesentlichen scharf.
Beispiel: m Maschinen, n=2m+1 Jobs: jeweils 2
Jobs der Länge m+1,m+2,…,2m und ein Job der
Länge m
Vergleich zu OPT: Übung.
08.04.2015
Kapitel 1
34
Übersicht
•
•
•
•
•
P vs. NP
Approximationsalgorithmen
Lastbalancierung
Zentrumswahl
Rucksackproblem
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Kapitel 1
35
Zentrumswahl-Problem
Eingabe: Menge von n Orten s1,…,sn und eine Zahl kIN.
Zentrumswahl-Problem: Wähle k Zentren C, so dass die
maximale Distanz eines Ortes zum nächsten Zentrum
minimal ist.
k=4
: Zentrum
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Kapitel 1
36
Zentrumswahl-Problem
Eingabe: Menge von n Orten s1,…,sn und eine Zahl kIN.
Zentrumswahl-Problem: Wähle k Zentren C, so dass die maximale
Distanz eines Ortes zum nächsten Zentrum minimal ist.
Notation:
• dist(x,y) = Distanz zwischen x und y
• dist(si, C) = mincC dist(si,c) = Distanz von si zum nächsten Zentrum
• r(C) = maxi dist(si, C) = kleinster Überdeckungsradius
Wir nehmen an, dist ist eine Metrik, d.h.
• dist(x,x) = 0
(Identität)
• dist(x,y) = dist(y,x)
(Symmetrie)
• dist(x,y)  dist(x,z) + dist(z,y) (Dreiecksungleichung)
08.04.2015
Kapitel 1
37
Zentrumswahl-Problem
Beispiel: jeder Ort ist ein Punkt im 2-dimensionalen Euklidischen Raum, dist(x,y) = Euklidische
Distanz
k=4
: Zentrum
08.04.2015
Kapitel 1
38
Zentrumswahl: Greedy Algorithmus
Greedy Algorithmus: Setze das erste Zentrum an der
bestmöglichen Stelle für ein einzelnes Zentrum, füge
dann Zentren hinzu, um den Überdeckungsradius
möglichst stark zu verkleinern.
Kann beliebig schlecht werden!!
Beispiel: k=2
erstes Zentrum
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Kapitel 1
39
Zentrumswahl: Greedy Algorithmus
Greedy Algorithmus: wähle wiederholt als nächstes Zentrum den Ort si mit maximaler Distanz
zu allen bisherigen Zentren
Greedy-Center-Selection(k, n, (s1,s2,…,sn)):
C:=;
wiederhole k-mal
wähle Ort si mit maximalem dist(si,C)
C:=C  {si}
return C
Bemerkung: erstes Zentrum ist beliebiger Ort si
08.04.2015
Kapitel 1
40
Zentrumswahl: Greedy Algorithmus
Bemerkung: Zentren in C sind mindestens r(C) entfernt voneinander
Beweis: r(C) sinkt monoton, jeweils minimale paarweise Entfernung
1.14 Satz: Sei C* die optimale Wahl der Zentren. Dann ist
r(C) ≤ 2r(C*).
Beweis (durch Widerspruch):
• Angenommen, r(C*) < r(C)/2.
• Betrachte die Kreise mit Radius r(C)/2 um jedes ci C.
• Es muss genau ein cC* im Kreis von jedem ci geben (siehe
Bemerkung und Annahme); wir nennen dieses Zentrum c*i
• Betrachte einen beliebigen Ort s und sei c*i sein nächstes Zentrum
in C*. Es gilt:
dist(s,C)  dist(s,ci)  dist(s,c*i) + dist(c*i,ci)  2r(C*)
• Also ist r(C)  2r(C*), ein Widerspruch zur Annahme
08.04.2015
Kapitel 1
41
Zentrumswahl
Wir wissen: Der Greedy Algorithmus ergibt
eine 2-Approximation.
Gibt es auch Polynomialzeitalgorithmen mit
Approximationsgüte 3/2? Oder 4/3?
1.15 Satz: Sofern nicht P=NP ist, gibt es
keinen Polynomialzeitalgorithmus mit
Approximationsgüte < 2 für die Zentrumswahl (für k>2).
08.04.2015
Kapitel 1
42
Übersicht
•
•
•
•
•
P vs. NP
Approximationsalgorithmen
Lastbalancierung
Zentrumswahl
Rucksackproblem
08.04.2015
Kapitel 1
43
Rucksack-Problem
Rucksack-Problem:
• Gegeben sind n Objekte und ein Rucksack
• Objekt i hat Wert pi>0 und wiegt voli>0
• Der Rucksack kann max. Gesamtgewicht B tragen.
Ziel: fülle Rucksack mit Objekten mit max. Gesamtwert
Beispiel: B=11
{3,4} hat Wert 40
08.04.2015
Objekt
Wert
Gewicht
1
1
1
2
6
2
3
18
5
4
22
6
5
28
7
Kapitel 1
44
RP: Greedy Verfahren
Greedy Strategie:
• Berechne Profitdichten d1=p1/vol1,.., dn=pn/voln
• Sortiere Objekte nach Profitdichten
• Angefangen von dem Objekt mit höchster
Profitdichte, füge Objekte zu Rucksack hinzu,
bis kein Platz mehr da
Problem: Greedy Strategie kann weit vom
Optimum entfernt liegen
08.04.2015
Kapitel 1
45
RP: Greedy Verfahren
Beispiel: zwei Objekte mit p1=1 und p2=B-1
und vol1=1 und vol2=B, Rucksackkapazität
ist B
Greedy-Methode: berechnet d1=1 und d2 =
1-1/B und wird nur Objekt 1 in Rucksack
packen, da Objekt 2 nicht mehr passt
Optimale Lösung: packe Objekt 2 in Rucksack (viel besser da Wert B-1 statt 1)
08.04.2015
Kapitel 1
46
RP: Greedy Verfahren
Verbesserte Greedy-Methode:
• Seien die Objekte 1 bis n absteigend nach
Profitdichte sortiert
• Bestimme maximale Objektmenge {1,…,i}
wie bisher mit ji volj  B
• Gib entweder {1,…,i} oder {i+1} aus, je
nachdem, welche Menge den maximalen
Wert hat
08.04.2015
Kapitel 1
47
RP: Greedy Verfahren
1.16 Satz: Die Lösung der verbesserten GreedyMethode ist höchstens einen Faktor 2 von der
optimalen Lösung entfernt.
Beweis:
• Wenn beliebige Bruchteile der Objekte gewählt
werden könnten, wäre die optimale Lösung
{1,…,i+1}, wobei von Objekt i+1 nur der Bruchteil
genommen wird, der noch in den Rucksack
passt.
• Für den optimalen Wert OPT gilt demnach:
OPT  ji+1 volj.
• Also ist max{ji volj, voli+1}  OPT/2
08.04.2015
Kapitel 1
48
Fragen?
08.04.2015
Kapitel 1
49
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