Bilderbuch 5-Teil 2 - Fakult at f ur Physik
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Vektoraddition Vektorzerlegung Vektoraddition Vektorzerlegung N F# Α Α "! F " # mg Fs 25 Vektoraddition Vektorzerlegung 26 Kraftwirkung bei Drehungen Drehmoment Eine im Schwerpunkt angreifende Kraft bewirkt nur eine Beschleunigung des Schwerpunktes und damit des gesamten starren Körpers. Greift eine Kraft außerhalb des Schwerpunktes an so entsteht ein Drehmoment. 27 28 Drehmoment m1 Gleichgewichtsbedingung ”r S 1S ”r 2S Drehmoment F2 m2 S F~1 = F~2 = ~1+M ~2=0 M ~ 2 = ~r2S ⇥ F~2 und M Vergleich Translation und Rotation r v = ṙ m p = mv F = ṗ 1 2 R2 mv F dr . m r̈ = F bei konstanter Kraft: F ṙ = m t + C1 F 2 r = 2m t + C1 t + C2 ROTATION Winkel: Winkelgeschwindigkeit: Trägheitsmoment: Drehimpuls: Drehmoment: kinetische Energie: Arbeit: F~3 F1 P1 F3 ~ S = ~riS ⇥ F~1 M Für einen starren Körper gelten zwei Gleichgewichtsbedingungen: P 1. Die Summe aller äußeren Kräfte muss verschwinden, i F~i = 0. 29 TRANSLATION Ort: Geschwindigkeit: Masse: Impuls: Kraft: kinetische Energie: Arbeit: ”r 1S F2 F1 ~ 1 = ~r1S ⇥ F~1 M Kräftepaar 2. Die Summe aller Drehmomente jeden beliebigen P bezüglich ~ i = 0. Punktes muß verschwinden, i M Drehmoment K rot = ' ! = '˙ I L=I! M = L̇ 1 2 R2 I ! M d' X1 i K rot = X1 i I '¨ = M bei konstantem Drehmoment: '˙ = M I t + C1 2 '= M 2I t + C1 t + C2 2 2 2 mi viS mi ri2 ! 2 = 30 und kinetische Energie ~viS = ! ~ ⇥ ~riS viS = ! ri 1 I !2 2 w S ”r iS ri mi dWi = Fi dsi = Fi riS d' = Mi d' 31 32 Rollende Körper schiefe Ebene schiefe Ebene F!! R Β F!! FN M = mg R sin Β F!! Rollende Körper Β F " # mg FN Β F " # mg R sinΒ FN F " # mg Β a= d2 s M = R '¨ = R 2 dt I 33 Rollende Körper Maxwellsches Rad ! 2r z Kreiselbewegungen d' = dL =M L "! L mg ~b dz = rd' dz d' =r dt dt a = z̈ = r '¨ = r Präzession "! L R j r IS , m 34 M ~g M mg r g =r = 2 I IS + m r 1 + IS /(m r2 ) kräftefreier Kreisel Satz von Steiner 35 Präzession auf Grund des Drehmomentes ~ = M ~g ⇥ ~b M 36 Kreiselbewegungen Nutation Kreiselbewegungen K rot = "! L "! L Molekül als Kreisel 1 L2 N (N + 1)~2 = 2 I 2I N ist ganzzahlig ! Änderung der Rotationsenergie K rot (N ) K rot (N 1) = ~! = h⌫ beobachtbar als Infrarot Photon der Energie h⌫ Aus der Photonenenergie h⌫ = NI~ lernt man das Trägheitsmoment ) Struktur des Moleküls. Präzession und Nutation Präzession 37 Reibungskräfte Haftreibung Reibungskräfte Kugel in viskoser Flüssigkeit FH Strömungswiderstand schnell fallendes Objekt Haftreibung F»» ~H | = µH · |F ~N | |F b b 38 FN FG=-m g F~R = 6⇡⌘ r ~v Gleitreibung ⌘ = Zähigkeit r = Kugelradius ~G | = µG · |F ~N | |F ⇢ FS = c w v 2 A 2 cw = Widerstandsbeiwert A = Querschnittsfläche ⇢ = Dichte der Luft Rollreibung ”Stokes Reibung” ~R | = µR · |F ~N | |F 39 40 Kreisbewegung gleichförmig d✓ dt v? ⌘ R ”r R ` q v cos q v sin q v¶ Fliehkräfte gibt es Fliehkräfte? Federwaage zeigt keine Beschleunigung an r` v¶ r` m qHtL ~v (t) = ~a(t) = vx (t) vy (t) = v? d~v d = v? dt dt ~a(t) = sin ✓ + cos ✓ sin ✓ + cos ✓ 2 v? r̂ R 0 g = v? ✓ˆ = v? Erde cos ✓ sin ✓ Astronaut : findet sich schwerelos und schließt: Meiner Gravitationskraft wird durch eine entgegengesetzt große Zentrifugalkraft die Waage gehalten d✓ dt r̂ 41 Fliehkräfte gibt es Fliehkräfte? 42 überhöhte Kurven Haftkräfte der Autoreifen erzwingen die Kreisbeschleunigung zur Linkskurve gibt es Fliehkräfte? FA sinq FA FA q zentrifugal R v R zentripetal -m g -m g R Ahnungslose am Dach bewegen sich geradlinig weiter Im Auto kommt uns die Tür mit der Kreisbeschleunigung v 2 /R näher. 43 FA sin ✓/m = v 2 /R zwingt das Flugzeug auf eine Kreisbahn 44 Auto auf einer Kuppe gibt es Fliehkräfte? Parabelflug gibt es Fliehkräfte? z FR v FM v 7.5 km 650 km/h R m4 47 Grad FG x 2 8.4 km 390 km/h FN z x 810 km/h 3 2 3 0 FM FR 5=4 5 0 0 2 v /R mg + FN Schub reduziert : 2-5% von g FN = mg mv 2 /R http://www.esa.int/esaHS/SEM8WZ8YFDD_research_0.html 45 Motorrad in der Kurve F FN gibt es Fliehkräfte? 46 Form der Erde Referenzellipsoid WGS84 F FN CM Deformation CM 21 km Fr r Dm g FH FH FG Dm r w2 FG w http://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/wgs84fin.pdf http://satgeo.zum.de/satgeo/methoden/anwendungen/satgeo_gravitation/images/geoid.jpg 47 48 Form der Erde Geoid EGM96 Geoid Geoid EGM96 Geoid Äquipotentialfläche Darstellung als Referenz Ellipsoid + Korrekturen Form der Erde Äquipotentialfläche Darstellung als Referenz Ellipsoid + Korrekturen mittlere Ozeanoberfläche in Ruhe relativ zur rotierenden Erde a = 6378137.0 m b = 6356752.3141 m mittlere Ozeanoberfläche in Ruhe relativ zur rotierenden Erde a = 6378137.0 m b = 6356752.3141 m from Wikipedia: Geoid ω = 7.292115 × 10−5 ω = 7.292115 × 10−5 gpol = 9.8321849378 m/s2 gpol = 9.8321849378 m/s2 gäqu = 9.7803253359 m/s2 gäqu = 9.7803253359 m/s2 1 gal = 1 cm/s2 GM = (3986004.418 ± 0.008)× 108 m3/s2 GM = (3986004.418 ± 0.008)× 108 m3/s2 http://en.wikipedia.org/wiki/EGM96 “ entlang dem Geoid würde man nie spüren, dass er rauf und runter geht ” 49 Form der Erde Kreiselbewegung Polarstern (1950) * Ωp 23 50 Planetenbahnen Keplersche Gesetze 1) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen mit der Sonne in einem Brennpunkt. x2 y 2 + 2 =1 a2 b Erdachse b a e◊a a a r o 2) Der Ortsvektor von der Sonne überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen Ekliptik Sonne A1 = A2 Präzession Platonisches Jahr = 26000 a 3) Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachse + Nutation mit Periode von 18 a T 2 /a3 = const 51 Dt A2 A1 Dt ✏ = numerische Exzentrizität 52 Flächensatz Planetenbahnen Energieerhaltung beim Flug in die Sonne : Drehimpuls = 0 2) Der Ortsvektor von der Sonne überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen 1 |~r| · |~v 2 1 E = V (r) + mṙ2 = const 2 A1 Dt t| · sin ↵ und damit L +D t rHt m1 m2 Mm Gr m1 m2 >0 2 4 6 Abstand r r 8 10 t DA VHrL=-G V (r) = vD dA 1 1 ~ = |~r ⇥ p~| = |L| = const. dt 2m 2m 0 0 kinetische Energie der Translation K=K(t) v Dt sina A= Dt A2 potentielle Energie VHrL Planetenbahnen j a rHtL 53 Planetenbahnen Bahnkurven L2 1 E = V (r) + + mṙ2 = const 2 2mr 2 effektives Potential Gravitation + Zentrifugalterm d' L = dt mr2 d' = Z Kegelschnitte Kegelschnitt 0.0 hyperbolic 1 1 + ✏ cos ' = r a(1 ✏2 ) elliptical -0.2 E -0.4 -0.6 -0.8 E>0)✏>1 E<0)✏<1 circular VHrL 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r Harbitrary unitsL 0.0 hyperbolic elliptical -0.2 E -0.4 -0.6 -0.8 circular VHrL 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r Harbitrary unitsL aus L = I(t)!(t) = const dr ⇥ 2 = E dt m Z Planetenbahnen Veff = VHrL + L2 ê 2 m r 2 Veff = VHrL + L2 ê 2 m r 2 1) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen mit der Sonne in einem Brennpunkt. 54 dr V (r) L2 ⇤1/2 2mr2 L 2 E mr2 m V (r) ✏>1 L2 2mr2 1/2 Lösungen dieses elliptischen Integrals sind Kegelschnitte 55 ✏=1 ✏<1 ✏=0 effektives Potential Ve↵ = V (r) + L2 2mr2 56
