Das Leerscript Physik - Technische Hochschule Mittelhessen

Das Leerscript Physik
Prof. Dr. U. Hoeppe, FB MND, Technische Hochschule Mittelhessen
INHALT
1
Leerscript - Physik Vorbemerkungen
1.1
1.2
1.3
1.4
Allgemeines
Einheiten
Messungen
Mathematische Grundlagen/Schreibweisen
2
Mechanik
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.5
2.5.1
2.5.2
2.6
2.6.1
2.6.2
2.6.3
2.6.4
2.6.5
2.7
2.7.1
2.7.2
2.8
2.8.1
2.8.2
2.9
Kinematik
Bezugssysteme, Koordinatensysteme
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Weg-Zeit-Diagramme
Überlagerte Bewegungen
Kreisbewegung
Kraft und Masse - Newtons Axiome
Trägheitsprinzip
Aktionsprinzip
Reaktionsprinzip
Gewichtskraft
Gravitationsgesetz
Reibungskräfte
Arbeit und Energie
Arbeit
Kinetische Energie
Potentielle Energie
Energieerhaltung
Impuls
Definition
Impulsänderung bzw. Impulsübertragung
Impulserhaltung
Elastischer Stoß
Inelastischer Stoß
Dynamik von Körpern
Dichte
Schwerpunkt
Drehmoment und Drehimpuls
Drehmoment
Drehimpuls
Trägheitsmomente
Satz von Steiner
Drehimpulserhaltung
Rotationsenergie
Reine Rotation
Rollbewegung
Mechanik der Flüssigkeiten
Hydrostatik
Hydrodynamik
Aerodynamik
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
2
3.
Wärmelehre
3.1
3.3
3.4
3.5
3.6
3.6.1
3.6.2
Wärme und Temperatur
Das ideale Gas
Wärmeleitung
Spezifische Wärme und Mischungstemperatur
Die Hauptsätze der Thermodynamik
Der erste Hauptsatz
Der zweite Hauptsatz
4.
Elektrizität und Magnetismus
4.1
4.2
4.3
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
4.3.5
4.4
4.5
4.5.1
4.5.2
4.5.3
4.5.4
4.6
4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.6.4*
4.6.5
4.7
4.7.1*
4.7.2*
4.7.3*
4.7.4*
4.7.5*
4.8
4.8.1*
4.8.2*
4.8.3*
4.9
4.9.1
4.9.2
4.9.3
4.9.4*
4.10*
4.11*
Elektrische Ladung
Coulombgesetz
Elektrisches Feld
Definition, Feldlinien
Elektrisches Potential
Feld als Gradient des Potentials
Gaußscher Satz des elektrischen Feldes
Kapazität
Elektrischer Dipol
Elektrischer Strom
Definition
Ohmsches Gesetz
Spezifischer Widerstand
Anmerkungen
Magnetismus
Magnetfelder stationärer Ströme: Amperesches Gesetz
Magnetische Induktion
Lorentzkraft
Hall Effekt
Magnetische Dipole
Materie im elektrischen Feld
Orientierungspolarisation
Ionische Polarisierbarkeit αIon: p = αIon ε0 E
Elektronische Polarisierbarkeit α∞: p = α∞ ε0 E
Dispersion
Ferroelektrizität
Materie im magnetischen Feld
Paramagnetismus: χm > 1
Diamagnetismus: χm < 1
Ferromagnetismus: χm >> 1
Elektromagnetische Induktion
Magnetischer Fluß
Induktionsgesetz von Faraday
Wechselstromgenerator
Selbstinduktion und Induktivität
Maxwellgleichungen
Stetigkeitsbedingungen
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
3
5
Schwingungen
5.1
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.3
5.4
5.5
5.6
Einleitung
Freie ungedämpfte harmonische Schwingung
Federpendel
Fadenpendel
Physisches Pendel, Drehpendel
Freie gedämpfte Schwingung
Erzwungene gedämpfte Schwingung
Elektrischer Schwingkreis
Gekoppelte / überlagerte Schwingungen
6
Wellen
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.9.1
6.9.2
6.9.3
6.9.4
6.10
6.11
Einleitung
Harmonische ebene Welle
Intensität einer Welle
Wellenausbreitung und Intensität
Überlagerung von Wellen - Dopplereffekt
Reflexion von Wellen
Stehende Wellen
Interferenz
Beugung
Beugung am Spalt
Beugung am Doppelspalt
Beugung am Gitter
Auflösungsvermögen optischer Geräte
Brechung
Dispersion
7
Optik
7.1
7.1.1
7.1.2
7.1.3
7.1.4
7.2
7.2.1
7.2.2
Strahlenoptik
Fermat’sches Prinzip
Optische Linsen
Bildkonstruktion
Optische Geräte
Quantennatur des Lichts
Photoeffekt
Teilchen-Welle Dualismus; Materiewellen
8
Aufbau der Materie
8.1
8.1.1
8.2
8.2.1
8.2.2
8.3
Atomphysik
Atommodelle
Kernphysik
Aufbau von Atomkernen
Radioaktiver Zerfall
Kernenergie und Massendefekt
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Hoeppe, 2011
4
1
Vorbemerkungen
1.1 Allgemeines
Naturwissenschaften
Naturgesetze =
verallgemeinerte Erfahrungstatsachen,
nicht zurückführbar auf grundlegendere
Aussagen / „Gesetzmäßigkeiten“
Physik: „Lehre von den unbelebten Körpern“
Themen:
• Struktur (von Raum und Materie)
• Bewegung (zeitliche Abläufe im Raum)
• Wechselwirkung (z.B. Strahlung - Materie)
Begriffe:
• Raum, Zeit
• Kraft
• Energie, Entropie
Prinzipien:
Methoden:
• Kausalität (Zeitpfeil)
• Erhaltungssätze
• Beobachtung
• Experimente
• Mathematik
Physik 4 + 2
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5
1.2 Einheiten
Physikalische Größe
G = {G} · [G]
{G} Zahlenwert von G
[G] Einheit von G
Art der Größe: Dimension, z.B. Länge, Zeit, Ladung, Geschwindigkeit
Willkürlich festgelegte Basisgrößen:
SI - Einheiten
Basisgröße
Länge
Masse
Zeit
el. Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Abkürzungen für Dezimalfaktoren
Name
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Candela
Zeichen
m
kg
s
A
K
cd
Abgeleitete Größen / Einheiten (Beispiele):
Kraft:
-2
1 Newton = 1 N = 1 kg⋅ m⋅ s
Arbeit / Energie:
1 Joule = 1 J = 1 N⋅ m = kg⋅ m2⋅ s-2
Leistung:
1 Watt = 1 J⋅ s-1 = kg⋅ m2⋅ s-3
Elektr. Spannung:
1 Volt = 1 W ⋅ A-1 = 1 J⋅ s-1⋅ A-1
1018
1015
1012
109
106
103
102
Exa [E]
Peta [p]
Tera [T]
Giga [G]
Mega [M]
Kilo [k]
Hekto [h]
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
Dezi [d]
Centi [c]
Milli [m]
Mikro [µ]
Nano [n]
Pico [p]
Femto[f]
Atto [a]
Definition von Basiseinheiten durch Vergleichsmaßstab:
Beispiel: Zeit
„Natürliche“ Einheiten:
- Jahr (Erdumlaufbahn)
- Tag (Erdrotation)
- Stunde, Sekunde (Uhren: Sonnenuhr, Stundengläser, Sanduhren, Pendel
Quarzuhr ± 10-10 , NH3-Molekülschwingung ~ 24 GHz, )
1967:
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Eine Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem
Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus im Grundzustand
des 133Cs Atoms entsprechenden Strahlung.
( ± 10-13 )
6
Beispiel: Länge
„Natürliche“ Einheiten: Zoll, Fuß, Ellen, Tagesmärsche, ...
1799 - 1960: Urmeter in Paris durch Pt-Ir-Standard
(± 10-6)
1960:
Vielfaches der Wellenlänge einer bestimmten, scharfen
(± 10-8)
Spektrallinie von 86Kr
1974:
Ein Meter ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in der Zeit
1/299792458 s zurücklegt.
Damit beträgt die Vakuumlichtgeschwindigkeit per Definition
c0 = 299792458 m/s .
Beispiel: Masse
1889:
Ein Kilogramm entspricht der Masse, welche dem Prototyp
aus Pt-Ir in Paris entspricht.
Der Vergleich zweier Massen ist mit einer (unkalibrierten) Waage möglich.
Stoffmenge Mol
1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems, welches aus ebensoviel
Teilchen besteht, wie in 0,012 kg 12C enthalten sind.
Diese Zahl ist die Avogadrozahl NA = 6,02214 ·1023 mol-1 .
(→ Ein Mol Stoff wiegt das Atomgewicht in g)
Atomare Masseneinheit
Eine atomare Masseneinheit 1 u entspricht 1/12 der Masse eines 12C Atoms.
Mit der Def. des Mols folgt:
1u =
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g
1
⋅
= 1,6605 ⋅ 10 − 27 kg
N A mol
7
1.3 Messungen
Die Durchführung einer Messung bedeutet die
Bestimmung einer physikalischen Größe durch
Vergleich mit einem geeigneten Standard.
Bsp.: Längenmessung
Meterstab
Schieblehre
Mikrometerschraube
Hochwertige Messuhr/
induktiver Messtaster
±
±
±
±
±
1 mm
0,1 mm
0,01 bis ± 0,002
0,002 bis ± 0,001 = 1 µm
0,0001 m = 0,1 µm
Messungen sind immer fehlerbehaftet (→ Mikrokosmos, Unschärferelation) :
Darstellung von Messergebnissen
Beispiele:
→ Angabe des Messfehlers
(13,5 ± 1,3) mm
→ Zahl der Nachkommastellen
nicht: 13,5146 mm ± 1,3246 mm
→ Zehnerpotenzen
(1,23 ± 0,14)·10-5 m = (12,3 ± 1,4) µm
nicht: 0,00001 m ± 1,4·10-6 m
→ Zahl der relevanten Stellen
( Vorsicht: Runden, Fehler, Potenzen... )
12,34·10-4 = 0,001234
hier vier Stellen relevant
Messung großer Entfernungen:
a) Laufzeitmessungen
Bsp.: Gewitter, Laufzeitdifferenz von Licht und Schall
cLicht >> cSchall = ∆x / ∆t →
∆x = cSchall · ∆t ≅ 330m/s · ∆t
Bsp.: Radarmessungen, Laufzeitmessung von am Objekt reflektierten R.-Impulsen
Zu beachten: Puls durchläuft Abstand d zweimal:
cRradar = cLicht = ∆x / ∆t = 2·d / ∆t →
d = ½· cLicht · ∆t ≅ ½· 2,998·108 m/s · ∆t
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8
b) Triangulation
Sinussatz aus Geometrie:
Winkelsumme in bel. Dreieck
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
α + β + γ = 180°
Für den Abstand a ergibt sich:
a = sin α ⋅
c
sin α
= c⋅
sin γ
sin(180° − α − β )
für α oder β = 90° ergibt sich vereinfacht:
a = c ⋅ tan α
Bsp.aus Astronomie: Messung von Entfernungen zu anderen Sternen
kleine Winkel → große Basis nötig:
Abstand Erde - Sonne = Astronomische Einheit: 1 AE = 149,6 ·106 km
(vgl. auch jährliche Parallaxe)
Entfernung entsprechend einem Beobachtungswinkel von einer Bogensekunde:
p ≅ tan p =
r 1AE
=
x
x
→
x=
1AE
p
bzw. 1 pc =
1AE
1' '
Parallaxensekunde = 1 parsec = 1 pc = 3,086 · 1016 m
16
Dagegen entspricht ein Lichtjahr 1 La = 0,946 · 10
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- 1 pc = 3,262 La
m
9
1.4 Mathematische Grundlagen/Schreibweisen:
Größen:
- Skalare
Bsp.:
- Vektoren
Bsp.:
- (Tensoren
Bsp.:
T
r
F
t
J
Temperatur, Zahl
Kraft, Zahlentripel
Trägheitstensor, Matrix)
Funktionen (einer Veränderlichen):
- Quadratische Gleichungen
x + p⋅x+ q = 0 →
2
x1, 2
p
=− ±
2
2
⎛ p⎞
⎜ ⎟ −q
⎝2⎠
- Differentiation (Tangentensteigung)
∆f ( x) df ( x) d
=
=
f ( x)
∆x →0 ∆x
dx
dx
f ′( x) = lim
;
dA(t ) d
= A(t ) = A&
dt
dt
- Integration (Fläche unter einer Kurve)
F ( x) = lim ∑ y ( xi ) ⋅ ∆xi = ∫ y ( x) dx
∆x →0
i
d
f ( x) = f ′( x) → ∫ f ′( x) dx = f ( x)
dx
Spezielle Funktionen
- sin, cos, tan, (→ Einheitskreis, s.u.)
- log, lg, ln, e, dB
lg( x) = log10 ( x)
f ( x) = 10 x ↔ x = lg( f ( x)) Bsp.: pH-Wert , dB, phon
ln( x) = log e ( x)
f ( x) = e x ↔ x = ln( f ( x))
e = 2,71828...
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1
∫ x dx = ln( x) + c
Bsp.: Zerfallsgesetz, Eindringtiefe, ...
10
Geometrie
- Winkel (→ Einheitskreis, “DEG, RAD, GRAD“ )
- Raumwinkel (→ Einheitskugel)
Raumwinkel: Ω =
A Flächensegment
=
r2
Radius 2
Einheit: Steradiant sr
4π r 2
= 4π
Vollwinkel: Ω =
r2
Vektoroperationen
r r
- Skalarprodukt Bsp.:
Arbeit W = F ⋅ x = F ⋅ x ⋅ cos(α )
- Vektorprodukt Bsp.:
r r r
D
= r ×F
Drehmoment:
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r r r
D = r ⋅ F ⋅ sin α
11
2
Mechanik
2.1 Kinematik
2.1.1
Bezugssysteme, Koordinatensysteme
Ortsvektor: beschreibt den Ort eines Punktes (Teilchens) im Raum
bzw. 3-dim:
Der Ortsvektor ist i.A. zeitabhängig, die Bahn des Ortsvektors im Raum
bezeichnet man als Bahnkurve.
Die Wahl des Bezugssystems ist beliebig, solange die Systeme zueinander in Ruhe
oder relativ zueinander in geradliniger gleichförmiger Bewegung sind.
(→Inertialsysteme)
Beispiele:
Kartesische Koordinaten
Polarkoordinaten/Zylinderkoordinaten
dF = dx dy
dF = r dϕ
dV = dx dy dz
dV = r dϕ dz
2.1.2
Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit beschreibt die zeitliche Veränderung des Ortsvektors:
1-dim.:
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3-dim.:
12
In Worten
Geschwindigkeit = Weg / Zeit
Messung von Geschwindigkeiten:
entspricht der Ortsmessung eines Objektes zu zwei verschiedenen Zeiten,
bzw. Messung der Zeiten an zwei verschiedenen durchlaufenen Orten.
Addition von Geschwindigkeiten (nichtrelativistisch):
Sind zwei Bezugssysteme Σ und Σ’ zueinander mit der Geschwindigkeit v0 bewegt,
so gilt
2.1.3
Beschleunigung
Die Beschleunigung beschreibt die zeitliche Veränderung der Geschwindigkeit
1-dim.:
3-dim.:
Bsp.: Erdbeschleunigung:
Ein Körper wird im freien Fall durch die Erdanziehung, bei Vernachlässigung von
Reibung und in Nähe der Erdoberfläche) konstant mit g = 9,81 m⋅s-2 beschleunigt.
Physik 4 + 2
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13
2.1.4 Weg-Zeit-Diagramme
Bei bekannter Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung ergibt sich umgekehrt
jeweils Ort bzw. Geschwindigkeit aus Integration:
v=
dx
dt
→
x (t ) = ∫ v (t ) ⋅ dt
und
a=
dv
dt
→
v (t ) = ∫ a (t ) ⋅ dt
a) Stillstand (d.h. v = 0, a = 0)
→ x(t) =
b) Bewegungen mit const. Geschwindigkeit (d.h. v = v0 = const, a = 0)
→ v(t) =
→ x(t)=
c) Bewegungen mit const. Beschleunigung (d.h. a = a0 = const)
→ v(t) =
→ x(t)=
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2.1.5 Überlagerte Bewegungen
→ i.A. nichtgeradlinige Bewegung, z.B.:
Schräger Wurf:
bei t = 0 gelte: x = 0, y = 0, v = v0
Wurfparabel y(x):
Wurfweite L:
Flugdauer T:
Wurfhöhe H:
Maximale Wurfweite L(α):
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15
2.1.6 Kreisbewegung
Betrachte Punkt, welcher sich mit der Bahngeschwindigkeit v
auf einer Kreisbahn mit dem Radius r bewegt:
Bahngeschwindigkeit:
v=
Winkelgeschwindigkeit (= Kreisfrequenz):
ω=
falls nicht konstant:
Winkelbeschleunigung:
α=
Für v bzw. w = const. sinnvolle Definitionen:
Periodendauer T : Zeit für einen ganzen Umlauf, d.h. für 2π:
Frequenz f: Zahl der ganzen Umläufe pro Zeit:
3-dim: Wird die Kreisfrequenz als Vektor dargestellt, so beschreibt die Richtung
des Vektors die Drehachse und Drehsinn der Kreisbewegung:
Hier gilt:
r
v=
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Zentripetalbeschleunigung
Eine Kreisbewegung ist immer eine beschleunigte Bewegung, da sich
(zumindest) die Richtung des Geschwindigkeitsvektors stetig ändert.
r
r
Gleichförmige Kreisbewegung: ω = const. und r = r = const
r r
r r
aber r = r (t ) und v = v (t ) !
r
r
r
∆v (t ) dv (t )
=
folgt
aus der Definition a = lim
∆t →0 ∆t
dt
→
r
a = az =
Anmerkungen:
Diese Beschleunigung muss vorhanden sein, damit die Kreisbewegung zustande
kommt. Ursache ist letztlich das Wirken einer Zentralkraft, z.B. die feste
Verbindung in einem (rotierenden) Körper, eine Schnur oder die Gravitationskraft
in dem wichtigen Fall der Planetenbewegung.
Die (für einen mitbewegten Beobachter aufgrund der Kreisbewegung) der
Zentralkraft scheinbar entgegenwirkende Kraft nennt man auch Fliehkraft.
Sie ist der Zentripetalkraft m·az betragsmäßig gleich jedoch entgegengesetzt
gerichtet.
In diesem Zusammenhang spricht man auch von „Scheinkräften in beschleunigten
Bezugssytemen“. Berühmt ist hier auch die sog. Corioliskraft, welche für das
Wettergeschehen in unserer Atmosphäre entscheidend wichtig ist.
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2.2 Kraft und Masse - Newtons Axiome
Sir Isaac Newton (1643-1727) definierte den physikalischen Begriff “Kraft”
über die folgenden drei Axiome:
2.2.1
Trägheitsprinzip
Ein kräftefreier Körper verbleibt im Zustand der Ruhe
oder in gleichförmig geradliniger Bewegung:
Mehrere Kräfte addieren sich dabei vektoriell.
2.2.2
Aktionsprinzip
Die Beschleunigung eines Körpers ist proportional zur auf ihn (in Summe)
einwirkenden Kraft und umgekehrt proportional zu seiner Masse:
oder
Ft wird als sog. „Trägheitskraft“ eingeführt. Das negative Vorzeichen drückt aus,
dass die „Massenträgheit sich einer angreifenden Kraft widersetzt“.
Für jeden Körper gilt also
Schließt man in diese Formulierung die Trägheitskraft als weitere Kraft mit
ein, so ergibt sich als allgemeinste (und sehr praktische) Formulierung das
d’Alembertsche Prinzip:
2.2.3
Reaktionsprinzip
Übt ein Körper 1 eine Kraft F12 auf einen Körper 2 aus, so übt umgekehrt
der Körper 2 die Kraft F21 = - F12 auf den Körper 1 aus:
„ ... d.h. , wer etwas schiebt, muss sich irgendwo abstützen...“
(vgl. auch später: Impulserhaltung)
Physik 4 + 2
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2.2.4
Gewichtskraft
Beobachtung: Auf der Erdoberfläche werden alle Körper beim Fallen
mit der gleichen Erdbeschleunigung g beschleunigt.
Nach Newton lässt das auf die Existenz einer Gewichtskraft schließen,
welche proportional zur Masse des Körpers ist:
Einheiten der Kraft / Gewichtskraft:
[ FG ] = N = kg·m ·s-2
“Newton”
( veraltet: 1 Kilopond = 1 kp= 1 kg·9,81 m·s-2 )
Einheiten der Masse / des Gewichts: [ m ] = kg
2.2.5
(Basiseinheit)
Gravitationsgesetz
Beobachtung: Alle Körper ziehen sich gegenseitig an. Die anziehenden Kraft ist
proportional zu den Massen der Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat
ihres Abstandes r.
Für die Kraft zwischen zwei Massen m1 und m2 gilt:
Gravitationskonstante: G = 6,672⋅ 10-11 N⋅m2⋅ kg-2
Bewegung von Himmelskörpern:
- Aufgrund der riesigen Entfernungen im Kosmos können die Himmelskörper
in sehr guter Näherung als Massenpunkte beschrieben werden.
- Planeten in stabilen Umlaufbahnen bewegen sich i.A. auf Ellipsen (→Kepler!)
Spezialfall Kreisbahn (als Näherung):
Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft und bewirkt die (beschleunigte)
Kreisbewegung. Im mitbewegten Koordinatensystem erscheint der Körper
unbeschleunigt, es wirkt aber eine Scheinkraft, die sog. Fliehkraft, welche der
Zentripetalkraft betragsmäßig gleich ist, aber entgegengesetzt gerichtet ist.
Aus Gleichsetzen von Fg und Fz folgt:
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Bsp: Berechnung der Sonnenmasse aus der Umlaufzeit der Erdumlaufbahn:
mE = 5,9742 ·1024 kg, T = 1 Jahr , rES ≅ 1,506 ·1011 m
Erdbeschleunigung:
Aufgrund der Masse der Erde erfahren alle Körper an der Erdoberfläche
die gleiche Beschleunigung g ≅ 9,81 m⋅s-2. Dies folgt unmittelbar aus der
Proportionalität der Gravitationskraft zur Masse eines Körpers („mt = ms“):
Mit mE = 5,9742 ·1024 kg, rE = 6371 km und G = 6,672·10-11 N⋅m2·kg-2
folgt für die Erdbeschleunigung g:
Unserer Erfahrung nach fallen aber nicht alle Körper gleich schnell, und praktisch alle
Bewegungen kommen irgendwann zum Stillstand. Wenn Newtons Axiome und das
Gravitationsgesetz stimmen, dann müssen also weitere Kräfte wirken!
2.2.6
Reibungskräfte
a) Coulomb-Reibung → Festkörper
Haftreibung:
Gleitreibung:
Die Reibungskraft FR wirkt einer angreifenden Kraft entgegen,
die Normalkraft FN steht senkrecht auf ihr.
Physik 4 + 2
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Newtons Aktionsprinzip erweitert sich damit zu:
(Bsp.: schiefe Ebene...)
Rollreibung:
Die Ursachen der Rollreibung sind komplexer, wesentlichen Einfluss hat hier die
Verformung des Rades bzw. der Auflage. Sie ist in jedem Fall deutlich kleiner als
die Gleitreibung (→ Gleitlager/Rollen- bzw. Kugellager).
b) viskose Reibung → viskose Flüssigkeiten, ..
c) Newton-Reibung → Medien geringer Viskosität, Gase, ..
2.3
Arbeit und Energie
2.3.1
Arbeit
Bewegt eine Kraft F einen Körper in ihrer Richtung, so leistet sie die
Da Betrag und Richtung der Kraft i.A. zeitlich variabel sind, muss
man diesen Zusammenhang differentiell beschreiben:
Einheiten:
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21
Vektorielle Schreibweise:
Häufig nützliche Größe:
Leistung =
Einheiten:
„Wo bleibt die geleistete Arbeit?“ →
2.3.2
Kinetische Energie
„Kinetische Energie ist gespeicherte Beschleunigungsarbeit“:
Durch die Kraft F werde ein Körper beschleunigt, d.h.
Die Kraft F wirke die Zeit t, während der Körper die Strecke x durchläuft:
Die Beschleunigungsarbeit wird in Bewegungsenergie, Kinetische Energie
Ekin =
überführt.
Einheiten:
Bsp.: Eine Masse falle in Folge der Schwerkraft einen Meter nach unten. Wie
schnell ist sie kurz vor dem Aufprall?
Physik 4 + 2
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22
Anmerkung: Eine besondere Form der kinetischen Energie ist die vollkommen
ungeordnete kin. Energie von Atomen und Molekülen. Man bezeichnet sie als
„Wärme“. Diese Energieform entsteht z.B. durch Reibung und lässt sich aufgrund
der Unordnung nicht (oder nur teilweise) in andere Energieformen umwandeln.
2.3.3
Potentielle Energie
a) Lageenergie:
→ „Potentielle Energie ist gespeicherte Hubarbeit“:
Epot = WHub =
Bsp.: Heben einer Masse von 1 kg um einen Meter:
b) Federenergie:
→ „Potentielle Energie ist gespeicherte Arbeit beim Spannen einer Feder“:
Für eine Feder gelte das Hook’sche Gesetz, d.h. die Federkraft sei proportional zu
ihrer Auslenkung x. Mit einer Federkonstanten k gilt dann F = k⋅x und für die
Arbeit bei derAuslenkung x0:
Epot,Feder = WFeder =
c) Sonstige potentielle Energien:
→ Energie in Spiralfeder (Uhr), verdrilltem Draht, Gummi, ...
nicht mechanisch:
→ Lageenergie eines elektrisch geladenen Teilchens in E-Feld,
z.B. auch Energie in geladenem Kondensator
→ Lageenergie eines magnetischen Teilchens in H-Feld
→ chemische Energie,
z.B. auch Energie in einer Batterie, 1 Liter Heizöl, ...
Physik 4 + 2
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23
2.3.4
Energieerhaltung
Wie oben gezeigt, können verschiedene Energieformen in Arbeit und damit
ineinander überführt werden. Erfahrungsgemäß bleibt aber in einem abgeschlossenen System die Summe der Energien stets erhalten!
In der Mechanik gilt daher für ein System ohne äußere Kräfte
( d.h. auch ohne Reibungskräfte):
Ein schönes Beispiel ist eine Masse, welche an einer Feder hin und her schwingt.
Hier wird ständig potentielle in kinetische Energie (und umgekehrt) umgewandelt:
a) Feder spannen ....
b) bis x = x0, dann loslassen .... c)→ Umwandlung in Ekin
Das Prinzip der Energieerhaltung ist aller Erfahrung nach absolut universell und gilt
umfassend (nur) für alle Energieformen (sogar in Zusammenhang der Masse Energie
Äquivalenz E=mc2 von Einstein). Die Formulierung dieses Naturgesetzes ist im Bereich der
Thermodynamik als „1. Hauptsatz“ berühmt geworden.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
24
2.4
2.4.1
Impuls
Definition
Es zeigt sich, dass der Bewegungszustand eines Teilchens eindeutig nur mit
Geschwindigkeit und Masse beschrieben ist (, z.B. ist damit auch seine kin.
Energie definiert). Eine sinnvolle und wichtige Größe ist daher der Impuls:
2.4.2
Impulsänderung bzw. Impulsübertragung
Formal schreibt sich die zeitliche Änderung des Impulses:
Meist ist die Masse konstant und es folgt:
Sehr oft wirkt eine Kraft nur für sehr kurze Zeit. Bei einem solchen (schnellen)
Stoßprozess ist der zeitliche Verlauf der Krafteinwirkung schwer zu bestimmen
bzw. zu beschreiben. Viel interessanter als die Details des Stoßes selbst sind seine
Auswirkungen, d.h. die Impulsänderung ∆p. Sie folgt aus Integration:
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
25
2.4.3
Impulserhaltung
Offensichtlich ändert sich der Impuls eines Teilchens durch Krafteinwirkung,
umgekehrt bleibt er für ein kräftefreies Teilchen konstant. Gleiches gilt für
den Gesamtimpuls p = Σ pi eines Systems von Teilchen, was direkt aus Newtons
Reaktionsprinzip folgt. Betrachte zwei Teilchen der Masse m1 und m2, anfänglich
beide in Ruhe (zueinander), zwischen denen eine Kraft F12 wirke:
Teilchen 1:
Newton:
Teilchen 2:
d.h. Impulserhaltung
Verallgemeinerung auf beliebig viele Teilchen:
Der Gesamtimpuls eines Systems ist also eine Erhaltungsgröße wie die Energie.
Wie auch schon bei der Energieerhaltung ist „const“ nur abhängig von der Wahl
des Koordinatensystems, im sog. Schwerpunktsystem gilt z.B. „const = 0“.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
26
2.4.4
Elastischer Stoß
→ Im mechanischen System gilt Impuls- und Energieerhaltung
Bsp: Zentraler elastischer Stoß
Die Massen und die Geschwindigkeiten vor dem Stoß seien bekannt. Aus der
- Impulserhaltung:
- Energieerhaltung:
folgen die Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
( Betrachte die Grenzfälle m1 >> m2 ; m1 << m2 und m1 = m2 = m ! )
Anmerkungen:
- Bei dem ‚nichtzentralen Stoß’ liegt der Geschwindigkeitsvektor nicht auf der
Verbindungslinie der Schwerpunkte beider Teilchen (→Stoßparameter).
Es müssen daher für beide Teilchen mindestens zwei Komponenten der
Impulsvektoren betrachtet werden. Die Impulserhaltung gilt vektoriell und damit
auch komponentenweise.
- Die Details des Impulsübertrags, d.h. die Dauer und die Art der Wechselwirkung,
sind für die Dynamik irrelevant, soweit die Bezeichnung ‚vor’ und ‚nach’ dem Stoß ein
Verschwinden der Wechselwirkung impliziert.
Physik 4 + 2
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27
2.4.5
Inelastischer Stoß
→ Im mechanischen System gilt nur die Impulserhaltung.
Bsp: vollkommen plastischer Stoß
Die Massen und die Geschwindigkeiten vor dem Stoß seien bekannt. Aus der
- Impulserhaltung:
folgt die Geschwindigkeit v nach dem Stoß:
2.5 Dynamik von Körpern
2.5.1
Dichte
Bei realen Körpern ist die Masse nicht in einem Punkt konzentriert,
sondern über das Volumen des Körpers verteilt:
Man bezeichnet als Dichte das Verhältnis Masse zu Volumen:
Je nach Zusammensetzung und Struktur der Materie bzw. des Körpers
ist die Dichte verschieden und/oder eine Funktion des Ortes.
Die Masse des Körpers berechnet
sich dann entsprechend:
Physik 4 + 2
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28
Einheiten:
Dichtemessung:
erfolgt letztlich durch Bestimmung der Masse und des Volumens. Die Massebestimmung erfolgt in jedem Fall einfach und sehr genau durch Wägung. Bei
Flüssigkeiten kann das Volumen hinreichend genau z.B. mit geeichten
Kolben bestimmt werden, bei unregelmäßig geformten Festkörpern hingegen
erfolgt die Volumenbestimmung indirekt über das Archimedische Prinzip:
Jeder Körper erfährt in einer Flüssigkeit die Auftriebskraft:
Für Körper mit Dichten > 1 (gilt für die meisten FK bzw. Werkstoffe) verwendet
man Wasser mit der sog. Hydrostatischen Waage:
Mit Waage gemessene Gewichtskraft: m⋅g
Mit Waage gemessene scheinbar verringerte Gewichtskraft m’⋅g = ...
Dichte:
Anmerkungen:
- Körper mit Dichten < 1 schwimmen in Wasser, d.h. ...
- Bei vielen Werkstoffen, ist die Zusammensetzung und damit die „theoretische
Dichte“ bzw. Röntgendichte eindeutig definiert, prozessbedingt variiert aber die
gemessene Dichte z.B. durch die Porosität p :
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
29
2.5.2
Schwerpunkt
a) Schwerpunkt S eines Systems von Massepunkten
Betrachte N verschiedene Massepunkte der Masse mi am Ort ri
bzw.
Gesamtmasse:
Ortsvektor des Schwerpunktes
Bsp.: Bei 2 Massenpunkten, liegt der Schwerpunkt auf der Verbindungslinie
beider Massen. Die Abstände der Massenpunkte vom Massenschwerpunkt
verhalten sich umgekehrt wie die Massen:
b) Schwerpunkt bei kontinuierlicher Masseverteilung
Anmerkungen:
- S muss nicht innerhalb eines Körpers liegen (z.B. Toroid)
- S muss nicht konstant sein, auch für verformbare Körper oder bewegte
Massenpunkte ist S definiert, auch wenn rs = rs(t). (→ Newton?)
- Bei energetischen Betrachtungen von Systemen empfiehlt sich oft
die Verwendung eines Schwerpunktsystems; so wird z.B. die Mitbewegung des
Atomkerns, welcher von einem Elektron umkreist wird, mit der Einführung
einer sog ‚reduzierten Masse’ energetisch korrekt berücksichtigt.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
30
2.6 Drehmoment und Drehimpuls
Die Verteilung der Masse eines Körpers auf ein endliches Volumen bedingt,
dass neben der Richtung auch der Ort einer angreifenden Kraft für das
Verhalten des Körpers entscheidend ist.
Liegt dieser Ort nicht vom Schwerpunkt des Körpers aus gesehen in Richtung
der Kraft, so wird der Körper in eine Drehung versetzt:
2.6.1
Drehmoment
Definition:
Drehmoment = Hebelarm x Kraft
bzw.
Beträge:
Anwendung:
- Schraubenschlüssel + Rohr (Drehmomentschlüssel)
- Brechstange, Hebel
- Balkenwaage
→ „Der Einsatz eines längeren Hebels spart Kraft“, aber auch Energie?
Betrachte Drehung um
sehr kleinen Winkel dϕ:
Aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit folgt für das (stat.) Gleichgewicht:
Physik 4 + 2
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31
Achtung:
Oft entscheidend wichtig ist der jeweilige Ursprung des
Koordinatensystems, d.h. der Drehpunkt:
Rolle - rolle !
(nach links oder nach rechts ?)
Kippmoment = Drehmoment, bei welchem ein Körper (um)kippt
2.6.2
Drehimpuls
Die Einwirkung einer Kraft auf einen Massepunkt führt zu einer
Impulsänderung, entsprechend führt ein Drehmoment an einem Körper
zu eine Änderung des Drehimpulses. → Definition:
a) Drehimpuls eines Massepunktes:
Physik 4 + 2
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32
Praktisch (und besonders sinnvoll) ist der Drehimpuls bei Kreis oder
Ellipsenbewegungen, also z.B. bei den Planetenbahnen.
Für eine Kreisbewegung gilt
L ⊥
r ⊥ p
und damit:
d.h. für r und ω = const gilt auch L = const und L = const.
b) Drehimpuls eines (starren) Körpers:
Betrachte Körper zunächst aus vielen Massepunkten mit gleicher Drehachse
und gleicher Winkelgeschwindigkeit ω zusammengesetzt:
Für den Gesamtdrehimpuls gilt
Dreht sich der Körper, führt jeder Massepunkt i eine Kreisbewegung mit
vi = ω · ri aus und damit gilt
Für einen starren Körper bietet sich (da konstant) die Einführung eines
‚Trägheitsmomentes’ J als Abkürzung an:
2.6.3
Trägheitsmomente
Betrachte die zeitliche Änderung des Drehimpulses
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
33
In Analogie zu
r r
r
r
F = p& = m ⋅ v& = m ⋅ a
beschreibt die Größe J offensichtlich das „Bestreben des Körpers, sich
einem angreifenden Drehmoment zu widersetzen“, und wird daher
Massenträgheitsmoment genannt.
Definition und Berechnung:
Wichtig:
J ist entsprechend Definition abhängig von r und damit von der Lage der
Drehachse. Wird , z.B. in einer Formelsammlung, eine Formel für das
Trägheitsmoment eines Körpers angegeben, so bezieht diese sich i.d.R. auf eine
Drehachse durch den Schwerpunkt des Körpers. Die Richtung der Drehachse liegt
dann (wenn nicht anders angegeben) in der Symmetrieachse des Körpers.
Bsp.:
Hantel aus zwei Punktmassen:
Stab:
Zylinder:
2
J Hantel
m⎛l ⎞
m
= 2⋅ ⎜ ⎟ = l2
2 ⎝2⎠
4
J Stab =
m 2
l
12
J Zylinder =
m 2
r
2
Hohlzylinder:
J Hohlzylind er =
Kugel:
J Kugel =
Physik 4 + 2
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(
m 2
ra + ri 2
2
)
2 2
mr
5
34
2.6.4
Satz von Steiner
Das Trägheitsmoment eines starren Körpers berechnet sich i.d.R. am
leichtesten bzgl. einer Drehachse durch seine Schwerpunkt.
Für eine beliebige um die Strecke S parallel verschobene, andere
Drehachse gilt dann
Satz von Steiner
2.6.5
Drehimpulserhaltung
In Analogie zur Impulserhaltung eine kräftefreien Körpers
gilt im Falle einer Drehbewegung für einen momentenfreien Körper:
Wirken auf einen Körper keine Drehmomente,
so bleibt sein Drehimpuls erhalten:
→ Entsprechend L = J⋅ω bleibt für eine starren Körper auch ω konstant; ändert
sich jedoch J eines nicht starren Körpers, so muss sich ω entsprechend ändern!
(→Drehstuhl, Turner)
→ Umgekehrt entspricht bzw. bewirkt eine Änderung des Drehimpulses
(z.B. die Richtung) ein Drehmoment:
(→Fahrradfahren, Kreisel)
Physik 4 + 2
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35
2.7
2.7.1
Rotationsenergie
Reine Rotation
Die kinetische Energie eines rotierenden Körpers besteht aus der Summe
der kinetischen Energie seiner Massepunkte:
Für einen starren Körper, ergibt sich mit der für alle Massepunkten gleichen
Winkelgeschwindigkeit ω und dem konstanten Trägheitsmoment J,
und damit:
2.7.2
Rollbewegung
Im Allgemeinen treten Rotation (um den Schwerpunkt) und Translation
(des Schwerpunktes) eine Körpers gleichzeitig auf. Dann gilt für die
kinetische Energie:
Oft ,aber nicht zwingend, ist Rotation und Translation eines Körpers
(z.B. eines Rades) nicht unabhängig voneinander. Speziell gilt für eine
Rollbewegung die Rollbedingung
und damit für die gesamte kinetische Energie eines rollenden Körpers:
Physik 4 + 2
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36
2.8
Mechanik der Flüssigkeiten
Unterschied zu Festkörpern:
Unterschied zu Gasen:
→ Kompressibilität Κ:
Bsp. Wasser:
2.8.1
Hydrostatik
A) Druck = ...
Einheiten: [ p ] =
B) Allseitige Gleichheit des Drucks
Aus der Energieerhaltung (bzw. dem
Prinzip der virtuellen Arbeit) folgt:
Flüssigkeit inkompressibel,
d.h. Volumen bleiben erhalten:
( Anwendung: Hydraulische Systeme, z.B. Wagenheber )
Physik 4 + 2
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37
C)
Schweredruck
Betrachte das ‚Hineindrücken’ eines Flüssigkeitsvolumens dV, welches
durch Verdrängung energetisch dem Anheben dieses Volumens dV um
die Höhe h entspricht:
Aus der Energieerhaltung folgt:
Schweredruck
( → Hydrost. Paradoxon, kommunizierende Röhren, Schlauchwaage)
Anwendung: Hg-Barometer
D) Auftrieb ( → Dichtemessung! )
Betrachte Kräfte auf in Flüssigkeit getauchten Zylinder:
beachte:
→ Allseitigkeit des Drucks
→ Schweredruck in Flüssigkeit
Auftriebskraft
( Achtung: ein zusätzlicher Druck auf das System (z.B. Luftdruck) ändert nichts! )
Physik 4 + 2
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38
2.8.2
Hydrodynamik
Jetzt bewegte, stationär strömende Flüssigkeiten (d.h. nicht beschleunigt).
Zunächst ideale reibungsfreie Strömung:
A) Bernoulli Gleichung
Betrachte reibungsfreie, stationäre Strömung durch Rohr mit variierendem
Querschnitt:
Es gilt
• Kontinuität
• Energieerhaltung
→
→
Bernoulligleichung
stat. Druck
Physik 4 + 2
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dynamischer Druck
o. Staudruck
Schweredruck
39
Bsp.1: Ausströmgeschwindigkeit
Bsp.2: Hydrodynamisches Paradoxon
Beobachte den statischen Druck einer Rohrleitung bei normalen und
verengtem Querschnitt: Für v = 0, d.h. im statischen Fall gilt das Prinzip
der kommunizierenden Röhren. Für v > 0 ist die Strömung in der Rohrverengung
schneller und damit wird der statische Druck dort vergleichsweise geringer.
Anwendungen, Relevanz:
- Wasserstrahlpumpe
- Parfümzerstäuber, Spritzen von Farben
- Abdecken von Hausdächern
- Flugzeug- bzw. Tragflächenprofile
- Geschwindigkeitsmessung in Luft: Prandtlrohr
Physik 4 + 2
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40
B) Reibung, Viskosität
Bei strömenden Flüssigkeiten beobachtet man einen Druckverlust, der insbesondere
von der Flüssigkeit selbst und der Umgebung (z.B. dem Rohr) abhängt.
Betrachte Strömung an einem Flächenelement A:
- Flüssigkeit haftet an Fläche
- Reibung zwischen Flüssigkeitsschichten entscheidend !
- Geschwindigkeit nimmt in Richtung Wand ab
( → Geschwindigkeitsverteilung)
Durch die letzte/nächste Flüssigkeitsschicht überträgt sich infolge dieser
inneren Reibung eine Reibungskraft FR auf die Wand:
Dabei ist η die dynamische Viskosität, eine Materialeigenschaft der Flüssigkeit.
Einheiten:
[η]=
Beispiele:
Oft verwendet (und tabelliert) findet man auch die kinematische Viskosität ν
Es gilt der Zusammenhang:
Physik 4 + 2
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41
C) Laminare Strömung durch ein Rohr
Eine Strömung bezeichnet man als laminar, wenn v(r) = const gilt.
(Gegenbeispiel: Turbulenz)
Geschwindigkeitsprofil in Rohr,
aufgrund innerer Reibung + Haftung an Wand
Die Reibung verursacht einen Druckverlust ∆p, o.m.a.W: Zum Aufrechterhalten
der Strömung, muss eine Kraft F = ∆p⋅ARohr aufgewendet werden. Durch
Gleichsetzen mit der Reibungskraft von oben folgt:
und nach Integration das Geschwindigkeitsprofil v(r):
vmax (r = 0) =
mit
∆p 2
R
4η ⋅ l
und
vmin (r = R) = 0 , also wie oben
dargestellt ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil.
Der für die Anwendung entscheidende Durchsatz, d.h. der Volumenstrom
berechnet sich mit der mittleren Geschwindigkeit
v=
1
ARohr
∫ v(r ) dA
Rohr
=
zu
V& = ARohr ⋅ v =
→ Gesetz von Hagen Poiseuille
d.h. bei gegebenem Durchsatz ist ∆p ~
Physik 4 + 2
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.
42
D) Laminare Strömung um eine Kugel: Stokessches Gesetz
Für eine laminar umströmte Kugel gilt:
v: Kugelgeschwindigkeit
R: Kugelradius
η: Viskosität der Flüssigkeit
→ Messung von Viskositäten von Flüssigkeiten, durch Bestimmung der
(stationären) Sinkgeschwindigkeit einer versinkenden Kugel.
E)
Turbulente Strömungen
→
→
→
→
bei zu großer (lokaler) Strömungsgeschwindigkeit Wirbelbildung etc.
∆p nimmt nichtlinear zu
Berechnungen extrem schwierig (Turbulenz ~ Chaos)
Turbulenz wird i.d.R. vermieden, hier hilft die empirisch bestimmte
Reynoldszahl Re
welche die relevanten Parameter Viskosität, Geschwindigkeit und die
Größenordnung d des „störenden Objektes“ miteinander verknüpft.
Für glatte Rohre gilt z.B.
2.9
Re < 2300
Re > 2300
→
→
Strömung laminar
Strömung turbulent
Aerodynamik
→ Ansatz wie Hydrodynamik, aber Medium i.A. kompressibel!
→ bei Strömungsgeschwindigkeiten ≥ Schallgeschwindigkeit relevant!
Physik 4 + 2
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43
3. Wärmelehre
3.1 Wärme und Temperatur
A) Wärme Q
B) Temperatur T
d.h.
Q = Ekin =
entscheidend:
→ In Q ist nur Energie der ungeordneten Bewegung enthalten.
→ Mittelwertbildung (d.h. Statistik) ist zwingend nötig, da eine
Einzelbeschreibung von ~1023 Teilchen prinzipiell unmöglich ist.
→ Die Temperatur, bzw. die Temperaturdifferenz zwischen zwei
Körpern (Stoffen) ist entscheidend für die Richtung und Stärke eines
resultierenden Wärme-, d.h. Energiestroms! (vgl. Wärmeleitung)
Zusammenhang von Q und T ist materialspezifisch
C) Wärmekapazität C
experimentell
C ist also ein Maß für die Energiespeicherfähigkeit eines Körpers bzw.
einer Stoff- oder Materialmenge.
Physik 4 + 2
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44
Ergebnis statistische Theorie: Boltzmann (1844-1906)
für ein einatomiges (ideales) Gas
Q=
und allgemein für einen Körper / Stoff:
Boltzmannkonstante
kB = 1,380658·10-23 J·K-1
T = absolute Temperatur in [K]
Q=
f: Zahl der Freiheitsgrade:
Maximal möglich:
3 x Translation
3 x Rotation
3 x Schwingung ( x 2 )
Weitere sehr wichtige (der Beobachtung entsprechende) Formulierung
von Boltzmann ist der Gleichverteilungssatz:
→ d.h. die Temperatur (nicht die ‚Wärme’) von zwei Körpern in thermischen
Kontakt, gleicht sich an! Das ist die Vorraussetzung (evtl. auch das Problem)
einer Temperaturmessung.
3.2 Temperaturmessung
Das Messprinzip basiert meist auf dem Effekt der thermischen Ausdehnung,
d.h. der mittlere Abstand der Atome /Moleküle wird mit zunehmender Bewegung,
also mit der Temperatur, größer.
a) Bimetallstreifen
Entscheidend: Die thermische Ausdehnung ist materialspezifisch!
Linearer thermischer Ausdehnungskoeffizient α:
L=
Physik 4 + 2
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45
Beispiele:
b) Flüssigkeitsthermometer:
hier:
Volumenausdehnungskoeffizient γ:
V =
Beispiele:
Quecksilber
Wasser
Ethanol
Für kleine α und γ gilt der Zusammenhang:
Das folgt direkt aus V ~ L3 unter
Vernachlässigung höherer Potenzen von α.
c) Widerstandsthermometer
Der elektrische Widerstand eines Leiters ist T-abhängig.
Widerstandsmessung geeigneter Bauteile (NTC, PTC) entspricht T- Messung.
d) Thermoelemente
Infolge unterschiedlicher (T-abhängiger) Elektronendiffusion in zwei
verschiedenen Metallen, bildet sich eine Messbare Thermospannung aus.
e) Pyrometer
Analyse der spektralen Verteilung der von einem heißen Körpers (>1000°C)
emittierten elektromagnetischen Strahlung. (vgl. ‚Farbtemperatur’ )
(Besonderheit: kein direkter thermischer Kontakt, d.h. Berührung nötig!)
Physik 4 + 2
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46
f) Einheiten
Celsiusskala definiert über Schmelzpunkt (0°C) und Siedepunkt (100°C)
von Wasser bei Normdruck.
Kelvinskala (absolute Temperatur): 1 K ist definiert als 1/273,16 Teil der
Temperatur des Tripelpunktes von Wasser, damit gilt:
T [K] =
3.3 Das ideale Gas
Für ’hinreichend dünne’ Gase gilt entsprechend der Beobachtung
→ Das Gesetz von Charles
→ Das Gesetz von Boyle-Mariotte
→ Das Gesetz von Avogadro
und zusammenfassend
⇒ Das ideale Gasgesetz
Dabei ist n die Molzahl und Rm = NA· kB die (universelle) molare Gaskonstante
Rm = 8,31451 J·mol-1·K-1
Das ‚ideale Gasgesetz’ (korrekter: Die Zustandsgleichung des idealen Gases)
ist ein wichtiges Modellsystem in der Thermodynamik. Auch das Verhalten
realer Gase, z.B. N2 oder Luft, kann gut beschrieben werden, solange die
Temperatur des Gases deutlicher höher als die Siedetemperatur des Stoffes ist.
Physik 4 + 2
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47
3.4 Wärmeleitung
Beobachtung:
• Sind zwei Körper in thermischem Kontakt, so gleichen sich ihre
Temperaturen durch einen Wärmestrom an.
•
Die Geschwindigkeit des Temperaturausgleichs ist abhängig von
- Temperaturdifferenz
und
- Güte des thermischen Kontakts (→ Fläche und Material)
Spezifische Wärmeleitfähigkeit λ
ist über folgenden Zusammenhang definiert:
Wärmestromdichte q
→ Für kleine ∆x und ∆T gilt
bzw. vektoriell
In der Praxis ist oft der Wärmestrom pro Zeit [Watt]
(z.B. Heizleistung, Kühlleistung, Verlustleistung) am interessantesten:
Bsp.:
Spezifische Wärmeleitfähigkeit λ für
Physik 4 + 2
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48
3.5 Spezifische Wärme und Mischungstemperatur
Sei C die Wärmekapazität eines Körpers (einer Stoffmenge)
dann wird
(oder c molar = C/n) als spezifische Wärmekapazität (kurz: spezifische Wärme)
des Stoffes bzw. des Materials bezeichnet.
Betrachte zwei nach außen isolierte Stoffmengen 1 und 2 mit anfänglich
unterschiedlichen Temperaturen T1 und T2:
Aus der Energieerhaltung folgt:
∆Q =
∆Q1 =
∆Q2 =
und schließlich für die Mischtemperatur TM:
→
TM =
Physik 4 + 2
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49
3.6 Die Hauptsätze der Thermodynamik
Unter einem System Σ versteht man in der Thermodynamik einen räumlich
(tatsächlich oder gedachten) abgegrenzten Bereich.
offenes Σ,
3.6.1
geschlossenes Σ
abgeschlossenes Σ
Der erste Hauptsatz
.. der Thermodynamik ist die allgemeinste Formulierung des Prinzips der
Energieerhaltung. Dabei wird zwischen zwei unterschiedlichen Möglichkeiten
des Energietransports über die Systemgrenze hinweg unterschieden:
Wärmetransport und Arbeit.
Innere Energie U
Eine Änderung der inneren Energie U erfolgt nur über einen
- Wärmetransport ∆Q und/oder über
- Arbeit ∆W im mechanischen Sinne (,d.h. Prozesse die sich auf das bloße
Heben und Senken von Gewichten abbilden lassen).
Für ein geschlossenes System gilt daher:
∆U =
Diese Aussage wird oft schon als 1.HS bezeichnet, da sie die
Energieerhaltung aus Gründen der Eindeutigkeit impliziert. Deutlicher ist jedoch:
Für ein abgeschlossenes System gilt:
∆U =
Andere Formulierung des 1.HS:
Physik 4 + 2
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50
Der Begriff Wärme wurde bereits zuvor definiert, im Gegensatz hierzu
ist die Arbeit definitionsgemäß eine rein makroskopische und damit wohldefinierte und gerichtete (und nutzbare!) Größe.
Es gibt verschiedene Arten Arbeit zu verrichten, am wichtigsten ist die
Volumenarbeit:
Betrachte z.B. Expansion
eines in einem Zylinder
eingeschlossenen Gases:
∫
Das Σ leistet gegen die äußere Kraft F die Arbeit W = dW , mit
dWVol =
Beispiel 1: Isotherme Expansion eines id. Gases
Physik 4 + 2
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51
Beispiel 2: Isochore Prozesse
Beispiel 3: Isobare Expansion eines id. Gases
Beispiel 4: Adiabatische Expansion eines id. Gases
Mit U = U(T), d.h. ∆U = cV · ∆T für id. Gas:
Physik 4 + 2
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52
3.6.2
Der zweite Hauptsatz
Carnotprozess:
1 → 2:
isotherme Expansion bei T = T0
Q12 = −W12 = nRT0 ln
W23 = ∆U 23 = ncV ∆T23 = ncV (Tu − T0 )
V2
V1
3 → 4:
isotherme Kompression bei T = Tu
Q34 = −W34 = nRTu ln
2 → 3:
adiabatische Expansion
V4
V3
4 → 1:
adiabatische Kompression
W41 = ∆U 41 = ncV ∆T41 = ncV (T0 − Tu )
Wirkungsgrad = Verhältnis zugeführter Wärme zu erhaltener Arbeit η :
η :=
Wges
Q12
=
T0 − Tu
T0
η < 1 da Tu > 0 !
Der Wirkungsgrad einer realen Maschine ist ≤ ηCarnot !
Physik 4 + 2
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53
→ 2. Hauptsatz der Thermodynamik:
Es existiert kein Perpetuum Mobile 2. Art, d.h. keine Maschine,
die nichts weiter tut, als Wärme in Arbeit umzuwandeln.
Eine genauere Analyse der Wärmen führt zum Begriff der „reduzierten Wärme“
bzw. der „Entropie“. Eine andere Formulierung des 2. HS ist die Aussage, dass die
Entropie in abgeschlossenen Systemen nur zunehmen aber nie abnehmen kann.
Hier zeigt sich die Besonderheit der Energieform ’Wärme’, d.h. die ungeordnete Bewegung
der Moleküle lässt sich nicht einfach in geordnete Bewegung (Arbeit) umwandeln.
(→ vgl. PC )
4.
Elektrizität und Magnetismus
4.1 Elektrische Ladung
Beobachtung:
-
e = 1,602181 ·10-19 C
Wirkungen:
-
4.2 Coulombgesetz
Charles A. de Coulomb (1736-1806)
→ Kraft Fc zwischen zwei Punktladungen q1 und q2:
vektoriell:
Betrag:
Elektrische Feldkonstante
Physik 4 + 2
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ε0 = 8,8542 ·10-12 C2·N-1·m-2
54
4.3 Elektrisches Feld
4.3.1
Definition, Feldlinien
Feld E wird definiert über die Kraftwirkung des Feldes auf eine
(bel.) positive Einheitsladung q:
Für eine Punktladung ergibt sich mit dem Coulombgesetz:
• Die Kraftwirkung des E-Feldes auf eine pos. Probeladung verläuft tangential
entlang der Feldlinien.
• Die Dichte der Feldlinien beschreibt die rel. Stärke des (lokalen) E-Feldes
Superpositionsprinzip:
Aus dem Superpositionsprinzip und der Symmetrie ergibt sich folgende
(homogene) Feldverteilung in einem Plattenkondensator:
Physik 4 + 2
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55
4.3.2
Elektrisches Potential
Das elektrisches Potential ϕ entspricht der potentiellen Energie einer
positiven Einheitsladung im elektrischen Feld:
Als Elektrische Spannung U bezeichnet man die Differenz zweier Potentiale:
[U]=
U·q entspricht also Energie: 1V · e = 1 eV = 1,602 ·10-19 C·V = 1,602 ·10-19 J
Der Zusammenhang von E-Feld bzw. Kraft und dem zugehörigen Potential
ergibt sich aus ‚Arbeit = Kraft x Weg’ :
Integration liefert:
(wobei üblicherweise ϕ (∞) = 0 gesetzt wird)
Bsp.: Bewege Elektron durch das gesamte homogene Feld eines
Plattenkondensators auf die negative Seite:
Physik 4 + 2
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56
Die Potentialdifferenz = Spannung ist:
Wird entsprechend Konvention U für positiven Pol positiv gewählt,
ergibt sich für das E-Feld im Plattenkondensator:
Aus dW = Fds folgt alternativ mit dEpot = -qEdx = eEdx folgt nach
Integration für die potentielle Energie des Elektrons: Epot = eEd.
4.3.3
Feld als Gradient des Potentials
Die skalare Größe des Potentials, die Spannung, ist leicht zu messen,
einzustellen oder vorzugeben. Oft ist das Potential für ein Problem
auch einfacher zu berechnen. Das entsprechende E-Feld erhält man
einfach durch Differentiation:
bisher:
jetzt:
r r
dϕ = − E ⋅ d r
r
dϕ
E = − r = − gradϕ = −∇ϕ
dr
Gradient:
Nabla-Operator:
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57
4.3.4
Gaußscher Satz des elektrischen Feldes
Aus der ‚Zahl von Feldlinien’ die durch eine
geschlossene Oberfläche dringen, läßt sich
auf die Ladung innerhalb des entsprechenden
Volumens schließen:
Der elektrische Fluß durch eine beliebig geformte
geschlossene Oberfläche entspricht der darin
enthaltenen Ladung.
→ Gaußscher Satz:
Unter Ausnutzung vorliegender Symmetrien lassen sich mit Hilfe des Gaußschen
Satzes Feldverteilungen berechnen:
Bsp.: Kugeloberfläche mit Punktladung im Zentrum:
Physik 4 + 2
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58
Der Gaußsche Satz gilt für bel. Ladungsverteilungen, mit
Raumladungsdichte:
oder der
Flächenladungsdichte:
gilt
Ladungen auf elektrischen Leitern:
- Ladungen sammeln sich aufgrund der Coulombkräfte an der Oberfläche
- Bei (perfekten) Leitern sind alle Teile innerhalb des Leiters auf gleichem
Potential.
→ mit U = ∆ϕ = 0 folgt auch E = 0 innerhalb des Leiters.
→ Aus dem gleichen Grund bildet die Oberfläche eine Äquipotentialfläche,
die Tangentialkomponente verschwindet, d.h.
E steht senkrecht auf der Oberfläche.
Aus der Anwendung des Gaußschen Satzes auf ein Flächenelement folgt:
ε0 · E = σ
→ Bsp.1: Ladung auf Metallkugel mit Radius R
→ Bsp.2: Ladung auf bel. geformten Metallkörpern
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
59
4.3.5
Kapazität
Die Kapazität C ist ein Maß für die Fähigkeit eines Körpers bzw. Bauteils
Ladungen zu speichern:
[C]=
Bsp.: Plattenkondensator:
C=
→ Bsp.: Kapazität eines Plattenkondensators mit d = 1 mm und A = 1 cm2 :
→ Bsp.: Kapazität einer Kugel
→ Bsp.: Kapazität eines Zylinderkondensators bzw. Koaxialkabels.
Gespeicherte Energie:
Betrachte Arbeit, die für Laden des Kondensators aufgebracht werden muss:
dW = U·dQ , wobei sich U (und damit E) während des Ladens ändert →
→
W=
Für die Energiedichte w = W/V des Elektrischen Feldes ergibt sich mit V = A·d
w=
Physik 4 + 2
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60
4.4 Elektrischer Dipol
Dipolmomente entstehen durch zwei getrennte gleichgroße Ladungen
(bzw. Ladungsverteilungen) mit entgegengesetztem Vorzeichen:
Dipolmoment p :
p=
Feldverteilung des elektrischen Dipols:
Beispiele
HCl
CHN
H2O
Berechnung Potential und Feldverteilung:
Potential ϕ(r):
r
r
r
ϕ ( r ) = ϕ1 ( r ) + ϕ 2 ( r ) =
⎞
q
1 ⎛ q1
⎜⎜ r r 2 + r 2r 2 ⎟⎟ = ...
4πε 0 ⎝ (r − r1 )
( r − r2 ) ⎠
Potential im Fernfeld, d.h. r >>r1, r2, d :
r
ϕ (r ) =
r r
r⋅p
4πε 0 r 3
1
Durch Differentiation ergibt sich das elektrische Feld:
r r
r
E ( r ) = − grad ϕ ( r ) =
r r r r
1 ⎛ r⋅p r
p⎞
⎜3 3 ⋅ − 3 ⎟
4πε 0 ⎝ r
r r ⎠
→ Im Fernfeld ist für Dipol
ϕ ~ 1/r2
und
E ~ 1/r3
ϕ ~ 1/r
und
E ~ 1/r2
Im Vergleich dazu gilt für
→ Punktladung (Monopol)
Physik 4 + 2
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61
4.5 Elektrischer Strom
4.5.1
Definition
Strom = bewegte Ladung:
[I]=
Ladungsträger:
Elektrische Leiter:
4.5.2
Ohmsches Gesetz
Ursache für einen el. Strom ist eine Kraft auf die Ladungsträger, welche
proportional zur Potentialdifferenz, d.h. der Spannung ist:
→
Die Stärke des Stroms ist u.a. abhängig von Material und Leiterquerschnitt,
zusammenfassend dem Leitwert G:
→
Daraus folgt das Ohmsche Gesetz:
[G]=
bzw. mit Definition eines
elektrischen Widerstandes R = 1/G
[R]=
Ist G bzw. R konstant, insbesondere nicht von I bzw. U abhängig, spricht man
von einem Ohmschen Widerstand. (→ Kennlinien)
Werner von Siemens (1816-1892),
Physik 4 + 2
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Georg Simon Ohm (1789-1854)
62
4.5.3
Spezifischer Widerstand
Mit der Einführung eines spezifischen Widerstandes ρ bzw. einer
spezifischen Leitfähigkeit κ erhält man um die Geometrie des Leiters
bereinigte materialspezifische Größen:
[ρ]=
[κ]=
Achtung: ρ bzw. κ sind i.A. keine Konstanten, sondern insbesondere
temperaturabhängig! (→ NTC, PTC, Temperaturmessung )
4.5.4
Anmerkungen
a) Elektrische Schaltungen
- Kirchhoffsche Regeln (U, I, R)
- Bauelemente ( R, L, C ; Dioden Röhren etc.)
b) Gleichströme
- stationäre Zustände
- nur U, R und I relevant
c) Wechselströme
- Energiespeicherung in L und C
- Wechselstromwiderstände (→ Impedanzen Z(f) )
- Schwingkreise
- wellenartige Ausbreitung, Antennen, Abstrahlung von e.m. Wellen, ...
- Anwendungen: Trafo, Radio, ...
Physik 4 + 2
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63
4.6 Magnetismus
4.6.1
Magnetfelder stationärer Ströme: Amperesches Gesetz
(Stationäre) Ströme erzeugen (statische) Magnetfelder H. Ein statisches
Magnetfeld H impliziert daher einen Strom I, erzeugt aber keinen.
Die magn. Feldlinien beschreiben wie die
elektrischen qualitativ Richtung und
Stärke des H-Feldes (, im Gegensatz zum
E-Feld aber keine Kraftwirkung ! ).
Strom und Feld sind verknüpft durch das
Amperesche Gesetz (Ampere-Maxwellsches Gesetz, Durchflutungsgesetz):
[H]=
∫
bezeichnet dabei ein beliebiges geschlossenes Wegintegral, welches
den Strom I einschließt.
Bsp.1: Ein gerader Leiter vom Strom durchflossen erzeugt (außerhalb des Leiters)
ein kreisförmiges zylindersymmetrisches H-Feld ~ 1/r:
wähle (entsprechend der Symmetrie) Integrationsweg s
entlang einer Feldlinie im Abstand r um den Leiter: Hier
steht H immer parallel zu ds ! ...
→
H(r) =
Physik 4 + 2
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64
Bsp.2: Lange Spule mit N Windungen auf der Länge l
→
H=
Anmerkung: Für bel. ‚Stromfäden’ berechnet sich das resultierende
H-Feld oft am besten mit dem Biot-Savartschen Gesetz, welches als
Spezialfall des Ampereschen Gesetzes für dünne Leiter gilt.
4.6.2
Magnetische Induktion
Analog zur elektrischen Verschiebungsdichte wird für das Vakuum
B=
[B]=
definiert, mit der magnetischen Feldkonstanten
µ0 = 4π·10-7 Vs ·A-1·m-1
Die Bedeutung von B (und D) wird bei der Behandlung der e.m. Felder in Materie deutlich.
4.6.3
Lorentzkraft
Eine bewegte Ladung erfährt in einem Magnetfeld H ( bzw. B) eine Kraft
F L=
FL steht senkrecht auf v (und B), daher wird nur die Richtung nicht der Betrag
von v geändert. Es wird daher auch keine Arbeit geleistet.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
65
Bsp.: Elektron in homogenem Magnetfeld
Das Elektron wird durch die
Lorentzkraft auf einer Ebene
senkrecht zu B auf eine Kreisbahn
gezwungen. Durch Gleichsetzen
von Fliehkraft und Lorentzkraft
folgt:
Bahnradius
Umlauffrequenz = Zyklotronfrequenz
Anwendungen:
Ablenkmagnete in Elektronenröhren, magnetische Linsen, Zyklotron/Betatron,
Massenspektrometer, Hallsonden, Drehspulmessinstrument
4.6.4*
Hall Effekt
Aufgrund der Lorentzkraft werden Elektronen auch innerhalb von Leitern
abgelenkt, wodurch sich eine sog. Hallspannung aufbaut, bis das E-Feld dieser
Spannung die Lorentzkraft kompensiert:
→→
UH = KH ⋅
Physik 4 + 2
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B⋅I
= RH ⋅ I
d
KH = 1/nq Hallkonstante (Materialeigenschaft)
RH = Hallwiderstand (Bauteileigenschaft)
66
4.6.5
Magnetische Dipole
Die Tatsache der Nichtexistenz magnetischer Monopole
beschreibt der Gaußscher Satz für das Magnetfeld:
r r
∫ B ⋅ dA = 0
A
Kleinste Einheit ist daher ein Dipol, für einen Kreisstrom gilt:
Magnetisches Dipolmoment m
r
m = m = I ⋅π R2
(Entscheidend ist die von einem Strom eingeschlossene Fläche, vgl. Durchflutungsgesetz)
Für die Feldverteilung gilt ähnlich dem elektrischen Dipol im Fernfeld
(ohne Herleitung):
r r r
r
r r
µ 0 ⎛ 3 r ⋅ (m ⋅ r ) m ⎞
− 3⎟ ~
B (r ) =
⎜
4π ⎝
r5
r ⎠
1
r3
Das B-Feld gleicht dem elektrischen
Dipolfeld also nur im Fernfeld.
Im Nahfeld macht sich deutlich bemerkbar,
dass die magnetischen Feldlinien geschlossen
sein müssen. (vgl. Durchflutungsgesetz)
Magnetfelder sind immer abbildbar auf (kleine) Kreisströme, z.B.:
a) permanente Kreisströme / magnetische Momente: (Para- und Ferromagnetismus)
- Drehimpuls von Elektronen → Bahnmagnetismus
- Eigendrehimpuls von Elektronen → Spinmagnetismus
b) induzierte Kreisströme/ magnetische Momente: (Diamagnetismus)
- Induzierte Kreisströme Elektronenhülle der Atome
- Wirbelströme in metallischen Leitern
Physik 4 + 2
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67
4.7 Materie im elektrischen Feld
Wechselwirkung von E-Feld mit elektrischen Dipolen bewirkt
→ Polarisation P ~ E = Ausrichtung (+ Erzeugung) elektrischer Dipole
→ ’Verstärkung’ oder besser ’Unterstützung’ des E-Feldes
Elektrische Flußdichte = Verschiebungsdichte
bzw. mit Einführung der
relativen Dielektrizitätszahl εr
Achtung: Die relative Dielektrizitätszahl εr ist materialspezifisch aber
i.A. keine Konstante sondern insbesondere stark frequenzabhängig,
d.h. εr = εr(ω).
Betrachtet man die Ausbreitung von e.m. Wellen in solcher Materie, spricht
man von “Dispersion“. Am bekanntesten ist das Phänomen in der Optik
(Regenbogenfarben) und wird dort mit einer frequenz- bzw. wellenlängenabhängigen
1
für optische Materialien.
Brechzahl n(ω) beschrieben. Dabei gilt n(ω ) =
ε r (ω )
Polarisation P = Dipolmomente / Volumen
Ist die Zahl der vorhandenen Dipole vom E-Feld abhängig (induzierte Dipole), wird
statt der Dielektrizitätszahl oft die dielektrische Suszeptibilität χel verwendet.
Diese beschreibt, wie stark ein E-Feld die jeweilige Materie polarisiert:
r N r
r
r
P = ⋅ p = n ⋅ p = χ el ⋅ ε 0 ⋅ E
V
→
ε r = 1 + χ el
da gilt
r
r r
r
r
r
r
D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ el ⋅ ε 0 E = (1 + χ el ) ⋅ ε 0 E = ε r ε 0 E
Mikroskopisch betrachtet, verwendet man anstatt der Suszeptibilität die Größe
der (lokalen, atomaren) Polarisierbarkeit α , def. über pi = α ⋅ Ei,lok
Diese ist ähnlich χel , bezieht sich jedoch auf Erzeugung eines einzelnen lokalen
Dipolmoments pi, da das entsprechende lokale E-Feld z.B. in einem Kristall stark
ortsabhängig ist. (Stichwort: → Lorentzfeld, Entelektrisierungsfeld)
Physik 4 + 2
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68
4.7.1*
Orientierungspolarisation
→ Ausrichtung permanenter Dipole im E-Feld
Dipol im homogenen elektrischen Feld:
r
r
⎛d ⎞ r r r
r r
M = ∑ ri × Fi = 2 ⋅ ⎜⎜ ⋅ q ⎟⎟ × E = p × E
⎝2 ⎠
Drehmoment auf Dipol:
r r r
M = p× E
Betrachte Arbeit, welche nötig ist, um Dipol um 180° zu drehen →
(potentielle) Energie eines Dipols im E-Feld
r r
E pot = − p ⋅ E
(mit Ep(90°) := 0)
( Stichworte: →Wasser, →LCD)
4.7.2*
Ionische Polarisierbarkeit αIon:
p = αIon ε0 E
→ Verschieben der Ladungsverteilung innerhalb eines Ionenkristalls
→ Verformung des Kristalls
→ i.A. anisotrop
(Stichworte: →Piezoelektrischer Effekt: Sensoren, Lautsprecher; →Schwingquarze)
4.7.3*
Elektronische Polarisierbarkeit α∞:
p = α∞ ε0 E
→ Verschieben der „Elektronenwolken“ gegen
den Atomkern
→ tritt bei jeder Materie auf
→ Noch wirksam bei sehr hohen Frequenzen
Physik 4 + 2
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69
4.7.4*
Dispersion
Jeder der o.g. Effekte ist stark frequenzabhängig. Für die
Dielektrizitätszahl εr(ω) ergibt sich schematisch folgender Verlauf:
Maxima der Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätszahl sind verknüpft
mit Maxima in der Absorption, d.h. mit einem Maximum an WW im Resonanzfall.
4.7.5*
Ferroelektrizität
In Analogie zum (länger bekannten) Ferromagnetismus spricht man im Falle
sehr großer Dielektrizitätszahlen in Folge von Selbstordnungsmechanismen von
Ferroelektrizität.
Beim Bariumtitanat (BaTiO3) z.B. werden
durch die Coulomb-WW die Ti4+ Ionen alle in
die gleiche (halbstabile) Lage innerhalb eines
Gitterplatzes geschoben. Bei nicht zu großen
Temperaturen kommt es dadurch zu einer
spontanen Polarisation.
Physik 4 + 2
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70
4.8 Materie im magnetischen Feld
Wechselwirkung von H-Feld mit magnetischen Dipolen bewirkt
→ Magnetisierung M ~ H = Ausrichtung (+ Erzeugung) magnetischer Dipole
→ ’Verstärkung’ oder besser ’Unterstützung’ des H-Feldes
Magnetische Induktion
r
r
r
B = µ0 H + µ0 M
bzw. mit Einführung der
relativen Permeabilitätszahl µr
r
r
r
B = µ ⋅ H = µ0 µr ⋅ H
Magnetisierung = magn. Dipolmomente / Volumen
Hier wird im Falle induzierte oder permanenter Dipole oft statt der
Permeabilitätszahl µr oft die magnetische Suszeptibilität χm verwendet.
Diese beschreibt, wie stark ein H-Feld die jeweilige Materie magnetisiert:
r N r
r
r
M = ⋅ m = n ⋅ m = χm ⋅ H →
µr = 1 + χm
V
r
r
r
r
r
r
r
B = µ 0 H + µ 0 M = µ 0 H + µ 0 χ m H = (1 + χ m ) ⋅ µ 0 H = µ r µ 0 H
da gilt
In anisotropen Medien, z.B. in Materialien in einem äußeren statischen Magnetfeld,
wird die Wechselwirkung zwischen H und M deutlich komplexer und χm muss als
Tensor dargestellt werden.
(Stichworte: → Magnetwerkstoffe, Ferrite, Permeabilitätstensor, Zirkulator)
4.8.1*
Paramagnetismus: χm > 1
→ Ausrichtung permanenter aber voneinander unabhängiger magn. Dipole
→ Atome, Moleküle mit ungepaarten Elektronen (→ Spinmagnetismus)
4.8.2*
Diamagnetismus: χm < 1
→ Induzierte magnetische Dipole = in „Elektronenwolken“ induzierte Kreisströme
→ Bei allen Atome und Moleküle vorhanden
4.8.3*
Ferromagnetismus: χm >> 1
→ Ausrichtung permanenter und miteinander gekoppelter magn. Dipole
→ Spontane Magnetisierung für T < TC (Curietemperatur), oberhalb paramagnetisch
Physik 4 + 2
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71
4.9 Elektromagnetische Induktion
4.9.1
Magnetischer Fluß
Der magnetische Fluß Φ entspricht der Zahl von magnetischen Feldlinien
durch eine Fläche A:
[Φ]=
( Da die magnetischen Feldlinien geschlossen sind, ist der Fluß durch eine
geschlossenen Oberfläche immer null. vgl. → Gaußscher Satz für H-Feld )
4.9.2
Induktionsgesetz von Faraday
Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine
Leiterschleife induziert in dieser eine Spannung.
Das Vorzeichen der Spannung ist derart, dass der resultierende Strom
der erregenden Flußänderung entgegenwirkt (Lenzsche Regel).
Dabei ist es vollkommen irrelevant, ob sich das
Feld B oder die (gerichtete) Fläche A mit der Zeit
ändern (→Produktregel).
Verallgemeinerung:
(Stichworte: → Induktionsschleife, Erdmagnetfeld, Energiesatz, Wirbelstrombremse)
Physik 4 + 2
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72
4.9.3
Wechselstromgenerator
Drehe Spule mit N Windungen in konstantem magnetischen Feld hoher
Flußdichte. Die hohen Flußdichten werden mit „magnetisch leitenden“
Materialien (Weicheisen mit µr >> 1) erreicht.
Drehen der Spule bedeutet Änderung des von
A und B eingeschlossenen Winkels .
Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit → α = ωt.
→ Sinus bzw. Cosinusförmige Änderung
der zu B senkrecht stehenden Fläche.
N Windungen → N-fache Spannung
4.9.4*
Selbstinduktion und Induktivität
→ Wird der Strom durch eine Spule zeitlich verändert, so entsteht,
entsprechend dem Induktionsgesetz, ein zeitlich verändertes H-Feld,
welches wiederum eine dem Strom entgegengesetzte Spannung induziert
(→Selbstinduktion).
Dieser Effekt ist je nach Aufbau der Spule verschieden groß und
und letztlich durch das Verhältnis magn. Fluß Φ zu Strom I bestimmt:
L=
Φ
I
heißt Induktivität des Bauteils/der Anordnung.
& = L ⋅ I& = U :
Bsp.: Für eine lange Spule ergibt sich z.B. aus Φ
ind
→→
L=
µ0 A ⋅ N 2
l
Luftspule
Physik 4 + 2
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L=
µ0 µr A ⋅ N 2
l
Spule mit Kern
73
4.10*
Maxwellgleichungen
• Durchflutungsgesetz (Ampere-Maxwellsches Gesetz)
r r
∫ H ⋅ ds = I
„Strom erzeugt Magnetfeld“
c
r
r
r
d
r
∫ H ⋅ ds = I + dt ∫ D ⋅ dA
c
Ergänzung für zeitabhängige E bzw. D-Felder
A
• Induktionsgesetz
r r
d r r
∫c E ⋅ ds = − dt ∫A B ⋅ dA
„Flußänderung induziert Spannung“
• Gaußscher Satz für E-Feld
r r
∫ D ⋅ dA = ∫ ρ ⋅ dV = q
A
„Ladung ist Quelle von E-Feld“
V
• Gaußscher Satz für H-Feld
r r
∫ B ⋅ dA = 0
„Es ex. kein magnetischer Monopol“
A
Physik 4 + 2
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74
4.11*
Stetigkeitsbedingungen
Aus den Maxwellgleichungen und geeignet gewählten Integrationswegen
bzw. Integrationsflächen, lassen sich für die Grenzflächen
zwischen zwei verschiedenen Medien allgemeingültige Stetigkeitsbedingungen
herleiten.
Für die Vektorkomponenten des
elektrischen Feldes gilt
r
E|| = stetig
r
D⊥ = stetig
)*
* nur wenn keine Oberflächenladungen vorliegen
und für das magnetische Feld:
r
H || = stetig
r
B⊥ = stetig
)**
** nur wenn keine Oberflächenströme vorliegen
(Stichwort: Induktion im →Luftspalt eines Magneten)
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
75
5
Schwingungen
5.1 Einleitung
Bei einer periodisch variierenden Amplitude einer
physikalischen Größe spricht man von einer Schwingung.
Mechanik:
Periodische „Hin- und Herbewegung“ aufgrund einer von der
Auslenkung abhängigen rückstellenden Kraft.
Charakteristische Größen:
Frequenz f: Vorgänge pro Sekunde [s-1 = Hz]
Kreisfrequenz: ω = 2π⋅f [ s-1 ]
Periodendauer: T = 1/f [ s ]
Beispiele:
Federpendel
Fadenpendel
Torsionspendel
Elektr. Schwingkreis
Schwingquarz
Flöte
HF-Resonatoren
Physik 4 + 2
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Optische Resonatoren
Bauwerk
76
5.2
5.2.1
Freie ungedämpfte harmonische Schwingung
Federpendel
Eine Masse m hänge an einer Feder, welche dem Hookschen Gesetz genügt:
r
r
Zu jeder Zeit gilt FR = − FT
bzw.
FT + FR = m ⋅ &x& + k ⋅ x = 0
→
Allgemeine Schwingungsgleichung:
(Lineare DGL 2. Ordnung)
Lösen der DGL mit dem Ansatz x(t) = A ⋅ cos(ωt)
führt zu der Lösung x(t) = x0 ⋅ cos(ωt). Gleiches gilt für den Sinus →
Allgemeine Lösung:
A1 und A2 bzw. A und ϕ bestimmen sich aus den Anfangsbedingungen, z.B. aus
x(t=0) = x0 und x(t=0) = 0 folgt A1 = 0 und A2 = x0 bzw. ϕ = 0 und A = x0
und damit x(t) = x0 ⋅ cos(ωt).
Alternativ komplexer Ansatz:
x(t) = eλt
→ charakteristische Gleichung
λ2 + k/m = 0
→ λ = ± iω, d.h. x(t) = A1 ⋅ eiωt + A2 ⋅ e-iωt
mit ω =
k
m
A1 und A2 bestimmen sich wieder aus den Anfangsbedingungen:
Mit x(t=0) = x0 und x(t=0) = 0 folgt A1 + A2 = x0 und iω( A1 - A2) = 0, d.h.
x(t) = ½ x0( eiωt + e-iωt ) = x0 ⋅ cos(ωt)
mit Euler:
Physik 4 + 2
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e±iϕ = cos(ϕ) ± i ⋅sin(ϕ)
77
5.2.2
Fadenpendel
Eine Masse m schwinge an einer Schnur der Länge l im Schwerefeld der Erde:
r
r
F
=
−
F
Zu jeder Zeit gilt R
T
wobei
und
→
Schwingungsgleichung:
( Nicht lineare DGL 2. Ordnung)
Für kleine Winkel ϕ gilt sinϕ ≈ ϕ und die DGL lässt sich linearisieren zur
bekannten Schwingungsgleichung:
Für kleine Auslenkungen erhalten wir die allgemeine Lösung:
und bei Loslassen im Winkel ϕ0 wie oben gezeichnet ϕ(t) = ϕ0 ⋅ cos(ωt)
5.2.3
Physisches Pendel, Drehpendel
a) Physisches oder physikalisches Pendel
Betrachtet man alternativ das obige Fadenpendel als Drehbewegung um den
Aufhängepunkt, erhält man eine allgemeinere Darstellung, die auch für beliebige
im Schwerefeld pendelnde Körper gilt. Anstelle von F = p& = m ⋅ a verwenden wir
jetzt die Drehmomente entsprechend „Newton für Drehbewegungen“ ,
d.h. M = L& = J ⋅ ω = J ⋅ ϕ&& :
Physik 4 + 2
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78
Die Schwerkraft wirkt entsprechend der Masse m auf den Schwerpunkt des
Körpers und erzeugt daher bzgl. des Drehpunktes (im Aufhängepunkt) ein
r
r
r
Drehmoment M = r × F = M = l ⋅ F = l ⋅ m ⋅ g ⋅ sin ϕ . Dieser Winkelbeschleunigung
wirkt das Trägheitsmoment entgegen, d.h. J ⋅ ϕ&& + l ⋅ m ⋅ g ⋅ sin ϕ = 0
und für kleine Winkel gilt näherungsweise
Dies ist die bekannte Schwingungsgleichung mit der Lösung
Für einen Massepunkt ist das Trägheitsmoment m·l²und es ergibt sich als
Grenzfall die Lösung des mathematischen Pendels!
Für einen Körper ist nach dem Satz von Steiner J = JS + m·l², d.h. für einen pendelnden
Körper ist zusätzlich zur Bewegung des Schwerpunktes die Eigendrehung des Körpers um
seinen Schwerpunkt zu berücksichtigen.
b) Dreh- oder Torsionspendel
Bei einem Drehpendel wird die rückstellende Kraft FR , bzw. das rückstellende
Drehmoment MR durch das sog. Direktionsmoment DM einer Spiralfeder gegeben.
Dabei wird das Direktionsmoment DM linear zur Auslenkung ϕ des Pendels
angenommen, d.h. es soll MR = DM· ϕ gelten.
Analog zu oben ergibt sich aus der DGL
die Lösung
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
als Eigenfrequenz
79
5.3
Freie gedämpfte Schwingung
Betrachte Schwingung, dessen Bewegung linear mit der Geschwindigkeit gedämpft
wird. Die Stärke der Dämpfung sei mit der Konstanten c und die Eigenfrequenz der
ungedämpften Schwingung mit ω0 beschrieben:
Das Lösen der DGL mit dem Ansatz x(t) = eλt führt unter Berücksichtigung des
Vorzeichenwechsel in der Wurzel zu folgenden Lösungen:
A) Schwache Dämpfung, d.h. ½ c < ω0
mit
→ Maximale Amplitude der Schwingung fällt exponentiell mit der Zeit ab.
B) Starke Dämpfung, d.h. ½ c > ω0
mit
→ Keine Schwingung ! Amplitude fällt exponentiell mit der Zeit ab.
C) Aperiodischer Grenzfall: ½ c = ω0
→ Keine Schwingung ! Schnellster Abfall der Amplitude.
Keine Dämpfung
Starke Dämpfung
Schwache Dämpfung
Aperiodischer Grenzfall
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
80
5.4
Erzwungene gedämpfte Schwingung
Ein schwingungsfähiges System mit der Eigenfrequenz ω0 der ungedämpften
Schwingung werde von einer äußeren periodische Kraft mit der Frequenz ωerr
angeregt. Die Stärke der (schwachen) Dämpfung sei wieder mit der Konstanten c
beschrieben:
Nach dem Einschwingvorgang schwingt das System mit ω = ωerr ,
im Resonanzfall gegenüber dem Erreger um π/2 phasenverschoben:
Die Amplitude ist abhängig von der Stärke der Anregung, der Dämpfung und
der Differenz der Frequenzen ω0 und ωerr = ω :
Sie ist am größten für den Fall der RESONANZ bei
In der Nähe der Resonanz sind die Resonanzkurven näherungsweise symmetrisch
und es gilt (ω02 - ω2 )2 ≅ 4ω02 (ω0 - ω )2 .
Dargestellt bzgl. der Energie, d.h. L(ω) ~ x02(ω), spricht man von sog. Lorentzlinien:
δ2
L(ω ) =
(ω 0 − ω ) 2 − δ 2
Ihre Form bzw. ihre relative Steilheit wird durch die sog. Halbwertslinienbreite
∆ω = ½ δ = ¼ c beschrieben (→ Güte, Verlustwinkel, 3dB-Linienbreite).
Physik 4 + 2
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81
5.5
Elektrischer Schwingkreis
Entsprechend den Definitionen der jeweiligen Bauteile/Größen gilt für:
Induktivität L:
Ohmscher Widerstand R:
Kapazität C:
Nach der sog. Maschenregel (→ Kirchhoffsche Gesetze) ist die Summe der
Spannungsabfälle in obiger Schaltung = 0, d.h. es gilt
Die Schwingung wird letztlich von den Ladungen Q im Stromkreis ausgeführt,
mit der Definition des Stroms I = dQ/dt folgt also
Für diese (jetzt bekannte) DGL erhält man als Lösung eine zeitlich sinusförmige
Ladungsverschiebung und somit auch einen sinusförmigen Verlauf von Strom und
Spannung mit der Eigenfrequenz
.
Für einen (in der Praxis immer) gedämpften und getriebenen Schwingkreis, erhält
man Resonanzkurven wie im vorigen Kapitel dargestellt.
Dieses Resonanzverhalten ist z.B. Grundlage für Radiosender und -empfänger.
(→ Elektrischer LC-Schwingkreis, Filter, Radio, Marconi)
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
82
5.6
Gekoppelte / überlagerte Schwingungen
Im Allgemeinen treten mehrere Schwingungen eines Systems gleichzeitig auf.
Sind diese Schwingungen unabhängig, oder nur sehr schwach gekoppelt, überlagern
(addieren) sich einfach die jeweiligen Amplituden.
Sind die Schwingungen gekoppelt, erhält man ein System von Differentialgleichungen, welches sich lösen (entkoppeln) lässt, falls die DGLn linear sind.
Ein einfaches Beispiel besteht aus zwei gleichen Federpendeln, welche durch
eine dritte Feder der Federkonstante D’ gekoppelt sind:
Das entsprechende System von DGLn lautet:
(i)
m1 ⋅ &x&1 + D ⋅ x1 + D'⋅( x1 − x2 ) = 0
(ii)
m2 ⋅ &x&2 + D ⋅ x2 + D'⋅( x2 − x1 ) = 0
Für den Fall gleicher Pendel, d.h. m1 = m2 und D1 = D2 ergibt sich durch
Addition und Subtraktion der Gleichungen (i) und (ii)
m ⋅ ( &x&1 + &x&2 ) + D ⋅ ( x1 + x2 ) = 0
m ⋅ ( &x&1 − &x&2 ) + D ⋅ ( x1 − x2 ) + 2 D'⋅( x1 − x2 ) = 0
Durch Einführung der verallgemeinerten Koordinaten q1=x1+x2 und q2=x1-x2
werden die DGLn entkoppelt und man erhält
q&&1 +
D
⋅ q1 = 0
m
→
ω1 = ω0 =
D
m
q&&2 +
D + 2 D'
⋅ q2 = 0
m
→
ω2 = ω ' =
D + 2 D'
2 D'
= ω0 ⋅ 1 +
m
m
mit der allgemeinen Lösung
q1 (t ) = A1 cos(ω0t ) + A2 sin(ω0t ) = x1 (t ) + x2 (t )
q2 (t ) = B1 cos(ω ' t ) + B2 sin(ω ' t ) = x1 (t ) − x2 (t )
Im Folgenden wird der Fall x&1 (t = 0) = x& 2 (t = 0) = 0 , d.h. A2 = B2 = 0 betrachtet:
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
83
a) Gleichsinnige Auslenkung als Startbedingung:
x1(0) = x0 ; x2(0) = x0
→
A = 2x0 ; B = 0 und damit
x1(t) + x2(t) = q1(t) = A⋅cos(ω0t) = 2x0⋅cos(ω0t)
x1(t) - x2(t) = q2(t) = 0
→
x1(t) = x2(t) = x0⋅cos(ω0t)
1. Fundamentalschwingung mit ω0
b) Gegensinnige Auslenkung als Startbedingung:
x1(0) = -x0 ; x2(0) = x0
→
A = 0 ; B = -2x0 und damit
x1(t) + x2(t) = q1(t) = 0
x1(t) - x2(t) = q2(t) = -2x0⋅cos(ω’t)
→
x1(t) = -x2(t) = -x0⋅cos(ω’t)
2. Fundamentalschwingung mit ω’
c) Nur eine Masse auslenken:
x1(0) = x0 ; x2(0) = 0
→
A = x0 ; B = x0 und damit
x1(t) + x2(t) = q1(t) = x0⋅cos(ω0t)
x1(t) - x2(t) = q2(t) = x0⋅cos(ω’t)
→
Auflösen nach x1 und x2 ergibt →
x1(t) = ½x0 (cos(ω0t) + cos(ω’t))
x2(t) = ½x0 (cos(ω0t) - cos(ω’t))
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
84
Beide Massen schwingen mit ω0 und ω’, infolgedessen wird auch ständig Energie zischen
ihnen ausgetauscht. Allgemein gilt, dass jede Lösung sich als Überlagerung der beiden
Fundamentalschwingungen darstellen lässt.
Für den Fall sehr schwacher Kopplung, d.h. D’ << D, überlagern sich die
Schwingungen ähnlich wie zwei unabhängige Schwingungen verschiedener
Frequenz. Hier gilt:
ω ' = ω0 ⋅ 1 +
2 D'
D' ⎞
⎛
≅ ω 0 ⎜1 + ⎟
D
D⎠
⎝
Mit Einführung einer mittleren Frequenz
und der Differenzfrequenz
ω=
1
2
(ω0 + ω ' ) ≅ ω0
∆ω = ω '−ω 0
ergibt sich
x1 (t ) =
1⎛
⎜ cos(ω −
2⎝
1
2
∆ω )t + cos(ω +
1
2
⎞
∆ω )t ⎟ = x0 cos( 12 ∆ωt ) ⋅ cos(ω t )
⎠
x2 (t ) =
1⎛
⎜ cos(ω −
2⎝
1
2
∆ω )t − cos(ω +
1
2
⎞
∆ω )t ⎟ = x0 sin( 12 ∆ωt ) ⋅ sin(ω t )
⎠
,
d.h. x1 und x2 führen um π/2 phasenverschoben eine Schwingung mit ω ≅ ω0
aus, wobei die Amplitude jeweils mit der langsameren Differenzfrequenz ∆ω
variiert. Man spricht hier von einer SCHWEBUNG.
x1(t)
x2(t)
Schematische Darstellung des Schwingungsverlaufs für x1 und x2 im Fall kleiner Kopplung
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
85
6
Wellen
6.1 Einleitung
Sind viele einzelne schwingende Systeme miteinander gekoppelt, so kann durch
die Kopplung Energie mit endlicher Geschwindigkeit über Entfernungen >> als die
Amplitude der einzelnen Schwingungen übertragen werden. Der Ort der
schwingenden Systeme bleibt im Mittel unverändert, ein Transport von Materie
findet also nicht statt. Man spricht hier von WELLEN.
Man unterscheidet zwischen Longitudinalwellen, bei denen die Ausbreitungsrichtung
in der Schwingungsrichtung liegt, und Transversalwellen, bei denen die
Ausbreitungsrichtung senkrecht zur Schwingungsrichtung liegt.
Transversalwelle
Longitudinalwelle
6.2 Harmonische ebene Welle
Bei einer sinusförmigen Ausbreitung im Raum bzw. in der Zeit spricht man
von einer harmonischen Welle, von einer ebenen Welle bei einer Ausbreitung in
nur einer Richtung (eindimensional).
Nach ‚rechts’ fortschreitende Welle:
Nach ‚links’ fortschreitende Welle:
A Amplitude
λ Wellenlänge
k = 2π/λ Wellenzahl
f Frequenz der einzelnen Schwingung und der Welle
ω = 2πf Kreisfrequenz der einzelnen Schwingung und der Welle
c Ausbreitungsgeschwindigkeit/Phasengeschwindigkeit der Welle
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
86
Beispiele für Phasengeschwindigkeiten:
Longitudinalwellen:
- Schallwelle in Gasen und Flüssigkeiten:
K: Kompressionsmodul, ρ: Dichte
- Schallwelle in Festkörpern:
E: Elastizitätsmodul, ρ: Dichte
Transversalwellen:
- Seilwelle
σ: Seilspannung, ρ: Dichte, A: Seilquerschnitt
- Schallwelle in Festkörpern:
G: Scher- bzw. Schubmodul, ρ: Dichte
- Elektromagnetische Wellen:
in Materie
in Vakuum
ε0: Dielektrische Feldkonstante, εr: Relative Dielektrizitätszahl
µ0: Magnetische Feldkonstante, µr: Relative Permeabilitätszahl
n Brechzahl des Mediums (Optik)
komplexe Darstellung:
A( x, t ) = A0 ⋅ e i ( kx−ωt )
rr
r
i ( k ⋅r −ωt )
A
(
r
,
t
)
=
A
⋅
e
3-dim ebene Welle in beliebiger Richtung k:
0
1-dim ebene Welle:
Wellengleichung:
Die obigen Darstellungen für A(x,t) sind Lösungen der Wellengleichung:
1-dim
A = A(x,t):
3-dim: A = A(x,y,z,t):
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
2
∂2 A
2 ∂ A
−c
=0
∂t 2
∂x 2
2
∂2 A ∂2 A ⎞
∂2 A
2⎛ ∂ A
&& − c 2 ∆A = 0
⎜
− c ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = 0 bzw. A
2
∂z ⎠
∂y
∂t
⎝ ∂x
87
6.3 Intensität einer Welle
Die durch eine Welle transportierte Energie pro Zeit und Fläche nennt man
die Intensität einer Welle. Sie entspricht also einer Leistung pro Fläche.
Bsp.: Mechanische Welle (Wellenmaschine, Seilwelle, schwingende Saite)
→ kein Transport v. Materie, aber Transport v. Energie in Ausbreitungsrichtung
Die Energie des Teilchens der Masse ∆m am Ort x0 zur Zeit t0
mit
entspricht der kinetische Energie bei Nulldurchgang nach Zeit T/4:
Durch Wellenbewegung wird Energie mit Geschwindigkeit c an Nachbarn
weitergegeben. Energiestrom ( = Leistung ):
mit der Energiedichte w = ∆E/∆V, F = Querschnittsfläche eines Volumenelements
Energiestrom/Fläche = Energiestromdichte = Leistung/Fläche =: Intensität
Bsp: mechanische Welle von oben
→
Z = ρc heißt Wellenwiderstand
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
88
AKUSTIK:
Angabe der Intensität über die Lautstärke L:
(Dezibel)
Bezugsschallintensität I0 = 10-12 Watt/m2
( Hörschwelle bei 1 kHz)
oder bzgl. der Schalldruckamplitude p ~ I½ , bzw. I = p²/(ρc)
(Dezibel)
Bezugsschalldruck p0 = 2·10-5 Pa = 20 µPa
Wellenwiderstand:
Longitudinalwellen in FK + Flüssigkeiten:
Elastizitätsmodul E, Kompressionsmodul K, Kompressibilität κ*
ZH2O = ρH2O · cH2O ≅ 1,4·106 kg · m-2 · s-1
Longitudinalwellen in Gasen:
κ = Isentropenexponent; cLuft ≅ 332 m/s
( = Adiabatenexponent )
ZLUFT = ρLuft·cLuft ≅ 428 kg m-2s-1
OPTIK / E.M.-Wellen:
Vakuum:
I = w⋅c =
Vakuumwellenwiderstand
Z 0 :=
1
1 ε0 2
E ⋅ Z0
ε 0 E 2 ⋅ c =:
2
2 µ0
µ0
= 377 Ohm
ε0
In Materie: Z ~ n ⋅ Z 0 = ε r µ r ⋅ Z 0
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
89
6.4 Wellenausbreitung und Intensität
A) Verteilung der Intensität im Raum
(Bsp.: E.M.-Welle im Vakuum)
Ebene Welle:
Intensität bleibt erhalten.
→
Kugelwelle:
→
Energie bzw. Intensität verteilt sich auf Kugeloberflächen ~ 4πr2 .
(gilt auch für „Halbkugeln“ wie z.B. Glühbirne)
B) Dämpfung bei Ausbreitung in Medium
Sind die verbundenen schwingenden Komponenten gedämpft,
so wird auch die Welle längs ihrer Ausbreitungsrichtung gedämpft,
d.h. Ihre Amplitude und ihre Intensität nimmt ab.
Dämpfung = Energieverlust pro Wegstrecke dx: dI ( x) = − I ( x) ⋅ α ⋅ dx
α: materialspezifischer Dämpfungsparameter (Extinktionsfaktor)
dI ( x)
= −α dx
I ( x)
Integration →
⎛ I ( x) ⎞
⎟⎟ = −α x
ln⎜⎜
⎝ I0 ⎠
→
Optik: Lambert-Beersches Gesetz
oder wegen I ~ A 2 gilt für die Amplitude: A( x) = A0 ⋅ e
− 12 α x
→
Längsgedämpfte ebene Welle:
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
90
6.5 Überlagerung von Wellen - Dopplereffekt
Für (lineare harmonische) Wellen gilt das Superpositionsprinzip:
Treffen Wellen aufeinander, so addieren sich lokal Ihre
Amplituden, die Ausbreitung beider Wellen bleibt unverändert
Doppelreffekt:
A) Tatütata:
Quelle bewegt sich mit Geschwindigkeit v auf im Medium ruhenden Beobachter zu.
→ Wellenlänge wird um v⋅T verkürzt
Quelle in Ruhe:
→
Quelle bewegt:
bzw.
→
Überschallknall entspricht „Bugwelle“ für v ≥ c.
Winkel α des Mach’schen Kegels:
v=c:
v>c:
(vgl. auch Kiel- bzw. Bugwelle eines Schiffs bei Wasserwellen)
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
91
B) Tatatatü:
Beobachter bewegt sich mit Geschwindigkeit v auf im Medium ruhende Quelle zu.
→ Wellenlänge bleibt erhalten, c erscheint um v vergrößert, (T entspr. verkleinert):
C) beide bewegt:
Beobachter bewegt sich relativ zum Medium mit Geschwindigkeit vB auf Quelle zu,
Quelle bewegt sich relativ zum Medium mit vQ auf Beobachter zu:
→
D) Dopplereffekt bei Licht:
Licht (E.M.-Welle) breitet auch im Vakkuum aus, es existiert kein ‚Lichtäther’.
(vgl. hierzu Experiment von Michelson u. Morley.) Entscheidend für den Dopplereffekt
ist daher nur die Relativgeschwindigkeit (v ≅ vQ - vB für v << c) von Quelle und
Beobachter.
→
Meist gilt v << c und damit:
Anwendung/Relevanz:
- Linienverbreiterung in Spektroskopie
- Verschiebung ganzer Spektren →
- Astronomie: Geschwindigkeitsmessungen und Entfernungsbestimmungen durch
Messung der ‚Rotverschiebung’ z = ∆λ/λ.
(Stichworte: Dopplerverbreiterung, Fluchtgeschwindigkeit, Expandierendes
Universum, Hubble-Konstante, Quasare)
Anmerkung:
In allen Formeln zum Dopplereffekt wurde die Geschwindigkeit positiv für aufeinanderzu bewegte
Objekte betrachtet, entfernen sie sich voneinander ist lediglich v durch -v zu ersetzen.
Physik 4 + 2
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92
6.6 Reflexion von Wellen
Trifft eine Welle auf ein Medium mit anderem
Wellenwiderstand Z2, wird sie teilweise reflektiert
Aus der Stetigkeit der Amplituden an der Grenzfläche ( A0 + Ar = Atr ) und der
Energieerhaltung ( I0 = Ir + Itr ) folgt die Amplitude der reflektierten Welle Ar
und der transmittierten Welle Atr:
Für Z2 > Z0 wird Ar negativ,
die reflektierte Welle erfährt einen Phasensprung um π.
Für die Intensitäten gilt:
Reflexionsfaktor
Transmissionsfaktor (Energieerhaltung!)
Diese Gesetzmäßigkeit gilt allgemein für Transversal- und Longitudinalwellen.
Speziell in der Optik gilt wegen Z ~ n Z0 bei Übergang von Medium 1 nach 2:
Physik 4 + 2
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93
6.7 Stehende Wellen
Stehende Wellen entstehen durch (mehrfache) Überlagerung von
Wellen mit ihren reflektierten Wellenzügen. Sie verhalten sich
wie eine Schwingung und können auch als solche beschrieben werden:
Wellen sind ‚laufende Schwingungen’, stehende Wellen sind Schwingungen.
Stehende Welle durch Reflexion an dichteren Medien:
Die reflektierte Welle erfährt einen Phasensprung um π, an der Grenzfläche
zwischen den Medien entsteht ein ‚Schwingungsknoten’.
Stehende Welle durch Reflexion an dünneren Medien:
Die reflektierte Welle erfährt keinen Phasensprung, an der Grenzfläche
zwischen den Medien entsteht ein ‚Schwingungsbauch’.
Bei gegebener Frequenz ist Wellenlänge mit c des Mediums festgelegt.
Eine stehende Welle ist möglich für:
Resonanzbedingung
Physik 4 + 2
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94
umgekehrt:
Für gegebenes L und c tritt Resonanz nur für bestimmte Frequenzen fi = c/λi auf:
Grundschwingung
1. Oberschwingung
2. Oberschwingung
n-1. Oberschwingung
Bsp.: Schwingende Saiten bei Musikinstrumenten
Stehende Welle durch Reflexion an dünnerem bzw. dichterem Medium:
Eine stehende Welle ist hier möglich für („links Knoten - rechts Bauch“):
Bsp: Mechanische Schwingung einer Stabantenne am Auto, Pfeife, Flöte
Physik 4 + 2
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95
Mathematische Beschreibung bei Reflexion am dichteren Medium:
A(x,t) = Ahin + Arück = A0cos(kx-ωt) + A0cos(kx+ωt + π)
cos(α + π ) = − cos(α )
→
A(x,t) = Ahin + Arück = A0cos(kx-ωt) - A0cos(kx+ωt)
cos(α ± β ) = cos(α ) cos( β ) m sin(α ) sin( β )
→
A(x,t) = Ahin + Arück = A0[ { cos(kx)cos(ωt) + sin(kx)sin(ωt) } { cos(kx)cos(ωt) - sin(kx)sin(ωt) } ] →
A(x,t) = 2A0 sin(kx)sin(ωt)
→ in Raum und Zeit periodisch,
→ aber nicht mehr fortschreitend !
→ für kx = nπ immer Amplitude von 0: “Knoten“
→ für kx = nπ + ½π maximale, mit sin(ωt) varierende Amplitude: “Bäuche“
→ Orte der Knoten und Bäuche im Raum fest: „stehende Welle“
AKUSTIK:
Maximale Amplitude der (lokalen) Schwingungen entspricht Schallschnelle,
Orte mit maximaler „Schalldruckamplitude“ bzw. zeitlich max. Druckschwankung
sind um λ/4 verschoben! Bei stehenden Wellen werden dadurch Knoten und Bäuche
vertauscht !
OPTIK / E.M.-Wellen:
Anpassung, d.h. Minimierung von Reflexion, erreichbar durch
- λ/4 Schichten (Entspiegeln)
- λ/4 Trafo’s („Transformation von Wellenwiderständen auf Bezugsebene“)
Problem: Anpassung nur „schmalbandig“ möglich, d.h. nur für kleinen Bereich von
Wellenlängen bzw. Frequenzen.
Physik 4 + 2
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Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
97
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
98
6.8 Interferenz
Als Interferenz bezeichnet man die Überlagerung von
Wellen gleicher Frequenz und fester Phasenbeziehung.
(Stichwort: Kohärenz)
Konstruktive Interferenz:
→ Verstärkung
Überlagerung bei gleicher Phase
Destruktive Interferenz:
→ Auslöschung
Überlagerung bei Phasenunterschied von π,
bzw. Gangunterschied von λ/2
Räumliche Interferenzmuster ergeben sich bei Überlagerung
von kohärentem Licht unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung:
→ Interferenz von Wasserwellen
→ Interferometer (Michelson, Fabry-Perot, Laser, ...)
→ Genaueste Messungen von Weglängen in der Größenordnung von λ
→ Planparallele Schichten, Entspiegelung von Gläsern
→ Vielfachreflexion bzw. Vielstrahlinterferenz, Fabry-Perot Interferometer
→ Beugung an Spalt und Gitter
Physik 4 + 2
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99
6.9 Beugung
Unter Beugung versteht man die Ablenkung von Wellen, d.h. die Änderung
ihrer Ausbreitungsrichtung soweit sie nicht durch Brechung bedingt ist.
Erklärung: Huygens’sches Prinzip:
Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt
einer neuen kugelförmigen Elementarwelle
Ebene Welle
6.9.1
Kante
Spalt
Beugung am Spalt
Vereinfachte Darstellung:
Betrachte jeweils 2 Elementarwellen, welche Spalt in halbem Spaltabstand b/2 in
gleicher Richtung verlassen und destruktiv interferieren (→ Minima).
→ Minima für:
mit n = 1, 2, 3, ..
Die Lage der Maxima lässt sich nicht im vereinfachten Bild erklären, sie liegen
aber zwangsläufig zwischen den Minima:
→ Maxima für:
und α = 0
Physik 4 + 2
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mit n = 1, 2, 3, ..
100
Intensitätsverteilung ergibt sich aus Integration über alle Teilstrahlen /
Elementarwellen des Spalts in einer Richtung:
I SPALT
λ = 0,5 µm
⎛ sin x ⎞
= I0 ⎜
⎟
⎝ x ⎠
2
mit
x=
π ⋅b
sin α
λ
b = 0,1 µm
1
I Spalt ( α )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
0.5
1
0.5
1
sin( α )
λ = 0,5 µm
b = 0,5 µm
1
I Spalt ( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
λ = 0,5 µm
b = 1 µm
1
I Spalt ( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
λ = 0,5 µm
b = 2 µm
1
I Spalt ( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
101
6.9.2
Beugung am Doppelspalt
Vereinfachte Darstellung:
Betrachte Elementarwellen, welche Spalte im Abstand d in gleicher Richtung
verlassen und konstruktiv interferieren (→ Maxima). Die Spalte seien zunächst
sehr klein gegen die Wellenlänge:
mit n = 0, 1, 2, 3, ..
→ Maxima für:
Die Lage der Minima ergibt sich entsprechend für einen Gangunterschied von
einer halben Wellenlänge:
∆ = d ⋅ sin α =
1 3 5
λ , λ , λ , ... → Minima für:
2 2 2
sin α = (2n + 1) ⋅
λ
2⋅d
mit n = 0, 1, 2, 3, ..
Die Intensitätsverteilung ergibt sich aus der phasengerechten Summation beider
Teilstrahlen, d.h. der Elementarwellen der Spalte in einer Richtung:
Doppelspalt-Interferenzfunktion:
I DS − IF = I 0 cos 2 ( y )
mit
y=
π ⋅d
sin α
λ
Bei Berücksichtigung der endlichen Spaltbreite ergibt sich das Gesamtbeugungsbild
aus der Überlagerung (Multiplikation) der Doppelspalt-Interferenzfunktion mit
der Beugungsfunktion des Spaltes:
I DS = I Spalt ⋅ I DS − IF
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
⎛ sin x
⎞
= I0 ⎜
⋅ cos y ⎟
⎝ x
⎠
2
mit
x=
π ⋅b
sin α ,
λ
y=
π ⋅d
sin α
λ
102
Beugungsfunktion des Doppelspalts für λ = 0,5 [µm]:
b = 0,1 ; d = 1
1.2
1
Spalt( α )
Doppelspalt( α )
Spalt( α ) . Doppelspalt( α )
0
0.5
0
1
0.5
b = 0,1 ; d = 3
0
0.5
sin( α )
1
1
1
1
Spalt( α )
Doppelspalt( α )
Spalt( α ) . Doppelspalt( α )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
0.5
1
sin( α )
b = 1 ; d = 3
1
Spalt( α )
Doppelspalt( α )
Spalt( α ) . Doppelspalt( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
b = 2 ; d = 10
1
Spalt( α )
Doppelspalt( α )
Spalt( α ) . Doppelspalt( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
103
6.9.3
Beugung am Gitter
Vereinfachte Darstellung:
Betrachte Elementarwellen, welche Spalte im Abstand d in gleicher Richtung
verlassen und konstruktiv interferieren (→ Maxima). Die Spalte seien zunächst
sehr klein gegen die Wellenlänge. (Prinzipiell wie Doppelspalt, jedoch durch die
Vielstrahlinterferenz deutlichere Maxima.)
mit n = 0, 1, 2, 3, ..
→ Maxima für:
Die Minima sind - zwischen weiteren Nebenmaxima - zwischen den Maxima verteilt.
Typischerweise sind nur die Maxima deutlich sichtbar und aufgrund der Vielstrahlinterferenz an N Spalten sehr ausgeprägt. Die Gesamtbeugungsfunktion ergibt sich
wieder aus der Überlagerung von Gitter- und Spaltbeugung:
I = I SPALT ⋅ I Gitter
⎛ sin x ⎞
= I0 ⎜
⎟
⎝ x ⎠
2
⎛ sin( N ⋅ y ) ⎞
⎟⎟
⋅ ⎜⎜
⎝ N ⋅ sin( y ) ⎠
2
π ⋅b
sin α
λ
π ⋅d
y=
sin α
λ
x=
Stichworte:
→ Dispersives Element, Gitterspektrometer, Spetrallinien
→ Raumgitter, Röntgenbeugung, Gitterkonstanten, Strukturanalyse
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
104
Gitterbeugungsfunktionen für λ = 0,5 µm und verschiedene Gitterparameter:
b = 1 µm
d = 5 µm
1
Spalt( α )
Gitter( α )
N=3
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
0.5
1
0.5
1
sin( α )
b = 0,2 µm
d = 2 µm
1
Spalt( α )
Gitter( α )
N=3
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
b = 0,2 µm
1
d = 2 µm
Spalt( α )
Gitter( α )
N=6
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
b = 0,2 µm
1
Spalt( α )
d = 2 µm
N = 20
Gitter( α )
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
105
6.9.4
Auflösungsvermögen optischer Geräte
A) Mikroskop (Theorie nach Abbe)
Annahme:
Licht zweier nah beieinanderliegender Gegenstandspunkte
Abstand d ≥ λ ist zwangsweise kohärent.
Man betrachtet daher diese Bildpunkte wie die beiden Spalte eines Doppelspaltes→
Abbe:
2 Punkte sind auflösbar, falls mindestens das 1 Minimum des
Doppelspaltbeugungsbildes in das Objektiv des Mikroskops fällt,
d.h. d⋅sinα = 1⋅λ .
Für ein unendlich großes Objektiv wird max. Beugungswinkel 90° und damit
gilt als absolute Grenze (unabhängig von der Art des Mikroskops) dmin ≅ λ .
B) Fernrohr
Annahme:
Licht zweier weit (voneinander) entfernter Gegenstandspunkte,
z.B. zweier Sterne, ist sicher inkohärent.
Die beugende Struktur ist hier die Apertur A des Fernrohres, welches zwei
unabhängige Beugungsscheibchen (vereinfacht: entsprechend Spalt) erzeugt.
Kleinster auflösbarer Winkelabstand αmin , unter welchem die zwei Objekte
(ohne Optik) erscheinen:
α min =
λ
A
C) Spektrales Auflösungsvermögen
Betrifft Trennvermögen bzgl. den unterschiedlichen Wellenlängen eines Spektrums.
Rayleighkriterium:
Zwei „Farben“ sind gerade noch als getrennte Linien erkennbar, wenn
ihr Abstand größer ist als ihre spektrale Halbwertslinienbreite.
Bsp.: Das Auflösungsvermögen AV eines optischen Gitters ist AVG = n · N,
wobei n die verwendete Ordnung und N die Zahl der verwendeten bzw.
der beleuchtetet Spalte beschreibt.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
106
6.10
Brechung
Fällt eine Welle (nicht senkrecht) auf ein Medium mit anderem
Wellenwiderstand (bzw. Brechungsindex), ändert sich ihre Ausbreitungsrichtung.
Man spricht hier von Brechung.
A) Snelliussches Brechungsgesetz
Betrachte ebene Welle, welche schräg auf die Grenzfläche zwischen zwei
Medien fällt. (Die Grenzfläche sei eben für Bereiche ≥ λ .)
Die Frequenz der Welle ändert sich nicht. Aufgrund der verschiedenen
Ausbreitungsgeschwindigkeiten aber die Wellenlängen entsprechend
Betrachte zwei Teilstrahlen, welche mit dem Gangunterschied λ1 die Grenzfläche
im Abstand x erreichen. Nach dem Huygensschen Prinzip überlagern sich die
Teilwellen mit dem Gangunterschied λ2 im Medium 2 konstruktiv zu einer neuen
Wellenfront, so dass gilt:
In der Optik gilt mit
ci =
1
ε i ⋅ µi
=
1
ε 0ε r i ⋅ µ 0 µ r i
=
c0
ε r i ⋅0 µ r i
=
c0
ni
ni Brechungsindizes; nij Brechzahl
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
107
B) Doppelbrechung
Bei anisotropen Medien hängt die Brechzahl von der Schwingungsrichtung
der Welle (Polarisation) ab. (In der Optik wird die Polarisation durch die
Schwingungsrichtung des E-Feldes definiert.) Dadurch werden die Anteile
unterschiedlicher Polarisation (Teilstrahlen) i.A. unterschiedlich gebrochen.
Man spricht von Doppelbrechung.
(klass. Bsp.: Doppelbrechung von Licht an Kalkspat oder Quarz Einkristallen)
C) Totalreflexion (hier: Optik)
Betrachte das Snelliussche Brechungsgesetz für den Übergang vom optisch
dichteren Medium ins optisch dünnere, also für n1 > n2: Das Licht wird jetzt
„vom Lot weg“ gebrochen. Wird der Einfallswinkel α1 größer, so wird bei einem
Winkel α1 = αgrenz der Austrittswinkel α2 = 90° und das Licht kann nicht mehr in
das Medium 2 übergehen. Es wird zwangsläufig vollständig (total) reflektiert.
Entsprechend Snellius gilt hier:
(Anwendung: Refraktometer / Abbe-Refraktometer, vgl. Übungen)
Anmerkung:
Der Grad der Reflexion ist auch von der Polarisation des Lichtes und den
entsprechenden Eintrittswinkeln abhängig (vgl. Doppelbrechung). Dies ergibt sich
aus der Anwendung der Stetigkeitsbedingung (vgl. 4.6) für das elektrische Feld an
der Grenzfläche, welche nur für die tangential zur Grenzfläche liegende
Komponente gilt. Daher ändern sich die Anteile der Polarisationen für das
reflektierte Licht mit dem Winkel; für eine bestimmten Winkel, den sog.
Brewsterwinkel αBrewster = arctan(n2/n1), ist das reflektierte Licht sogar vollständig
polarisiert.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
108
6.11
Dispersion
Die Brechung von Wellen an Grenzflächen ist nicht nur von der Polarisation und
dem Eintrittswinkel abhängig, sondern auch wesentlich von der Wellenlänge bzw.
der Frequenz der Welle.
Ursache hierfür ist die frequenzabhängige Wechselwirkung der Welle mit der
Materie des Mediums, wodurch die Phasengeschwindigkeit der Welle i.A. eine
Funktion der Frequenz wird.
• keine (oder lineare) Dispersion liegt vor, wenn gilt
c = f ⋅λ =
ω
k
mit
= const
dc
=0
dλ
bzw. v g ≡
dω
=c
dk
d.h. c ist konstant; z.B. Licht/E.M. Welle in Vakuum
• normale Dispersion liegt vor, wenn gilt
c = f ⋅ λ( f ) =
ω (k )
k
≠ const ,
mit
dc
>0
dλ
bzw. v g ≡
dω
<c
dk
d.h. die Ausbreitungsgeschwindigkeit c wird mit der
Wellenlänge größer; z.B. sichtbares Licht in Materie
• anomale Dispersion liegt vor, wenn gilt
c = f ⋅ λ( f ) =
ω (k )
k
≠ const ,
mit
dc
<0
dλ
bzw. v g ≡
dω
>c
dk
d.h. c wird mit der Wellenlänge kleiner;
z.B. fernes UV-Licht in Materie, Mikrowellen in Hohleiter
Anwendung: Prismenspektralapparat, Regenbogen
Anmerkung: In der Nachrichtentechnik werden Signale mit Hilfe verschiedener
Frequenzen übertragen, breiten sich diese in Folge einer Dispersion unterschiedlich
schnell aus, kann es zu einem Signalverlust kommen. Der Schwerpunkt eines Wellenpaketes,
welches aus verschiedenen Frequenzen besteht, breitet sich mit der sog.
Gruppengeschwindigkeit vg = dω/dk aus.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
109
7
7.1
7.1.1
Optik
Strahlenoptik
Fermat’sches Prinzip
A) Optische Weglänge
Durch die Einführung der optischen Weglänge
wird die geringere Phasengeschwindigkeit c’ in einem Medium auf ein
scheinbar vergrößerte Weglänge abgebildet. n bezeichnet hier den Brechungsindex
im Medium und s die jeweilige geometrische Weglänge.
B) Fermat’sches Prinzip
Bsp:
Optische Weglänge in Medium 1:
Optische Weglänge in Medium 2:
Gesamte Optische Weglänge: ∆(x) = ... → Min. , d.h.
daraus folgt
n1 ⋅
x
s AX
= n2 ⋅
c−x
s XB
und mit sin α 1 =
!
d
∆ ( x) = 0
dx
x
s AX
bzw.
sin α 2 =
c−x
s XB
unmittelbar das Snelliussche Brechungsgesetz: n1 ⋅ sin α 1 = n 2 ⋅ sin α 2
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
110
7.1.2
Optische Linsen
Linsen dienen der gezielten Lichtbrechung durch gekrümmte Oberflächen.
Der Strahlengang berechnet sich durch die lokale Anwendung des Snelliusschen
Brechungsgesetzes (vgl. „Linsen.exe“):
A) Linsenformen:
Bikonvex, Plankonvex, Bikonkav, Plankonkav, konvex-konkav
B) Hauptebenen:
Zur Vereinfachung der Beschreibung des Strahlenganges einer Linse
werden sog. Hauptebenen eingeführt. Die Brennweite f entspricht dem Abstand
Hauptebene Fokus, an welchem parallel einfallende Strahlen zusammenlaufen.
Bei Konkavlinsen wird die Brennweite negativ angegeben, sie entspricht dem
Abstand zum virtuellen Fokus (→ virtuelles Bild).
Bei dicken Linsen oder Linsensystemen sind i.A. zwei Hauptebenen nötig, um das
Abbildungsverhalten richtig zu beschreiben. Für asymmetrische Linsen bzw.
Linsensysteme liegen diese in ungleicher Entfernung vom Linsenmittelpunkt.
(Stichwort: „Dicke Linse“)
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
111
C) Brechwert, Linsenmacherformel:
D=
1
f
nennt man Brechtwert (Brechkraft) einer Linse.
Einheit: Dioptrie, 1 dptr = 1 m-1
Für eine Sphärische Linse mit den Krümmungsradien r1 und r2 gilt näherungsweise
die Linsenmacherformel:
D) Linsenfehler:
- Sphärische Aberration
Sphärische Linsen fokussieren nur für große Krümmungsradien
bzw. achsnahe Strahlen hinreichend gut. (vgl. „Linsen.exe“)
- Astigmatismus
uneinheitliche Krümmungsradien in der zur opt. Achse senkrechten Ebene
(zylindrische Verformung) führen zu verschiedenen Brennweiten bzw. zu
einer ‚Brennlinie’ statt einem Brennpunkt.
- Chromatische Aberration
Infolge der Dispersion des Linsenmaterials hat die Linse für Licht
verschiedener Wellenlänge verschiedene Brennpunkte.
Abhilfe schaffen komplexe Linsensysteme mit Linsen
aus verschiedenen Materialien bzw. Brechzahlen.
Hohlspiegel zeigen diesen Fehler nicht. Daher werden insbesondere bei Spektral-
apparaten eher Hohlspiegel als Linsen verwendet. Zudem zeigen diese neben der
fehlenden Dispersion auch keine Absorption, d.h. das Licht (insbesondere UV-Licht)
wird nicht gedämpft. Überhaupt werden häufig Spiegel statt Linsen verwendet, wenn
die verfügbaren Intensitäten schwach sind: Linsen mit Durchmessern größer als z.B.
einen Meter sind teuer, schwer und damit mechanisch instabil.
In der Astronomie findet man daher eigentlich eher Spiegelteleskope.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
112
7.1.3
Bildkonstruktion
A) Abbildungsgesetz
Die Abbildung eines Gegenstandspunktes (Pfeilspitze) lässt sich mit Hilfe der
Hauptebene und zwei Strahlen einfach konstruieren:
1. Der Parallelstrahl wird an H durch F’ gebrochen.
2. Umgekehrt wird der Fokusstrahl and der Hauptebene zu einem Parallelstrahl
hinter der Linse gebrochen.
( 3. Häufig auch betrachtet: der Mittelpunktsstrahl wird nicht gebrochen)
Durch betrachten von tanϕ (Strahlensätze) folgt das Abbildungsgesetz
und nach etwas Umformung die Linsen-Abbildungsformel:
B) Linsensysteme
Die Brechkraft (direkt) hintereinandergeschalteter Linsen addiert sich:
→
(Bei Konkavlinsen ist das negative Vorzeichen von f zu beachten!)
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
113
Offen bleibt jedoch die Frage der Bildkonstruktion, da bei der zweiten Linse
der Fokusstrahl nicht mehr konstruiert werden kann:
Da die Brechkraft der Linsen sich addiert (vgl. o.), sollte eine Konstruktion mit
der Brennweite f möglich sein, jedoch muss hier auch der Abstand der beiden
Einzellinsen berücksichtigt werden!
C) Hauptebenen (Dicke Linsen)
Durch Einführung von zwei Hauptebenen (für obiges Linsensystem ca. im
Abstand der beiden Linsen an den Orten H1 und H2) und der Gesamtbrennweite f
konstruiert sich die Abbildung wie folgt:
1. Der Parallelstrahl wird an der zweiten Hauptebene H’ durch F’ gebrochen.
2. Umgekehrt wird der Fokusstrahl durch F an H zu einem Parallelstrahl.
Auch für dicke Linsen müssen für eine gute Beschreibung der Abbildung zwei
Hauptebenen H und H’ und i.A. auch zwei Brennweiten f und f’ verwendet werden.
Obige Darstellung ist etwas vereinfacht:
Für ein Linsensystem aus zwei verschiedenen Linsen oder eine asymmetrische
dicke Linsen liegen die Hauptebenen H und H’ asymmetrisch im Linsenkörper oder
sogar außerhalb von ihm. Die Brennweiten f und f’ links bzw. rechts der Linse sind
jedoch betragsmäßig gleich, falls die Linse an Medien gleicher Brechzahl grenzt.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
114
7.1.4
Optische Geräte
A) Sehwinkel
Der Sehwinkel für einen ohne Hilfsmittel betrachteten Gegenstand ist abhängig
von der Größe und der Entfernung des Objektes. Für einen (kleinen) Gegenstand
wird als Bezugsgröße der Sehwinkel ε0 definiert, der sich bei Betrachtung des
Gegenstandes aus der Bezugssehweite (deutliche Sehweite) von 25 cm ergibt:
B) Vergrößerung
Durch Einbringen eines optischen Geräts in den Strahlengang wird der Sehwinkel,
also der Winkel unter dem das Bild eines Gegenstandes erscheint, vergrößert.
Als Vergrößerung V bezeichnet man das Verhältnis der Winkel ε/ε0 .
Wenn der Sehwinkel sehr klein ist gilt auch ε ≅ tan ε = G/g
C) Lupe
Ein Lupe wird betrieben mit g ≤ f, wobei das Bild mit einem entspannten Auge
betrachtet wird, d.h. Starhlen eines Bildpunktes fallen parallel in das Auge. Man
erhält ein virtuelles (hier aufrechtes) Bild mit einer Vergrößerung V von:
→
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
( in praxi V ≤ 10 )
115
D) Mikroskop
Das Mikroskop besteht aus einem Linsensystem mit mindestens 2 Konvexlinsen.
Das vom Objektiv erzeugte Zwischenbild B wird mit dem Okular wie mit einer
Lupe betrachtet:
- Lateralvergrößerung durch Objektiv:
- Vergrößerung durch Okular ~ Lupe:
→ Gesamtvergrößerung:
( z.B.: f ≅ 3mm; b ≅ 300mm → VMik ≅ 1000 ; Stärke Vergrößerungen
machen aus wellenoptischen Gründen keinen Sinn, vgl. 4.9.4)
E) Fernrohr
Hier sog. astronomisches Fernrohr: Aufbau vergleichbar mit Mikroskop, jedoch
sind hier die einfallenden Strahlen praktisch parallel, d.h. g → ∞. Das Zwischenbild
erscheint daher direkt hinter dem Brennpunkt des Objektivs, womit fobj und fok
praktisch zusammenfallen:
Mit tan ε 0 ≅ ε 0 ≅
B
B
und tan ε ≅ ε ≅
gilt:
f ok
f obj
(s.a.: Keplersches - oder Galileisches Fernrohr)
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
116
7.2
Quantennatur des Lichts
Newtons Teilchenhypothese des Lichts ist ungeeignet zur Beschreibung
der Ausbreitung des Lichts. Zur Erklärung von z.B. Beugung und Interferenz
muss das Wellenmodell verwendet werden.
Es zeigt sich jedoch, dass zur Beschreibung von Wechselwirkungen des Lichts
mit Materie (Absorption und Emission) wieder ein Teilchencharakter des Lichts
angenommen werden muss (→ Lichtquanten, Photonen)
7.2.1
Photoeffekt
Fällt (monochromatisches) Licht auf eine (elektrisch leitende) Kathode in einer
Vakuumröhre, so können durch das Licht Elektronen ausgelöst werden. Die über die
Anode abfließenden Elektronen können als elektrischer Strom gemessen werden:
Dieser Strom nimmt mit der Lichtintensität zu, kann aber unabhängig von der
Lichtintensität I durch Anlegen einer Gegenspannung U0 zum versiegen gebracht
werden! Man beobachtet, dass die jeweilig anzulegende Spannung U0 eine lineare
Funktion der Frequenz f des eingestrahlten Lichts ist:
U 0 = U 0 ( f ) = const ⋅ f − ∆U
∆U = const ⋅ f grenz
Auch ohne Anlegen einer Gegenspannung, also für U0 = 0 , wird erst ab f ≥ fgrenz
ein Photostrom beobachtet. ∆U ist weder von der Frequenz noch von der
Intensität des Lichts abhängig sondern nur abhängig von den verwendeten
Materialien im Versuchsaufbau.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
117
Erklärung (Einstein, 1905):
Licht kann seine Energie nur in ‚Portionen’ abgeben, wobei eine
‚Energieportion’ E = h⋅f ein Lichtquant bzw. ein Photon definiert.
h ist das sog. Planck’sche Wirkungsquantum: h = 6,626⋅ 10-34 J⋅s
Interpretiert man ∆U⋅e als Austrittsarbeit ∆WA, welche geleistet werden
muss, um die Elektronen aus der Kathode zu lösen, ergibt sich:
U ⋅ e + ∆U ⋅ e = U ⋅ e + ∆W A = const ⋅ f ≡ h ⋅ f = E PHOTON
Es fließt demnach nur ein Strom, wenn die Energie der eingestrahlten Photonen
größer ist als ∆WA, und die ausgelösten Elektronen noch eine positive kinetische
Energie Ekin = h⋅f - ∆WA erhalten.
Anwendungen des Photoeffekts:
- Lichtintensitätsmessung
Photozelle wie oben abgebildet wird bei pos. angelegter Spannung U
in Sättigung betrieben. Der Photostrom ist dann proportional zur
Lichtintensität, d.h. zur Zahl einfallender Photonen (Bsp.: Geigerzähler)
- Sekundärelektronenvervielfacher
(→ Photomultiplier) Über die Erzeugung von Photonen durch einzelne schnelle
Elektronen, werden wiederum in einer Hochspannungsanordnung mittels des
Photoeffekts viele Elektronen ausgelöst und damit zu leicht messbaren
Stromstößen. (s.a. REM)
- Halbleiterbauteile wie z.B. Solarzelle ( innerer Photoeffekt )
Durch Absorption eines Photons wird ein Atom bzw. Molekül ionisiert. Das freie
Elektron verlässt aber das Material nicht, sondern bleibt als Ladungsträger
in dem Festkörper erhalten (Anhebung ins Leitungsband).
So wird die Leitfähigkeit bzw. der elektr. Widerstand des Halbleiters abhängig
von der Lichtintensität (→ Photosensoren).
Werden bei geeigneter Kombination von Halbleitern die vom Licht erzeugten
Ladungen getrennt, kann die Lichtenergie in elektrischen Strom umgewandelt
werden.
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
118
7.2.2
Teilchen-Welle Dualismus; Materiewellen
A) Elektronenstreuexperiment von G.P. Thomson (1892-1975) 1927 :
Thomson beschoss eine Graphitfolie mit in einer Vakuumröhre beschleunigten
Elektronen. Das beobachtete Interferenzbild am Schirm kann nur durch
Welleneigenschaften der Elektronen erklärt werden.
bereits zuvor:
B) De Broglie (1892-1987) Wellenlänge von Teilchen 1924 :
Teilchen haben entsprechend ihres Impulses p (d.h. ihrer Masse und kinetischen
Energie) eine Wellenlänge
h
λ deBroglie =
p
und breiten sich wie Wellen aus.
Für im E-Feld beschleunigte Elektronen gilt mit E kin =
λe =
−
h
=
p
p2
1
me v 2 =
=U ⋅e:
2
2 ⋅ me
h
2 ⋅ me ⋅ U ⋅ e
Streuexperimente wie das von Thomson lassen sich so erklären. Es zeigt sich
letztlich, das ein Teilchen nicht durch eine Welle allein sondern durch ein
Wellenpaket beschrieben werden muss. Die Teilchengeschwindigkeit entspricht
der Gruppengeschwindigkeit dieses Wellenpaketes und nicht der (größeren)
Phasengeschwindigkeit.
In Folge der Dispersion laufen diese Wellenpakete „mit der Zeit auseinander“, wodurch der
Ort eines Teilchens immer unbestimmter wird. Hier zeigen sich
bereits die begrifflichen Schwierigkeiten der ‚Wellenmechanik’ bzw. der Quantentheorie
(→Unschärferelation, Messprozess).
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
119
8.
8.1
8.1.1
Aufbau der Materie
Atomphysik
Atommodelle
A) Spektrallinien
Licht wird von Materie / Atomen i.A. nicht als kontinuierliches Spektrum,
sondern insbesondere von Gasen als Linienspektrum emittiert.
Balmer (1825-1898) fand 1885 empirisch, dass das Linienspektrum des
Wasserstoff darstellbar ist als:
f =
1 ⎞
⎛ 1
= Rf ⎜ 2 − 2 ⎟
λ
n ⎠
⎝m
c
Rf = 3,288·1015 Hz, Rydbergfrequenz
Neben den chemischen Eigenschaften der Atome, musste ein gutes Modell
für den Aufbau eines Atoms auch die Spektrallinien erklären können.
B) Atommodell von J.J. Thomson (1856-1940) 1904:
Spektrallinien ?
Streuversuch von Rutherford?
C) Streuversuch von Rutherford (1871-1937) 1911:
Beschuss einer dünnen Goldfolie
mit Teilchen (He2+-Kernen):
Die meisten Teilchen werden kaum
oder gar nicht abgelenkt
Winkelverteilung der Streustrahlung war theoretisch nur
erklärbar mit der Annahme von
„harten“ schweren Kernen mit
Durchmessern von ca. 10-15 m,
also viel kleiner als Atom mit ca. 10-10 m!
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
120
D) Rutherford / Bohrsches (1885-1962) Atommodell 1916:
Fe =
1 e 2 ! me v 2
=
= Fz
4πε 0 r 2
r
E pot = −
1 e2
4πε 0 r
;
Ekin =
1
me v 2
2
→ Gesamtenergie
Eges = Ekin + E pot = −
1 e2
8πε 0 r
Strahlung?
Forderung Bohr: Stabile Bahn nur für
!
Wirkung = ∫ pdq = n ⋅ h
→
rn =
bzw.
r
l = n⋅h
n 2ε 0 h 2
=: n 2 r0
π mee 2
En = −
n = 1, 2, 3, ..
1 me e 4
1
=: − 2 E A
2
2
n 8ε 0 h
n
n: Energie / Hauptquantenzahl ( Energien bzgl. l entartet)
Das Spektrum des H-Atoms:
En = −
1 me e 4
1
1
= − 2 2,18010 ⋅ 10 −18 J = − 2 13,6 eV
2
2
n 8ε 0 h
n
n
Emission / Absorption:
hf i ,k = hω i ,k = ∆Ei ,k = Ei − E k = 13,6 eV ⋅
1
1
− 2
2
i
k
i, k = 1, 2, 3 ..
→
f i ,k =
∆E i , k
h
=
13,6 eV 1
1
⋅ 2 − 2
h
i
k
Die Balmer Serie entspricht Übergängen von
angeregten Zuständen mit n = 3, 4, 5, .. auf den
Zustand n = 2. Später beobachtet:
→ n = 1: Lyman-Serie (UV)
→ n = 3: Paschen-Serie (IR)
→ n = 4: Bracket-Serie (IR)
→ n = 5: Pfund-Serie (IR)
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
121
Definitionsgemäß ist die Energie eines freien Elektrons positiv, die eines
gebundenen Elektrons negativ (→Bindungsenergie). Ein angeregter Zustand
entspricht einer höheren Energie (n > 1) bzw. geringeren Bindungsenergie. Für die
Ionisation aus dem Grundzustand, also dem Übergang n = 1 → n = ∞, wird folglich die
Energie entsprechend n = 1 also 13,6 eV = 2,18·10-18 J für das H-Atom benötigt.
Was für die Emission von Licht gilt, gilt auch für die Absorption: Dies erklärt u.a.
das ‚reverse’ Absorptionsspektrum des Sonnenlichts hervorgerufen durch
vergleichsweise kühlere Gase in den äußeren Schichten der Sonne(n).
(→ Fraunhoferlinien)
E) Ergänzungen des Bohrschen Modells durch Sommerfeld (1868-1951)
- Berücksichtigung der Mitbewegung des Kerns (reduzierte Masse des e-)
- Zulassen von Ellipsenbahnen (vgl. Planeten) + relativistische Masse des e→ Aufhebung der l – Entartung (d.h. Energien auch von l abhängig)
→ weitere Quantenzahl l = 0, 1, .. n-1
→ Erklärung der Feinstruktur,
z.B. gelbe „Natrium D-Linie“ bei ~ 590 nm ↔ 589,59 nm + 589,00 nm
Alle klassischen Atommodelle versagen bei größeren bzw. komplizierteren Atomen,
neben den Spektrallinien können u.a. die magnetischen Eigenschaften nicht erklärt
werden.
F) Quantenmechanisches Atommodell
Die Schrödingergleichung der Quantentheorie ‚liefert’ für gebundene
Teilchen (z.B. e- im Atom) immer Lösungen/erlaubte Zustände mit diskreten
Energien (→ Quantisierung). Alle beobachteten Spektrallinien, von Atomen (und
auch Molekülen) können erklärt werden. Die Beschreibung von Materie als Wellen
führt letztlich nur zu Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im Raum (→ Orbitale)
anstelle eines genau definierten Ortes der betrachteten Elektronen.
Sehr stark vereinfacht:
e- als stehende Welle im Potential des Atomkerns. Es sind nur Wellenlängen und
damit Zustände erlaubt, für die sich „konstruktive Interferenz“ ergibt, d.h. der
Umfang der Elektronenbahn muss ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein:
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
122
Aus der relativistischen Theorie des Elektrons von Dirac (1902-1984) 1928 folgt
neben n und l eine weitere Quantenzahl s, welche den Spin = Eigendrehimpuls des
Elektrons beschreibt. Die Struktur des Periodensystems der Elemente spiegelt
sich in den Quantenzahlen n, l und s sowie der Ausrichtung der Drehimpulse im
Raum gekennzeichnet durch ml und ms wieder.
8.2
8.2.1
Kernphysik
Aufbau von Atomkernen
Atomhülle: Elektronen eAtomkern: Nukleonen:
- Protonen
p+
- Neutronen n
me = 9,1095 ⋅10-31 kg
re ≅ 2,8 fm
mp = 1,6726 ⋅10-27 kg
mn = 1,6748 ⋅10-27 kg
rp ≅ 1,2 fm
rn ≅ 1,2 fm
Allgemeine Bezeichnung verschiedener Atomkerne, Nuklide:
A
Z
XN
Z
N
A
Protonenzahl = Ordnungszahl (= Elektronenzahl)
Neutronenzahl
= Z + N Nukleonenzahl = Massenzahl
Isotope = Nuklide eines chem. Elements
Bsp.: H → 1H (Wasserstoff), 2H (Deuterium), 3H (Tritium)
Angabe der Massenzahl A mit Zeichen für chem. Element eindeutig.
Ausführlich:
1
1
H0
2
1
H1
3
1
H2
Massenzahl M (= Ar relative Atommasse) im Periodensystem der chem. Elemente ist
gewichteter Mittelwert entsprechend der natürlichen Häufigkeit. Bsp: Kohlenstoff:
M(C) = 98,90 % ⋅ M(12C) + 1,10% ⋅ M(13C) + 0,00% ⋅ M(14C) = 12,0107 [ u bzw. g/mol]
8.2.2
Radioaktiver Zerfall
Beobachtung: Atomkerne sind i.A. instabil, d.h. sie zerfallen
in andere Nuklide unter Abgabe von Strahlung
→ Natürliche Radioaktivität:
α - Strahlung: He-Kerne 4He2+
β - Strahlung: Elektronen eγ - Strahlung: Photonen hoher Energie (MeV)
→ Künstliche Radioaktivität:
Positronenstrahlung e+ , Protonenstrahlung p , Neutronenstrahlung n
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
123
A) Zerfallsgesetz
Ein (instabiler) Kern zerfalle mit Wahrscheinlichkeit λ, d.h. er habe eine mittlere
Lebensdauer τ = 1/λ. Messbar nur für große Zahl N von Kernen →
Aktivität einer Stoffmenge/Probe:
N (t ) = N 0 ⋅ e
= N0 ⋅ e
20
−
t
N [ 10
−λ ⋅t
]
dN = −λ ⋅ N ⋅ dt →
A:= λ⋅N
τ
Becquerel : 1 Bq =
32
28
24
20
16
12
8
4
0
1 Ereignis
s
T½ = 20
0
20
40
60
80
100
Zeit
Nach der Zeit t = T½ = τ⋅ln2 ist die Hälfte der Kerne zerfallen.
B) Zerfallsarten
α - Zerfall ( vorwiegend bei schweren Kernen )
A
Z
K
α
⎯
⎯→
A− 4
Z −2
K ∗ + 24He 2 +
β - Zerfall ( Neutron → Proton + Elektron )
A
Z
K
β
⎯⎯→
K ∗ + e−
A
Z +1
γ - Zerfall ( eigentlich Folgereaktion )
A
Z
K∗
γ
⎯
⎯→
K +γ
A
Z
Bsp.:
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
124
8.3
Kernenergie und Massendefekt
Die freiwerdenden Energien beim Kernzerfall, Kernspaltung oder Kernfusion
entspricht freiwerdender Bindungsenergie. Diese sind bei Atomkernen so groß,
dass sie sich entsprechend E = mc² in einem messbaren Massendefekt äußern.
Bsp.: Sauerstoff ist (letztlich aus Wasserstoff) durch Kernfusionsreaktionen im
Inneren von Sternen entstanden. Die dabei freigewordene Energie ’fehlt’ dem
Sauerstoffkern, weshalb er leichter ’als erwartet’ ist:
16
O besteht aus
8 Protonen
8 Neutronen
8 Elektronen
Summe:
8 x mp =
8 x mn =
8 x me =
8 x 1,67262 ⋅10-27 kg
8 x 1,67482 ⋅10-27 kg
8 x 0,00091 ⋅10-27 kg
26,7868 ⋅10-27 kg
Die Masse von 16O ist jedoch 16,1313 u = 26,6395 ⋅10-27 kg, d.h. kleiner!
Entscheidend ist die Summe der Bindungsenergien bzw. Massendefekte aller
beteiligten Nukleonen. Betrachtet man den Massendefekt pro Nukleon, lässt sich
leicht ablesen durch welche Prozesse Energie frei werden kann:
Massendefekt / Nukleon [ MeV ]
0
-1
-2
-3
Kernfusion
-4
Energiegewinn durch Kernspaltung
-5
-6
-7
-8
-9
-10
0
50
100
150
200
250
Nukleonenzahl = Massenzahl A
In obiger (schematischer) Darstellung lässt sich auch zeigen:
- Die leichten Elemente bis ~ 56Fe entstehen unter Energiegewinn
durch Kernfusion in Sternen.
( Anwendung: Fusionsreaktor, Wasserstoffbombe )
- Die schwereren Elemente entstehen unter Energieverbrauch wahrscheinlich
hauptsächlich während Supernova-Explosionen. (Eine Fusion von sehr vielen Nukleonen
zu einem schweren Kern wäre denkbar, ist aber viel zu unwahrscheinlich.)
Umgekehrt wird durch Kernspaltung (in mittelschwere Nuklide) Energie frei.
( Anwendung: Atomkraftwerke, Atombombe )
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
125
Physik 4 + 2
Hoeppe, 2011
126