6.3 Kleiner Satz von Fermat

109
6.3 Kleiner Satz von Fermat
6.2.4
Neunerprobe
Die Teilbarkeitsregel für die 9 (siehe Punkt 3.2.1) lautet: Eine Zahl n ist genau dann durch
9 teilbar, wenn ihre Quersumme Q(n) durch 9 teilbar ist. Tatsächlich gilt mehr: n läßt bei
Division durch 9 den gleichen Rest wie Q(n). Das kann man mit Kongruenzen leicht beweisen:
Es sei
n = a0 + 10a1 + 100a2 + ... + 10k ak =
k
X
10j aj
j=0
die Dezimaldarstellung von n. 10j − 1 besteht für jedes j nur aus Neunen, ist offensichtlich
durch 9 teilbar. Also ist 10j ≡ 1 mod 9 und folglich 10j aj ≡ aj mod 9 für jedes j = 0, 1, 2, ....
Summation über alle j ergibt
n=
k
X
j=0
10j aj ≡
k
X
aj = Q(n) mod 9
j=0
Diese Regel kann man zum Testen von komplizierten Aufgaben verwenden. Angenommen man
hat das Ergebnis der Aufgabe 9854758739 · 8457498579485 + 677910847 · 825734979856 als
83906383735851598767447 diktiert bekommen und möchte feststellen, ob man sich verhört hat,
ohne die Aufgabe nachrechnen zu können. Man bildet die Quersummen der Faktoren und erhält
65 · 83 + 49 · 73 ≡ 2 · 2 + 4 · 1 = 8 mod 9
Aber für das Ergenbis erhalten wir
83906383735851598767447 ≡ 126 ≡ 0 mod 9
Man sollte also noch einmal nachfragen.
6.3
6.3.1
Kleiner Satz von Fermat
Teilbarkeiten der Binomialkoeffizienten
Untersucht man die Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck) auf Teilbarkeiten, fällt auf, daß
alle Binomialkoeffizienten (bis auf die Einsen am Rand) in einer Zeile durch die Zeilennummer
teilbar sind, wenn diese eine Primzahl ist. Z.B. sind alle Zahlen der 7. Zeile 7, 21, 35, 35, 21, 7
durch 7 teilbar. Dagegen sind die Zahlen der 9. Zeile 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9 nicht alle
durch 9 teilbar. Das läßt sich beweisen.
Satz 6: Ist n ∈ P, dann gilt n|
n
k
für k = 1, ..., n − 1.
Beweis: Offenbar ist
n
· k! = n(n − 1) · · · (n − k + 1)
k
durch nteilbar. Ist n ∈ P, dann ist für k < n aber nicht k! durch n teilbar. Nach Satz 2 muß
dann nk durch n teilbar sein.
Auch die Umkehrung gilt:
110
6 ZAHLENTHEORIE
Satz 7: Ist n 6∈ P, dann gibt es ein k mit 0 < k < n und n 6 |
n
k
.
Beweis: Ist n keine Primzahl, so enthält n einen kleinsten Primfaktor p < n etwa k mal, das
heißt, n ist durch pk , aber nicht durch pk+1 teilbar. Dann ist unter den p aufeinanderfolgenden
Zahlen n, n − 1, ..., n − p + 1 genau eine – nämlich n durch p teilbar. Da der Ausdruck
n · (n − 1) · · · (n − p + 1)
n
=
p
1 · 2···p
ganzzahlig ist, kürzt sich ein Faktor p aus n heraus. np ist also nur noch durch pk−1 teilbar
und folglich auch nicht mehr durch n.
6.3.2
Der Satz
Es sei n ∈ P. Wir betrachten den Ausdruck (x + 1)n . Es ist
n
n
n
n−2
n−1
n
n
x+1 .
x
+ ... +
x
+
(x + 1) = x +
1
n−2
n−1
Nach Satz 6 sind alle nk durch n teilbar. Somit gilt
(x + 1)n ≡ xn + 1 mod n
(67)
Wählt man hier x = 1, folgt
2n ≡ 2 mod n .
Setzt man in (67) x = 3, erhält man unter Zuhilfenahme dieser Kongruenz
3n ≡ 2n + 1 ≡ 2 + 1 mod n .
Allgemein ergibt sich
an ≡ a mod n , n ∈ P .
(68)
Ist a nicht durch n teilbar, gilt ggt(a, n) = 1 und man kann diese Kongruenz durch a teilen und
erhält
an−1 ≡ 1 mod n , n ∈ P , n 6 |a.
(69)
Satz (68) und (69) heißen kleiner Fermatscher Satz.
6.3.3
Folgerungen und Aufgaben
Aus dem kleinen Fermatschen Satz folgt, daß die Reste von Potenzen periodisch sind mit der
Periode n − 1. Es gilt stets (im weiteren sei n Primzahl und a nicht durch n teilbar)
a0 ≡
an−1 ≡
a2(n−1) ≡
...
k(n−1)
a
≡
1 mod n
1 mod n
1 mod n
1 mod n
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6.3 Kleiner Satz von Fermat
für beliebige ganzzahlige k. Ist r der Rest von m bei Division durch n − 1 und k =
folgt
m−r
,
n−1
dann
am = ar+k(n−1) = ar · ak(n−1) =≡ ar · 1 ≡ ar mod n
Damit läßt sich folgende Aufgabe leicht lösen:
Aufgabe 4:
7
Beweise, daß 77 − 77 durch 13 teilbar ist!
7
Zur Bestimmung des Restes von 77 bei Division durch 13 muß man also den Rest von 77 bei
Division durch 12 bestimmen. Es gilt
77 = 72·3+1 = 72·3 · 7 ≡ 1 · 7 ≡ 1 · 7 mod 12
Somit ist 77 = 12k + 7 mit einem ganzzahligen k. Hieraus folgt
7
77 = 712k+7 = 712k · 77 ≡ 1 · 77 ≡ 77 mod 13
Daher ist
7
77 − 77 ≡ 77 − 77 ≡ 0 mod 13 .
Mit dem kleinen Fermatschen Satz wird Aufgabe 2 aus dem letzten Abschnitt trivial. Der Satz
besagt direkt, daß n7 − n durch 7 teilbar ist. Auch die Teilbarkeit durch 2 und 3 folgt aus dem
kleinen Fermatschen Satz, denn er besagt, daß n2 − n durch 2 und n3 − n durch 3 teilbar ist.
Wegen
n7 − n = n(n6 − 1) = n(n − 1)(n5 + n4 + n3 + n2 + n + 1) =
= (n2 − n)(n5 + n4 + n3 + n2 + n + 1)
und
n7 − n = n(n6 − 1) = n(n2 − 1)(n4 + n2 + 1) = (n3 − n)(n4 + n2 + 1)
folgt hieraus die Teilbarkeit von n7 − n durch 2 und 3.
Die eben vorgestellte Lösung liefert uns eine Idee, die größte Zahl M(k) zu bestimmen, durch
die nk − n teilbar ist. Wie eben gezeigt, ist M(7) = 42. Dabei haben wir benutzt, daß man
n6 − 1 in Faktoren zerlegen kann. Aus Abschnitt 6.1.4 Gleichung (59) wissen wir, daß dabei die
Teiler des Exponenten eine Rolle spielen. Es sei a ein Teiler von k − 1. Dann gilt
k−1
nk − n = n(nk−1 − 1) = n(na a − 1) =
k−1
a( k−1
−2)
a( a −1)
a
a
a
+n
+ ... + n + 1 =
= n(n − 1) n
k−1
k−1
= (na+1 − n) na( a −1) + na( a −2) + ... + na + 1
Nach dem kleinen Fermatschen Satz ist na+1 − n durch a + 1 teilbar, wenn a + 1 Primzahl ist.
Somit ist in diesem Fall auch nk − n durch a + 1 teilbar. Das trifft für jeden beliebigen Teiler
a von k − 1 zu.
Als Beispiel wird k = 13 untersucht, also der Term n13 − n. Die Teiler a von k − 1 = 13 − 1 = 12
sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Deren Nachfolger a + 1 sind 2, 3, 4, 5, 7 und 13. Davon sind 2, 3,
5, 7 und 13. Der Ausdruck n13 − n ist daher durch 2 · 3 · 5 · 7 · 13 = 2730 teilbar. Tatsächlich
112
6 ZAHLENTHEORIE
ist M(13) = 2730 auch die größte Zahl, durch die n13 − n für beliebige n teilbar ist. Das sieht
man am Beispiel: 213 − 2 = 8190 = 3 · 2730. Sollte n13 − n durch größere Zahlen als 2730
13 −n
teilbar sein, wäre nur 8190 möglich, das heißt, n2730
müßte durch 3 teilbar sein. Aber schon
313 −3
3
= 584 = 2 · 73 ist nicht durch 3 teilbar.
2730
In der folgenden Tabelle sind für die ersten ungeraden k die Zahlen M(k) angegeben:
M (3)
M (5)
M (7)
M (9)
M (11)
M (13)
M (15)
M (17)
M (19)
M (21)
M (23)
M (25)
M (27)
M (29)
M (31)
M (33)
M (35)
M (37)
M (39)
M (41)
M (43)
M (45)
M (47)
M (49)
M (51)
M (53)
M (55)
M (57)
M (59)
M (61)
M (63)
M (65)
M (67)
M (69)
M (71)
M (73)
M (75)
M (77)
M (79)
M (81)
M (83)
M (85)
M (87)
M (89)
M (91)
M (93)
M (95)
M (97)
M (99)
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6
30
42
30
66
2730
6
510
798
330
138
2730
6
870
14322
510
6
1919190
6
13530
1806
690
282
46410
66
1590
798
870
354
56786730
6
510
64722
30
4686
140100870
6
30
3318
230010
498
3404310
6
61410
272118
1410
6
4501770
6
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2·3
2·3·5
2·3·7
2·3·5
2 · 3 · 11
2 · 3 · 5 · 7 · 13
2·3
2 · 3 · 5 · 17
2 · 3 · 7 · 19
2 · 3 · 5 · 11
2 · 3 · 23
2 · 3 · 5 · 7 · 13
2·3
2 · 3 · 5 · 29
2 · 3 · 7 · 11 · 31
2 · 3 · 5 · 17
2·3
2 · 3 · 5 · 7 · 13 · 19 · 37
2·3
2 · 3 · 5 · 11 · 41
2 · 3 · 7 · 43
2 · 3 · 5 · 23
2 · 3 · 47
2 · 3 · 5 · 7 · 13 · 17
2 · 3 · 11
2 · 3 · 5 · 53
2 · 3 · 7 · 19
2 · 3 · 5 · 29
2 · 3 · 59
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 31 · 61
2·3
2 · 3 · 5 · 17
2 · 3 · 7 · 23 · 67
2·3·5
2 · 3 · 11 · 71
2 · 3 · 5 · 7 · 13 · 19 · 37 · 73
2·3
2·3·5
2 · 3 · 7 · 79
2 · 3 · 5 · 11 · 17 · 41
2 · 3 · 83
2 · 3 · 5 · 7 · 13 · 29 · 43
2·3
2 · 3 · 5 · 23 · 89
2 · 3 · 7 · 11 · 19 · 31
2 · 3 · 5 · 47
2·3
2 · 3 · 5 · 7 · 13 · 17 · 97
2·3
M(k) ist besonders groß, wenn k Primzahl ist, denn dann ist ein Faktor in M(k) stets k.
Falls k gerade ist, sind alle Teiler a von k − 1 ungerade und deren Nachfolger a + 1 gerade,
somit außer 2 nie Primzahlen. Tatsächlich ist nk − n stets durch 2, für gerade k aber auch nur
durch 2 teilbar.
6.3.4
Eine Verallgemeinerung von Euler
Ohne Beweis sei noch eine Verallgemeinerung des kleinen Fermatschen Satzes durch Euler angegeben. Bis jetzt konnten Potenzen nur modulo einer Primzahl n untersucht werden. Tatsächlich
gibt es modulo jeder Zahl n eine Potenz von a, die bei Division durch n Rest 1 läßt. Es gilt der
Satz 8: Es sei ggT (a, n) = 1, dann ist
aϕ(n) ≡ 1 mod n ,
wobei ϕ(n) die Eulerfunktion, die Anzahl der kleineren und teilerfremden Zahlen von n ist (siehe
Punkt 5.9.2).