A Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Ritter B. Debrabant T. Wagner Dr. M. Doering TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 2007 20./21.06.2007 Einführung in die Statistik für WInf, LaB, CE, Inf BSc etc. 5. Übung, Lösungsvorschlag Gruppenübungen Aufgabe G13 a) Wir erläutern Beispiel VI.31. Zunächst ist (Zi )i∈N mit Zi := (Yi + 1)/2 eine unabhängige, identisch verteilte Folge von B(1, p)-verteilten Zufallsvariablen. Damit gilt für n ∈ N n X Zi ∼ B(n, p), i=1 also n P (Yi + 1)/2 = (Sn + n)/2 ∼ B(n, p). Daraus folgt für die Verteilung von Sn i=1 x+n Sn + n = P ({Sn = x}) = P 2 2 n p(x+n)/2 (1 − p)(n−x)/2 , = (x + n)/2 falls x ∈ {−n, −n + 2, . . . , n − 2, n} und P ({Sn = x}) = 0 sonst (vgl. auch Satz IV.36). Ferner ergibt sich Sn + n E(Sn ) = E 2 · − n = 2np − n = n(2p − 1), 2 Sn + n Var(Sn ) = Var 2 · − n = 4 Var((Sn + n)/2) = 4np(1 − p). 2 b) Zunächst stellen wir fest, dass E(Sn /n) = E(Y1 ) = 2p − 1. Gesucht ist also P ({|Sn /n − (2p − 1)| < 0.1}). Beispiel VI.30 zeigt, dass P ({|Sn /n − (2p − 1)| < 0.1}) = X n k∈K für K = {k ∈ {0, 1, . . . , n} : |k − np| < n/2 · 0.1}. k pk (1 − p)n−k p n K 1/2 20 {10} 1/2 50 {23, . . . , 27} 1/2 100 {46, . . . , 54} 1/4 20 {5} 1/4 50 {11, . . . , 14} 1/4 100 {21, . . . , 29} P ({|Sn /n − (2p − 1)| < 0.1}) 0.1762 0.5201 0.6318 0.2023 0.4859 0.7016 c) Schwaches Gesetz der großen Zahlen (vgl. Satz VI.32): Für jedes > 0 gilt lim P ({|Sn /n − (2p − 1)| ≥ }) = 0. n→∞ Starkes Gesetz der großen Zahlen: Für fast alle ω ∈ Ω gilt lim Sn (ω)/n = 2p − 1. n→∞ d) Wir gehen analog zu Beispiel VI.50 vor. Gesucht ist eine Folge (cn )n∈N in ]0, ∞[ so, dass lim P ({|Sn − n(2p − 1)| ≤ cn }) = α. n→∞ Für p = 3/4 ergibt sich E(Sn ) = n/2 sowie Var(Sn ) = 3n/4 (s. Teil a)). Damit erhält man die standardisierte Summenvariable Sn − n/2 Sn∗ = p . 3n/4 Der Zentrale Grenzwertsatz (Satz VI.46) liefert nun: cn ∗ lim P ({|Sn − n/2| ≤ cn }) = lim P |Sn | ≤ √ n→∞ n→∞ 3n/2 2cn −2cn = Φ √ −Φ √ 3n 3n 2cn = 2Φ √ − 1. 3n Gleichsetzen mit α führt zu Φ 2c √n 3n = (1 + α)/2 √ 3n ⇔ cn = u(1+α)/2 · . 2 Aufgabe G14 a) Zunächt stellen wir fest, dass Eϑ (X1 ) = ϑ gilt (vgl. Beispiel VI.6). Damit können wir Satz VII.7 anwenden oder die Schätzfunktion zu Fuß auf Erwartungstreue überprüfen (s. Beweis desselben Satzes). Dabei verwenden wir die Linearität des Erwartungswertes (vgl. Bemerkung VII.1). 1 1 ϑ ϑ E (gn (X)) = E (X1 + . . . + Xn ) = Eϑ (X1 + . . . + Xn ) n n 1 ϑ 1 ϑ ϑ = (E (X1 ) + . . . + E (Xn )) = n · E (X1 ) n n = Eϑ (X1 ) = ϑ. b) Für die Varianz erhalten wir wegen Varϑ (X1 ) = (2ϑ−0)2 12 = ϑ2 3 analog 2 1 1 Var (gn (X)) = Var (X1 + . . . + Xn ) = Varϑ (X1 + . . . + Xn ) n n 2 1 2 1 ϑ ϑ = Var (X1 ) + . . . + Var (Xn ) = · n Varϑ (X1 ) n n Varϑ (X1 ) ϑ2 = = , n 3n ϑ ϑ wobei sowohl Satz VI.22 (ii) als auch der Satz von Bienaymé benutzt wird. Aus Bemerkung VII.15 erhalten wir für den Quadratmittel-Fehler Rϑ (gn ; γ) = Varϑ (gn (X)) = ϑ2 . 3n c) Die Folge ist stark konsistent. Begründung: Satz VII.7 bzw. das starke Gesetz der großen Zahlen. d) Wegen Varϑ (X1 ) = te leistet, nämlich: ϑ2 3 = γ(ϑ) liefert Satz VII.9 die Schätzfunktion, die das Gewünschn 1 X (xi − xn )2 . vn (x) = n − 1 i=1 Aufgabe G15 Die Zufallsvariable Xi beschreibe die Bedienungsdauer der i-ten Person (i = 1, . . . , 40). Dann kann (Xi )i∈N als unabhängige, identisch verteilte Folge angenommen werden. Aus X1 ∼ Exp(λ) und E(X1 ) = 5/6 folgt λ = 6/5 (s. Beispiel VI.6). Die Summe S := X1 + . . . + X40 ist nach dem Zentralen Grenzwertsatz näherungsweise normalverteilt, und zwar mit den Parametern (verwende Beispiel VI.6) 1 µ = E(S) = 40 E(X1 ) = 33 , 3 7 σ 2 = Var(S) = 40 Var(X1 ) = 27 . 9 Damit folgt 1 35 − 33 3 P ({S ≤ 35}) ≈ P S ∗ ≤ q 7 27 9 ≈ Φ(0.32) = 0.6255.