Graphentheorie 2

Werbung
Graphentheorie 2
im Wintersemester 2015/16
- Dr. Oliver Schaudt -
Universität zu Köln
Mathematisches Institut
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
0 Grundlegende Definitionen
2
1 Gerichtete Graphen
1.1 Wege in gerichteten Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kreise in gerichteten Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
6
2 Flüsse und Zirkulationen
9
2.1 Gruppenwertige Flüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Flüsse & Färbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Flussvermutungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Graphenfärbungen
3.1 Kritische Graphen . . . . . . . . . .
3.2 Die Vermutung von Hadwiger . . . .
3.3 Färbungen von Graphen auf Flächen
3.4 Listenfärbungen . . . . . . . . . . . .
3.5 Färbungen von Hypergraphen . . . .
Abbildungsverzeichnis
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
20
23
25
27
32
34
Mitschrift der Vorlesung von Dario Antweiler. Keine Garantie auf Richtigkeit oder Vollständigkeit. Lob, Kritik, Kommentare an [email protected] Lizensiert unter (CC
BY-SA 4.0). Stand 14. März 2016.
0
Grundlegende Definitionen
Definition. Ein Graph ist ein geordnetes Paar G = (V, E) von Knoten und Kanten.
Dabei ist V eine endliche Menge und E eine Menge von 2-elementigen Teilmengen von
V . Die beiden Elemente x, y einer solchen Teilmenge heißen adjazent, benachbart
oder verbunden.
Definition. Bei einem Multigraphen sind einelementige Kanten und mehrfache Kopien von Kanten erlaubt, dass sind sogenannte Schlingen bzw. Multikanten.
Definition. Sind die Kanten eines (Multi-)Graphen geordnete Paare, dann heißt er
gerichtet.
Definition. Durch Vergessen dieser Orientierung der Kanten eines gerichteten Graphen erhält man den zugrundeliegenden (Multi-)Graphen. Ist G ein gerichteter
Graph mit zugrundeliegendem (Multi-)Graphen G0 , dann heißt G Orientierung von
G0 .
Definition. Eine stabile (oder unabhängige) Menge X in einem Graphen G = (V, E)
ist eine Teilmenge der Knoten, sodass für alle x, y ∈ X gilt {x, y} ∈
/ E.
Definition. Der Graph G heißt k-partit, wenn eine Partition der Knoten V mit k
Klassen existiert, sodass jede Klasse eine stabile Menge ist. Jeder Graph ist |V |-partit,
wenn V die Menge der Knoten ist. Ein k-partiter Graph heißt auch k-färbbar. Dann
heißen die Klassen der Partition Farbklassen. 2-partite Graphen heißen bipartit.
Definition. Die chromatische Zahl χ (G) eines Graphen G ist das kleinste k für das
G k-färbbar ist.
Definition. Ein Pfad in einem Graphen G = (V, E) ist eine Folge von Knoten und
Kanten (v1 , e1 , v2 , e2 , . . . , ek−1 , vk ) bei der {vi , vi+1 } = ei für alle 1 ≤ i ≤ k − 1. Sind
die Knoten des Pfades paarweise verschieden, dann sprechen wir von einem Weg. Sind
die Knoten in {v1 , . . . , vk−1 } paarweise verschieden und v1 = vk , dann sprechen wir von
einem Kreis. Die Länge eines Pfades (Wegs, Kreises) ist die Anzahl der vorkommenden
Kanten.
Definition. Ein Graph G heißt zusammenhängend, wenn für je zwei Knoten x, y
ein Weg von x nach y existiert. Andernfalls heißt der Graph unzusammenhängend.
19.10.15
VL01
1
GERICHTETE GRAPHEN
3
Satz 0.1. Ein Graph ist bipartit genau dann, wenn jeder Kreis gerade Länge hat.
Beweis. "⇒": Starte in einem Knoten. Jede Kante in einem Kreis wechselt die Partition,
daher hat er gerade Länge. "⇐": Markiere die Knoten in einer Breitensuche jeweils abwechselnd schwarz und weiß. Kein Knoten wird zweifarbig markiert, sonst gäbe es einen
ungeraden Kreis. So ergibt sich eine Bipartition.
1
Gerichtete Graphen
Definition. Ein gerichteter Pfad in einem gerichteten Graphen G = (V, E) ist
eine Folge (v1 , e1 , v2 , . . . , ek−1 , vk ) mit {v1 , . . . , vk } ⊆ V , {e1 , . . . , ek−1 } ⊆ E und ei =
(vi , vi+1 ) für alle 1 ≤ i ≤ k − 1. Sind die Knoten paarweise verschieden, dann spricht
man von einem gerichteten Weg. Sind die Knoten vi paarweise verschieden für i =
1, . . . , k − 1, und v1 = vk , so spricht man von einem gerichteten Kreis.
23.10.15
VL02
Definition. Ein Knoten u ∈ V ist von v aus erreichbar, wenn es einen gerichteten
Weg von v nach u gibt. Gegenseitige Erreichbarkeit definiert eine Äquivalenzrelation
auf V . Deren Klassen nennt man starke Zusammenhangskomponenten (ZHK).
Hat G nur eine starke ZHK, so heißt G stark zusammenhängend.
1.1
Wege in gerichteten Graphen
Definition. Sei G ein gerichteter Graph und G0 der zugrundeliegende (Multi-)Graph.
Die Länge eines gerichteten Weges/Kreises ist die Anzahl seiner Kanten.
Bemerkung. Gerichtete Wege in G ergeben ungerichtete Wege in G0 . Andersherum gilt
das nicht!
Satz 1.1. Sei G schlingenfrei und G0 der zugrundeliegende Graph von G. Dann hat G
einen gerichteten Weg der Länge χ (G0 ) − 1.
Beweis. Sei F eine minimale Menge an Kanten, sodass H = (V, E \ F ) keinen gerichteten
Kreis enthält. Sei k die Länge des längsten gerichteten Weges in H. Jedem Knoten v ∈ V
ordnen wir die Farbe c (v) = i zu, wobei i ∈ {1, . . . , k + 1} und i − 1 ist die Länge des
längsten Weges welcher in v startet. Wir zeigen jetzt, dass benachbarte Knoten nie diesselbe
Farbe erhalten. Sei P = (u, . . . , v) ein gerichteter Weg in H mit u 6= v. Dann gilt
c (u) ≥ c (v) + Länge (P ) > c (v)
Sei e = (u, v) eine beliebige Kante von G. Ist e ∈ E \ F , dann gilt
c (u) 6= c (v)
Ist e ∈ F , dann enthält der Graph (V, (E \ F ) ∪ e) einen gerichteten Kreis C, der e enthält.
Also gibt es einen gerichteten Weg C \e in H, also gilt c (u) 6= c (v). Damit ist c eine Färbung
von G0 mit k + 1 Farben und k + 1 ≥ χ (G0 ).
Bemerkung. Der Satz ist bestmöglich: Jeder schlingenfreie Multigraph G besitzt eine Orientierung, dessen längster Weg die Länge χ (G0 ) − 1 hat.
26.10.15
VL03
1
GERICHTETE GRAPHEN
4
1
5
2
4
3
Abbildung 1: Ein Turnier T
Definition. Ein Turnier ist eine Orientierung eines vollständigen Graphen.
Korollar 1.2. Jedes Turnier hat einen gerichteten Weg, der alle Knoten des Turniers
beinhaltet.
Beweis. Sei T ein Turnier auf n Knoten. Dann ist der zugrundeliegende Graph von T gleich
Kn . Aus χ (Kn ) = n und Satz 1.1 folgt die Behauptung.
Definition. Solch ein Weg nennt man Hamiltonweg.
Definition. Sei G ein gerichteter Graph und u ∈ V . Wir setzen
−
NG
(u) = {v ∈ V (G) | (v, u) ∈ E (G)}
und
+
NG
(u) = {v ∈ V (G) | (u, v) ∈ E (G)}
als die Vorgänger bzw. Nachfolger von u.
Satz 1.3. Sei G ein schlingenfreier, gerichteter Graph mit zugrundeliegendem Graphen
G0 . Dann hat G0 eine stabile Menge X, sodass jeder Knoten aus G über einen gerichteten
Weg mit höchstens zwei Knoten von X aus erreicht werden kann.
Beweis. Per Induktion über n. Für n = 1 gilt die Aussage offenbar. Sei nun v ∈ V beliebig
und H = G \ ({v} ∪ {N + (v)}). Sei Y eine stabile Menge in H mit der gewünschten Eigenschaft. Dann ist Y ebenfalls stabil in G0 . Ist v ∈ N + (u) für ein u ∈ Y , dann ist X = Y
und wir sind fertig. Ist v ∈
/ N + (u) für alle u ∈ Y , so ist X = Y ∪ {v} stabil und hat die
gewünschte Eigenschaft.
Korollar 1.4. Jedes Turnier enthält einen Knoten, von dem aus jeder andere Knoten
in zwei Schritten erreichbar ist.
Beweis. Stabile Mengen in vollständigen Graphen haben Größe 1.
1
GERICHTETE GRAPHEN
1.2
5
Kreise in gerichteten Graphen
Bemerkung. Korollar 1.2 kann verstärkt werden, wenn starker Zusammenhang gilt.
Satz 1.5. Sei T ein stark zusammenhängendes Turnier. Dann liegt jeder Knoten von
T auf einem gerichteten Kreis der Länge k für 3 ≤ k ≤ n.
Beweis. Beweis per Induktion über k. Sei u ∈ V beliebig. Sei L = NT+ (u) und R = NT− (u).
Es gilt L ∩ R = ∅, L ∪ R ∪ {u} = V und L, R 6= ∅ da T stark zusammenhängend ist. Zudem
existieren l ∈ L, r ∈ R, sodass (l, r) ∈ E (T ). Also liegt u auf dem gerichteten Kreis (u, l, r, u).
Angenommen
< n. Sagen wir C = (u = v1 , v2 , . . . , vk , v1 ).
S u liegt auf einem
Kreis der Länge kS
+
−
Seien L =
v∈V (C) NT (v) \ V (C) und R =
v∈V (C) NT (v) \ V (C).
• Falls L ∩ R 6= ∅, dann wähle x ∈ L ∩ R. Dann existieren i, j ∈ {1, . . . , k} mit
(vi , x) , (x, vj ) ∈ E (T ). OBdA ist i < j. Wähle r ∈ {i + 1, . . . , j} kleinstmöglich,
sodass (x, vr ) ∈ E. Das ist wohldefiniert, da (x, vj ) ∈ E (T ). Dann ist
C 0 = (u = v1 , v2 , . . . , vr−1 , x, vr , . . . , vk , v1 )
ein gerichteter Kreis der Länge k + 1.
• Falls L ∩ R = ∅ gilt L, R 6= ∅ und es existiert eine Kante (l, r) , l ∈ L, r ∈ R. Dann ist
C 0 = (v1 , l, r, v3 , . . . , vk , v1 )
ein gerichteter Kreis der Länge k + 1.
Definition. Man sagt dann: T ist knoten-panzyklisch.
30.10.15
VL04
Korollar 1.6. Jedes stark zusammenhängende Turnier hat einen Hamiltonkreis.
Satz 1.7. Das Problem, zu entscheiden, ob ein gerichteter Graph einen Hamiltonkreis
hat, ist NP-vollständig.
Beweis. Reduktion auf das 3SAT-Problem. unvollst.
Korollar 1.8. Das Problem, zu entscheiden, ob ein gerichteter Graph einen Hamiltonweg hat, ist NP-vollständig.
Beweis. Analog zum Beweis des Satzes, aber keine Identifikation von s1 und tN .
Satz 1.9. Sei G ein schlingenfreier, gerichteter Graph und n die Anzahl seiner Knoten.
Hat jeder Knoten mindestens n2 viele Vorgänger und mindestens n2 viele Nachfolger,
dann hat G einen Hamiltonkreis.
1
GERICHTETE GRAPHEN
6
Beweis. Angenommen G hat keinen Hamiltonkreis. Sei C ein gerichteter Kreis maximaler
Länge mit C = (v1 , . . . , vl , v1 ). Nach Übung gilt l > n2 . Sei P ein längster Weg in G \ V (C)
mit P = (u1 , u2 , . . . , um+1 ). Sei S = {i | (vi−1 , u1 ) ∈ E} und T = {i | (um+1 , vi ) ∈ E}. Es
−
gilt S ∩ T = ∅, da sonst C nicht maximal war. Es gilt NG
(u1 ) ⊆ V (P ) ∪ V (C), sonst wäre
P nicht maximal. Also gilt
−
N (u1 ) ≤ m + |S|
G
Nach Voraussetzung ist also
n −
≤ NG (u1 ) ≤ m + |S|
2
bzw.
|S| ≥
n
−m
2
und analog
n
−m
2
Es gilt n ≥ l + m + 1 und l > n2 also m < n2 . Somit ist |S| ≥ 1 und |T | ≥ 1. Außerdem
|S ∪ T | ≥ n − 2m ≥ l − m + 1. Sei OBdA 2 ∈ S und i + 1 ∈ T . Dann ist OBdA j ∈
/ T für alle
j ∈ {2, . . . , i} und j ∈
/ S für alle j ∈ {3, . . . , i + 1}. Da |S ∪ T | ≥ l − m + 1 gilt i ≤ m. Dies
liegt daran, dass v2 , . . . , vi weder u1 als Nachfolger, noch um+1 als Vorgänger haben. Also
ist |S ∪ T | ≤ l − (i − 1). Sei C 0 = (v1 , u1 , u2 , . . . , um+1 , vi+1 , . . . , vl , v1 ). C 0 ist ein gerichteter
Kreis in G mit Länge l + m − (i − 1) = l + m + 1 − i und mit i ≤ m gilt l + m + 1 − i ≥ l + 1.
Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von C.
|T | ≥
Bemerkung. Satz 1.9 verallgemeinert den Satz von Dirac über ungerichtete Graphen. (Korollar 6.13 im Skript von Prof. Schrader)
1.3
Anwendungsbeispiele
Job sequencing Gegeben N viele Jobs J1 , . . . , JN und eine Maschine. Zusätzlich ist eine
Adjustmentmatrix T = (tij )1≤i,j≤N gegeben mit tij ∈ R≥0 . Wird Job Jj direkt nach Ji
erledigt, kostet dies tij viele Zeiteinheiten. In welcher Reihenfolge sollen die Jobs erledigt
werden? Das Problem ist NP-schwer. Folgende Heuristik liefert eine Approximation, die aber
beliebig schlecht im Vergleich zur Optimallösung sein kann:
• Definiere den Graphen G = {Ji }i=1,...,N , E mit E = {(Ji , Jj ) | tij ≤ tji , i 6= j}
02.11.15
VL05
• Suche einen Hamiltonweg in G
• Sortiere die Jobs entsprechend ihrem Vorkommmen im Hamiltonweg
• G hat einen Hamiltonweg, da G ein Turnier enthält
Einbahnstraßensysteme Gegeben ein ungerichteter Graph G. Gesucht ist eine Orientierung G0 von G, sodass G0 stark zusammenhängend ist. Notwendige Bedingungen sind
sicherlich:
• G ist zusammenhängend
• G besitzt keine Schnittkante, d.h. keine Kante e, mit G \ e ist unzusammenhängend.
Definition. Erfüllt ein Graph G die beiden obigen Eigenschaften, so heißt der Graph
G 2-kantenzusammenhängend.
Satz 1.10. Ein Graph hat genau dann eine stark zusammenhängende Orientierung,
wenn er 2-kanten-zusammenhängend ist.
06.11.15
VL06
1
GERICHTETE GRAPHEN
7
Beweis. "⇒": Entfernen wir in G die Kante e = (u, v), ist u weiterhin von v aus erreichbar
und G \ e bleibt zusammenhängend.
"⇐": Sei G = (V, E) 2-kanten-zusammenhängend und e = {x, y} ∈ E. Dann ist G \ e
zusammenhängend und es gibt einen Weg P von x nach y in G \ e. Sei C der Kreis P + e.
Setze G0 = C und iterativ:
• Ist V (Gi ) 6= V , dann wähle eine Kante e = (u, v), sodass u ∈ V (Gi ) , v ∈
/ V (Gi )
• ui+1 = u, vi+1 = v
• Es gibt in G \ e einen Weg Q von v nach V (Gi )
• Erweitere Gi um die Knoten und Kanten von Q
• Sei k so, dass V (Gk ) = V (G)
• Orientiere G0 , . . . , Gk beliebig, aber konsistent für jedes Gi
• Sei G0 der enstandene gerichtete Graph
• G0 ist stark zusammenhängend nach Konstruktion, alle Kanten außerhalb können beliebig orientiert werden, der so enstehende Graph G00 erfüllt die benötigten Eigenschaften
Q
v
C
u
Abbildung 2: Situation im Beweis von Satz 1.10
Definition. Ein Graph G heißt k-kanten-zusammenhängend, wenn die Entfernung von
beliebigen k − 1 Kanten den Graphen nicht unzusammenhängend macht.
Definition. Ein Graph G heißt k-kanten-stark-zusammenhängend, wenn er nach Entfernung von beliebigen k − 1 Kanten immer noch stark zusammenhängend ist.
Satz 1.11 (Nash-Williams, 1940). Ein k-kanten-zusammenhängender Graph hat eine
k-kanten-stark-zusammenhängende Orientierung. (ohne Beweis)
09.11.15
VL07
Rangfolgen in Turnieren
Definition. Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph mit Knoten {v1 , . . . , vn }. Die Adjazenzmatrix A = (aij )1≤i,j≤n von G ist gegeben durch
1
GERICHTETE GRAPHEN
8
(
aij =
1 falls (vi , vj ) ∈ E
0 sonst
Definition. Der Abstand distG (u, v) von u nach v ist die kleinste Länge eines gerichteten Weges von u nach v in G, sonst ∞.
Definition. Der Durchmesser diam (G) von G ist gleich maxu,v∈V distG (u, v).
Satz 1.12. Sei T ein Turnier auf n ≥ 5 Knoten, welches stark zusammenhängend ist.
Dann gilt Adiam(T )+3 > 0.
Beweis. Der (i, j)-te Eintrag von Ak ist genau die Anzahl der Pfade von vi nach vj der Länge
k. Sei V = {v1 , . . . , vn }. Also ist zu zeigen, dass es zwischen vi und vj für alle i, j ∈ {1, . . . , n}
einen gerichteten Pfad der Länge genau diam (T ) + 3 gibt. Wegen
0 ≤ distT (vi , vj ) ≤ diam (T ) ≤ n − 1
gilt
3 ≤ diam (T ) − distT (vi , vj ) + 3 ≤ n + 2
• Sei diam (T ) − distT (vi , vj ) + 3 ≤ n. Nach Satz 1.5 existiert ein Kreis C der Länge
diam (T ) − distT (vi , vj ) + 3 durch vj . Zusammen mit dem kürzesten Weg von vi nach
vj ergibt sich ein Pfad der Länge diam (T ) + 3.
• Sei diam (T ) − distT (vi , vj ) + 3 = n + 1 bzw. n + 2. Wähle einen Kreis C durch vj
der Länge diam (T ) − distT (vi , vj ). Der Kreis existiert, da diam (T ) − distT (vi , vj ) ≥
n − 2 ≥ 3. Gehe nun entlang eines kürzesten gerichteten Weges von vi nach vj , dann
entlang C, dann entlang eines Kreises der Länge 3 durch vj . Dieser Pfad hat insgesamt
Länge diam (T ) + 3.
vi
vi
vj
C
vj
C
Abbildung 3: Situation im Beweis von Satz 1.12
Definition. Eine reelle, quadratische Matrix M heißt primitiv, falls es ein k ∈ N gibt
0
mit M k > 0 für alle k 0 ≥ k.
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
9
Korollar 1.13. Die Adjazenzmatrix eines Turniers T auf n Knoten ist primitiv genau
dann, wenn T stark zusammenhängend ist und n ≥ 4.
Beweis. "⇒": Ist T nicht stark zusammenhängend,
existieren vi , vj ∈ V , sodass es keine Pfad
von vi nach vj gibt. Also ist Ak ij = 0 für alle k ∈ N. Ist n ≤ 3, dann ist A nicht primitiv.
"⇐": Für n ≥ 5 gilt Satz 1.12, für n = 4 ist nur das folgendes Turnier stark zusammenhängend mit A9 > 0:
Abbildung 4: Das einzige stark zsh. Turnier T auf 4 Knoten
13.11.15
VL08
Satz von Perron-Frobenius. Ist M eine primitive Matrix, dann existiert ein eindeutiges Paar aus Eigenwert r > 0 und Eigenvektor s, sodass gilt
lim
k→∞
M
r
k
·1=s
(ohne Beweis)
Verfahren zur Rangfolgenerstellung
• Ist ein stark zusammenhängendes Turnier auf 3 Knoten gegeben, dann bewerte alle
Spieler gleich
• Gilt n ≥ 4, bewerte gemäß des Perron-Frobenius-Vektor s
• Bewerte Spieler aus verschiedenen starken Zusammenhangskomponenten entsprechend
der Kantenrichtung zwischen den starken Zusammenhangskomponenten
→ Computational Social Choice
Abbildung 5: Bewertung der ZHK
2
Flüsse und Zirkulationen
Definition. Sei G = (V, E) ein gerichteter Multigraph. Ein Fluss in G ist eine Abbildung f : E → R mit der Eigenschaft, dass für alle x ∈ V gilt
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
δf (x) =
10
X
X
f (e) −
e=(y,x)∈E
f (e)
e=(x,y)∈E
δf (x) nennen wir Bilanz oder Nettofluss in x bzgl. f . Schlingen heben sich in der
Rechnung weg.
−10
3
10
7
0
3
Abbildung 6: Ein Z-Fluss
2.1
Gruppenwertige Flüsse
Definition. Sei H eine abelsche Gruppe. Ein H-wertiger Fluss ist eine Abbildung
f : E → H, für welche die Flusserhaltung gilt. Ein H-Fluss ist ein H-wertiger Fluss,
der keiner Kante das neutrale Element zuweißt.
Bemerkung. Es ergeben sich folgende Fragen:
• Welche Graphen haben H-Flüsse?
• Wieviele verschiedene H-Flüsse existieren?
• Reicht es aus, sich auf bekannte Gruppen zu beschränken?
Satz 2.1 (Tutte, 1954). Zu jedem gerichteten Multigraphen G = (V, E) existiert ein
Polynom P mit der Eigenschaft: Für jede endliche Gruppe H gibt es genau P (|H| − 1)
viele H-Flüsse. P heißt Flusspolynom.
Beweis. Induktion über die Anzahl der Kanten, die keine Schlingen sind. Sind alle Kanten
m
von G Schlingen, ist jede Abbildung f : E → H \ {e} ein H-Fluss. Es gibt (|H| − 1) viele
H-Flüsse, also ist
P (k) = k m
das gesuchte Polynom. Sei nun e0 = (x, y) ∈ E mit x 6= y. Betrachte G1 = G \ e0 und
G2 = G/e0 . Nach Induktion existieren Flusspolynome P1 und P2 von G1 und G2 . Sei H
eine beliebige endliche, abelsche Gruppe und k = |H| − 1. Wir zeigen, dass die Anzahl der
H-Flüsse auf G gleich
P2 (k) − P1 (k)
ist.
• Die Anzahl der H-Flüsse auf G1 (bzw. P1 (k)) ist gleich der Anzahl der H-wertigen
Flüsse f in G mit f (e0 ) = 0 und f (e) 6= 0 für alle e ∈ E \ {e0 }. Die Menge dieser
H-wertigen Flüsse auf G1 sei F1 . Also ist |F1 | = P1 (k)
• Die Anzahl der H-Flüsse f in G2 ist die Anzahl der H-wertigen Flüsse f in G mit
f (e) 6= 0 für alle e ∈ E \ {e0 }. Diese H-wertigen Flüsse auf G seien in der Menge F2
versammelt. Dann gilt |F2 | = P2 (k).
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
11
Es gilt, dass die H-Flüsse auf G genau in F2 \ F1 sind. Also
|F | = |F2 | − |F1 | = P2 (k) − P1 (k) =: P (k)
Sei f ein H-Fluss in G2 . Wir definieren den H-wertigen Fluss g in G mit g (e) = f (e) für
alle e ∈ E \ {e0 } und setzen
X
X
g (e0 ) =
g (e) −
g (e)
e=(x0 ,x)∈E
e=(x,x0 )∈E\{e0 }
Wir zeigen jetzt, dass die Flusserhaltung in x und y erfüllt ist.
δg (x)
X
=
e=(x0 ,x)∈E
X
=
g (e)
e=(x,x0 )∈E
X
g (e) −
e=(x0 ,x)∈E
=
X
g (e) −
g (e) − g (e0 )
e=(x,x0 )∈E\{e0 }
0
Genauso
δg (y)
X
=
e=(y 0 ,y)∈E
X
=
e=(y 0 ,y)∈E
X
g (e) −
g (e)
e=(y,y 0 )∈E
X
g (e) −
g (e) +
e=(y,y 0 )∈E
X
X
g (e) −
e=(x0 ,x)∈E
=
δf (x = y) + g (y, x) + g (x, y) − g (y, x) − g (x, y)
=
0
g (e)
e=(x,x0 )∈E
16.11.15
VL09
Korollar 2.2. Die Existenz eines H-Flusses hängt nur von |H| ab.
Definition. Ein k-Fluss ist ein Z-wertiger Fluss f mit f (e) ∈ {±1, . . . , ± (k − 1)} für
alle Kanten e ∈ E.
1
−2
1
3
1
1
1
Abbildung 7: Ein 4-Fluss
Definition. Die Flusszahl ϕ (G) ist die kleinste Zahl k, für die G einen k-Fluss besitzt
oder ∞, wenn es keinen k-Fluss gibt.
Bemerkung. Es ergeben sich folgende Fragen:
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
12
• Welche Verbindung haben H-Flüsse mit k-Flüssen?
• Für welche Graphen G ist ϕ (G) < ∞?
• Wieso ist ϕ überhaupt interessant?
Lemma 2.3. Hat G einen k-Fluss, dann hat G einen Zk -Fluss, wobei
n
o Zk =
0, 1, . . . , (k − 1) , +
die Gruppe der Restklassen ist.
Beweis. Sei f ein k-Fluss auf G. Sei g : E → Zk definiert durch g (e) = f (e) für alle e ∈ E.
Es gilt g (e) = f (e) 6= 0 für alle e ∈ E. Auch die Flusserhaltung gilt, da die Abbildung
Z → Zk mit i 7→ i ein Gruppenhomomorphismus ist.
1
2
1
3
1
1
1
Abbildung 8: Ein Z4 -Fluss
Satz 2.4. Ein gerichteter Multigraph G hat einen k-Fluss genau dann, wenn er einen
Zk -Fluss hat.
Beweis.
• "⇒": Gilt nach Lemma 2.3.
• "⇐": Wir wählen aus der nichtleeren (!) Menge F der Abbildungen
f : E → {±1, . . . , ± (k − 1)}
P
mit f (e) = g (e) für alle e ∈ E eine Abbildung f0 , die minimal bzgl. v∈V |δf0 (v)| > 0
ist und zeigen, dass wir immer daraus einen Abbildung konstruieren können, welche
die Minimalität verletzt. Drehe geeignete Kanten so um, dass f0 (e) ≥ 0 für alle e ∈ E.
Wähle einen Knoten x mit δf0 (x) < 0 und sei X die Menge der von x aus durch
gerichtete Wege erreichbare Knoten. Dann gibt es in X einen Knoten y mit δf0 (x) > 0
und einen Weg in X von x nach y. Reduziere den Fluss auf diesen Kanten und es
entsteht ein Fluss f0000 mit
X
X
δf 000 (v) <
|δf0 (v)|
0
v∈V
v∈V
Dies ist ein Widerspruch
zur Minimalität von f0 . Daher gibt es in F immer einen
P
k-Fluss f mit v∈V |δf (v)| = 0.
gekürzt.
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
13
X
G
x
Abbildung 9: Situation im Beweis von Satz 2.4
Bemerkung. Damit gilt
G hat einen k-Fluss
⇔ G hat einen Zk -Fluss
⇔ G hat einen H-Fluss für jede abelsche Gruppe H
mit Ordnung k
Bemerkung. Die Existenz von k-Flüssen und H-Flüssen ist unabhängig von der Richtung
der Kanten. Somit hängt die Existenz von k- und H-Flüssen nur vom zugrundeliegenden
Graphen ab.
20.11.15
VL10
Definition. Wir sagen, dass ein ungerichteter Multigraph G einen k- bzw. H-Fluss
besitzt, wenn eine (und damit jede) Orientierung des Graphen einen k- bzw. H-Fluss
hat. Dann definieren wir ϕ (G) dementsprechend.
Satz 2.5.
1. G hat einen 2-Fluss genau dann, wenn jeder Knoten geraden Grad hat
2. Ein kubischer Graph (= 3-regulär) hat einen 3-Fluss genau dann, wenn er bipartit
ist
3. Ein Graph hat einen 4-Fluss genau dann, wenn er die Vereinigung zweier Graphen
ist, in denen jeder Knoten geraden Grad hat
4. Jeder 4-kantenzusammenhängende Graph hat einen 4-Fluss
5. Ein kubischer Graph hat genau dann einen 4-Fluss, wenn er 3-kantenfärbbar ist
Beweis.
→
−
1. Nach Satz 2.4 existiert ein 2-Fluss genau dann, wenn ein Z2 -Fluss existiert. Sei G eine
beliebige Orientierung eines Graphen G. ”⇒”: Ist f ein Z2 -Fluss, dann ist δf (v) = 0
→
−
für alle v ∈ V , d.h. d (v) = |N (v)| ≡ 0 mod 2. ”⇐”: Setze g (e) = 1 für alle e ∈ E . g
ist ein Z2 -Fluss, da δg (v) = d (v) = 0.
2. Übung. Idee: "⇒": Auf jedem Kreis müssen abwechselnd die Flusswerte 1 und 2 sein.
Daher kann kein Kreis ungerade Länge haben. "⇐": Orientiere konsistent in eine
Richtung mit f ≡ 1.
3. Sei G ein Graph und D = (V, E) eine Orientierung von G.
"⇒": Angenommen D hat einen 4-Fluss. Dann hat Dauch einen Z2 × Z2 -Fluss f . Sei
Gi = (V, Ei ) mit Ei ⊆ E für i = 1, 2. Dabei ist Ei = e ∈ E | f (e)i 6= 0 . Jede Kante
e ∈ E kommt in mindestens einer der beiden Mengen vor, da f (e) 6= (0, 0) für alle
S2
S2
e ∈ E, also E = i=1 Ei und i=1 Gi = G. Zudem haben G1 , G2 jeweils einen Z2 Fluss, d.h. nach a) haben die zugrundelegenden Graphen G1 und G2 die Eigenschaft,
dass jeder Knoten geraden Grad hat.
24.11.15
VL11
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
14
"⇐": Sei G = G1 ∪G2 ein Graph mit der Eigenschaft, dass jeder Knoten geraden Grad
hat. Sei D eine Orientierung von G und seien D1 und D2 die Einschränkung dieser
Orientierung auf G1 bzw. G2 . Nach a) existiert ein Z2 -Fluss fi auf Gi , i = 1, 2. Sei f
folgender Fluss definiert für jede e ∈ E:
(
(
!
f2 (e) = 1 falls e ∈ E (G2 )
f1 (e) = 1 falls e ∈ E (G1 )
,
f (e) =
0
sonst
0
sonst
Es gilt δf (v) = 0, 0 für alle v ∈ V , da dies für f1 , f2 bereits gilt. Da E ⊆ E1 ∪ E2
gilt f (e) 6= 0, 0 für alle e ∈ E. Folglich hat G einen Z2 × Z2 -Fluss und somit einen
4-Fluss.
4. Wir brauchen folgenden Satz: Ein 4-kanten-zsh. Graph hat zwei kantendisjnkte Spannbäume. Sei G = (V, E) ein 4-kantenzsh. Graph. Sei D eine Orientierung von G. Seien
T1 , T2 die beiden kantendisjunkten Spannbäume. Für jede Kante e ∈ E \ Ti existiert
genau ein Fundamentalkreis Ce,i in Ti + e. Sei Fe,i der Z4 -wertige Fluss in D, der auf
allen Kanten
gleich 0 ist, welche nicht aufCe,i liegen und gleich i oder −i sonst. Sei
P
/ E (T1 ). Zudem ist δf1 ≡ 0.
f1 =
f . Es gilt f1 (e) ∈ 1, 3 für alle e ∈
e∈E(T
/
1 ) e,1
P
Sei E0 = {e ∈ E | f1 (e) = 0} und f2 (e) =
Es gilt
e∈E0 fe,2 . Sei f = f1 + f2 . f (e)= f2 (e) = 2 für
alle
e
∈
E
.
Für
alle
e
∈
E
\
E
gilt
f
(e)
∈
1,
3
, weil
0
0
1, 3 + n · 2 = 1, 3 . Damit ist f ein Z4 -Fluss.
5. Sei G = (V, E) ein kubischer Graph und D = (V, E) eine Orientierung von G.
"⇒": Sei f ein Z2 × Z2 -Fluss auf D. Sei
π : Z2 × Z2 \ (0, 0) → {1, 2, 3}
−
eine Bijektion. Für e ∈ E sei →
e die entsprechende Kante in D. Für alle e ∈ E setze
→
−
0
c (e) = π (f ( e )). Seien e, e ∈ E zwei verschiedene Kanten
mit einem gemeinsamen
→
−0 →
−
0
Knoten v. Angenommen c (e) = c (e ), so gilt f ( e ) = f e . Unabhängig von der
Orientierung
von e, e0 hebt sich deren Flusswert in der Bilanz von v weg. Somit ist
→
−00 f e
= 0, 0 , wobei e00 die dritte Kante ist, die an v anliegt. Dies ist ein Widerspruch, da f ein Fluss ist. Also ist c eine 3-Kantenfärbung.
−
−
"⇐": Sei c : E → {1, 2, 3} eine 3-Kantenfärbung von G. Für jedes →
e ∈ E sei f (→
e)=
π −1 (c (e)). Es gilt (0, 0) ∈
/ Imf . Außerdem gilt
δf (v)
=
X
(u,v)∈E
=
X
X
f (u, v) −
f (v, u)
(v,u)∈E
π −1 (c (u, v))
(u,v)
=
(1, 0) + (0, 1) + (1, 1)
=
(0, 0)
Damit ist f ein Z2 × Z2 -Fluss.
Definition. Sei T ein aufspannender Baum in G = (V, E). Für jede Kante e ∈ E\E (T )
existiert genau ein Kreis Ce in T + e. Dann heißt Ce Fundamentalkreis.
2.2
Flüsse & Färbungen
27.11.15
VL12
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
15
Definition. Ein Multigraph heißt planar, wenn er in die Ebene gezeichnet werden
kann, sodass sich keine zwei Kanten kreuzen.
Definition. Jeder planare Multigraph G hat einen dualen Graphen G∗ . Der duale
Graph ist eindeutig für eine feste planare Einbettung.
Abbildung 10: Ein Graph G und sein dualer Graph G∗ .
∗
Bemerkung. Es gilt (G∗ ) = G.
Satz 2.6. Sei G ein planarer Multigraph ohne Schlingen. Dann gilt χ (G) = ϕ (G∗ ).
Beweis. Sei G ein schlingenfreier Multigraph und T ein normaler Spannbaum in G mit
Wurzel r. Sei D = (V, E) eine Orientierung von G. Dabei sollen alle Kanten in T von
der Wurzel wegorientiert, also {u, v} ∈ E (T ) mit u ≤T v zu (u, v) orientiert. Kanten in
E (G) \ E (T ) sind entgegen der Baumordnung orientiert.
r
u
v
Abbildung 11: Ein normaler Spannbaum mit Wurzel r
• "≤": Da G schlingenfrei ist, ist χ (G) , ϕ (G∗ ) ∈ N. Sei D∗ eine Orientierung von G∗
und f ein Zk -Fluss auf D∗. Dabei ist k = ϕ (G∗ ). Ohne Beweis: Es gibt eine Abbildung
g : E (D) → 1, . . . , k − 1 wie folgt:
– sind e ∈ E (D) und e∗ ∈ E (D∗ ) duale Kanten, dann ist g (e) = ±f (e∗ )
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
16
– ist C = (v1 , e1 , . . . , vr , er , v1 ) ein Kreis in G, dann gilt
X
X
g (ei ) −
g (ej ) = 0
ei =(vi ,vi+1 )
ej =(vj+1 ,vj )
Dabei sei vk+1 = v1 . Drehen wir die Kanten auf dem Kreis C um, welche entgegen
der Kreisrichtung orientiert sind und invertieren deren g-Werte, dann summieren sich
die g-Werte der Kreiskanten zu 0. Der Beweis benötigt die Dualität von Kreisen und
Schnitten bei planaren Graphen und die Orientierbarkeit der Ebene. Für alle u ∈ V (G)
setze
X
c (u) =
g (e) ∈ Zk
e∈E(P )
wobei P der eindeutige Weg von r nach u in T ist. Die Abbildung c ist eine k-Färbung,
d.h. |Im (c)| ≤ k und c (u) 6= c (v) für alle {u, v} ∈ E (G). Seien {u, v} ∈ E (G) mit
oBdA e = (u, v). Ist e ∈ E (T ), dann ist c (v) − c (u) = g (e) 6= 0. Ist e = {u, v} ∈
E (G) \ E (T ), dann ist
X
g (e)
c (u) − c (v) =
e∈Puv
wobei Puv ein Weg von v nach u in T ist und oBdA e = (u, v). Da Puv ∪e ein gerichteter
Kreis ist, gilt
X
g (e) = −g (e)
e∈Puv
Daher ist
X
g (e) 6= 0
e∈Puv
und somit c (u) − c (v) 6= 0. Also ist c eine k-Färbung von G.
2
1
3
2
1
3
-8
2
2
-8
Abbildung 12: Die Dualität von Kreisen und Schnitten in planaren Graphen
• "≥": Es sei c eine k-Färbung von G mit χ (G) = k. Setze
−
g (→
e ) = c (u) − c (v)
→
→
−
−
−
−
für alle →
e = (u, v) auf T . Setze g fort auf die übrigen Kanten →
e ∈ E T , sodass
sich die g-Werte auf den gerichteten Fundamentalkreisen zu 0 aufaddieren. Über das
Dualisierungsargument erhalten wir einen Zk -Fluss f auf D∗ und damit auf G∗ .
Bemerkung. Der Satz gilt selbst für Graphen mit Schlingen, dann sind beide Seiten = ∞.
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
17
Definition. Sei T ein Baum mit Wurzel r und u, v ∈ V (t). Ist u auf dem Weg von r
nach v, so schreiben wir u ≤T v. Diese Halbordnung heißt Baumordnung von (T, r).
Definition. Einen Spannbaum T mit Wurzel r eines Multigraphen G nennen wir
normal, falls für alle e = (u, v) ∈ E (G) \ E (T ) gilt u <T v oder v <T u.
Lemma 2.7. Jeder zusammenhängende Multigraph hat einen normalen Spannbaum.
Dessen Wurzel ist beliebig wählbar aus allen Knoten des Multigraphen.
Beweis. Durchmustere den Graphen mit DFS. Dieser Suchbaum ist normal. (→ Übung)
2.3
Flussvermutungen
Bemerkung. Ein Multigraph mit Schnittkante hat keinen k-Fluss.
Satz 2.8. Jeder Multigraph ohne Schnittkante hat einen k-Fluss für ein k ∈ N.
Beweis. → Übung. Idee: Keine Schnittkante ⇒ 2-zsh. ⇒ ∃ stark zsh. Orientierung. Jede
Kante (u, v) liegt auf einem gerichteten Kreis Cuv . Setze fuv ≡ 1 auf Cuv und addiere alle
fuv zu f auf. Dies ist ein m-Fluss auf G.
Vermutung 2.9 (Tutte, 1954). Jeder Multigraph ohne Schnittkante hat einen 5-Fluss.
Bemerkung. Sei P der Petersen-Graph. P ist kubisch, aber nicht 3-kantenfärbbar. Somit
hat P keinen 4-Fluss. Es gilt ϕ (P ) = 5.
1
1
5
5
2
4
4
2
3
3
Abbildung 13: Der Petersen-Graph
Vermutung 2.10 (Tutte, 1966). Jeder Multigraph ohne Schnittkante, der den PetersenGraphen nicht als Minor enthält, besitzt einen 4-Fluss.
Definition. Wir nennen den Graphen H Minor vom Graphen G, wenn H aus G durch
Knoten- oder Kantenlöschungen bzw. Kantenkontraktionen hervorgeht.
30.11.15
VL13
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
18
Definition. Einen kubischen Graphen ohne 4-Fluss bzw. ohne 3-Kanten-Färbung nennt
man einen Snark.
Bemerkung. Vermutung 2.10 besagt: Jeder Snark hat den Petersen-Graphen als Minor.
Ein Beweis wurde 1999 von Robertson, Seymour angekündigt, aber ist noch nicht vollständig
publiziert. Dieser sogenannte ”Snark-Satz” impliziert den 4-Farben-Satz.
Beweis. Sei G planar mit einer Einbettung im R2 . Dann können wir G triangulieren, d.h.
jedes Gebiet von G ist ein Dreieck. Damit ist G∗ kubisch und ebenfalls planar. Wegen der
Planarität enthält G∗ den Petersen-Graphen nicht als Minor. Damit ist G∗ kein Snark. Also
ist G∗ kubisch und 3-kanten-färbbar, hat also einen 4-Fluss. Mit Satz 2.6 gilt dann
χ (G) = ϕ (G∗ ) ≤ 4
und G ist 4-färbbar.
Vermutung 2.11 (Tutte, 1972). Sei G ein Multigraph ohne einen Schnitt bestehend
aus genau einer oder genau drei Kanten. Dann existiert ein 3-Fluss auf G.
Bemerkung. Vermutung 2.11 ist wesentlich stärker als unser Satz 2.5.4, nach dem jeder
4-kanten-zusammenhängende Graph einen 4-Fluss besitzt.
Bemerkung. Alle 3 Vermutungen gelten für planare Graphen. Vermutung 2.11 folgt für
planare Graphen aus dem Satz 2.6 und dem folgenden Satz.
Satz von Grötzsch 2.12. Jeder planare Graph ohne Dreieck ist 3-färbbar. (ohne
Beweis)
04.12.15
VL14
Satz 2.13 (Seymour, 1981). Jeder Graph ohne Schnittkante hat einen 6-Fluss.
Beweis. Idee: Zerlege den Graphen in disjunkte Teilgraphen Hj , wobei Hj durch genau eine
Sj−1
oder zwei Kanten mit i=1 Hi verbunden ist und jeder Knoten in Hj geraden Grad hat.
H0
H1
H2
H3
H4
Abbildung 14: Aufteilung des Graphen G in Teilgraphen Hi
Sei G = (V, E) ein Graph ohne Schnittkante. OBdA ist G zusammenhängend. Damit
ist G 2-kantenzusammenhängend. Wir konstruieren eine Folge H0 , . . . , Hk von disjunkten
Teilgraphen von G. Jedes Hi hat die Eigenschaft, dass alle Knoten geraden Grad haben und
2
FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN
19
Sk
es gilt i=0 V (Hi ) = V . Zudem konstruiere Kantenmengen F1 , . . . , Fk ⊆ E mit 1 ≤ |Fi | ≤
Si−1
2, i = 1, . . . , k, wobei Fi von Hi nach j=0 Hj geht. Wir schreiben
H i = (H0 ∪ · · · ∪ Hi ) + (F1 ∪ · · · ∪ Fi )
für alle i = 0, . . . , k. H i ist zusammenhängend, i = 0, . . . , k per Induktion. Als H0 wählen
wir einen einzelnen Knoten aus G. Sagenwir, H0 , . . . , Hi−1 und F1 . . . , Fi−1 seien
schon wie
gewünscht definiert. OBdA gilt V H i−1 ( V . Wir wählen Xi ⊆ V \ V H i−1 mit
• Xi 6= ∅ und
• Xi ist minimal gewählt so, dass es höchstens eine Kante zwischen Xi und
V \ V H i−1 \ Xi
gibt.
V Hi
1
V n V Hi
1
n Xi
Fi
Xi
Abbildung 15: Situation im Beweis von Satz 2.13 ( Grafikfehler )
Die Wahl von Xi ist wohldefiniert, da V \ V H i−1 alle gewünschten Eigenschaften (außer der Minimalität)
hat. Da G 2-kantenzusammenhängend ist, existieren Kanten zwischen
Xi und V H i−1 . Wähle Fi als zwei (falls möglich) oder eine solche Kante. Wegen der
Minimalität ist der von Xi induzierte Teilgraph G [Xi ] 2-kantenzusamenhängend. (Satz von
Menger: Zwischen je zwei Knoten aus G [Xi ] existiert ein Paar von kantendisjunkten Wegen)
Haben die Kanten Fi zwei verschiedene Endpunkte in Xi , dann wähle Hi als die Vereinigung von zwei kantendisjunkten Wegen in G [Xi ] zwischen diesen Endknoten. Wegen der
Kantendisjunktheit hat jeder Knoten in Hi geraden Grad.
x
y
Abbildung 16: Zwei kantendisjunkte Wege enthalten nur Knoten mit geraden Grad
Haben die Kanten aus Fi nur einen Endknoten in Xi , dann wähle Hi gleich diesem
Knoten. Wir setzen H = H k , wenn V H k = V . Sei E 0 = E \E (H). Sei D eine Orientierung
von G. Wir definieren Z3 -wertige Flüsse fk , . . . , f0 auf D.
Für jedes e ∈ E 0 existiert ein Kreis Ce durch e in H + e, da H zusammenhängend
ist. Sei fe P
ein Z3 -wertiger Fluss in D, welcher genau auf dem Kreis Ce ungleich 0 ist.
0
0
Sei fk =
e∈E 0 fe . Es gilt fk (e) 6= 0 für alle e ∈ E , denn jede Kante e wird genau
ein Mal mit einem Flusswert belegt. Induktiv seien fk , . . . , fi konstruiert, so dass fi (e) 6=
Sk
0 für alle e ∈ E 0 ∪ j=i+1 Fj . OBdA sei i > 0. Wir wollen fi−1 so konstruieren, dass
fi−1 (e) 6= 0 zusätzlich für alle e ∈ Fi . Ist |Fi | = 1, sagen wir Fi = {e}, dann setzen wir
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
20
fi−1 = fi . Wir müssen fi−1 (e) 6= 0 zeigen. Wegen |Fi | = 1 existiert in G nur eine Kante
zwischen Hi−1 undXi . Wegen der Wahl von Xi existiert höchstens eine Kante zwischen Xi
und V \ V H i−1 Xi . Da G 2-kantenzusammenhängend ist, existiert eine solche Kante e0
Sk
tatsächlich. Es gilt e0 ∈ E 0 ∪ j=i+1 Fj . Also ist fi (e0 ) 6= 0. Da {e, e0 } ein Schnitt ist, gilt
fi (e0 ) = ±fi (e). Also fi−1 (e) = fi (e) 6= 0.
Sei nun |Fi | = 2, sagen wir Fi = {e1 , e2 }.Ist fi (e1 ) 6= 0 und fi (e2 ) 6= 0, setze fi−1 = fi .
Sei nun also fi (e1 ) = 0 und oBdA fi (e2 ) ∈ 0, 1 .
Sei C ein Kreis in H i−1 ∪ Fi ∪ Hi = H i durch e1 und e2 . Sei g ein Z3 -wertiger Fluss
auf D, welcher
• nur auf C von 0 verschieden ist und
• g (e2 ) = 1 erfüllt
S
Damit gilt g (e1 ) 6= 0. Da C ⊆ H i gilt g (e) = 0 für alle e ∈ E 0 ∪ j>i Fj . Also ist
fi+1 := fi +g der gesuchte Fluss. Schließlich ist f0 ein Z3 -wertiger Fluss auf D mit f0 (e) 6= 0
Sk
für alle e ∈ E 0 ∪ i=1 Fi . Sei σ : Z3 → Z6 eine Abbildung mit i 7→ 2i. Dann ist f := σ ◦ fo
ein Z6 -wertiger Fluss, weiterhin mit der gewünschten Eigenschaft. Sei gi ein 2-Fluss auf
Hi für alle i = 0, . . . , k. Sei g i der entsprechende Z6 -Fluss auf D, für alle i = 0 . . . , k,
Pk
also g i (e) ∈ 1, −1 = 5 . Dann ist f + i=0 g i ein Z6 -Fluss auf D. Nach Satz 2.4 gilt die
Behauptung.
3
Graphenfärbungen
3.1
Kritische Graphen
Bemerkung. Ist k ≥ 3, dann ist das Entscheidungsproblem ”Ist ein gegebener Graph G
k-färbbar?” NP-vollständig. Demnach können wir nicht auf eine gutartige Charakterisierung
der k-färbbaren Graphen (wie Satz 0.1) hoffen, sobald k ≥ 3.
Definition. Einen Graphen G = (V, E) nennen wir kritisch, wenn gilt χ (H) < χ (G)
für alle echten Teilgraphen H von G. Ist χ (G) = k, so heißt G k-kritisch.
Bemerkung. Nach Satz 0.1 sind die 3-kritischen Graphen genau die Kreise mit ungerader
Länge.
Bemerkung. Der Grötzsch-Graph ist 4-kritisch.
Abbildung 17: Der Grötzsch-Graph
Satz 3.1. Ist G k-kritisch, dann gilt δ (G) ≥ k − 1, wobei δ (G) der Minimalgrad von
G ist.
07.12.15
VL15
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
21
Beweis. Angenommen δ (G) < k − 1. Sei v ∈ V mit d (v) = δ (G). Da G k-kritisch ist,
Sk−1
gilt χ (G − v) = k − 1. Sei V \ {v} = i=1 Vi eine (k − 1)-Färbung von G − v. Da v
k − 2 oder weniger Nachbarn in V (G − v) hat, ist oBdA N (v) ∩ Vk−1 = ∅. Somit ist
Sk−2
V = i=1 Vi ∪ (Vk−1 ∪ {v}) eine (k − 1)-Färbung von G. Wiederspruch zu χ (G) = k.
Korollar 3.2. In jedem k-chromatischen Graphen gibt es mindestens k Knoten vom
Grad mindestens k − 1.
Beweis. In jedem k-chromatische Graph gibt es einen k-kritischen Teilgraphen H. Jeder
Knoten in H hat Grad mindestens k − 1, nach Satz 3.1.
Satz 3.3. Jeder k-kritische Graph ist (k − 1)-kantenzusammenhängend.
Beweis. Wir zeigen zuerst folgende Aussage: Sei H = (V, E) ein Graph mit V = X ∪ Y und
X ∩ Y = ∅. Seien H [X] und H [Y ] r-färbbar und |{{x, y} ∈ E | x ∈ X und y ∈ Y }| ≤ r − 1.
Dann ist H r-färbbar.
−1
Seien cx bzw. cy r-Färbungen von H [X] bzw. H [Y ]. Seien Xi = c−1
x (i) und Yi = cy (i)
für alle i = 1, . . . , r. Definiere den bipartiten Graphen B auf 2r Kanten. Dabei sei
V (B) = {Xi , Yi | i = 1, . . . , r}
und
E (B) = {{Xi , Yi } | @x ∈ Xi , y ∈ Yi , (x, y) ∈ E (H)}
Suche ein Matching in B, welches alle Knoten aus X überdeckt. Das Matching ist dann
perfekt. Ist {Xi , Yj } eine Matchingkante, dann ist Xi ∪ Yj stabil und eine Farbklasse einer
r-Färbung von H. Nach dem Satz von Hall hat B ein perfektes Matching genau dann, wenn
für alle Teilmengen Z ⊆ {X1 , . . . , Xr } gilt
[
|N (Z)| = N (z) ≥ |Z|
z∈Z
Sei Z also beliebig gewählt, sagen wir Z = {X1 , . . . , Xs }. Angenommen |N (Z)| < s, oBdA
N (Z) ⊆ {Y1 , . . . , Ys−1 }. Es gibt mindestens s · (r − s + 1) viele Nichtkanten in B. Es gilt
s · (r − s + 1) − r = r (s − 1) − s (s − 1) ≥ 0. Somit gibt es r viele Nichtkanten in B. Damit
ist v
|{{x, y} | x ∈ X, y ∈ Y }|
≥
|{{Xi , Yi } | x ∈ Xi , y ∈ Yi , {x, y} ∈ E}|
=
# Nichtkanten in B
≥
r
Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Somit hat B ein perfektes Matching und
daher ist H r-färbbar. Also gilt die Behauptung.
˙ mit X, Y 6= ∅. Angenommen es
Sei nun G ein k-kritischer Graph und V (G) = X ∪Y
existieren höchstens (k − 2) viele Kanten zwischen X und Y . Nach der Definition von kkritisch, sind G [X] und G [Y ] (k − 1)-färbbar. Wegen der geraden gezeigten Behauptung für
r = k − 1 ist G dann (k − 1)-färbbar. Dies ist ein Widerspruch zu G k-kritisch.
11.12.15
VL16
Definition. Eine (Knoten-)Schnittmenge ist eine Menge von Knoten X ⊆ V (G) eines
Graphen G mit der Eigenschaft, dass G − X mehr ZHK als G hat.
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
22
Y1
X1
X2
Y2
..
.
Xr
..
.
Z
N (Z)
Z
N (Z)
Yr
Abbildung 18: Bipartiter Graph B aus dem Beweis von Satz 3.3
Satz 3.4. In einem kritischen Graphen gibt es keine Schnittmenge, die eine Clique ist.
Beweis. Spezialfall von Übungsaufgabe. Idee: Sei S eine Schnittmenge. Angenommen S ist
eine Clique und Ci seien die ZHK von G\S. Dann hat Ci ∪S eine (k − 1)-Färbung ci . OBdA
ist ci |S = cj |S für alle i, j. Dann lassen sich die Färbungen ci zu einer (k − 1)-Färbung c
von G zusammenfügen. Dies ist ein Widerspruch zu G k-kritisch.
Bemerkung. Insbesondere haben kritische Graphen keine Schnittknoten. Angenommen G
kritisch hat eine Schnittmenge {u, v}. Dann gibt es keine Kante {u, v} nach Satz 3.4.
Definition. Seien V1 , . . . , Vr die Knotenmengen der Zusammenhangskomponenten von
G \ {u, v}. Wir setzen Gi = [Vi ∪ {u, v}] und nennen Gi eine {u, v}-Komponente. Eine
{u, v}-Komponente Gi nennen wir vom
• Typ 1, falls c (u) = c (v) für jede (k − 1)-Färbung von Gi ist
• Typ 2, falls c (u) 6= c (v) für jede (k − 1)-Färbung von Gi ist
Satz 3.5. Sei G k-kritisch mit Schnittmenge {u, v}. Dann gilt
1. G hat genau zwei {u, v}-Komponenten G1 , G2 ; G1 hat Typ 1 und G2 hat Typ 2
2. Die beiden Graphen G1 + {u, v} und G2 / {u, v} sind k-kritisch, wobei G2 / {u, v}
die Verschmelzung von u, v meint
Beweis.
1. Wegen χ (G) = k ist jede {u, v}-Komponente (k − 1)-färbbar. Ist keine {u, v}-Komponente
vom Typ 1, dann hat jede {u, v}-Komponente Gi eine (k − 1)-Färbung ci mit ci (u) 6=
ci (v). OBdA ist ci (u) = 1 und ci (v) = 2 für alle i. Damit ist die Zusammenführung
der ci eine (k − 1)-Färbung von G. Dies ist ein Widerspruch zu G k-kritisch. Analog
folgt die Existenz einer {u, v}-Komponente vom Typ 2. Seien diese beiden Komponenten G1 und G2 . Da G1 vom Typ 1 und G2 vom Typ 2 ist, gibt es keine (k − 1)-Färbung
von G1 ∪ G2 . Also ist χ (G1 ∪ G2 ) ≥ k und daher ist G = G1 ∪ G2 .
2. Sei H1 = G1 + {u, v}. Da G1 vom Typ 1 ist, gilt χ (H1 ) ≥ k. Offensichtlich ist auch
χ (H1 ) ≤ k, d.h. χ (H1 ) = k. Wir zeigen: H1 ist k-kritisch, da H1 − e (k − 1)-färbbar
ist, für jede Kante e ∈ E (H1 ). Der Fall e = {u, v} ist klar, da χ (H1 − e) = χ (G1 ) ≤
k − 1. Sei also e ∈ E (H1 ) \ {u, v}. Betrachte G \ e. Sei c eine (k − 1)-Färbung von
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
23
G \ e. Da e ∈ E (G1 ) ist c eingeschränkt auf V (G2 ) eine (k − 1)-Färbung von G2 .
Da G2 vom Typ 2 ist, gilt c (u) 6= c (v). Somit ist c auch eine (k − 1)-Färbung von
(G \ e) + {u, v} ⊇ H1 \ e. Also χ (H1 \ e) ≤ k − 1. Analog ist G2 / {u, v} k-kritisch.
G1
G2
Abbildung 19: Situation im Beweis von Satz 3.5
14.12.15
VL17
Korollar 3.6. Sei G ein k-kritischer Graph mit Schnittmenge {u, v}. Dann gilt
d (u) + d (v) ≥ 3k − 5
Beweis. Seien G1 , G2 die {u, v}-Komponenten nach Satz 3.5. Seien H1 = G1 + {u, v} und
H2 = G2 / {u, v}. Wir wissen: H1 , H2 sind k-kritisch, d.h. δ (H1 ) , δ (H2 ) ≥ k − 1. Somit ist
dH1 (u) + dH1 (v) ≥ 2k − 2 und dH2 (u = v) ≥ k − 1. Also dG1 (u) + dG1 (v) ≥ 2k − 4 und
dG2 (u) + dG2 (v) ≥ k − 1. Zusammen also
dG (u) + dG (v) ≥ 3k − 5
3.2
Die Vermutung von Hadwiger
Vermutung 3.7 (Hadwiger, 1943). Sei G ein Graph mit χ (G) = k. Dann enthält G
einen vollständigen Kk als Minor.
Bemerkung. Der Fall k = 5 impliziert den Vier-Farben-Satz.
Beweis. Sei G planar. Dann enthält G keinen K5 als Minor. Damit ist aber χ (G) ≤ 4 nach
der Vermutung.
Bemerkung. Die Fälle mit k ≤ 6 sind gelöst, für k = 5, 6 von Robertson/Seymour/Thomas
(1993). Der Beweis benutzt den Vier-Farben-Satz. Ab k = 7 ist die Vermutung offen.
Satz 3.8. Sei k ∈ {1, 2, 3, 4}. Jeder Graph mit χ (G) = k enthält einen Kk als Minor.
Beweis. Fallunterscheidung: k ≤ 2 ist trivial. Sei k = 3. Dann enthält G einen ungeraden
Kreis und damit einen K3 als Minor. Sei k = 4. Wir zeigen folgende stärkere Eigenschaft:
G enthält K4 als topologischen Minor, d.h. K4 geht aus G duch Löschen von Knoten oder
Kanten und dem Unterdrücken von Knoten vom Grad 2 hervor. OBdA ist G 4-kritisch.
Damit ist δ (G) ≥ 3 und G ist zusammenhängend; es gibt sogar keinen Schnittknoten in G.
Induktion über n ≥ 4: Existiert eine Schnittmenge der Größe 2, sagen {u, v}, dann betrachte
die beiden {u, v}-Komponenten G1 und G2 . Nach Induktion hat G1 + {u, v} einen K4 als
topologischen Minor. Sei H der Teilgraph von G1 + {u, v} der sich zu K4 kontrahieren lässt.
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
24
Abbildung 20: Situation im Beweis von Satz 3.8, Fall 1
Ist H ⊆ G, so sind wir fertig. Andernfalls lässt sich die Kante {u, v} durch einen Weg in G2
von u nach v ersetzen.
Andernfalls ist G 3-zusammenhängend. Wegen δ (G) ≥ 3 hat G einen Kreis C der Länge
mindestens 4. Wir wählen u, v ∈ C, sodass der Abstand zwischen u und v auf C mindestens
2 ist. Da G 3-zusammenhängend ist, gibt es einen Weg P , der
• weder u noch v enthält und
• die beiden Teilstücke von C \ {u, v} verbindet
OBdA ist V (P ) ∩ V (C) = {x, y}). Es gilt {u, v} ∩ {x, y} = ∅ und x, y haben Abstand 2
auf C. Wir wählen einen Weg Q, der weder x noch y enthält und die beiden Teilstücke von
C \ {x, y} verbindet. OBdA V (Q) ∩ V (C) = {u, v}). Ist P ∩ Q = ∅ lässt sich C + P + Q
zu einem K4 kontrahieren. Sei also P ∩ Q 6= ∅. Dann sei P 0 das kürzeste Anfangsstück
von P (von x aus gesehen) mit Endknoten in Q. Dann lässt sich C + P 0 + Q zu einem K4
kontrahieren.
u
u
Q
x
Q
y
y
x
P0
P
v
v
Abbildung 21: Situation im Beweis von Satz 3.8, Fall 2
18.12.15
VL18
Ex-Vermutung von Hajós 3.9. Ein Graph G mit χ (G) = r hat Kr als topologischen
Minor.
Bemerkung. Die Vermutung gilt für r ≤ 4, ist falsch für r ≥ 7 und offen für r = 5, 6.
Bemerkung. Vermutung 3.7 sagt, dass die eindeutige, größte Klasse von H-Minor-freien
Graphen, für die χ ≤ r gilt, die Klasse der Kr+1 -freien Graphen ist. (d.h. es reicht aus den
Kr+1 als Minor zu verbieten, um χ = r zu erreichen)
3.3
Färbungen von Graphen auf Flächen
Bemerkung. Planare Graphen sind die Graphen, die kreuzungsfrei in den R2 eingebettet
werden können. Frage: Was ist mit anderen Flächen, z.B. einem Torus?
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
25
Definition. Eine Fläche ist ein topologischer Raum, lokal homöomorph zum R2 . Ist
die Fläche kompakt, dann ist sie eine geschlossene Fläche. Geschlossene Flächen sind
(bis auf Homöomorphie) klassifiert.
Definition. Bei der zusammenhängenden Summe von zwei Flächen schneiden wir von
beiden Flächen ein kleines Stück heraus und verbinden die Löcher durch einen Schlauch.
Abbildung 22: Verbundene Summe zweier Tori
Satz 3.10 (Klassifikation geschlossener Flächen). Ist F eine geschlossene Fläche, dann
ist F homöomorph zu genau einer dieser Flächen:
• S2
• die zusammenhängende Summe von Tori T 2
• die zusammenhängende Summe von projektiven Ebenen RP 2
(ohne Beweis)
Definition. Eine Triangulierung einer Fläche ist ein eingebetteter Graph ohne Kreuzungen, sodass jedes Gebiet ein Dreieck ist.
Definition. Die Euler-Charakteristik χ einer Fläche F ist definiert durch
χ = n − m + f,
wobei n die Anzahl der Knoten, m die Anzahl der Kanten und f die Anzahl der Gebiete
einer (jeder) Triangulation ist.
Satz von Euler-Poincaré. Ist G = (V, E) ein Graph, eingebettet auf F , dann gilt
|E| ≤ 3 · |V | − 3 · χ.
Bemerkung. Es gilt
• χ S2 = 2
21.12.15
VL19
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
26
• χ T 2 ⊕ · · · ⊕ T 2 = 2 (1 − k), wobei k die Anzahl der Tori T 2 ist
• χ RP 2 ⊕ · · · ⊕ RP 2 = 2 − k, wobei k die Anzahl der projektiven Ebenen RP 2 ist
Satz 3.11. Sei F eine Fläche mit χ ≤ 0. Die chromatische Zahl eines auf F eingebetteten Graphen G ist höchstens
p
1
7 + 49 − 24χ
h (χ) =
2
p bzw. O
|χ| .
Beweis. Sei G k-chromatisch. OBdA ist G k-kritisch. Also ist δ (G) ≥ k − 1. Angenommen
k ≥ h + 1. Es gilt n ≥ h + 1. Zudem ist m ≤ 3n − 3χ, also
δ (G) ≤
2m
6χ
6χ
≤6−
≤6−
h
h
h+1
Daher ist
h ≤ δ (G) ≤ 6 −
6χ
h+1
d.h.
h2 − 5h + 6 (χ − 1) ≤ 0
Nach pq-Formel gilt
p
1
7 + 49 − 24χ
2
Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.
h<
Definition. Die chromatische Zahl einer Fläche F ist die größte chromatische Zahl
eines auf F eingebetteten Graphen.
Satz 3.12. Sei F eine Fläche mit χ ≤ 0 und χ (F ) ∈
/ {−1, −2, −7}. Wenn es einen
h-kritischen Graphen auf F gibt, so ist dieser gleich Kh .
Beweis. unvollst.
Bemerkung. Der Satz gilt auch für χ (F ) ∈ {−1, −2, −7}.
11.01.16
VL20
Satz 3.13. Die chromatische Zahl von T 2 ist 7 und die von RP 2 ⊕ RP 2 ist 6.
Beweis. Es gilt
√
1
h (0) =
7 + 49 − 24 · 0 = 7
2
und
|E (K7 )| = 21 = 3 · 7 − 3 · 0 = 3 · n − 3 · χ
Somit würde K7 , sofern einbettbar, die Fläche T2 bzw. RP 2 ⊕ RP 2 triangulieren. Wir zeigen: Die einzige durch K7 triangulierbare Fläche ist T 2 . Sei F eine durch K7 triangulierte
Fläche. Die Trinagulierung liegt bis auf auf Permutation der Knoten schon fest. Dann ist F
homöomorph zu T 2 . Also ist die chromatische Zahl von T 2 gleich 7. Die chromatische Zahl
von RP 2 ⊕ RP 2 ist nach Satz 3.11 höchstens 6. Damit ist sie tatsächlich 6, denn der K6 ist
auf RP 2 ⊕ RP 2 einbettbar.
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
27
Bemerkung. Mit Ausnahme der Kleinschen Flasche ist die chromatische Zahl jeder Fläche
mit χ ≤ 0 gleich h (χ).
Bemerkung. Die chromatische Zahl von RP 2 ist 6. Die chromatische Zahl von S 2 ist 4
und entspricht dem Vierfarbensatz.
3.4
Listenfärbungen
Bemerkung. Gegeben N Ereignisse 1, . . . , N , jeweils mit einer Liste L (i) mit möglichen
Terminen. Manche Ereignisse stehen in Konflikt miteinander (teilen sich Ressourcen) und
dürfen nicht am selben Termin stattfinden. Wir definieren den Graphen G = (V, E) mit
V = {1, . . . , N } und E = {{i, j} | i steht im Konflikt zu j}. Wir suchen eine Färbung c :
V → Termine mit
• c (i) ∈ L (i) für alle i ∈ V und
• c (i) 6= c (j) für alle {i, j} ∈ E.
Angenommen es stehen für jedes Ereignis zwei Termine zur Auswahl. Der Fall L (1) = · · · =
L (N ) ist nicht der schlimmstmögliche!
15.01.16
VL21
Definition. G ist k-listenfärbbar, wenn für jedes Listensystem L : V → P (N) mit
|L (v)| ≥ k für alle v ∈ V eine Färbung existiert. Die Listenchromatische Zahl χL (G)
ist das kleinste k, für das G k-listenfärbbar ist.
Bemerkung. Es gilt χL (G) ≥ χ (G).
Beobachtung 3.14. Für jedes k ∈ N existiert ein bipartiter Graph mit χL (G) > k.
18.01.16
VL22
Satz 3.15. Sei G ein Graph und s ∈ N mit
4
4 s
s
d (G) > 4 ·
· log 2 ·
s
s
Dann gilt χL (G) > s.
Beweis. Beweis mit der probalistischen Methode. Sei d = d (G) und s wie im Satz gewählt.
Im ersten Schritt konstruieren wir einen bipartiten Teilgraphen von G mit Minimalgrad
mindetens d4 . Sei v ∈ V (G). Angenommen dG (v) < d2 . Dann ist d (G \ v) > d (G) = d.
Iteratives Löschen von Knoten mit Grad weniger als d/2 liefert einen Teilgraphen G0 von
d(G0 )
G mit δ (G0 ) ≥ 2 ≥ d(G)
2 . Wir gehen zu einer unfreundlichen Partition von G über und
alle Kanten welche innerhalb der Partitionsklassen verlaufen. ? Der entstandene Graph B
d
ist bipartit und hat Minimalgrad
mindestens
4 . Seien U, V die Partitionsklassen von B mit
4
OBdA |U | ≥ |V |. Sei S = 1, . . . , s die Menge von verfügbaren Farben. Wir weisen jedem
Knoten v von B zufällig (unabhängig, gleichverteilt) eine s-elementige Teilmenge von S zu,
sei dies L (v). Dann zeigen wir, dass dieses Listensystem nicht eine gültige Färbung besitzt,
d.h. χL (G) ≥ XL (B) > s. Einen Knoten u ∈ U nennen wir gut, wenn für alle X ⊆ S mit
|X| = s gilt, dass es einen Nachbarn v von u gibt mit L (v) = X. Die Wahrscheinlichkeit,
dass eine bestimmte s-elementige Teilmenge X ⊆ S nicht als Liste eines Nachbarn von u
vorkommt, ist
4 −1 !|NB (u)|
s
1−
s
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
28
Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass u nicht gut ist
4
s
≤
·
s
4 −1 !|NB (u)|
s
1−
s
4 −1 ! d4
s
1−
s
4
s
≤
·
s
4 −1 !(ss ) log 2(ss )
s
1−
s
4
s
P (u nicht gut) ≤
·
s
4
4
4 (ss4 ) log 2(ss4 )
4 −1
s
−(ss )
≤
· e
s
4 4 −1
s
s
=
· 2·
s
s
1
=
2
d.h. E (# gute Knoten) ≥ |U2 | . Also existiert eine Auswahl von Listen {L (v) | v ∈ V } so,
dass mindestens n2 viele gute Knoten existieren. Diese Listen halten wir fest. Wir wählen
nun Listen L (v) für alle u ∈ U zufällig. Wir zeigen:
S mit Wahrscheinlichkeit echt größer 0
gibt es keine Färbung für das System. Sei c : V → v∈V L (v) mit c (v) ∈ L (v) beliebig. Wir
berechnen die Wahrscheinlichkeit mit der sich c zu einer Listenfärbung vin B fortsetzen lässt.
Sei u ∈ U gut. Dann kommt jede s-elementige Teilmenge von S als Liste eines Nachbarn
von u vor. Also ist
|S \ {c (v) | v ∈ NB (u)}| ≤ s − 1 Warum?
Dann gilt
|{c (v) | v ∈ NB (u)}| ≥ s4 − s + 1
OBdA ist s, s + 1, . . . , s4 ⊆ {c (v) | v ∈ NB (u)}. Die Färbung c lässt sich auf u fortsetzen
nur, wenn L (u) ∩ {1, . . . , s − 1} =
6 ∅. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist höchstens
s·
1
s−1
< 2
s4
s
Die L (v) , u ∈ U sind unabhängig gewählt, d.h. für die guten Knoten ist das Ereignis, dass
c fortgesetzt werden kann unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass c auf alle guten Knoten
fortgesetzt werden kann ist höchstens
1
s2
|U2 |
=
1
1
≤ |V | Warum? Es gilt doch |U | ≤ |V |
s|U |
s
1
|V |
Sie ist sogar echt kleiner als s|V
viele Funktionen c.
| . Es gibt aber nur höchstens s
Warum? Die Wahrscheinlichkeit, dass zu zufällig gewählten Listen {L (u) | u ∈ U } eine
Funktion c existiert, welche sich zu einer Listenfärbung von B fortsetzen lässt, ist kleiner
1
als s|V | · s|V
| = 1. Also existieren Listen, sodass sich keine solche Funktion c zu einer
Listenfärbung von B fortsetzen lässt.
Bemerkung. Die 5-Färbbarkeit von planaren Graphen überträgt sich auf die Listenfärbbarkeit.
Satz 3.16. Jeder planare Graph ist 5-Listenfärbbar.
Beweis. Wir zeigen eine stärkere Aussage. OBdA ist G fast-trianguliert. Dann ist G nach
Lemma 3.17 mit jedem Listensystem bestehend aus mindestens 5 Farben pro Liste färbbar.
22.01.16
VL23
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
29
Definition. Ein planarer Graph G mit geeigneter Einbettung heißt fast-trianguliert,
wenn die Außenregion durch einen Kreis beschränkt ist und jede Innenregion ein Dreieck
ist.
Abbildung 23: Ein fast-triangulierter Graph
Lemma 3.17. Sei G ein planarer, fast-triangulierter Graph mit Außenkreis
C = (x1 , x2 , . . . , xk , x1 )
Für jedes v ∈ V sei eine Liste L (v) von zulässigen Farben gegeben. Es gelte
• L (x1 ) = {1} , L (x2 ) = {2}
• |L (xi )| ≥ 3 für alle i = 3, . . . , k
• |L (v)| ≥ 5 für alle inneren Knoten aus V \ C
Dann besitzt G eine Listenfärbung.
Beweis. Beweis durch Induktion über n. Ist n = 3, dann ist G = K3 . Wähle für x3 eine
Farbe aus L (x3 ) \ {1, 2}. Sei also n > 3. Angenommen es gibt eine Kante {xk , xj } in G mit
j 6= k − 1, d.h. j ∈ {2, . . . , k − 2}. Wir wenden Induktion auf den Teilgraphen von G an, der
aus dem Kreis C = (x1 , . . . , xj , xk , x1 ) und seinem Inneren besteht. OBdA ist xj mit Farbe
1 und xk mit Farbe 2 gefärbt. Demnach können wir Induktion anwenden um den Rest zu
färben. Insgesamt haben wir ganz G gefärbt.
x1
x2
x1
xk
xk
C
C
xk−1
xk−1
xj
Abbildung 24: Situation im Beweis von Lemma 3.17
Gibt es dagegen keine solche Kante, d.h. alle Nachbarn von xk (außer x1 , xk−1 ) liegen
im Inneren von C. Daher ist die Nachbarschaft von xk ein Weg von der Form
(xk−1 , y1 , y2 , . . . , yl , x1 )
Der Graph G \ {xk } ist immer noch fast-trianguliert mit Außenkreis
(x1 , . . . , xk−1 , y1 , . . . , yl , x1 )
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
30
Seien a, b zwei verschiedene Farben aus L (xk ) \ {1}. Setze L0 (v) = L (v) für alle Knoten
v ∈ V (G)\{xk , y1 , . . . , yl } und L0 (yi ) = L (yi )\{a, b} für alle i ∈ {1, . . . , l}. Nach Induktionsvoraussetzung hat G \ {xk } eine Listenfärbung c bzgl. L0 . Wähle c (xk ) ∈ {a, b} \ {c (xk−1 )}.
Damit ist ganz G mit c gefärbt.
Bemerkung. Es gibt planare Graphen mit χ (G) = 3 und χL (G) = 5. Somit ist Satz 3.16
bestmöglich.
Bemerkung. Die listenchromatische Zahl von S 2 ist 5. Die listenchromatische Zahl jeder
anderen geschlossenen Fläche ist gleich deren chromatischer Zahl.
Definition. Ist jeder Kante eines Graphen eine Liste zugeordnet, können wir eine
Listen-Kanten-Färbung definieren. Dabei soll jeder Kante eine Farbe aus ihrer Liste
zugeordnet werden und keine zwei inzidenten Kanten dürfen die gleiche Farbe erhalten.
Die der listenchromatischen Zahl entsprechende Zahl für Kantenfärbungen ist χ0L , der
listenchromatische Index (engl. ”choice index”).
Vermutung 3.18. Es gilt χ0L (G) = χ0 (G) für jeden Graphen G.
Bemerkung. Ein Anwendungsbeispiel ist die Turnierplanung. Gegeben seien N Mannschaften und jede Paarung soll gespielt werden. Wieviele Spieltage braucht man? Man braucht
χ0 (KN ) viele. Angenommen die Partien können nicht zu jedem verfügbaren Termin ausgespielt werden. Für jede Partie haben wir eine Liste von möglichen Terminen vorgegeben.
Wir sichen also Listenfärbungen von KN . Dann sagt die Vermutung: Sofern χ0 (KN ) viele
Terminvorschläge für jede Partie vorhanden sind, gibt es eine zulässige Paarung. Vermutung
3.18 gilt für Kn , n ungerade. Für n gerade gilt χ0 (Kn ) = n − 1.
Definition. Sei D = (V, E) ein gerichteter Graph und U ⊆ V . U heißt Kern von D,
wenn gilt
• U ist eine stabile Menge und
• für alle Knoten v ∈ V \ U existiert ein Knoten u ∈ U mit (v, u) ∈ E
Definition. Hat jeder induzierte Teilgraph von D einen Kern, dann heißt D kernperfekt.
Definition. Wir nennen H den Kantengraph (engl. line graph) von G mit
• V (H) = E (G) und
• E (H) = {{e, f } | e 6= f, e ∩ f 6= ∅ und e, f ∈ E (G)}
Satz 3.19. Für bipartite Graphen gilt χ0L = χ0 .
25.01.16
VL24
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
31
Abbildung 25: Ein Graph G und sein Kantengraph L (G)
Beweis. Seien X, Y die Partitionsklassen von G. Es sei χ0 (G) = k und c : E → {1, . . . , k}
eine Kantenfärbung. Wir wollen χ0L (G) ≤ k. Es sei H der Kantengraph von G. Jede Kantenfärbung von G ist eine Knotenfärbung von H (und umgekehrt). Wir zeigen χL (H) ≤ k. Nach
Lemma 3.20 reicht es eine kern-perfekte Orientierung D von H zu bauen mit d+
D (v) < k
für alle v ∈ V (H). Dann lässt sich jedes Listensystem mit k Einträgen pro Knoten von H
färben.
Seien e, f zwei verschiedene Kanten in G, die an einem Knoten inzidieren, also {e, f } ∈
E (H). OBdA c (e) < c (f ). Ist e ∩ f ∩ X 6= ∅ orientiere {e, f } zu (f, e), ansonsten zu (e, f ).
Wir müssen noch zeigen:
• d+
D (v) < k für alle v ∈ V (H)
• D ist kern-perfekt
+
Sei e ∈ E (H) und c (e) = i. Zudem sei f ∈ ND
(v). Ist e ∩ f ∩ X 6= ∅, dann gilt
c (f ) < c (e), also c (f ) ∈ {1, . . . , i − 1}. Ist e ∩ f ∩ Y 6= ∅, dann gilt c (e) < c (f ), also
c (f ) ∈ {i + 1, . . . , k}. Da c eine Kantenfärbung ist, gilt
+
N (v) =
D
|{f | e ∩ f ∩ X 6= ∅ und c (f ) ∈ {1, . . . , i − 1}}|
+
|{f | e ∩ f ∩ Y 6= ∅ und c (f ) ∈ {i + 1, . . . , k}}|
≤
i−1+k−i
=
k−1
Also d+
D (v) < k. Ein Kern U in D hat folgende Eigenschaften:
• U ist eine stabile Menge in H, also ein Matching in G
• Für jeden Knoten e ∈ V (G) \ U existiert ein f ∈ U mit (e, f ) ∈ E (D)
d.h. für jede Nicht-Matchingkante e von G existiert eine Matchingkante f mit e ∩ f 6= ∅
und (e, f ) ∈ E (D). Wir sagen ein Knoten x ∈ V präferiert eine Kante f gegenüber e, falls
x ∈ e ∩ f und (e, f ) ∈ E (D). Damit hat jeder Knoten eine Präferenzliste, also eine lineare
Ordnung auf den angrenzenden Kanten. Ein Kern in D ist also ein stabiles Matching in
G mit der Eigenschaft, dass jede Nicht-Matchingkante eine anliegende Matchingkante hat,
welche gegenüber ihr präferiert wird. Somit hat D und alle induzierten Teilgraphen einen
Kern. Also ist D kern-perfekt und d+
D (v) < k für alle v ∈ V (D). Nach Lemma 3.20 gilt: Für
jedes Listensystem {L (v) | v ∈ H} und |L (v)| ≥ k für alle v ∈ V (H) existiert eine Färbung.
Also ist χL (H) = χ0L (G) ≤ k.
Lemma 3.20. Es sei G = (V, E) ein Graph mit Farblisten L (v) für v ∈ V . Angenommen G hat eine Orientierung D, sodass D kern-perfekt ist und es gilt d+
D (v) < |L (v)|
für alle v ∈ V . Dann existiert eine Färbung von G bzgl. L.
3
GRAPHENFÄRBUNGEN
32
Beweis. Induktion über n. Ist n = 1, dann ist d+
D (v) = 0 für v ∈ V . Also ist |L (v)| ≥ 1. Sei
also n ≥ 2. Sei α eine Farbe mit α ∈ L (v) für ein v ∈ V . Sei D0 der induzierte Teilgraph
von D aus den Knoten, welche mit α gefärbt werden können. Sei U ein Kern in D0 . Färbe
alle Knoten aus U mit der Farbe α. Entferne α aus allen Listen L (v) für v ∈ V (D0 ) \ U .
Betrachten wir D \ U . Dort gilt d+
D\U (v) < |L (v)| für alle v ∈ V (D \ U ), da für alle Knoten
aus D \ U die Farbe α aus ihrer Liste verloren haben, auch ein Nachfolger entfernt wurde.
Also existiert eine Färbung von D \ U ohne die Farbe α. Nach Induktion haben wir eine
Färbung von D konstruiert, also auch von G.
29.01.16
VL25
Definition. präferiert, Präferenzliste, stabiles Matching
Satz 3.21 (Gale & Shapley). Jeder bipartite Graph G mti Präferenzlisten besitzt ein
stabiles Matching.
3.5
Färbungen von Hypergraphen
Definition. Hypergraph, Hyperkanten, HU K etc.
Satz 3.22. G ist 4-färbbar genau dann, wenn HU K bipartit ist.
Bemerkung. Die Reduktion ist nicht polynomiell.
Korollar 3.23. Ist G planar, dann ist HU K bipartit.
Beweis. Vierfarbensatz + Satz 3.22.
Satz 3.24. Es ist N P-vollständig zu entscheiden, ob ein gegebener Hypergraph bipartit
ist.
Satz 3.25. Jeder k-uniforme Hypergraph mit weniger als 2k−1 vielen Hyperkanten ist
bipartit.
Korollar 3.26. Sei G bipartit auf n Knoten. Dann ist χL (G) ≤ 1 + dlog ne.
Bemerkung.
01.02.16
VL26
Begriffe aus den Übungen
Definition. Ein gerichteter Graph heißt unilateral, wenn für je zwei Knoten u, v gilt,
dass u von v oder v von u aus erreichbar ist.
Definition. Ein Graph heißt regulär, wenn alle Knoten gleich viele Nachbarn haben.
Definition. Ein induzierter Kreis in einem Graphen ist ein Kreis ohne Sehnen.
Definition. Sei D = (V, E) ein zusammenhängender, gerichteter Graph. Eine GraduSk
ierung von D ist eine Partition V = i=1 Vi so, dass es für jede Kante (x, y) ∈ E ein
i ∈ {1, . . . , k − 1} gibt mit x ∈ Vi und y ∈ Vi+1 .
Definition. Eine unfreundliche Partition eines Graphen G = (V, E) ist eine Partition der Knoten in die Mengen X, Y , sodass jeder Knoten aus X mindestens so viele
Nachbarn in Y wie in X hat und umgekehrt.
Definition. Ein Graph H heißt eindeutig r-färbbar, falls es, bis auf Umbenennung der
Farben, genau eine r-Färbung von G gibt.
Definition. Der join zweier Graphen G, H ist der Graph der entsteht, wenn wir alle
möglichen Kanten zwischen Knoten aus G und Knoten aus H einfügen.
Definition. Für einen Graphen G ist sein Komplement-Graph G der Graph auf den
Knoten von G, der genau die Kanten enthält, die G nicht enthält.
Definition. Die r-Sphäre Sr (v) ist die Menge der Knoten mit Abstand genau r vom
Knoten v.
(r)
Definition. Für r, t ∈ N, 2r ≤ t ist der Kneser-Graph Kt definiert als die Menge der
r-elementigen Teilmengen von {1, 2, . . . , t}, wobei zwei Mengen adjazent sind genau
dann, wenn die entsprechenden Mengen disjunkt sind.
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
34
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Ein Turnier T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Situation im Beweis von Satz 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Situation im Beweis von Satz 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das einzige stark zsh. Turnier T auf 4 Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bewertung der ZHK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Z-Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein 4-Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Z4 -Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Situation im Beweis von Satz 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Graph G und sein dualer Graph G∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein normaler Spannbaum mit Wurzel r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Dualität von Kreisen und Schnitten in planaren Graphen . . . . . . . . .
Der Petersen-Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufteilung des Graphen G in Teilgraphen Hi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Situation im Beweis von Satz 2.13 ( Grafikfehler ) . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei kantendisjunkte Wege enthalten nur Knoten mit geraden Grad . . . . .
Der Grötzsch-Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bipartiter Graph B aus dem Beweis von Satz 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . .
Situation im Beweis von Satz 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Situation im Beweis von Satz 3.8, Fall 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Situation im Beweis von Satz 3.8, Fall 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verbundene Summe zweier Tori; Quelle: Oleg Alexandrov für Wikimedia
Commons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein fast-triangulierter Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Situation im Beweis von Lemma 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Graph G und sein Kantengraph L (G); Quelle: MathsPoetry für Wikimedia Commons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
7
8
9
9
10
11
12
13
15
15
16
17
18
19
19
20
22
23
24
24
25
29
29
31
Herunterladen