Übung 17

Übungen
Übung 17
1. Berechne von Hand (a) 3! · 5! und (b)
7!
5!
und
11!
8!
2. Du gehst an ein Filmfestival bei welchem 21 Filme gezeigt werden, von denen
jeweils drei gleichzeitig stattfinden. Wieviele Möglichkeiten hast du, dir ein Festivalprogramm zusammenzustellen? (Bonus: Wie viele Möglichkeiten hat der Organisator des Festivals das Programm zusammenzustellen? Nimm der Einfachheit
halber an, dass es nicht drauf ankommt welcher der 3 Filme in welchem Raum
gezeigt wird.)
3. Beim Regalkauf kann man bei 5 Modellen jeweils aus 4 Farben, 3 Höhen und 3
Breiten auswählen. Zusätzlich kann der Kunde wählen ob unten Schubladen eingebaut werden sollen oder nicht. Wieviele verschieden Regale sind im Angebot?
4. Bei einem Ball sind 39 Damen und 37 Herren anwesend. Wieviele verschiede
Tanzpaarungen (bestehend aus jeweils einem Herr und einer Dame) sind möglich?
5. Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen kann man aus den Ziffern 1 bis 9 bilden
wenn
(a) Jede Ziffer mehrfach verwendet werden darf?
(b) Jede Ziffer nur einmal verwendet werden darf?
6. Bei einem Skirennen nehmen 15 Fahrer teil. Wieviele verscheidene Startreihenfolgen gibt es?
7. Ein gewöhnliches Morsezeichen besteht aus minimal einem Punkt oder einem
Strich und maximal aus vier Punkten oder Strichen. Wieviele verschiedene Zeichen lassen sich damit bilden?
8. Bei einem Marathon starten 65 Männer und 35 Frauen. Im Ziel wird auf einer Liste nacheinander das Geschlecht der ersten zehn Läufer oder Läuferinnen
notiert. Wieviele verschiedene solche Listen sind möglich?
9. Ein Handballspiel endet 24:27. Wieviele Halbzeitresultate sind möglich?
10. Auf wieviele Arten können 10 Personen an einem runden Tisch Platz nehmen?
Anordnungen, welche sich durch Drehung ineinander überführen lassen, sollen
dabei nur einmal gezählt werden.
11. Sei n irgendeine natürlich Zahl. Was ist grösser (n!)2 oder (2n)! ?
12. Beweise für n ≥ k + 1:
n!
(n + 1)!
n!
+
=
k! · (n − k)! (k + 1)! · (n − k − 1)!
(k + 1)! · (n − k)!
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Übung 18
1. Berechne von Hand
!" !" !" !" !"
!"
a) 50 , 51 , 52 , 53 , 54 und 55 . Was fällt auf?
! " !2000"
! 6"
b) 100
und 10
99 ,
2
106
2. Eine Firma bekommt für drei Lehrstellen 100 Bewerbungen. Auf wieviele Arten
kann sie drei Lehrlinge auswählen?
3. An einer Feier sind 10 Personen anwesend. Jeder stösst mit jedem an. Wie oft
klingen die Gläser?
4. Bei der Fussballeuropameisterschaft hat jedes Team insgesamt 22 Spieler dabei.
Elf davon kommen in die Startaufstellung. Wie viele verschiedene Startaufstellungen gibt es in einem Spiel zweier Mannschaften?
5. Zu Beginn gibt jeder der elf Startspieler jedem der Gegner die Hand. Zu wievielen
Händeschütteln kommt es dann?
6. Wieviele Schnittpunkte haben 12 Geraden, falls keine zwei zueinander parallel
sind?
7. Wieviele verschiedene Ergebnisse gibt es, wenn man mit drei identischen Würfeln
würfelt?
8. Auf einem Blatt hat es 18 Punkte. Diese sollen die Eckpunkte von Dreiecken
sein. Wieviele solche Dreiecke gibt es?
9. Ein Jassblatt besteht aus 9 von 36 Spielkarten. Wieviele solche Blätter sind
möglich?
10. Ein Stall hat 10 Boxen. Auf wieviele Arten kann man 8 (nicht zu unterscheidende)
Tiere in diesen Boxen unterbringen, falls
(a) jeweils nur ein Tier in einer Box sein darf?
(b) beliebig viele Tiere in einer Box sein können?
11. Begründe folgende Formel kombinatorisch
n $ %
#
n n−k k
(a + b)n =
a
b
k
k=0
12. Beweise mittels obiger Formel (einfach, Tipp: Suche geschickt a und b) oder
mittels vollständigen Induktion (schwierig)
n $ %
#
n
= 2n
k
k=0
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Übungen
Übung 19
1. Aus einem Jasskartenspiel mit 36 Karten wird eine Karte gezogen. Wie gross ist
die Wahrscheinlichkeit, dass es (a) eine Dame , (b) eine Dame oder ein König,
(c) eine Dame oder ein König oder ein Ass (d) weder eine Dame noch ein König
noch ein Ass ist?
2. Wir haben nun schon ein Ass gezogen und ziehen noch eine weitere Karte. Wie
gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir (a) wieder ein Ass, (b) eine Dame, (c)
eine Dame oder einen König, (d) weder eine Dame noch einen König ziehen?
3. Beim Schweizer Zahlenlotto soll man auf 6 aus 45 Zahlen tippen. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit (a) 6 Richtige, (b) 5 Richtige oder (c) 4 Richtige zu haben?
4. Man kann mit einer verfälschten Münze ein faires Verfahren gestalten. (Fair
bedeutet eine Gewinnchance von 50% ). Dazu wettet man auf eine Wurffolge von
zwei Würfen. Der eine wettet auf die Wurffolge zuerst Kopf und dann Zahl. Der
andere auf die Wurffolge zuerst Zahl und dann Kopf. Falls zweimal hintereinder
entweder Kopf oder Zahl geworfen wird, zählt der Wurf nicht und man beginnt
erneut von vorne. Zeige, dass dieses Verfahren wirklich fair ist.
5. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einer fairen Münze (a) Kopf, (b) zweimal
hintereinander Kopf, (c) in zwei Würfen genau einmal Kopf, (d) in zwei würfen
mindesten einmal Kopf, (e) n mal hintereinder Kopf, (f) in n Würfen genau k-mal
Kopf (wobei k < n) und (g) in n Würfen mindestens einmal Kopf zu werfen?
6. Was ist wahrscheinlicher in 4 Würfen mindesten eine 6 zu würfeln oder in 24
Würfen mindesten eine Doppelsechs (mit zwei Würfeln gleichzeitig) zu würfeln?
7. (a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Person mindestens zwei
am gleichen Tag Geburtstag haben? (Der Einfachheit halber nehmen wir
an, dass jedes Jahr 365 Tage hat.)
(b) Finde die kleinste Zahl n, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens
zwei dieser n Personen am gleichen Tag Geburtstag haben grösser als 0.5
ist.
8. Ein Ball mit 5 cm Durchmesser wird, ohne dass dabei gezielt wird, gegen ein
Drahtgitter mit quadratischen Maschen von 8 cm Seitenlänge geworfen. Wie
gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball, ohne den Draht zu berühren,
durch das Gitter hindurchfliegt?
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Übung 20
1. In einer Urne sind zwei schwarze und zwei weisse Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. Sind die Ereignisse „Beim 1.Zug wird eine weisse
Kugel gezogen“ und „Beim 2. Zug wird eine weisse Kugel gezogen“ stochastisch
abhängig, falls
(a) die erste Kugel zurückgelegt wird?
(b) die erste Kugel nicht zurückgelegt wird?
(Begründe deine Antwort mathematisch.)
2. Ein Test zur Krebsdiagnose ist, wenn ich Krebs habe, zu 96% positiv. Wenn ich
keinen Krebs habe so ist der Test zu 94% negativ. Insgesamt haben 0.7% aller
Personen tatsächlich Krebs. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich Krebs
habe, falls (a) der Test positiv ausfällt oder falls (b) der Test negativ ausfällt.
3. Die Hälfte aller Teilnehmer einer Konferenz sind Amerikaner. Jeder achte Amerikaner und jeder 80. Nichtamerikaner trinkt zum Frühstück Tomatensaft. Man
sieht einen Teilnehmer zum Frühstück Tomatensaft trinken. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, dass er Amerikaner ist?
4. Auf drei gleich aussehende Kästen mit jeweils zwei Schubladen werden drei Goldund drei Silbermünzen so verteilt, dass in einem Kästchen 2 Goldmünzen, in
einem 2 Silbermünzen und im dritten eine Gold- und eine Silbermünze zu liegen
kommt. Du wählst zufällig ein Kästchen und öffnest eine der beiden Schubladen.
Darin befindet sich eine Goldmünze. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
in der anderen Schublade eine Silbermünze liegt?
5. Herr Meier hat zwei Kinder.
(a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Töchter hat?
(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Töchter hat, wenn er uns
verrät, dass sein erstes Kind eine Tochter ist?
(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Töchter hat, wenn er auf
die Frage, ob er mindestens eine Tochter habe, mit ja antwortet.
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