Nachholprüfung Endterm HS2015 - D-MATH

P. Grohs
T. Welti
F. Weber
Herbstsemester 2015
ETH Zürich
D-MATH
Lineare Algebra und Numerische
Mathematik für D-BAUG
Nachholprüfung Endterm HS15
Name
a
Vorname
Leginummer
Datum
1
1P
a
Note
04.02.2016
2
1P
3
1P
4
1P
5
1P
6
1P
Total
6P
• Nur Stifte und Legi auf dem Tisch!
• Mobiltelefone, Tablets, etc. ausgeschaltet in der Tasche
• Das Deckblatt darf erst auf Anweisung umgeblättert werden!
• Bitte nicht mit Bleistift / Rot / Grün schreiben!
• Zugelassene Hilfsmittel: Keine.
• Schreiben Sie Lösungen in die dafür vorgesehenen Felder.
• Geben Sie zu jeder Lösung auch den Lösungsweg / eine Begründung an, sonst erhalten
Sie unter Umständen nicht die volle Punktzahl.
• Prüfungsdauer: 30 Minuten. Sie sollten Zeit für das Übertragen der Lösungen auf das
Aufgabenblatt einplanen, falls Sie andere Blätter verwenden.
• Bitte füllen Sie zuerst das Deckblatt aus (ohne die Box mit den Punkten, bitte ©).
Viel Erfolg!
Aufgabe 1
Winkel und Kreuzprodukt [1 Punkt]
Wir betrachten die Vektoren
Ö
a[t] =
è
0
√t
2
Ö è
∈ R3 , t ∈ R,
und
b=
2
0
2
∈ R3 .
(1a) [0.5 Punkte] Berechnen Sie t ∈ R, so dass der Winkel zwischen a[t] und b genau 45◦ =
π/4 beträgt.
Tipp: Es gilt sin(π/4) = cos(π/4) =
√
2/2.
Lösung:
(1b)
[0.5 Punkte] Berechnen Sie das Kreuzprodukt c = (a[−1]) × b von a[−1] und b.
Lösung:
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Aufgabe 1
Aufgabe 2
Orthogonalprojektion und Spiegelung [1 Punkt]
Gegeben sei der Vektor
Ö
x=
è
1
2
−1
∈ R3 .
(2a) [0.5 Punkte] Bestimmen Sie die Matrix Px ∈ R3,3 der Orthogonalprojektion auf x, das
heisst, dass für jedes y ∈ R3 der Vektor Px y ∈ R3 die orthogonale Projektion von y auf x ist.
Lösung:
(2b) [0.5 Punkte] Bestimmen Sie die Matrix Sx ∈ R3,3 der Spiegelung an x, das heisst, dass
für jedes y ∈ R3 der Vektor Sx y ∈ R3 die Spiegelung von y an x ist.
Lösung:
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Aufgabe 2
Aufgabe 3
Linearität von Abbildungen [1 Punkt]
(3a)
[0.5 Punkte] Ist die Abbildung F : Rn → R, die für alle x ∈ Rn durch F(x) = kxk =
»
hx, xi gegeben ist, eine lineare Abbildung?
Tipp: Überprüfen Sie, ob F für alle x, y ∈ Rn , α ∈ R die Gleichung
F(α · x + y) = α · F(x) + F(y)
erfüllt, oder finden Sie ein Beispiel für x, y und α, für welches diese nicht erfüllt ist.
Lösung:
(3b) [0.5 Punkte] Bezeichne P3 (R), wie gewohnt, den Raum der Polynome auf R vom Grad
kleiner oder gleich drei. Ist die Abbildung D : P3 (R) → P3 (R), die für alle p(x) ∈ P3 (R) durch
D(p(x)) = p0 (x) − 2p(x) gegeben ist, eine lineare Abbildung?
Lösung:
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Aufgabe 3
Aufgabe 4
Abbildungsmatrix [1 Punkt]
Sei L : R2 → R2 die lineare Abbildung, die für alle x = ( xx12 ) ∈ R2 durch
x2
L ( xx12 ) = ( −x
) ∈ R2
1
Ä
ä
gegeben ist.
E
(4a) [0.5 Punkte]
¶ Was ist ©die Abbildungsmatrix KE (L) von L bezüglich der Standardbasis
E = {e(1) , e(2) } = ( 10 ), ( 01 ) des R2 ?
Lösung:
(4b) [0.5 Punkte]¶ Bestimmen
Sie die Abbildungsmatrix KBB (L) von L bezüglich der Basis
©
B = {e(2) , e(1) } = ( 01 ), ( 10 ) des R2 .
Lösung:
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Aufgabe 4
Aufgabe 5
Determinante [1 Punkt]
Wir betrachten die Matrix
(5a)
Ç
å
1 4 −2
A=
∈ R2,2 .
−2
3
2
[0.5 Punkte] Berechnen Sie det A.
Lösung:
(5b)
[0.5 Punkte] Berechnen Sie det(A−1 ).
Lösung:
Aufgabe 6
Isometrie [1 Punkt]
Wann nennen wir eine lineare Abbildung L : Rn → Rm Isometrie? Geben Sie eine rigorose
Definition an.
Lösung:
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Seite 5
Aufgabe 5