Korrespondenzzirkel MATHEMATIK SERIE 2 2008/2009 Termin: 17.12.2008 Rücksendung an: Jörg Sonnenberger, Am Krug 3, 18211 Börgerende 2.1 Jedes Tripel (a, b, c) aus drei natürlichen Zahlen a, b, c mit 0 < a ≤ b < c, für die die Gleichung a2 + b2 = c2 gilt, nennt man Pythagoreisches Zahlentripel. Man beweise: In jedem Pythagoreischen Zahlentripel a, b, c muss a 6= 2 sein. Mathematik-Olympiade, Klassenstufe 10, 1.Runde (Schulrunde) 2.2 Ermitteln Sie alle positiven ganzen Zahlen n mit der Eigenschaft, dass die drei Zahlen n + 1, n + 10 und n + 55 einen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben! 2.3 Man ermittle alle diejenigen Paare (x, y) ganzer Zahlen x und y, die dem System der folgenden Ungleichungen (1) und (2) genügen: 2x2 + 2y 2 − 12x + 20y + 65 < 0 (1) 4x + 2y > 5 (2) Mathematik-Olympiade, Klassenstufe 12, 2.Runde (Regionalrunde) 2.4 Im Raum seien A, B zwei verschiedene Punkte und ε eine Ebene. Für jede mögliche Lage von A, B, ε ermittle man zu diesen gegebenen A, B, ε alle diejenigen Punkte C auf ε, für die die Abstandssumme AC + BC möglichst klein ist! 2.5 Zu gegebenen positiven ganzen Zahlen a und b sei (xn )n=0,1,2,... die durch x0 = 1, xn+1 = axn + b (n = 0, 1, 2, . . .) definierte Zahlenfolge. Man beweise: Für jede Wahl von a und b enthält die so gebildete Folge unendlich viele Zahlen, die keine Primzahlen sind!