Leseprobe - Steuerzahler Service GmbH

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Funktionen
Funktionen
Folgen
1
an = (n+1)
2 nacheinander die
0, 1, 2, 3, ... anstelle von n ein, so
Setzen Sie in die Formel
natürlichen Zahlen
erhalten Sie:
1,
1 1 1
, ,
, ...
4 9 16
Dies ist eine unendliche Folge reeller Zahlen.
Arithmetische Folgen
Eine Folge, bei der die Dierenz
d = an+1 − an
zwei-
er Folgenglieder immer konstant ist, heiÿt arithmetische
Folge.
Ist das erste Folgenglied
schen Folgen das
n-te
a0 ,
Glied
so können Sie bei arithmeti-
an
einfach berechnen:
an = a0 + n · d
Beispiel
3, 5, 7, 9,... ist die Dierenz zweier Folgenglieder immer
d = 2. Deshalb gilt wegen a0 = 3:
In der Folge
konstant
an = 3 + n · 2 = 2n + 3
Geometrische Folgen
Eine Folge, bei der sich die Folgenglieder um einen konstanten Faktor
q
ändern, heiÿt geometrische Folge.
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Grenzwerte von Folgen und Funktionen
q=
an+1
an
⇔
an+1 = q · an
a0 , so können Sie auch bei geon-te Glied an einfach berechnen:
Ist das erste Folgenglied
metrischen Folgen das
an = a0 · q n
Beispiel
In der Folge
2, 4, 8, 16, ... ist
q = 2. Hier gilt
immer konstant
der Quotient zweier Folgenglieder
wegen
a0 = 2:
an = 2 · 2n = 2n+1
Beispiel
Rechnen Sie mit Zinseszins, so bildet das Kapital nach
geometrische Folge mit
q =1+
p
und
100
n
Jahren eine
a0 = K0 .
Grenzwerte von Folgen und
Funktionen
Nähert sich eine Folge
Zahl
a,
an
für
n→∞
immer stärker einer
so sagt man, die Folge hat den Grenzwert
a:
lim an = a
n→∞
Analog zu den Folgengrenzwerten deniert man Funktionengrenzwerte. Hier muss die unabhängige Variable aber
nicht unbedingt gegen
∞
gehen, sondern es sind beliebi-
ge Punkte zulässig: Nähert sich der Funktionswert
f (x)
58
Funktionen
(s. S. 64) bei Annäherung von
Wert
c,
x
an
x0
immer stärker dem
so schreibt man
lim f (x) = c
x→x0
und spricht: Der Grenzwert von
c .
f (x) für x gegen x0 ist
x0 oder c unendlich
Dies gilt auch für den Fall, dass
sind.
Der Grenzwert der Summe, des Produkts und des Quotienten konvergenter Folgen und Funktionen, ist die Summe,
das Produkt, . . . der Grenzwerte der Einzelfolgen bzw.
-funktionen, wenn der Grenzwert der Nennerfolge bzw.
Nennerfunktion nicht 0 ist:
lim (f (x) ± g (x)) = lim f (x) ± lim g (x)
x→x0
x→x0
x→x0
lim (f (x) · g (x)) = lim f (x) · lim g (x)
x→x0
x→x0
lim
x→x0
x→x0
limx→x0 f (x)
f (x)
=
,
g (x)
limx→x0 g (x)
falls
lim g (x) 6= 0
x→x0
Für Folgengrenzwerte gilt dies analog, nur dass
x0
immer
unendlich ist und die unabhängige Variable meist nicht
sondern
n
heiÿt.
Beispiele
lim
n→∞
2 − n1 + n52
2n3 − n2 + 5
2
=
=
lim
n→∞ 5 + 2 − 1
5n3 + 2n − 1
5
n2
n3
lim
n→∞
1
− n62
n3 − 6n2
0
= lim n
= =0
4
2
n→∞
n + 6n
1
1 + n62
x,
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Grenzwerte von Folgen und Funktionen
2 − 3n
n+4
lim
n→∞
lim
n→∞
4n + 2
5n − 1
2
3
2
+
2
n+1
= lim
n→∞
=
2
n
−3
1+
!2
4
n
= 32 = 9
4 3
6
· =
5 2
5
Sind Zähler und Nenner Polynome, so können Sie den
Grenzwert für
n → ∞
direkt an ihrem Grad, also dem
höchsten auftretenden Exponenten, ablesen:
Gilt Zählergrad
<
Nennergrad, so gilt
lim an = 0.
n→∞
Beispiel
lim
n→∞
Gilt Zählergrad
lim an =
n→∞
=
2n3 − n2 + 5
=0
5n4 + 2n − 1
Nennergrad, so gilt:
Verhältnis der Koezienten der höchsten
Potenz.
Beispiel
lim
n→∞
Gilt Zählergrad
>
2n3 − n2 + 5
2
=
5n3 + 2n − 1
5
Nennergrad, so gilt
lim an = ±∞.
n→∞
Beispiel
lim
n→∞
Vorsicht:
2n4 − n2 + 5
=∞
5n3 + 2n − 1
1 n
1+
=e
n→∞
n
lim
60
Funktionen
Die Regeln von L'Hospital
Sehr nützlich bei der Bestimmung von Grenzwerten der
0
∞
0 oder ∞ sind die Regeln von l'Hospital:
Konvergieren Zähler und Nenner beide gegen 0 oder bei-
Form de gegen
∞,
so leiten Sie Zähler und Nenner einzeln ab
(s. S. 80 .) und schauen sich den Grenzwert dieses neuen
Bruchs an.
f (x) → 0, g (x) → 0 oder f (x) → ∞, g (x) → ∞
0
x → x0 , und existiert limx→x0 gf 0(x)
(x) dann gilt:
Gilt
für
lim
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g (x) x→x0 g (x)
Beispiel
lim
x→∞
x L'H. mit
=
ln x
∞
∞
lim
1
= lim x = ∞
x→∞ 1
x
x→∞
Beispiel
ln(x + 1) − ln(x − 1)
x +1
Logarithmengesetze
x ln
=
lim
1
x→∞
x→∞
x −1
x
lim
L'H. mit
=
0
0
= lim −
x→∞
lim
x→∞
1
x−1
1
− x2
1
x+1
−
x 2 (x − 1 − (x + 1))
=2
(x + 1)(x − 1)
Für die Anwendung der Regeln von L'Hospital ist es wichtig zu
∞
bzw.
∞
0
) vorliegen, sonst kann dies zu falschen Ergebnissen führen!
0
prüfen, ob wirklich Terme der geforderten Form (also