2 - GEONExT

Anhang 45: Dreiecksinhalt
Initialproblem:
C
Zeige, daß für den Flächeninhalt eines
Dreiecks mit den Seiten(längen) a und
b sowie dem Zwischenwinkel γ gilt:
γ
D
a
ADreieck ABC = ½ a⋅b ⋅ sin γ .
b
ha
Lösung:
ADreieck ABC = ½ a⋅ha = ½ a⋅b ⋅ sin γ
B
c
A
Mögliche Variationen:
a) Gibt es Sonderfälle ?
Strategie: spezifizieren
(gleichschenkliges Dreieck: A = ½ s2 ⋅ sin γ
rechtwinkliges Dreieck: A = ½ ab
gleichseitiges Dreieck: A = ½ s2 ⋅ sin 60° = ¼ s2 3 )
b) Was ergibt sich bei zwei anderen Seiten und deren Zwischenwinkel?
Strategie: geringfügig ändern
(Genau das gleiche: A = ½ b⋅c ⋅ sin α = ½ c⋅a ⋅ sin β .)
Hinweis: Hieraus folgt unmittelbar der Sinussatz.
c) Wie ist das bei einem Parallelogramm?
Strategie: analogisieren
(Mit zwei Nachbarseiten a,b und Zwischenwinkel α gilt AParallelogramm = a⋅b ⋅
sinα .
d) Und bei einem Viereck?
Strategie: analogisieren bzw. verallgemeinern (von c) her)
(AViereck ABCD
C
D
d
= ½ e ⋅ (a⋅sinα1 + d⋅sinα2) )
e
α2
α1
A
189
a
B
e) Wie bestimmt man den Inhalt eines regelmäßigen n-Ecks mit Umkreisradius
r?
Strategie: bekannte Zusammenhänge nutzen (Brücken gehen)
(Arglm. n-Eck = n ⋅ ABestimmungsdreieck = n ⋅ ½ ⋅ r2 ⋅ sin(360°/n) )
f) Wie groß ist der Umfang des Ausgangsdreiecks?
Strategie: analogisieren
(uDreieck ABC = a + b + c mit c2 = ha2 + |BD|2 = b2 ⋅ sin2 γ + (a − b ⋅ cos γ)2 = a2
+ b2 − 2ab ⋅ cos γ )
Hinweis: Diese Variante führt zum Kosinussatz.
g) Wie kann man den Inhalt des Ausgangsdreiecks vergrößern?
Strategie: umzentrieren (Blick wechseln)
(indem man die Seiten vergrößert oder aber sinγ . Im letzten Falle ergibt sich
ein Maximum für γ = 90°.)
h) Wie kann man den Umfang des Ausgangsdreiecks vergrößern?
Strategie: analogisieren (von g) her)
(indem man a oder b vergrößert oder γ möglichst groß (cosγ möglichst klein)
macht. Letzteres führt zu einem Randmaximum.)
i) Wie kann man den Inhalt eines Dreiecks aus drei ganz anderen Hauptstücken
(Seiten oder Winkel) berechnen?
Strategie: analogisieren (im Hinblick auf die bekannten Kongruenzsätze)
(Beispiel: Gegeben seien die drei Seiten a,b,c .
a 2 + b 2 − c2
a 2 + b 2 − c2 2
Es ist cos γ =
, also sin γ = 1 − (
) und daher
2ab
2ab
ADreieck = ½ ab ⋅
4a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c2 ) 2
4a 2 b 2
=¼
((a + b) 2 − c2 ) ⋅ (c2 − (a − b) 2 )
=¼
(a + b + c)(a + b − c)( b + c − a )(c + a − b)
Das ist die berühmte Heron-Formel, die von weit größerer Praxisrelevanz ist
als die übliche Formel ½ g⋅h . )
j) Wie lautet die entsprechende Aufgabe für ein Tetraeder?
Strategie: Dimension wechseln
190
(Welches ist das Volumen eines
Tetraeders, von dem die Länge
dreier Kanten bekannt sind, die von
derselben Ecke ausgehen, sowie die
zugehörigen Zwischenwinkel? )
D
d
C
δ
c
α
ε
A
a
B
Hinweis: Es genügt hier durchaus, die Aufgabe zu formulieren. Ihre Lösung
ist zu schwierig.
k) Wie verändert sich der Dreiecksinhalt (Dreiecksumfang), wenn man a und b
ver-n-facht?
Strategie: präzisieren (gegenüber g))
(gemäß Sinussatz wird der Inhalt ver-n2-facht und gemäß Kosinussatz der
Umfang ver-n-facht)
191
Anhang 46: Summenbildung
Initialproblem:
1=1
1+3=4
1+3+5=9
...
Setzen Sie diese Reihe fort. Was fällt Ihnen auf? Beweisen Sie Ihre Vermutung.
Lösung:
Vermutung: 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n2
Beweise:
a) S =
1
+
3
+ ... + (2n−3) + (2n−1)
S = (2n−1) + (2n−3) + ... +
2S =
2n
+
2n
+ ... +
3
+
1
2n
+ 2n = n ⋅ 2n = 2n2
S = n2
Hinweis: Wir sprechen vom Gauß-Verfahren, weil der kleine CARL FRIEDRICH GAUß (1777-1855) es (ohne Vorbild) praktizierte, als er in der Schule die
Summe der Zahlen 1 bis 100 bilden sollte.
b) n2
− (n−1)2 = 2n − 1
(n−1)2 − (n−2)2 = 2n − 3
....
22
−
12
=
3
12
−
02
=
1
——————————
n2
= 1 + 3 + ... + (2n−1)
c)
1 1 1 1 1 .... 1 1
..................................
1 1 1 1 1 .... 1 1
1 1 1 1 1 .... 1 1
1 1 1 1 1 .... 1 1
1 1 1 1 1 .... 1 1
1 1 1 1 1 .... 1 1
(n+1)2 =
n2 + (2n + 1)
Quadrat = nächstkleineres Quadrat
+ Winkel
d) vollständige Induktion (als Präzisierung von b) bzw. c))
192
Hinweis: Diese Beweisform ist auch im folgenden meist möglich, setzt jedoch eine Vermutung voraus, die sich nicht immer so aufdrängt wie hier.
Mögliche Variationen:
a) Welches ist die Summe der ersten n geraden Zahlen?
Strategie: analogisieren
(2 + 4 + ... + 2n = n2 + n
Beweis nach dem Gauß-Verfahren oder mit
2 + 4 + ... + 2n = (1 + 3 + ... + 2n−1) + (1 + 1 + ... + 1) )
b) Welches ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen?
Strategie: vervollständigen
(1 + 2 + ... + n = ½ ⋅(n2 + n) Beweis nach dem Gauß-Verfahren oder mit
1 + 2 + ... + n = ½ ⋅ (2 + 4 + ... + 2n) = ½ ⋅(n2 + n)
oder mit
1 + 2 + ... + (2n−1) + 2n = n2 + (n2 + n) = 2n2 + n ; wenn man nun konsequent 2n durch n, also n durch n/2 ersetzt: 1 + 2 + ... + n = 2⋅(n/2)2 + n/2
= ½ ⋅(n2 + n) )
c) Welches ist die Summe der ersten n durch 3 teilbaren Zahlen?
Strategie: analogisieren (von a) her)
(3 + 6 + ... + 3n = 3/2 ⋅ (n2 + n)
Beweis mit dem Gauß-Verfahren oder über
3 + 6 + ... + 3n = 3⋅(1 + 2 + ... + n) )
d) Welches ist die Summe der ersten n durch m teilbaren Zahlen?
Strategie: verallgemeinern
(m + 2m + ... + n⋅m = m/2 ⋅ (n2 + n) Beweise wie in c) .
e) Welches ist die Summe der ersten n Zahlen, die bei Division durch m den
Rest r (< m) lassen?
Strategie: erweitern
((m+r) + (2m + r) + ... + (n⋅m + r) = m/2 ⋅ (n2 + n) + r⋅n
Beweis durch Abspalten der n Summanden r.)
f) Welches ist die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge mit
dem Anfangsglied a und der konstanten Differenz d ?
Strategie: verallgemeinern
(a + (a+d) + (a + 2d) + ... + (a + (n−1)⋅d) = d/2⋅(n2 − n) + n⋅a
Beweis mit dem Gauß-Verfahren oder durch geeignetes Abspalten, wobei
193
1 + 2 + ... + (n−1) = ½ ⋅ (n2−n) gebraucht wird, was sich aus 1 + 2 + ... + n =
½ ⋅ (n2+n) durch Subtraktion von n leicht ergibt. )
g) Welches ist die Summe der ersten n Quadratzahlen?
Strategie: Bedingung erschweren
(12 + 22 + ... + n2 = 1/6⋅n⋅(n+1)⋅(2n+1)
Beweis:
(n+1)3 − n3
= 3n2 + 3n
+ 1
3
3
2
n − (n−1) = 3(n−1) + 3(n−1) + 1
.......
3
3
2 − 1
= 3⋅ 12
+ 3⋅ 1
+ 1
——————————————————————————————————————
(n+1)3 − 13
= 3⋅(Quadratsumme) + 3⋅(einfache Summe) + n
3
2
n + 3n + 3n
= 3⋅(Quadratsumme) + 3/2⋅(n2 + n) + n, woraus
sich die Behauptung leicht ergibt.)
h) Welches ist die Summe der ersten n Kubikzahlen?
Strategie: iterieren
(13 + 23 + ... + n3 = ¼ (n2 + n)2 (= (1 + 2 + ... + n)2 )
Beweis analog zu g) über die Differenzenkette (i+1)4 − i4 )
i) Welches ist die Summe der ersten n Primzahlen?
Strategie: analogisieren
(Die Summe läßt sich nicht als Funktion von n angeben, weil die Primzahlfolge keine Regelmäßigkeit aufweist. Doch eine Abschätzung ist möglich: Sie
ist größer als n2, weil bereits der erste Summand größer ist als die erste ungerade Zahl und die weiteren Summanden schneller ansteigen, da nicht jede ungerade Zahl auch Primzahl ist.)
j) Welches ist das Produkt der ersten n ungeraden Zahlen?
Strategie: analogisieren
(Hier ist keine Aussage mehr möglich.)
k) Welches ist die (algebraische) Summe der ersten n gemischt verknüpften
ganzen Zahlen 1 − 3 + 5 − 7 + ... + (−1)n-1⋅(2n−1) ?
Strategie: kombinieren
(Die Summe ist (−1)n-1⋅n; denn (−1)n-1⋅n + (−1)n⋅(2n+1) = (−1)n⋅(n+1) .)
l) Welches ist die Summe der n ersten Zweierpotenzen ?
Strategie: analogisieren
194
( 2S = 22 + 23 + ... + 2n+1
S = 21 + 22 + ... + 2n
Für die Differenz S ergibt sich S = 2n+1 − 2 . )
Hinweis: Von hier aus könnte verallgemeinernd die Summenformel für
geometrische Folgen sowie diejenige für unendliche geometrische Reihen
erreicht werden.
m) Welches ist das Produkt der n ersten Zweierpotenzen?
Strategie: kombinieren
(P = 21 ⋅ 22 ⋅ ... ⋅ 2n = 21+2+ ... + n = 21/2 n (n+1) )
⋅ ⋅
195
Anhang 47: Sinusfunktionen
Initialaufgabe:
Zeichne den Graph der Funktion g: y = sin(2x) und vergleiche ihn mit dem
Graph von f: y = sinx.
Lösung:
Der Graph von g geht aus dem von f durch axiale Streckung hervor. Streckachse
ist die y-Achse, der Streckfaktor ist ½ . Daraus folgt, daß sich die Periode halbiert: Es ist f(x + 2π) = f(x) für alle x, aber schon g(x + π) = g(x) für alle x.
Auch die Symmetrieachsen und -zentren werden entsprechend verändert, bleiben aber als solche erhalten.
Hinweis: Bei Vergleichen dieser Art sollte wenn irgend möglich ein zeitsparender Funktionenplotter eingesetzt werden.
Mögliche Variationen:
a) Vergleiche die Graphen von g: y = sin(ax) und f: y = sinx
Strategie: verallgemeinern
1
. Im Falle a < 0 kommt noch eine Spiegelung an der
a
2π
x-Achse hinzu. Die Periode ist
.)
a
(Der Streckfaktor ist
b) Vergleiche die Graphen von g: y = sin(x+2) und f: y = sinx .
Strategie: analogisieren
196
(Der Graph von g ist gegenüber dem Graph von f entlang der x-Achse um −2
(phasen)verschoben. Die Periode bleibt unberührt, die Symmetrieachsen und zentren werden mitverschoben.
c) Vergleiche die Graphen von g: y = sin(x+b) und f: y = sinx.
Strategie: verallgemeinern
(s. b) mit b für 2)
Hinweis: Wegen cosx = sin(x + π/2) gehört zu diesen Kurven auch der
Graph der Kosinusfunktion.
d) Vergleiche die Graphen von g: y = 2⋅sinx und f: y = sinx.
Strategie: analogisieren
197
Die Periode bleibt unverändert; es findet keine wirkliche Verschiebung statt
(die Phase ist 0). Doch werden die Funktionswerte und insbesondere die
Extremwerte der Funktion verdoppelt. Die Symmetrien bleiben unverändert.)
e) Vergleiche die Graphen von g: y = c⋅sinx und f: y = sinx.
Strategie: verallgemeinern
(wie d) mit c für 2. Das Maximum der Funktion (die Amplitude des Graphs)
ist c statt 1.)
f) Vergleiche die Graphen von g: y = 3⋅sin(2x+1) und f: y = sinx.
Strategie: kombinieren
(Der Graph bzw. die Funktion hat die Amplitude 3, die Periode π und die
Phasenverschiebung −1.)
g) Vergleichen Sie die Graphen von g: y = c⋅sin(ax+b) und f: y = sinx.
Strategie: verallgemeinern (von h) her bzw. kombinieren (von a), c) und e)
her)
(s. f). Die Amplitude der allgemeinen Sinusfunktion ist c, die Periode
die Phasenverschiebung −b.)
h) Wo kommen solche Funktionen bzw. Graphen vor?
Strategie: anwenden
198
2π
,
a
(bei allen harmonischen Schwingungen (y = a⋅sin(ωt + ϕ) mit t als Zeitpunkt, ω als als Kreisfrequenz und ϕ als Phasenverschiebung), z.B. beim
Fadenpendel und beim Federpendel, s. Physik)
i) Welche Gleichung hat die Sinusfunktion mit folgendem Graph?
Strategie: umkehren
(y = 1.5 ⋅ sin(3x − 1). Die Amplitude kann man direkt ablesen, den Koeffizienten 3 aus dem Vergleich der beiden Perioden, und die Phasenverschiebung
wieder direkt.)
Hinweis: Hier bietet sich Partnerarbeit an. Jeder Partner läßt eine Funktion
zeichnen, druckt sie ohne Kenntlichmachen aus und gibt sie dem anderen zur
nachträglichen Analyse.
j) Vergleichen Sie die Graphen von g: y = tan(2x) und f: y = tanx .
Strategie: analogisieren
199
Es findet eine axiale Streckung an der y-Achse mit dem Faktor ½ statt.
Demgemäß wird die Periode halbiert: Es ist f(x + π) = f(x) für alle x, aber
g(x + π/2) = g(x) für alle x. Die Symmetriezentren werden mitgestaucht.)
k) Vergleiche die Graphen von g: y = sin(x2) und f: y = sinx.
Strategie: kombinieren (Sinus- und Quadratfunktion)
(g ist nicht mehr periodisch, allerdings noch symmetrisch in bezug auf die yAchse. Die Amplitude bleibt unverändert.)
l) Vergleiche die Graphen von f: y = sinx, g: y = cosx und h: y = sinx + cosx.
Strategie: umzentrieren (von der Funktionsveränderung zur Funktionsverknüpfung)
200
(h scheint eine allgemeine Sinusfunktion zu sein. Wenn ja, ist ihre Periode
dieselbe wie die der Summandenfunktionen. Setzen wir
sinx + cosx = c ⋅ sin(x + b), so gilt sinx + cosx = sinx⋅(c⋅cosb) +
cosx(c⋅sinb).
Ein Koeffizientenvergleich erbringt 1 = c⋅cosb ∧ 1 = c⋅sinb .
Daraus folgt tanb = 1 und b = π/4 sowie 2 = c2⋅cos2b + c2⋅sin2b, d.h. c = 2 .
Demnach h: y = 2 ⋅sin(x + π/4). )
m) Vergleiche die Graphen der Funktionen f: y = sinx, g: y = sin(2x) und h: y =
sinx + sin(2x).
Strategie: experimentieren
(Offensichtlich entsteht hier keine Sinusfunktion. Dazu ist wohl erforderlich,
daß die beiden Perioden übereinstimmen.)
n) Vergleiche die Graphen der Funktionen f: y = sinx und g: y = sin(sinx).
Strategie: iterieren
201
(Symmetrien, Nullstellen und Extremstellen stimmen überein. Maximum ist
sin(sin(π/2)) = sin1 ˜ 0,84. Wegen |x| ≥ |sinx| ist auch |sinx| ≥ |sin(sinx)| .)
202
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