Merkblatt Analysis I für Ingenieure 1 Konjugation und Betrag 2

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN
WS 01/02
Institut für Mathematik
Bärwolff/ Borndörfer / Förster / Tröltzsch / Penn-Karras
Rösch / Proika / Magalachwili / v. Renesse
Merkblatt
Analysis I für Ingenieure
Komplexe Zahlen
1
Konjugation und Betrag
z
z
zz
a + bi
a − bi
a2 + b 2
reϕi
re−ϕi
r2
2
√
a2 + b 2
r
Koordinatenumrechnung
z
kartesisch
a + bi
—
polar
√
b
a2 + b2 earctan a i ,
falls a > 0, b > 0
√
b
a2 + b2 e(π+arctan a )i , falls a < 0
√
b
a2 + b2 e(2π+arctan a )i , falls a > 0, b < 0
π
|b|e 2 i ,
falls a = 0, b > 0
3π
reϕi
|z|
r cos ϕ + ri sin ϕ
|b|e 2 i ,
falls a = 0, b < 0
0eϕi
falls a = b = 0
(ϕ beliebig),
—
1
3
Rechnen
z1
z2
z1 + z2
a1 + b 1 i
a2 + b2 i
(a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i
r cos ϕ +r cos ϕ
p
arctan r1 sin ϕ1 +r2 sin ϕ 2 i
1
1
2
2 ,
r12 + r22 + 2r1 r2 cos(ϕ1 − ϕ2 )e
falls r1 cos ϕ1 +r2 cos ϕ2 >0, r1 sin ϕ1 +r2 sin ϕ2 >0
r cos ϕ +r cos ϕ
p
(π+arctan r1 sin ϕ1 +r2 sin ϕ 2 )i
1
1
2
2
r12 + r22 + 2r1 r2 cos(ϕ1 − ϕ2 )e
,
falls r1 cos ϕ1 +r2 cos ϕ2 <0
p
r1 eϕ1 i
r2 eϕ2 i
(2π+arctan
r12 + r22 + 2r1 r2 cos(ϕ1 − ϕ2 )e
r1 cos ϕ1 +r2 cos ϕ2
)i
r1 sin ϕ1 +r2 sin ϕ2
falls r1 cos ϕ1 +r2 cos ϕ2 >0, r1 sin ϕ1 +r2 sin ϕ2 <0
π
|r1 sin ϕ1 + r2 sin ϕ2 |earctan 2 i ,
falls r1 cos ϕ1 +r2 cos ϕ2 =0, r1 sin ϕ1 +r2 sin ϕ2 >0
|r1 sin ϕ1 + r2 sin ϕ2 |earctan
3π
i
2
,
falls r1 cos ϕ1 +r2 cos ϕ2 =0, r1 sin ϕ1 +r2 sin ϕ2 <0
0eϕi
(ϕ beliebig),
falls r1 cos ϕ1 +r2 cos ϕ2 =0, r1 sin ϕ1 +r2 sin ϕ2 =0
z1
z2
z1 · z2
z1 /z2
a1 + b 1 i
a2 + b2 i
(a1 b1 − a2 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i
a1 a2 +b1 b2
a22 +b22
r1 eϕ1 i
r2 eϕ2 i
r1 r2 e(ϕ1 +ϕ2 )i
r1 (ϕ1 −ϕ2 )i
e
r2
2
(z2 6= 0)
+
−a1 b2 +a2 b1
i
a22 +b22
,