Quantenphysik 1. Photoeffekt und Lichtquanten - sfz-bw

Ph4-Jg13-Quanten.TEX
2. Februar 2010
Quantenphysik
Dorn-Bader Physik 12/13 S. 236 ff
1. Photoeffekt und Lichtquanten
Wie wirkt Licht auf Elektronen in einer Metallwand?
Versuch: Bestrahlt man eine (geschmirgelte)
Zinkplatte mit dem Licht einer Quecksilberdampflampe, so treten aus dem Metall Elektronen aus. Ist die Platte negativ geladen, wird sie
durch das Licht der Quecksilberdampflampe
entladen (Hallwachs-Experiment). Ohne dieses
Licht können die Elektronen das Metall nicht
verlassen. Es ist eine Ablöseenergie WA nötig. Vor allem der UV-Anteil des eingestrahlten
Lichts vermag diese Energie zu liefern. (vgl. experimentelle Überprüfung)
Klassisch stellen wir uns vor, dass die eingestrahlte elektromagnetische Lichtwelle
die Elektronen der Metallwand schüttelt und dabei teilweise sogar herausreißt.
Experimentelle Überprüfung: Der Abstand zwischen der Zn-Platte und der Quecksilberdampflampe wird variiert. Wird die Intensität (d.h. Amplitude) des eingestrahlten Lichts erhöht, so werden mehr Elektronen ausgelöst.
Bei größerer Lichtfrequenz beschleunigt die Feldkraft ein Elektron im Metall in einer
bestimmten Richtung nicht so lange wie bei kleiner Frequenz. Blau sollte ihm also (bei
gleicher Feldstärke) weniger Energie geben als Rot.
Experimentelle Überprüfung: Die Glasplatte absorbiert UV-Licht. Trotz großer Intensität löst Licht mit zu niedriger Frequenz keine Elektronen aus.
Die Energie eines Fotoelektrons sollte mit der Feldstärke der Lichtwelle, also der
Helligkeit des Lichts, zunehmen. Schließlich ist ja die elektrische Energiedichte einer
elektromagnetischen Welle ρel = 12 ε 0 ε r E2 . Da diese stets gleich der magnetischen Energiedichte ρmag ist, gilt für die Energiedichte einer elektromagnetischen Welle ρem =
ε 0 ε r E2 . Die Einstrahlintensität auf eine Metallfläche ist somit proportional zu E2 . Wenn
das UV-Licht fehlt, dann lassen sich offensichtlich auch bei großer Lichtintensität keine
Elektronen aus dem Metall lösen.
Wie kann also Licht die notwendige Ablöseenergie WA für die Elektronen liefern?
Um dieser Frage nachzugehen, untersuchen wir die Abhängigkeit des lichtelektrischen Effekts von der Frequenz genauer. Wir verwenden hierzu eine Vakuumphotozelle mit einer Kaliumschicht, um die Einflüsse der umgebenden Luft auszuschließen.
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Die Abhängigkeit der Energie der schnellsten Photoelektronen von der Frequenz f
des eingestrahlten Lichts wird untersucht.
Das Licht einer Quecksilberdampflampe wird z.B. durch verschiedene Interferenzfilter geschickt, die jeweils Licht bestimmter Frequenzen liefern. Damit wird eine Fotozelle beleuchtet. Zwischen der Anode und der Kathode der Fotozelle wird eine veränderliche Spannung gelegt, die so gepolt ist, dass zwischen diesen Elektroden die
Elektronen abgebremst werden. Die Stromstärke wird mit einem Meßverstärker gemessen. Mit wachsender Gegenspannung nimmt dieser Fotostrom auf Null ab. Wenn
bei der Gegenspannung U0 der Fotostrom Null ist, werden auch die schnellsten Elektronen, d.h. jene mit der größten kinetischen Energie, so stark abgebremst, dass sie
nicht mehr die Anode erreichen. Aus der Größe der Gegenspannung U0 kann man die
maximale kinetische Energie Wmax der Elektronen bestimmen: Wmax = e · U0 .
Prinzipschaltbild:
Anode
Kathode
K
0,01 A
+
Uo
Messverstärker
2
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Messvorrichtung
1V
Interferenz-
Fotozelle
Quarz
Hg-Lampe
Messverstärker
filter
Linse
3V
-
Farbe
gelb
grün
blau
λ/nm
578
546
436
Messwerte
f / · 1014 Hz
5,19
5,5
6,88
+
Wmax /eV
0,45
0,60
1,15
U/V
0,45
0,60
1,15
Trägt man in einem Diagramm Wmax = e · U gegen f auf, so zeigt sich, dass die
Energie der schnellsten Photoelektronen proportional zur Frequenz des eingestrahlten
Lichts ist. Außerdem kann dem Schaubild entnommen werden, dass Licht mit einer
Frequenz f < fgr keine Elektronen mehr auslösen kann.
Wmax /eV
u
1
u
u
−1
1
2
3
4
5
6
f /1014 Hz
−1
−2
Dieser lichtelektrische Effekt wird durch die Gleichung
Wmax = h · f − Wa
beschrieben.
Der Achsenabschnitt gibt die Austrittsarbeit Wa für Elektronen bei dem verwendeten
Kathodenmaterial an.
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Fotozellen mit anderen Metallen liefern parallele Geraden.
Die Konstante h lässt sich aus der Steigung der Geraden berechnen:
h=
1,15 − 0,45
· 10−14 eVs ≈ 4,14 · 10−15 eVs ≈ 6,6 · 10−34 Js
6,88 − 5,19
Der Faktor h erhielt von Max Planck den Namen Wirkungsquantum. Das Plancksche Wirkungsquantum h = 6,626 · 10−34 Js = 4,136 · 10−15 eVs ist eine grundlegende
Naturkonstante. Die Einheit Js wird als Wirkung bezeichnet.
Die maximale Energie Wmax der von dem Licht mit der Frequenz f ausgelösten
Elektronen ergibt sich als Differenz der vom Licht aufgenommenen Energie Wphot =
h f und der Austrittsarbeit Wa .
Lichtquantenhypothese
Beugung, Brechung und Interferenz lassen sich mit dem Wellenmodell des Lichts verstehen.
Der Lichtelektrische Effekt kann mit dem Wellenmodell des Lichts und dem Teilchenmodell des Elektrons nicht erklärt werden.
Albert Einstein fand 1905 folgende Erklärung:
1. Licht ist ein Energiestrom, aus dem beim lichtelektrischen Effekt die Energie in
Energiequanten der Größe Wphot = h f absorbiert wird. Die Energiequanten h f
werden auch als Lichtquanten oder Photonen bezeichnet.
2. Eine Erhöhung der Intensität des Lichtes bedeutet eine Vergrößerung der Anzahl
der pro Zeit absorbierten Energiequanten.
3. Ein Elektron absorbiert jeweils nur die Energie eines Lichtquants.
Aufgaben: Dorn-Bader S. 239 A1 - A6
2. Masse und Impuls der Photonen
Nach der speziellen Relativitätstheorie gilt: W = mc2 . Somit lassen sich Photonen eine
Masse zuschreiben:
hf
h f = mPh · c2 ⇒ mPh = 2
c
Da sich der Energiestrom mit der Lichtgeschwindigkeit c bewegt, lässt sich einem
Photon auch ein Impuls zuschreiben.
pPh = mPh · c =
hf
c
c=λ f
=
h
λ
Auf diese Weise erhalten Photonen Teilcheneigenschaften.
Teilchen, welche von Licht getroffen werden, erfahren einen Stoß. Dies sieht man
ganz deutlich am Schweif eines Kometen, auf dessen Staubteilchen das Sonnenlicht
eine Kraft ausübt, die von der Sonne weg weist.
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Aufgaben: Dorn-Bader S. 243 A1 und A2
a) Wie funktioniert die Lichtmühle? (Internetrecherche)
b) Leite den Strahlungsdruck als Funktion der Gesamtenergie der eingestrahlten
Photonen, der Wirkungsfläche, der Lichtgeschwindigkeit und der Wirkungszeit
ab.
c) Welche Energie bekommt die Erde pro Sekunde von der Sonne, wenn die StrahW
W
lungskonstante σ = Agesamt
·∆t = 1370 m2 beträgt? Bestimme den Strahlungsdruck, der
durch das Sonnenlicht auf der Erde entsteht.
d) Unter Strahlungskonstante versteht man die auftreffende Leistung pro Fläche. Ein
Laser liefert eine Leistung von 1 mW bei einer Querschnittsfläche von 1 mm2 . Bestimme seine Strahlungskonstante und den zugehörigen Strahlungsdruck.
Zusatzstoff
Für die Masse m eines mit der Geschwindigkeit v bewegten Körpers gilt: m = r
m0
1−
v2
c2
(m0 ist die Ruhemasse).
Aus dieser Beziehung lässt sich die in der Relativitätstheorie geltende Relation zwischen Energie W und Impuls p = m v einer bewegten Masse herleiten:
m
2
v2
1− 2
c
m= q
m0
1−
v2
c2
= m20
m2 c2 − m2 v2 = m20 c2
(m c2 )2 − (mv)2 · c2 = (m0 c2 )2
| · c2
⇒ W 2 − p2 c2 = W02
Aufgaben: Dorn-Bader S. 245 A2, A4 - A6, A9
3. Quantenobjekte und ihre Theorie
Welche Vorstellungen haben wir vom Licht?
Beugung, Brechung und Interferenz kann man mit dem Wellenbild (vgl. Huygenssches Prinzip) erklären. Absorption und Emission von Licht deuten eher auf ein Teilchenverhalten des Lichts hin.
h
In den Termen für die Energie W = h f und den Impuls p =
erkennt man den
λ
Zusammenhang zwischen beiden Vorstellungen vom Licht. Ordnet man dem Photon
einen Energiebetrag und einen Impuls zu, so arbeitet man in der Teilchenvorstellung,
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während die beiden Größen Frequenz f und Wellenlänge λ zur Wellenvorstellung
gehören.
Doppelspaltversuch
Erklärung mit dem Wellenmodell:
Orte auf dem Schirm, in denen der Gangunterschied der beiden Elementarwellen
k · λ beträgt, zeigen maximale Lichtintensität. Beträgt der Gangunterschied (2 k − 1) ·
λ
, zeigen sich Minima.
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Erklärung mit dem „Teilchenmodell“:
Um auszuschließen, dass sich Photonen gegenseitig beeinflussen, hat der Physiker
Taylor 1909 Interferenzversuche mit sehr geringer Intensität durchgeführt. Die Belichtungszeit betrug 2000 h. Das Interferenzbild war trotzdem so klar, als wäre es mit
großer Intensität zustande gekommen.
Das bedeutet, dass beim Aufbau eines Interferenzbildes aus nacheinander registrierten Photonen die einzelnen Photonen in derselben Weise verteilt sind, wie bei den mit
großer Intensität erzeugten Interferenzbildern.
Damit muss es möglich sein, über die Registrierung eines einzelnen Photons mit
Hilfe der Wellenvorstellung eine Aussage zu machen. An den Stellen im Interferenzbild, an denen sich nach dem Wellenbild die größte Intensität ergeben soll, ist auch
die Wahrscheinlichkeit am größten, ein Photon zu registrieren: Die Lichtwelle macht
eine Wahrscheinlichkeitsaussage über Photonen.
vgl. Simulationssoftware Dorn-Bader: Spezielle Relativitätstheorie - Quantenphysik
(Quanten - Interferenz an Spalten - Vergleich mit klassischen Teilchen)
Offensichtlich interferiert jedes Photon mit sich selbst. Es bietet sich an, diese Interferenz durch Addition von Zeigern zu behandeln: Ψ-Zeiger für Quanten. Am Doppelspalt stehen einem unteilbaren Quant zwei mögliche Pfade offen. Für jeden Pfad lassen wir einen Ψ-Zeiger rotieren und addieren diese im Zielpunkt: ΨRes = Ψ1 + Ψ2 . Man
nennt die Ψ-Zeiger Wahrscheinlichkeitsamplituden. Das Betragsquadrat |ΨRes |2 = |Ψ1 +
Ψ2 |2 gibt im gewünschten Zielpunkt die Antreffwahrscheinlichkeit eines Photons an.
Merke: Photonen sind weder Welle noch Teilchen, sondern Quantenobjekte mit
Energie und Impuls. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude (Huygens- und Interferenzprinzip) bestimmt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Photonenlokalisationen.
Schülerarbeit
• Knallertest - Sehen, was man nicht sieht (Dorn-Bader S. 250)
• Modelle in der Physik (Dorn-Bader S. 252)
Aufgaben: Dorn-Bader S. 251 A1, A2
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3.1. De Broglies Materiewellen
Der franz. Physiker Louis de Broglie (Nobelpreis 1929) erhob die Quanteneigenschaften des Lichts zu einem universellen Prinzip:
Die Quanten einer Lichtwelle besitzen Impuls; warum sollte nicht allen materiellen
Teilchen mit Impuls auch eine sog. Materiewelle zugeordnet sein?
Gemäß p = h/λ postulierte de Broglie 1924 die
De-Broglie-Wellenlänge
λ=
h
p
Den experimentellen Beweis für eine mit der Elektronenausbreitung verknüpfte
Welle lieferten drei Jahre später die amerik. Physiker Davisson und Germer. Sie zeigten
mithilfe der Bragg-Reflexion, dass Elektronen wie Licht gebeugt werden.
3.2. Beugung und Interferenz bei Elektronen
Dorn-Bader Versuch 1 S. 254
Elektronen die mit Ua = 5 kV beschleunigt werden, durchsetzen eine dünne Schicht aus polykristallinem Graphit und treffen dann auf einen
Leuchtschirm. Der helle Fleck in der Mitte ist von
konzentrischen Kreisringen umgeben. Ihre Radien
r schrumpfen mit zunehmender Spannung U. Es
handelt sich interessanterweise um ein Beugungsbild, das tatsächlich durch Elektronen erzeugt wird.
Dass es sich um Elektronen handelt, kann man mit
einem Magneten nachweisen, der die Elektronenbahnen verändert.
Werden die Elektronen mit U = 5 kV beschleunigt, so haben sie nach de Broglie den
√
h
Impuls p = m · v = 2 U e m = 3,8 · 10−23 Ns. Ihre Wellenlänge müsste λ = = 17 pm
p
betragen.
Wie verhalten sich elektromagnetische Wellen, wenn sie auf ein räumliches Gitter
treffen?
Die englischen Physiker W.H. und W.L. Bragg entwickelten eine einsichtige Theorie.
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1’
1
1
2’
2
ϕ
2
ϕ
3’
ϕϕ
3
A
1. Netzebene
C
B
2. Netzebene
d
3. Netzebene
Abb. 2
Abb. 1
Treffen die elektromagnetische Wellen auf die Netzebenen des „Kristalls“, so wirken
alle Gitterbausteine als Elementarzentren (vgl. Abb.??), die kohärent mit der einfallenden Welle mitschwingen; die von ihnen ausgehenden Elementarwellen sind untereinander kohärent und deshalb interferenzfähig. Sie verstärken sich am Beobachtungsort,
wenn ihre Gangunterschiede ganzzahlige Vielfache einer Wellenlänge sind. Trifft dies
für Atome benachbarter Netzebenen zu, so gilt es auch für die weiteren Netzebenen.
Nach der Abbildung ?? ist der Wegunterschied benachbarter Wellenstrahlen 1 und 2
δ = AB + BC. Mit AB = BC = d · sin ϕ tritt Verstärkung auf f¸r
2 d · sin ϕn = n · λ
(n = 1, 2, 3, . . . )
In allen anderen Richtungen löschen sich die Wellen durch Interferenz gegenseitig
aus.
Die Winkel ϕn , unter denen eine Bragg-Reflexion eintritt, nennt man Glanzwinkel.
Sie werden im Gegensatz zu den Einfallswinkeln in der Optik zwischen einfallendem
Strahl und Netzebene gemessen und nicht zwischen Strahl und Einfallslot. Grund:
Der Winkel 2 ϕn zwischen reflektiertem und ungestört verlaufendem Strahl kann besonders leicht gemessen werden. Die Beugungsringe (Debye-Scherrer-Ringe) folgen
aus der Bragg-Reflexion. Die Beugungsreflexe der Elektronen liegen, da die Kristallite
der Graphitfolie statistisch verteilt sind, auf Ringen mit Radien ra und rb .
Die Messergebnisse bei der Elektronenbeugung liefern tatsächlich mit der BraggGleichung Wellenlängen für die Elektronen mit λ = 17 pm. Die de Broglie Beziehung
p = λh gilt also offensichtlich universell, für Photonen, Elektronen, aber auch für Teilchen wie Wasserstoff, Helium, Neutronen und fliegende Moleküle. Es handelt sich
immer um Quantenobjekte. De Broglie sprach ihnen eine „Welle“ zu, de Broglie oder
Materiewelle genannt. Sie lässt sich jeweils mit rotierenden Zeigern beschreiben.
Wie Photonen interferieren Elektronen und alle anderen Quantenobjekte mit sich
selbst, in dem alle Möglichkeiten interferieren. Sie alle gehorchen dem Superpositionsprinzip für Wahrscheinlichkeitsamplituden Ψ.
Elektronen oder Neutronen oder Moleküle haben eine Ruhemasse m0 . Sie können
sich wie klassische Teilchen verhalten. Sie sind Bestandteile von Materie. Für Photonen
gilt das nicht.
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Aufgaben: Dorn-Bader S. 255 A2; S. 257 A1, A3 - A7
3.3. Die Unbestimmtheitsrelationen
Soll eine entfernte Nähnadel mit allen Photonen eines Laserstrahls bestrahlt werden,
so muss der Strahl durch einen Spalt eingeengt werden, sonst gehen die meisten
Photonen an der Nadel vorbei. Man sagt,
die Ortsunschärfe ∆x der Photonen quer
zur Strahlrichtung ist zu groß. ∆x ist näherungsweise gleich der Spaltbreite b: ∆x ≈ b.
Wird b verkleinert, so werden die Photonen
zuerst besser auf die Nadel konzentriert.
Doch dann tritt Beugung auf und das Bündel wird wieder breiter. Die meisten Photonen verfehlen die Nadel. Dieses Experiment gelingt auch mit Elektronen.
Abb. 3
Mit sinkender Ortsunschärfe ∆x im enger werdenden Spalt erhalten die Quantenobjekte durch Beugung einen zunehmenden Querimpuls px in x-Richtung. Vor dem Spalt
war ihr Impuls p = h/λ noch scharf bestimmt, d.h. px = 0. Wegen des stochastischen
Verhaltens kann nur ein Mittelwert ∆px für den Querimpuls px abgeschätzt werden.
Da das Beugungsbild nicht überall gleich dicht beschossen wird, genügt als Mittelwert
∆px näherungsweise der Querimpuls, der zum Winkel ϕ1 des ersten seitlichen Minimums führt: sin ϕ1 = λ/b ≈ λ/∆x. Die Beugung ändert die Wellenlänge λ und den
Betrag p = h/λ des Photonenimpulses nicht. Somit gilt für ϕ1 auch sin ϕ1 = ∆px /p.
Mit sin ϕ1 ≈ λ/∆x und p = h/λ folgt ∆x · ∆px ≈ h.
Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation
Ort und Impuls von Quantenobjekten können nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden. Dabei gilt stets die Ungleichung: ∆x · ∆px ≈ h .
Mit Messfehlern hat diese Relation nichts zu tun. Sie zeigt die prinzipiellen Grenzen,
die klassischen Begriffen in der Mikrowelt gezogen sind.
Nach Heisenberg ist der Bahnbegriff im Prinzip nicht mehr anwendbar. Warum
können wir dann trotzdem so erfolgreich Planeten- oder Geschossbahnen berechnen?
Auch Planeten und Gewehrkugeln sind aus Mikrogebilden zusammengesetzt. Man
darf somit auch auf makroskopische Gebilde die Unbestimmtheitsrelation anwenden.
Beispiele
Eine Kugel der Masse 10 g habe die Geschwindigkeit v = 500 m/s. Ihr Abschussort sei
mit einem Supermikroskop zu ∆x = 10−10 m festgelegt worden. Die Quergeschwindigkeit erzeugt dann in 1 s auf 500 m Entfernung eine Abweichung von 10−21 m. Dies
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ist viel weniger als der Radius eines Atomkernes. Schützen brauchen sich deshalb
nicht um die Quantentheorie kümmern.
Fliegt ein Elektron in einem Atom, so ist sein Ort auf ∆x = 10−10 m und folglich sein
Impuls auf ∆px = h/∆x = 6,6 · 10−24 Ns festgelegt. Wegen der kleinen Elektronenmasse m = 9,1 · 10−31 kg steigt die Geschwindigkeitsunschärfe auf ca. ∆vx = ∆px /m =
7 · 106 m/s . Atommodelle müssen ohne Bahnen auskommen.
Elektronen in der Fernsehröhre: Durch die Anodenöffnung liegt eine Ortsunschärfe ∆x = 0,1 mm vor. Der Querimpuls bekommt die Unschärfe ∆px ≈ h/∆x = 6,6 ·
10−30 Ns. Bei einer Beschleunigungsspannung
von Ua = 104 V ist der Impuls des Elek√
trons in der Flugrichtung py = 2emUa = 5 · 10−23 Ns. Bei einer Flugstrecke von
ℓ = 0,5 m weitet sich der Strahl um ℓ ∆px /py = 6 · 10−8 m auf.
Dies stört kein Fernsehbild. Der Fernsehtechniker darf klassisch rechnen!
Merke: Nur in Bereichen weit oberhalb der De-Broglie-Wellenlänge kann man mit
Elektronen und anderen Mikroteilchen klassische Physik treiben und von Bahnen sprechen.
Hinweis: Die Unbestimmtheitsrelation gilt für alle Koordinatenrichtungen, ja sogar für
alle Größen, deren Produkt eine Wirkung mit der Einheit J · s ergibt:
∆x · ∆px = c ∆t ∆W/c = ∆W · ∆t ≈ h
Je kürzer die Zeit ∆t ist, in der Quanten angetroffen werden, um so unschärfer
wird die Energie, die an ihnen gemessen werden kann. Der Energieerhaltungssatz kann um ∆W verletzt erscheinen!
Die Unbestimmtheitsrelation und damit die Plancksche Konstante h stecken den
Bereich des Mikrokosmos ab, in dem die klassischen Näherungsgesetze nicht mehr
gelten.
Übungen: Dorn-Bader S. 259 Nr. 1, 2, 3; S. 263 Nr. A1 - A6
Wiederholung: Quanteneffekte (Unterrichtsmaterialien Stark Verlag)
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