Mathematische Methoden für LAK - Institut für Physik
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Mathematische Methoden für LAK Wolfgang Schweiger Institut für Physik, Theoretische Physik Karl–Franzens–Universität Graz Universitätsplatz 5, 8010 Graz, Austria Telefon:+43 316 380 5244 Fax: +43 316 380 9820 Email: [email protected] 1 LINEARE ALGEBRA 1 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Die Lösung eines allgemeinen linearen Gleichungssystems in 2 Unbekannten (I) ax + by = c (II) dx + ey = f (1.1) besitzt die Form ce − bf af − cd y= . ae − bd ae − bd Wir definieren nun für das Gleichungssystem (1.1) die Koeffizientenmatrix ! a b d e x= und die erweiterte Koeffizientenmatrix .. a b . c . . d e .. f Die Determinante der Koeffizientenmatrix sei nun durch ! a b a b D = det ≡ := ae − bd d e d e (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) definiert. Auch die Zähler für x und y lassen sich in Determinantenform schreiben, wenn man die 1. bzw. 2. Spalte der Koeffizientenmatrix durch die 3. Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix (der sog. “Inhomogenität” des Gleichungssystems) ersetzt: ! ! c b a c c b a c Dx = det ≡ ≡ = ce − bf , Dy = det = af − cd . f e d f f e d f (1.6) Damit lässt sich die Lösung des Gleichungssystems (1.1) schließlich in der kompakten Form Dy Dx und y= (1.7) x= D D 2 schreiben (vorausgesetzt es gilt D 6= 0). Interessant wird das Konzept der Determinante aber erst dadurch, dass es sich für beliebig große quadratische Zahlenschemata definieren lässt. Dazu verallgemeinern wir aber zuerst den Begriff der Matrix: Definition 1.1 — Eine n × m-Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema a1m .. . .. ... ≡ (aij ) ≡  . .. .. . . . . . . . . anm a11 a12 a13 . . . a21 a22 .. . .. . an1 . . . (1.8) i . . . Zeilenindex (1. Index), i = 1, . . . , n, j . . . Spaltenindex (2. Index), j = 1, . . . , m, aij . . . Matrixelemente oder auch Koeffizienten der Matrix  (aij ∈ Q, R, C, oder generell aus einem Zahlenkörper) Beispiel 1.1 — Die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssy- stems in 2 Unbekannten ist eine 2 × 3-Matrix. Beispiel 1.2 — Eine 1 × n-Matrix ist äquivalent zu einem Zeilenvektor: a11 a12 a13 . . . a1n ≡ (a1 , a2 , a3 , . . . , an ) . Beispiel 1.3 — Eine n × 1-Matrix ist äquivalent zu einem Spaltenvektor (kurz auch Vektor genannt): a1 a11 a21 a2 a31 ≡ a3 =: ~a . .. .. . . an1 an Beispiel 1.4 — Eine 1 × 1-Matrix ist äquivalent zu einem Skalar: a11 ≡ a . 3 Die Determinante ist nur für beliebige quadratische Matrizen (n = m) definiert: Definition 1.2 — (Leibniz-Formel) Die Determinante einer n × n-Matrix ist a11 a12 a13 . . . a1n a1n .. . . a21 a22 . . . . . .. .. .. ≡ .. .. . . .. .. .. .. ... . . . . an1 . . . . . . . . . ann . . . . . . ann a11 a12 a13 . . . a21 a22 . det .. .. . an1 . . . := X sign(π) a1π(1) a2π(2) a3π(3) · · · anπ(n) , (1.9) π∈Sn wobei die Summe über alle möglichen Permutationen π der Zahlen 1, 2, . . . , n läuft und sign(π) das Vorzeichen der jeweiligen Permutation ist. Wir wollen uns den Begriff der Permutation noch etwas näher ansehen. Definition 1.3 — Gegeben sei die Menge In = {1, 2, . . . , n}, n ∈ N. Eine bijektive (eineindeutige) Abbildung π von In auf In heißt Permutation auf In . Die Menge aller Permutationen auf In wird als Sn bezeichnet. (Sn := {bijektive Abbildungen In ↔ In }) Das Vorzeichen der Permutation π ist durch Y π(j) − π(i) sign(π) := j−i i<j definiert. Bemerkung — Sn besitzt n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1 Elemente. Bemerkung — Das Vorzeichen einer Permutation lässt sich auch über die An- zahl von Transpositionen bestimmen, welche notwendig sind, um diese Permutation aus der identischen Permutation (πid (i) = i, i = 1, 2, . . . , n) zu erzeugen. Transpositionen sind einfach Vertauschungen von 2 Elementen. Eine gerade Anzahl liefert ein positives Vorzeichen, eine ungerade Anzahl ein negatives Vorzeichen. 4