Übung 9 - Universität zu Köln

Institut für Theoretische Physik der
Universität zu Köln, Sommersemester 2016
Prof. Dr. Joachim Krug
Dr. Stefan Nowak
Theoretische Physik in 2 Semestern II
9. Übung
http://www.thp.uni-koeln.de/~sn/ss16/
Abgabe:
Dienstag, 21. Juni 2016 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
30. Kinetische Gastheorie
4+7+5+3=19 Punkte
In einer Hohlkugel mit Radius r befinden sich N punktförmige Teilchen der Masse m. Wechselwirkungen zwischen den Teilchen können vernachlässigt werden. Stöße mit der Wand erfolgen
elastisch, d.h. die Beträge der Geschwindigkeiten bleiben gleich.
a) Betrachten Sie zunächst ein einzelnes Teilchen mit Geschwindigkeit vi , das mit dem Winkel α
zur Normalen an die Kugelwand stößt (siehe Skizze).
x
α
α
2r
vi
vi
Welche Zeit ∆t vergeht bis zum nächsten Stoß des Teilchens?
Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Strecke x, die das Teilchen bis zum nächsten Stoß
zurücklegt.
b) Die Impulse des Teilchens aus a) vor und nach dem Stoß seien p~vor bzw. p~nach . Welche
Impulsänderung ∆p = |~
pvor − p~nach | erfährt das Teilchen bei diesem Stoß? Welche Kraft
F = ∆p/∆t übt das Teilchen demnach im Mittel auf die Kugelwand aus?
Hinweis: Die Kraft F sollte nicht vom Winkel α abhängen.
c) Zeigen Sie, dass der Druck P , den die N Teilchen insgesamt auf die Kugelwand ausüben,
durch
2N
P =
E kin
3V
P
gegeben ist, wobei E kin = N1 i 21 mvi2 die mittlere kinetische Energie der Teilchen ist.
Hinweis: Druck = Kraft pro Fläche.
d) Welcher Zusammenhang ergibt sich zwischen mittlerer kinetischer Energie und Temperatur
eines idealen Gases? Vergleichen Sie dazu die Gleichung aus c) mit der bekannten idealen
Gasgleichung.
31. Wärmekapazität
8+8=16 Punkte
Die Wärmekapazität C gibt an, welche Wärmemenge δQ nötig ist, um eine Temperaturänderung dT zu bewirken. Es gilt C dT = δQ, wobei man zwischen der Wärmekapazität CV bei
konstantem Volumen und CP bei konstantem Druck unterscheidet. Bei konstantem Volumen
ergibt sich z.B. mit dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik
∂E
CV dT = δQ = P |{z}
dV + dE = dE ⇒ CV =
.
∂T V
=0
Die thermodynamische Notation ∂E
∂T V bezeichnet dabei die “Ableitung von E nach T bei
konstantem V ”. Mathematisch ausgedrückt gibt der Index (oder die Indizes) bei der partiellen
Ableitung einer Funktion f an, von welchen Variablen diese abhängt, also z.B.
∂f
∂
:=
f (x, y, z) .
∂x y,z
∂x
a) Zeigen Sie, dass für die Wärmekapazität CP bei konstantem Druck die Gleichung
∂V
∂E
CP = CV + P +
∂V T
∂T P
gilt.
Hinweis: Gehen Sie wie im obigen Beispiel von der Gleichung CP dT = δQ = P dV + dE aus,
wobei diesmal dV 6= 0 ist. Betrachten Sie dabei die Energie E als Funktion von Volumen V
und Temperatur T , um das Differential dE zu bestimmen.
b) Welchen Wert haben CV und CP für das einatomige ideale Gas? Erklären Sie anschaulich,
warum CV < CP gilt.
Hinweis: Verwenden Sie sowohl die thermische als auch die kalorische Zustandsgleichung des
idealen Gases.
32. Adiabatengleichung
6+9=15 Punkte
In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass ein ideales Gas bei einer adiabatischen Zustandsänderung (δQ = 0) eine Kurve der Gestalt
P V γ = const.
(1)
beschreibt, wobei γ = CP /CV der Isentropenexponent ist.
a) Leiten Sie, ausgehend vom 1. Hauptsatz der Thermodynamik und der Definition von CV
(siehe Aufgabe 31), die Differentialgleichung
dT
N kB T
=−
dV
CV V
für adiabatische Prozesse her.
b) Zeigen Sie dass die Lösung von Gleichung (2) die Adiabatengleichung (1) erfüllt.
Hinweis: Wie in Aufgabe 31b) gezeigt werden sollte, gilt CP = CV + N kB .
(2)