Wechselstroeme - Universität Zürich

Physik für Studierende der Biologie und Chemie
Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann
Version 26. April 2010
Inhaltsverzeichnis
5.6
Zeitabhängige Ströme in Stromkreisen . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Ein- und Ausschaltvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Auf- und Entladen eines Kondensators: . . . . . . . . . .
5.6.3 Ein- und Ausschalten einer Spule: . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 Energiedichte von elektrischen und magnetischen Feldern
5.6.5 Wechselspannungen - und Ströme . . . . . . . . . . . . . .
5.6.6 Leistung in Wechselstromwiderständen . . . . . . . . . . .
5.6.7 Der Thomson’sche Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . .
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5.1
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.8
5.8
Inhaltsverzeichnis
5.6
Zeitabhängige Ströme in Stromkreisen
Das Faraday’sche Induktionsgesetz lehrt uns, dass zeitabhängige magnetische Feldflüsse elektrische Wirbelfelder erzeugen. Die Auswirkungen zeitabhängiger Ströme können deshalb nicht nur
mit dem Ohm’schen Gesetz beschrieben werden. In diesem Kapitel über veränderliche Ströme
müssen wir deshalb auch Effekte behandeln, die durch die Induktion entstehen.
Schliesslich werden wir aus diesen Ueberlegungen auch sehen, dass in den elektrischen und
magnetischen Feldern Energie gespeichert ist.
5.6.1
Ein- und Ausschaltvorgänge
Das Öffnen und Schliessen eines Stromkreises ist ein zeitabhängiger Vorgang. Obwohl der eigentliche Vorgang mit einem geeignetem Schalter sehr schnell geschehen kann, ist die Reaktion
des Stromkreises im allgemeinen langsamer als der eigentliche Schaltprozess. Obwohl das Einschalten von Kondensatoren nichts zu tun hat mit Induktion, wollen wir es zum Vergleich mit
Schaltvorgängen an Spulen ebenfalls dieser Stelle behandeln.
Wir verwenden eine Batterie mit konstanter Spannung V0 (in der
Zeichnung mit Em bezeichnet), die wir über einen Schalter an einen
einfachen Kreis mit einem Kondensator der Kapazität C, einer Spule mit der Selbstinduktion L und einem Ohm’schen Widerstand R
anlegen.
5.1
S
Em
R
C
L
X
Die Anwendung der allgemeinen Maschenregel
X
`
V0 − L
ergibt hier
V0` =
Vk
k
dI
Q
= VR + VC = RI +
.
dt
C
d2 Q
dQ Q
+R
+
= V0 .
2
dt
dt
C
Diese Gleichung stimmt mit derjenigen eines gedämpften Oszillators formal exakt überein (Abschnitt 2.5.4.2.4 der Mechanik). Der betrachtete Kreis wird daher Schwingkreis genannt. Man
kann in diesem Kreis gedämpfte elektrische Schwingungen erzeugen, bei denen Strom, Spannungsabfälle und Ladungen oszillatorisches Verhalten zeigen. Dies interessiert uns aber im Moment noch nicht. Wir wollen statt dessen die Einschaltvorgänge nur in den speziellen Fällen
betrachten, wo entweder die Spule oder der Kondensator fehlt.
L
Ersetzen wir I durch dQ/dt, so erhalten wir
5.6.2
Auf- und Entladen eines Kondensators:
Ohne Spule lautet die Differentialgleichung für die Ladung Q bzw. für den Strom I wie folgt (S
geschlossen):
dQ Q
dI
I
Q
= V0 , ⇒ R
+
= V0 , ⇒ R +
=0.
C
dt
C
dt
C
Die zweite und die dritte Form benutzen I = dQ/dt. Um die dritte
Form zu erhalten muss man die erste Form nach der Zeit differenzieren. Auch diesen Gleichungen sind wir schon begegnet, nämlich bei
der viskosen Reibung (Abschnitt 2.5.4.2.3 der Mechanik).
RI +
R
S
Em
S'
C
dI
1
= −αI , mit α =
,
dt
RC
Geschrieben in der Form
erkennt man, dass die Ableitung des Stroms proportional zum Strom ist, also das für eine
exponentielle Zeitabhängigkeit typische Verhalten:
I = I0 e−αt , ⇒ I =
V0 − t
e RC .
R
Der Wert für I0 ergibt sich aus den Anfangsbedingungen: t = 0, Q = 0, I = I0 , RI0 = V0 .
Analog ergibt sich für die Ladung
t
Q(t) = Q∞ 1 − e− RC
, Q∞ = CV0
Die Ladung Q des Kondensators nimmt nach dem Einschalten zu bis zum Endwert Q∞ , der
erreicht ist, wenn die Spannung VC = Q∞ /C ihren Maximalwert V0 erreicht hat. Der Strom
nimmt von seinem maximalen Anfangswert I0 = V0 /R exponentiell ab. Bei aufgeladenem Kondensator fliesst kein Strom mehr. Die charakteristische Zeitkonstante τ ≡ RC ist die Zeit, nach
welcher die Spannung noch um 1/e des Endwerts von diesem abweicht.
5.2
Entladen wir den Kondensator über einen gleichgrossen Widerstand R, so sind vom Zeitpunkt
des Umschaltens (S auf, S 0 zu) aus gerechnet, die Ladung und der Strom gegeben durch
t0
Q(t0 ) = CV0 e− RC ,
I=
t0
dQ
V0
= − e− RC .
0
dt
R
Wird nur S geöffnet und S 0 nicht geschlossen, so bleibt die Ladung Q auf C konstant. Die Zeitabhängigkeit des Stromes im Kreis und der Spannung über dem Kondensator zeigt Abbildung
5.1.
Einschaltvorgänge: Widerstand, Kondensator, Spule
Ausschaltvorgänge: Widerstand, Kondensator, Spule
Abbildung 5.1: Zeitabhängigkeit des Stroms und der Spannung beim Ein- bzw. Ausschalten
eines einfachen Stromkreises mit einem Widerstand, mit Widerstand und Kondensator sowie
Widerstand und Spule.
5.6.3
Ein- und Ausschalten einer Spule:
Wir betrachten den ursprünglichen Kreis, und eliminieren C. Aus der Maschengleichung folgt
nun die Differentialgleichung für den Strom (S geschlossen):
5.3
dI
dI
V0
+ RI = V0 , ⇒
+ αI =
.
dt
dt
L
Dies ist dieselbe Gleichung für den Strom I, wie wir sie eben für die
Ladung Q gelöst haben, bzw. die inhomogene Form der Differentialgleichung, die wir oben für den Strom hatten (mit α = R/L statt
α = 1/RC).
L
R
S
Em
S'
L
Die Lösungsmethode für die inhomogenen Gleichungen (Variation der Konstanten) haben wir
ebenfalls schon im Abschnitt 2.5.4.2.3 der Mechanik diskutiert. Wir erhalten
Rt
I(t) = I∞ 1 − e− L
.
Der Endwert I∞ des Stroms wird erreicht, wenn die Stromänderung und damit die induzierte
Spannung in der Spule verschwindet, d. h. die Spule nur noch als kleiner, vernachlässigbarer
Ohm’scher Widerstand wirkt:
t→∞:
VR = RI∞ = V0 , ⇒ I∞ =
V0
.
R
Die charakteristische Zeitkonstante ist nun τ ≡ L/R.
Versuchen wir die Spule abzuschalten, indem wir S öffnen, so müsste der Strom abrupt auf Null
springen, die Ableitung dI/dt und damit die selbstinduzierte elektromotorische Kraft werden so
gross, dass über den Schalter ein Funke springt. Es muss daher ohne Unterbruch des Kreises auf
S 0 umgeschaltet werden. Wie vorher für die Ladung Q finden wir jetzt für den Strom I
I(t0 ) =
V0 − R t0
e L .
R
Die Zeitabhängigkeit des Stromes im Kreis und der induzierten Spannung in der Spule zeigt
Abbildung 5.1.
5.6.4
Energiedichte von elektrischen und magnetischen Feldern
Um Ladungen zu trennen, z. B. beim Aufladen eines Kondensators, und um Ströme fliessen
zu lassen, muss die Spannungsquelle Arbeit leisten. Dies bedeutet, dass in einem aufgeladenen
Kondensator oder in einer stromführenden Spule Energie gespeichert ist. Bei stromführenden
Widerständen ist dies nicht der Fall; die von der Spannungsquelle gelieferte Energie, wird da
laufend in Wärme umgesetzt.
Wir berechnen die gespeicherte Energie aus dem über die Zeit integrierten Leistungsverbrauch
beim Entladen. Es gilt
Z ∞
W =
Z ∞
P dt =
0
0
Z ∞
t
1
V0 − t
e RC V0 e− RC dt == CV02
I V dt =
0
R
2
Ein Plattenkondensator der Fäche A mit dem Plattenabstand d hat eine Kapazität C = 0 A/d.
~ =
Zwischen den Platten erzeugt eine Spannungsdifferenz V = V0 ein elektrisches Feld E = |E|
5.4
V /d. Setzt man diese Beziehungen in den Ausdruck für die gespeicherte Energie ein, so ergibt
sich:
1
1 A
1
W = CV02 = 0 d2 E 2 = 0 E 2 (Ad)
2
2 d
2
Dividiert man die Energie durch das Volumen des Kondensators, so erhält man die Energiedichte:
1
welek = 0 E 2
2
Dieser hier für den Spezialfall des elektrischen Feldes zwischen den Platten eines Kondensator
hergeleitete Ergebnis gilt allgemein für jedes elektrische Feld.
Ein ähnlichen Ausdruck können wir für die Energiedichte des Magnetfeldes erhalten, wenn wir
wieder aus dem integrierten Leistungsverbrauch beim Entladen einer Spule die Energie berechnen, und dann diese Energie mit dem Magnetfeld und dem Volumen der Spule in Verbindung
setzen.
Z ∞
Z ∞
P dt =
W =
0
0
Z ∞
Rt
V0 − Rt
1 V2
1
V21L
e L V0 e− L dt = 0
= L 02 = LI02
I V dt =
R
R
2
R
2
R
2
0
Das Magnetfeld und die Selbstinduktion einer Spule der Länge ` und Querschnittsfläche A mit
N Windungen, in der ein Strom I = V0 /R fliesst, sind gegeben durch:
B=
µ0 N I
B 2 A`
µ0 N 2 A
µ 0 N 2 A B 2 `2
=
, L=
, ⇒ LI 2 =
.
`
`
`
µ0
N 2 µ20
Man erhält also für die Energiedichte
wmagn =
1 2
W
=
B .
A`
2µ0
Dieses hier für den Spezialfall des Magnetfeldes einer Spule hergeleitete Ergebnis gilt allgemein
für jedes Magnetfeld.
Bei zeitlich veränderlichen Feldern treten immer elektrische und magnetische Felder gleichzeitig
auf. Man kombiniert daher die beiden obigen Resultate zu einem Ausdruck für die
Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:
w = welek + wmagn =
0 2
1 2
E +
B .
2
2µ0
Später werden wir sehen, dass die in diesen Feldern gespeicherte Energie durch elektromagnetische Wellen transportiert werden kann.
5.6.5
Wechselspannungen - und Ströme
Das Hausnetz liefert keine Gleichspannung, sondern eine Wechselspannung. Das Vorzeichen der
elektromotorischen Kraft (Abbildung 5.2) ändert sich periodisch:
V0 = E0 sin ωt , mit E0 = 325 V , ω = 2πν , ν = 50 s−1 .
5.5
Abbildung 5.2: Zeitabhängigkeit der Netzspannung im Haushalt. Der Strom im Verbraucherkreis hat die gleiche Frequenz und Periode wie die Spannung, ist aber gegenüber
letzterer phasenverschoben.
Wir untersuchen nun das Verhalten von Stromkreisen, die neben einer Wechselstromquelle
Ohm’sche Widerstände, Kondensatoren und Spulen enthalten. Die Kreisfrequenz ω und die
Amplitude E0 werden zunächst noch nicht festgelegt. Wir finden in allen Fällen, wo eine harmonische Wechselspannung angelegt wird, den Zusammenhang:
V0 = E0 sin ωt ⇔ I = I0 (ω) sin (ωt + ϕ(ω))
Der Strom hat die gleiche Frequenz wie die elektromotorische Kraft, ist aber eventuell phasenverschoben gegenüber der letzteren. Die Amplitude des Stroms und die Phasenverschiebung
können von der Frequenz ω abhängen. Beide Grössen sollen jetzt für die einfachsten Kreise, die
nur je ein Element, einen Widerstand R, eine Kapazität C oder eine Selbstinduktion L enthalten,
berechnet werden. Der Quotienten E0 /I0 wird auch effektiver Widerstand Reff genannt.
~ E0 sin ωt
Widerstand: Anwendung der Maschenregel ergibt
V0 = VR = IR R , ⇒ IR =
E0
sin ωt ,
R
R
⇒ Reff = R , ϕ = 0 , I0 =
E0
.
R
Kondensator: Anwendung der Maschenregel ergibt
V0 = VC =
~ E0 sin ωt
dV0
1 dQ
1
Q
, ⇒
=
= IC ,
C
dt
C dt
C
⇒ IC = ωE0 C cos ωt = ωE0 C sin(ωt +
π
),
2
5.6
⇒ Reff =
C
1
π
, ϕ = , I0 = ωCE0 .
ωC
2
Spule: Anwendung der Maschenregel ergibt
V0 − Vind
dI
E0
= V0 − L
= 0 , ⇒ IL =
dt
L
~ E0 sin ωt
Z
L
sin(ωt)dt ,
E0
π
E0
cos ωt =
sin(ωt − ) ,
⇒ IL = −
ωL
ωL
2
⇒ Reff = ωL , ϕ = −
π
E0
, I0 =
.
2
ωL
Die Amplitude des Stroms ist beim Widerstand frequenzunabhängig, nimmt beim Kondensator
mit der Frequenz zu, und bei der Spule mit der Frequenz ab. Beim Widerstand sind Strom und
Spannung in Phase, beim Kondensator ist der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus,
bei der Spule eine Viertelperiode hintendrein. Tabelle 5.1 fasst die Resultate zusammen, die
Zeitabhängigkeit zeigt Abbildung 5.3.
Strom, Spannung und Leistung für einfache Wechselstromkreise
Abbildung 5.3: Strom (gestrichelt),
Spannung (durchgezogen) und Leistung P (gepunktet) in Funktion der
Zeit für einfache Wechselstromkreise mit je einem Widerstand, einer
Kapazität oder einer Selbstinduktion.
PAV = P ist die über eine Periode gemittelte Leistung.
Reff
ω→0
R
R
R
ω→∞
R
ϕ
0
C
1/ωC
∞
Unterbrecher
0
Kurzschluss
+π/2
L
ωL
0
Kurzschluss
∞
Unterbrecher
−π/2
Gleichstrom
Hochfrequenz
Tabelle
5.1:
Effektive
Wechselstromwiderstände
und Phasenverschiebung
für
einen
Ohm’schen
Widerstand, einen Kondensator und eine Spule.
Effektive Wechselstromwiderstände können, wenn man sie in Kreisen parallel oder in Serie schal5.7
tet wie normale Widerstände behandelt werden. n parallel geschaltete Plattenkondensatoren
haben die n−fache Fläche und damit auch die n−facche Kapazität:
Ctot = nC
⇒ Reff,tot =
Analog gilt für n parallele Spulen:
5.6.6
1
1
1
=
= Reff
ωCtot
nωC
n
Ltot =
L
n
⇒ Reff,tot =
ωL
1
= Reff
n
n
Leistung in Wechselstromwiderständen
Wie steht es nun mit der Leistung, die in den oben diskutierten Kreisen verbraucht wird ? Mit
P = V I und V (t) = E0 sin ωt ergibt sich für die momentane Leistung
1
P (t) = V I = E0 I0 sin ωt sin(ωt + ϕ) , ⇒ P (t) = E0 I0 (cos ϕ − cos(2ωt + ϕ)) .
2
Zur über eine Periode gemittelten Leistung P trägt der zweite Term in P (t) nichts bei (Blindleistung):
Z
1 T
1
P =
P (t)dt , ⇒ P = I0 E0 cos ϕ .
T 0
2
√
√
Setzt man Ieff = I0 / 2 und Veff = E0 / 2, so gilt schliesslich für die Wirkleistung
P = Ieff Veff cos ϕ .
Es gilt zu beachten:
• Die effektive Spannung
V. Die Spannungsampli√ des städtischen Netzes beträgt Veff = 230−1
tude ist daher E0 = 2Veff = 325 V (ν = 50 Hz, d. h. ω = 314 s ).
• RL = ωL und RC = 1/ωC sind wattlose Widerstände. Die Wirkleistung ist Null, nicht
aber die momentane Blindleistung. Dies ist in Abbildung 5.3 illustriert.
• Ein Haushaltsstromzähler misst die mittlere Leistung. Der Strom, der in einer Spule oder
einem Kondensator fliesst, die wir an das Netz hängen ist daher gratis. Er nützt allerdings
nicht viel, da wir keine Arbeit damit leisten. Wir empfangen 50-mal pro Sekunde Strom
und schicken ihn ebenso oft an das Elektrizitätswerk zurück. Da aber in den Zuleitungen
zwar keine grossen, aber doch nicht vernachlässigbare Ohm’sche Widerstände vorliegen,
in denen Joule’sche Wärme entsteht, die der Verbraucher nicht bezahlt, sind solche Kreise
beim Elektrizitätswerk unerwünscht. Leuchtröhren mit hohen Induktivitäten enthalten
daher zusätzlich Kondensatoren als Phasenschieber.
5.6.7
Der Thomson’sche Schwingkreis
Enthalten die Stromkreise verschiedene Elemente mit verschiedenen Phasenverschiebungen, so
genügt es nicht die effektiven Wechselstromwiderstände zu addieren, sondern man muss auch
die Phasen berücksichtigen.
5.8
Die soll am Beispiel des schon erwähnten Schwingkreises gezeigt werden, der eine Spule (Selbstinduktion L), einen Kondensator (Kapazität C), und eine Widerstand R in Serie enthält und
für den wir daher der Maschengleichung die Differentialgleichung erhalten:
E0 sin ωt − L
dI
Q
=
+ IR .
dt
C
Differenziert man diese Gleichung nach der Zeit und benützt den Ansatz
I = I0 sin(ωt + ϕ) ,
dI
d2 I
= −ωI0 cos(ωt + ϕ) ,
= −ω 2 I0 sin(ωt + ϕ) ,
dt
dt2
so ergibt sich schliesslich:
⇒ Reff
E0
=
=
I0
ωE0 cos ωt = L
r
R2 + (
dI
d2 I
1
+R + I
2
dt
dt
C
1
1 1
− ωL)2 , tan ϕ = (
− ωL)
ωC
R ωC
Der effektive Widerstand des Schwingkreises hängt von der Frequenz der äusseren elektromotorischen Kraft ab und wird minimal für den Resonanzwert
r
ω = ω0 =
1
, ⇒ Reff = R , tan ϕ = 0 .
LC
Bei der Resonanz- oder Eigenfrequenz des Schwingkreises wird die Amplitude des Stroms I0
maximal.
Einen speziellen Fall erhält man, wenn die anregende Spannung E0 zu null wird. Ist auch der
Widerstand R sehr klein, so erhält man
0=L
d2 I
1
+ I
dt2
C
Die Lösung ist dann eine selbständige Schwingung mit der Eigenfrequenz gleich der Resonanzfrequenz.
1
I = I0 cos ω0 t
VL = −LωI0 sin ω0 t
mit ω0 = √
LC
Dies nennt man den Thomson’schen Schwingkreis. Da R niemals ganz null ist, ist die Schwingung gedämpft, wie bei einem Pendel. Beim Thomson’schen Schwingkreis ist die Energie abwechslungsweise im elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule
gespeichert.
5.9