W2/3 – Ideale Gase und Phasenübergänge IDEALES GAS

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München den 11. Mai 2009
W2/3 – Ideale Gase und Phasenübergänge
IDEALES GAS ........................................................................................................... 2
Modellvorstellung:................................................................................................................................. 2
allgemeine Gasgleichung: .................................................................................................................... 2
Kelvin-Skala: .......................................................................................................................................... 2
Einheit der Bolzmann-Konstante:........................................................................................................ 2
Einheit Mol: ............................................................................................................................................ 3
Das Mol ist die SI-Basiseinheit der Stoffmenge. ................................................................................ 3
Avogadro-Konstante: ............................................................................................................................ 3
allgemeine Gaskonstante: .................................................................................................................... 3
Reale Gase: ............................................................................................................................................ 3
Messung des Volumens einer Hohlkugel: .......................................................................................... 4
ZUSTANDSÄNDERUNGEN: ..................................................................................... 4
Isotherme Zustandsänderung:............................................................................................................. 4
Boyle-Marionette-Gesetz: ................................................................................................................... 4
p-V-Diagramm: .................................................................................................................................... 4
p-1/V-Diagramm: ................................................................................................................................. 5
Isochore Zustandsänderung: ............................................................................................................... 5
Gesetz von Amontons: ........................................................................................................................ 5
p-T-Diagramm: .................................................................................................................................... 6
experimentelle Bestimmung: Lage des absoluten Temperaturnullpunktes (°C-Skala) ................. 6
DAMPFDRUCKKURVE: ............................................................................................ 7
Temperaturverlauf eines Stoffes bei gleichmäßiger Energiezufuhr: ............................................... 7
Phasendiagramm: ................................................................................................................................. 7
dynamisches Gleichgewicht: ............................................................................................................... 8
Koexistenzkurven:................................................................................................................................. 9
Dampfdruck (Definition, Kurve, Tripelpunkt, kritischer Punkt): ....................................................... 9
Versuchsaufbau zur Messung der Dampfdruckkurve: ...................................................................... 10
Luftfeuchtigkeit und Taupunkt:.......................................................................................................... 10
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Irrtümer & Fehler vorbehalten. Dieses Skript ersetzt keinesfalls ein gutes Lehrbuch und sollte nur zum Abgleichen
des selbst Gelernten dienen. Bei Fehlern bitte an die o.g. Adresse schreiben. Viel Erfolg! - 1 -
Taupunktkurve:.................................................................................................................................. 11
Atmung: ................................................................................................................................................ 11
VERSUCHSAUFBAU: ............................................................................................. 11
Flüssigkeitsmanometer: ..................................................................................................................... 11
Aufbau: .............................................................................................................................................. 11
Schwerkraft & Schweredruck: ........................................................................................................... 12
Zusammenhang Höhendifferenz und Druckunterschied: ................................................................. 12
Messung des Atmosphärendrucks mittels Hg-Barometer:............................................................. 12
Umrechnung zwischen mm Hg und bar:........................................................................................... 14
Partialdruck:......................................................................................................................................... 14
Blutdruck:............................................................................................................................................. 14
Ideales Gas
Modellvorstellung:
Auf Teilchen eines idealen Gases wirken keine Anziehungskräfte, sie bewegen sich
ungehindert, geradlinig durch den Raum und tauschen ihre Energie durch elastische
Stöße aus, wobei sie eine andere Richtung einnehmen bzw. beschleunigt oder
abgebremst werden können.
Modell ist umso besser erfüllt, je größer die kinetische Energie der Gasteilchen
gegenüber der potentiellen ist.
allgemeine Gasgleichung:
Der Zustand eines idealen Gases lässt sich beschreiben durch
o
o
o
o
Druck p
Temperatur T
Volumen V
Teilchenzahl N
Alle dieses Variablen sind in der allgemeinen Gasgleichung vereint und hängen
voneinander ab.
p · V = N · kB · T
Kelvin-Skala:
Die Kelvinskala nimmt den absoluten Tiefstpunkt als Nullpunkt. 0°K = -273,15°C,
273°K = 0°C, 373°K = 100°C
Schmelzendes Eis 0°C, siedendes Wasser 100°C; -273,15°C absoluter Tiefstpunkt
(Nullpunkt).
Einheit der Bolzmann-Konstante:
kB ≈ 1,38 · 10 -23 J/K
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Einheit Mol:
Das Mol ist die SI-Basiseinheit der Stoffmenge.
Im SI-Einheitensystem ist das Mol eine Basiseinheit und so definiert:
„Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso viel
Einzelteilchen besteht, wie Atome in 12 Gramm des Nuklids Kohlenstoff-12
(12C) enthalten sind; sein Symbol ist „mol“.
Wenn das Mol benutzt wird, müssen die verwendeten Einzelteilchen
angegeben werden; es kann sich dabei um Atome, Moleküle, Ionen,
Elektronen, sonstige Teilchen oder spezifizierte Gruppen solcher Teilchen
handeln. „
Anders ausgedrückt haben 12 Gramm Kohlenstoff-12 genau 1 Mol Atome. 1 Mol
natürlicher Kohlenstoff hingegen hat aufgrund des Isotopengemischs eine Masse von
12,0107 Gramm. Teilchenzahl und Stoffmenge sind einander proportional, sodass
eine beliebige dieser beiden Größen als Maß für die andere dienen kann.
Avogadro-Konstante:
Die Teilchenzahl pro 1 Mol Stoffmenge (Avogadro-Konstante) beträgt:
Ein Mol eines Stoffes enthält also ca. 602 Trilliarden Teilchen dieses Stoffes. Die
Avogadro-Konstante gibt also die Anzahl der Teilchen in einem Mol an.
NA = 6 · 1023 1/mol
So kann man für die allgemeine Gasgleichung auch folgene Gleichung aufstellen:
p · V = n · NA · kB · T
n = Anzahl der Mole
allgemeine Gaskonstante:
allgemeine Gaskonstante R = NA · kB = 8,31 J/molK
[NA] = 1/mol
[kB] = J/K
Reale Gase:
Das reale Gas ist ein Begriff aus der Thermodynamik. Es steht im Zusammenhang
mit dem Begriff des idealen Gases und ist dessen „realistischeres“ Gegenstück.
Während das ideale Gas aus Teilchen besteht, die untereinander ausschließlich über
elastische Stöße wechselwirken und keine Ausdehnung besitzen (Punktmasse),
werden diese Idealisierungen bei realen Gasen nicht vorgenommen: Es wird
zusätzlich berücksichtigt, dass reale Gasmoleküle oder -atome über eine
Ausdehnung verfügen und dass die Gasteilchen gegebenenfalls auch über Stöße
hinaus untereinander wechselwirken, zum Beispiel durch die Van-der-Waals-Kräfte.
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Bei tiefen Temperaturen und hohen Drücken nimmt der mittlere Abstand zwischen
der Gasteilchen und ihr mittlerer Impuls ab. Die Anziehungskraft zwischen einigen
Gasteilchen überwiegt gegenüber der Kraft, die diese aufgrund ihrer Geschwindigkeit
auseinander treibt. Die Gasteilchen gehen feste Bindungen miteinander ein.1
Messung des Volumens einer Hohlkugel:
Eintauchen der Glashohlkugel in ein mit Wasser gefüllte Messglas. Die Wanddicke
wird vernachlässigt.
Zustandsänderungen:
Isotherme Zustandsänderung:
Die isotherme Zustandsänderung ist eine thermodynamische Zustandsänderung, bei
der die Temperatur unverändert bleibt. Bei einer Verdichtung eines Gases muss also
die Kompressionswärme abgeführt bzw. bei einer Expansion Wärme zugeführt
werden.
Dies kann durch ein Wärmebad näherungsweise erreicht werden. Nach dem Gesetz
von Boyle-Mariotte und der Zustandsgleichung eines idealen Gases bleibt das
Produkt aus Druck p und Volumen V bei konstanter Temperatur T ebenfalls konstant:
.
T bleibt unverändert, wobei die allgemeine Gasgleichung zu p · V = constT2 wird.
Boyle-Marionette-Gesetz:
p · V = constT
p-V-Diagramm:
Es entsteht eine Hyperbel:
1
mit abnehmender Temperatur und zunehmendem Druck werden die molekularen Verbände
zunehmend größer.
2
Boyle-Mariottesches Gesetz
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p-1/V-Diagramm:
Zur Überprüfung des Boyle-Mariotteschen Gesetzes trägt man p gegen 1/V auf,
ergibt sich eine Gerade ist das Gesetz bestätigt.
Isochore Zustandsänderung:
Isochor ist ein Begriff der Thermodynamik. Er beschreibt eine Zustandsänderung
eines Gases, bei der das Volumen konstant bleibt.
Nach dem Gesetz von Amontons (auch 2. Gesetz von Gay-Lussac) oder der
Zustandsgleichung eines idealen Gases gilt:
Daraus folgt auch, dass sich der Druck wie folgt zu den entsprechenden
Temperaturen verhält:
Gesetz von Amontons:
Das Gesetz von Amontons, oft auch 2. Gesetz von Gay-Lussac, sagt aus, dass der
Druck idealer Gase bei gleichbleibendem Volumen und gleichbleibender Stoffmenge
direkt proportional zur Temperatur ist.
Bei einer Erwärmung des Gases erhöht sich also der Druck und bei einer Abkühlung
wird er geringer. Dieser Zusammenhang wurde von Gay-Guillaume Amontons
entdeckt.
Für V = const und n = const gilt:
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Analog zum Gesetz von Gay-Lussac gilt hierbei auch:
p-T-Diagramm:
experimentelle Bestimmung: Lage des absoluten Temperaturnullpunktes (°C-Skala)
Man misst den Druck p in Abhängigkeit zur Temperatur bei 0 °C beginnend und trägt
die Werte in eine Kurve mit p/bar (y-Achse) zu θ/°C (x-Achse) ein.
θ steht hierbei für die Temperatur in der Einheit °C. Es ergibt sich eine Gerade mit
positiver Steigung a und positiven Achsenabschnitt b. Die Gerade schneidet die yAchse beim Wert p0, dem Druck bei der Temperatur θ = 0°C.3
Bestimmt man nun den Schnittpunkt der Gerade mit der θ/°C-Achse, so erhält man
durch Extrapolation4 den absoluten Temperaturnullpunk.
3
4
entspricht nur beim Meerespiegel und Normalwert 1013 hPa
Bestimmung eines mathematischen Verhaltens über den gesicherten Bereich hinaus.
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Dampfdruckkurve:
Temperaturverlauf eines Stoffes bei gleichmäßiger Energiezufuhr:
Die Temperatur ändert sich bei dem Übergang der Aggregatzustände trotz stetiger
Energiezufuhr (Wärmezufuhr) nicht, da die Energie zum Übergang in einen anderen
Aggregatzustand genutzt wird.
Temperaturverlauf bei stetiger Wärmezufuhr und Atmosphärendruck
T
TV
TS
fest
fest +
flüssig
flüssig
flüssig +
gasförmig
gasförmig
∆Q
Will man einen Körper von einer festen- in eine flüssige Phase umwandeln führt man
Schmelzwärme hinzu. Ist der Verdampfungspunkt TV erreicht, führt man
Verdampfungswärme hinzu um in den gasförmigen Zustand zu gelangen. Geht ein
fester Gegenstand direkt in den gasförmigen Zustand über (sublimiert), werden
Schmelz- und Verdampfungswärme als Sublimationswärme zusammengefasst.
Phasendiagramm:
In einem Phasendiagramm stellt man den Druck einer Substanz in Abhängigkeit von
der Temperatur grafisch dar und kann die entsprechende Phase ablesen. An den
Grenzen der Gebiete gibt es Kurven, auf denen jeweils zwei Phasen im dynamischen
Gleichgewicht sind (Koexistenzkurven).5
5
Zwei Phasen befinden sich im dynamischen Gleichgewicht, wenn von der Oberfläche der Flüssigkeit
genauso viele Moleküle austreten wie umgekehrt wieder eintreten.
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Trippelpunkt6: Der Punkt, durch Druck und Temperatur (ohne einen weiteren
Freiheitsgrad) festgelegt, an welchem Gas, Flüssigkeit und Feststoff gleichzeitig
vorliegen.
kritischer Punkt: Der Punkt, an welchem es keine flüssige Phase, sondern nur noch
eine gasförmige gibt wird kritischer Punkt genannt. Die flüssige Phase geht an
diesem Punkt in eine einzige gasförmige Phase über.
Auch bei hohen Drücken kann man jenseits des kritischen Punktes kein Gas mehr
zur Flüssigkeit machen.
Sublimationskurve: Kurve zwischen festem und gasförmigem Zustand.
Schmelzkurve: Kurve zwischen festen und flüssigen Zustand
Dampfdruckkurve: Kurve zwischen flüssigem und gasförmigem Zustand.
dynamisches Gleichgewicht:
Zwei Körper, die miteinander in thermischem Kontakt stehen, befinden sich
miteinander genau dann im thermischen Gleichgewicht, wenn sie die gleichen
Temperaturen besitzen.
Ist ein System A sowohl mit einem System B als auch mit einem System C im
thermischen Gleichgewicht, dann sind auch die Systeme B und C miteinander im
thermischen Gleichgewicht. Diese Aussage bildet eine wichtige Grundannahme der
Thermodynamik und wird zuweilen als Nullter Hauptsatz der Thermodynamik
bezeichnet.
0. Hauptsatz der Thermodynamik:
Stehen zwei Systeme jeweils mit einem dritten im thermodynamischen
Gleichgewicht, so stehen sie auch untereinander im Gleichgewicht.
6
für jede Substanz spezifisch!
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1. Hauptsatz der Thermodynamik:
Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur in andere Energiearten
umgewandelt werden.
2. Hauptsatz der Thermodynamik:
Thermische Energie ist nicht in beliebigem Maße in andere Energiearten
umwandelbar.
3. Hauptsatz der Thermodynamik:
Der absolute Nullpunkt der Temperatur ist unerreichbar.
Koexistenzkurven:
Kurve in einem Phasendiagramm bezeichnet, ab welcher ein Phasenübergang
erfolgen kann und thermodynamisch günstiger ist.
Dampfdruck (Definition, Kurve, Tripelpunkt, kritischer Punkt):
Man versteht unter dem Dampfdruck den Partialdruck eines Gases
(Mehrkomponentensystem), das im thermodynamischen Gleichgewicht mit seiner
flüssigen oder festen Phase steht. Im Einkomponentensystem wird dieser Druck als
Gleichgewichtsdruck bezeichnet.
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Versuchsaufbau zur Messung der Dampfdruckkurve:
Die Apparatur für diesen Versuch ist eine in sich geschlossene Einheit. Das
Kupfergefäß ist bis auf ein kleines Dampfvolumen fast vollständig mit Wasser gefüllt.
Ein Zeigermanometer zeigt den Druck in bar an. 1 bar = 1000 hPa
Die Apparatur wird mit einem Butangasbrenner erhitzt, die TemperaturFlüssigkeit mit
einem Widerstandsthermometer7 gemessen.
Luftfeuchtigkeit und Taupunkt:
An einer freien Wasseroberfläche, die flüssiges Wasser vom darüber liegenden
Luftvolumen trennt, treten stets einzelne Wassermoleküle vom Wasservolumen in
das Luftvolumen über. Im flüssigen Wasser sind die Wassermoleküle durch
molekulare Kräfte, vor allem durch die Wasserstoffbrückenbindungen,
vergleichsweise stark aneinander gebunden, wodurch sich der zusammenhängende
Flüssigkeitsverbund erst ausbilden kann. Infolge ihrer thermischen Bewegung tragen
die Wassermoleküle jedoch jeweils gewisse Beträge an kinetischer Energie, die um
einen temperaturabhängigen Mittelwert herum streuen.
Ein kleiner Anteil von Wassermolekülen hat daher stets genügend thermische
Energie, um die Bindungskräfte der umgebenden Moleküle zu überwinden, die
Wasseroberfläche zu verlassen und in das Luftvolumen überzugehen, also zu
verdunsten.
Die Verdunstungsrate hängt vom Anteil derjenigen Moleküle ab, deren kinetische
Energie die Bindungsenergie des Flüssigkeitsverbundes überschreitet und wird
daher unter anderem von der herrschenden Temperatur bestimmt.
Umgekehrt treffen verdunstete Wassermoleküle aus der Luft auch wieder auf die
Wasseroberfläche und können dort je nach ihrer kinetischen Energie mit einer
gewissen Wahrscheinlichkeit vom Molekülverbund eingefangen werden, also
kondensieren. Die Kondensationsrate ist sowohl abhängig von der Dichte der
Wassermoleküle in der Luft als auch vom Luftdruck selbst.
Vier Größen beeinflussen die Menge dieses Stoffaustauschs:
1. die Größe der Oberfläche (Verwirbelungen erhöhen diesen Wert im
Vergleich zum ruhenden Wasser),
2. die Temperatur des Wassers,
3. die Temperatur der Luft und
4. der Sättigungsgrad der Luft.
Als Taupunkt oder Taupunkttemperatur bezeichnet man die Temperatur, bei der sich
auf einem Gegenstand (bei vorhandener Feuchte) ein Gleichgewichtszustand von
kondensierendem und verdunstendem Wasser einstellt, in anderen Worten die
Kondensatbildung gerade einsetzt. Sie wird mit einem Taupunktspiegelhygrometer
gemessen.
Luft, die nicht vollständig mit Wasserdampf gesättigt ist, hat eine relative Feuchte
kleiner als 100 % und kann – bei unveränderter Temperatur – weiteren Wasserdampf
aufnehmen. Nimmt die Temperatur ab, nimmt auch die Aufnahmefähigkeit der Luft
7
Ein mit mehreren Pt-Schichten bedampftes Keramik-Plättchen, dessen elektr. Leiter Magnesiumoxid
ist. Der Platin-Widerstand ändert sich nahezu linear mit der Temperatur.
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für Wasserdampf ab, das heißt, die relative Feuchte steigt an. Beim Taupunkt ist eine
relative Feuchte von 100 % erreicht, es kommt zur Kondensation. Dabei bildet sich
auf festen oder flüssigen Grenzflächen ein Flüssigkeitsfilm, erst Recht, wenn deren
Temperatur geringer ist. Bekannt ist das Beschlagen von kalten Brillengläsern, wenn
man einen Raum mit feuchter Luft betritt.
Taupunktkurve:
Das menschliche Wärmeempfinden hängt weniger von der Temperatur als von der
Feuchtigkeit der umgebenden Luft ab.
Die Taupunktkurve beschreibt den Gleichgewichtszustand, welcher sich in einem
geschlossenen Gefäß, bei gleich bleibender Temperatur zwischen Wasser und Luft
einstellt. Es verdunstet so lange Wasser, bis der Partialdruck des gasförmigen
Wassers dem Dampfdruck entspricht.8 Da Wasser sehr langsam verdunstet, ist
unsere Umgebungsluft üblicherweise nicht gesättigt. Man unterscheidet absolute
Luftfeuchtigkeit f [gH2O / m3Luft] und relative Luftfeuchtigkeit9 frel = f / fmax
Die Taupunktkurve ermöglicht es den Wassergehalt der Luft auszudrücken, durch
diejenige Temperatur, bei der die Luft mit Wasser gesättigt wäre. Man bezeichnet
diese Temperatur als Taupunkt.10
Atmung:
Einatmung: Volumen der Lunge vergrößert sich, Luftdruck in der Lunge sinkt -> Luft
strömt ein.
Ausatmung: Volumen der Lunge verkleinert sich, Luftdruck in der Lunge steigt ->
Luft strömt aus.
Luft besteht aus 21% O2, 78% N, 1% Restmoleküle11
Versuchsaufbau:
Flüssigkeitsmanometer:
Aufbau:
Im U-Rohr des Manometers wird der Druck durch Verschieben einer
Flüssigkeitssäule angezeigt. Ein U-förmiges Glasrohr ist etwa bis zur Hälfte mit der
Sperrflüssigkeit (Quecksilber oder Wasser) gefüllt.
Wenn dann eine Druckdifferenz zwischen den Schenkeln des U anliegt, verschiebt
sich die Flüssigkeitssäule zu der Seite mit dem geringeren Druck.
Der Niveauunterschied ist das Maß für die Druckdifferenz. Diese Bauart wird
heutzutage nur noch selten verwendet, da die verwendeten Flüssigkeiten entweder
giftig sind oder leicht verdunsten. Auch ist dieses Messverfahren, abhängig von der
Dichte der Sperrflüssigkeit, nur für geringe Drücke geeignet.
Beide Schenkel können über ein Ventil entlüftet werden, so dass sich ein
Gleichgewicht einstellen kann.
8
Mehr kann nicht verdunsten, da sonst Nebeltröpfchen entstehen würden.
Verhältnis des tatsächlichen Wassergehaltes zum Wassergehalt bei Sättigung
10
Je höher der Taupunkt, desto weniger muss der Mensch die Atemluft anfeuchten. Bei Minus Graden
z.B. muss der Mensch seine Atemluft sehr doll anfeuchten, weshalb man zu einer solchen Zeit auch
nicht Marathon laufen sollte.
11
wie CO2, Edelgase…
9
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Ein U-Rohr Manometer für 1 bar Druck wäre mit Wasser über 10 Meter hoch (mit
Quecksilber immer noch 760 mm)! Häufigste Verwendung waren Blutdruckmesser,
welche Quecksilber als Flüssigkeit verwendeten. Daher auch die Maßeinheit mmHg
(mm Quecksilbersäule) für den Blutdruck.
U-Rohr bei gleichem Druck,
nicht ausgelenkt.
U-Rohr-Manometer bei Druckdifferenz,
um Höhe h ausgelenkt.
Schwerkraft & Schweredruck:
Wenn eine Gas- bzw. Flüssigkeitssäule der Masse m auf die unterste
Querschnittsfläche der Säule mit der Schwerkraft (dem Gewicht) F = mg drückt wird
der Schweredruck erzeugt.
p = F/A12 = mg/A = pVg/A = pAhg/A = pgh13
Zusammenhang Höhendifferenz und Druckunterschied:
Bei gleich hohen Säulen herrscht plinks = prechts
Der Gesamtdruck auf jeder Seite ergibt sich aus der Summe des Gasdrucks und des
Schweredrucks der Flüssigkeitssäule oberhalb dem tiefsten Flüssigkeitsspiegel.14
o Atmosphärendruck = Gleichstand der Flüssigkeitssäulen
o Überdruck = Säule 2 steht höher als Säule 1
o Unterdruck = Säule 1 steht höher als Säule 2
Messung des Atmosphärendrucks mittels Hg-Barometer:
12
Kraft pro Fläche
diese Herleitung muss man nun wirklich nicht wissen
14
im Folgenden gehen wir davon aus, dass Säule 1 an das zu messende Gefäß angeschlossen ist.
13
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Durch ihr Eigengewicht fließt die Flüssigkeit aus dem Rohr, wobei am oberen Ende
ein Unterdruck entsteht. Der Luftdruck wirkt dem entgegen, so dass die
Flüssigkeitssäule bei einer bestimmten Höhe zur Ruhe kommt.
Am häufigsten wird hierbei Quecksilber als Flüssigkeit genutzt, wobei man in diesem
Fall von einem Quecksilberbarometer spricht. Bei Normalbedingungen erreicht
Quecksilber eine Höhe von 760 mm, sodass für genaue Ergebnisse der abgelesene
Wert rechnerisch auf die Standardbedingungen korrigiert werden muss, wobei es zu
beachten gilt, dass sich Quecksilber und Glasrohr bei einer Temperaturerhöhung
ausdehnen:
o
o
o
o
p - tatsächlicher Druck
pa - abgelesener Druck
T - Raumtemperatur in °C
Ausdehnungskoeffizient von Quecksilber: 0,000182
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Umrechnung zwischen mm Hg und bar:
Von Bar umrechnen in Torr = mm Hg -> multiplizieren mit 750,2838
Von Torr = mm Hg umrechnen in Bar -> multiplizieren mit 1,3328 · 10-3
Partialdruck:
Der Partialdruck ist der Druck, der in einem Gasgemisch wie z. B. der Luft, einem
bestimmten Gas zugeordnet werden kann. Der Partialdruck entspricht dabei dem
Gesamtdruck, den die Komponente beim alleinigen Ausfüllen des gesamten
Volumens ausüben würde.
Blutdruck:
Der Blutdruck wird normalerweise in mmHg (=Torr) angegeben. 120/80 meint dass
der systolische RR um 120mmHg und der diastolische RR um 80 mmHg über dem
Luftdruck liegt. Der venöse Druck (0 – 5 mmHg) liegt nahe dem Luftdruck!
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