Stochastik für Physiker: Aufgaben und

Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
Simon Stützer
Stand: 24. Februar 2009
Aufgabe 1:
Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Spiel mit einem Würfel in 4 Würfen mindestens einmal 6 zu würfeln, mit der
Wahrscheinlichkeit, beim Spiel mit zwei Würfeln in 24 Würfen mindestens eine Doppel-6 zu würfeln.
Lösungsvorschlag 1:
• Spiel mit einem Würfel und vier würfen
• Wahrscheinlichkeitsraum: {1, ..., 6}4 , €p {1, ..., 6}4 , P
• P bei jedem Wurf die Gleichverteilung auf 1, ..., 6
• Ereignis: A ... mindestens einmal wird die ’6’ gewürfelt
|AC |
=1−
P (A) = 1 − P (A ) = 1 −
|Ω|
C
4
5
≈ 0.518
6
• Spiel mit zwei Würfeln wobei 24 mal gewürfelt wird
h
24 i
24
, €p {1, ..., 6}2
,P
• Wahrscheinlichkeitsraum: {1, ..., 6}2
• Ereignis: B ... mindestens eine Doppel-’6’ wird gewürfelt
P (B) = 1 − P (B C ) = 1 −
|B C |
=1−
|Ω|
35
36
24
≈ 0.491
Lösungsvorschlag 1 (Variante):
• Wahrscheinlichkeitsraum: {1, 0}4 , €p {1, 0}4 , P
(
0 es fällt keine ’6’
• dabei bedeutet
1 es fällt eine ’6’
• P ist nun Bernoulli-Verteilung mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 16
0 4−0
4
1
1
5
C
P (A) = 1 − P (A ) = 1 − P ({0, 0, 0, 0}) = 1 −
1−
=1−
6
6
6
• Wahrscheinlichkeitsraum: {1, 0}24 , €p {1, 0}4 , P
(
0 es fällt keine Doppel-’6’
• dabei bedeutet
1 es fällt eine Doppel-’6’
1
• P ist nun Bernoulli-Verteilung mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 36
0 24−0
24
1
1
35
P (B) = 1 − P (B C ) = 1 −
1−
=1−
36
36
36
Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
2
Aufgabe 2:
Es seien A, B, C drei Ereignisse aus dem Grundraum Ω. Als Ergebnis eines Experiments erscheint das Element ω ∈ Ω.
Geben Sie Ausdrücke für die folgenden Sachverhalte an:
a) Es tritt keines dieser Ereignisse ein.
b) Es tritt genau eines dieser Ereignisse ein.
c) Es tritt höchstens eines dieser Ereignisse ein.
d) Es treten mindestens zwei dieser Ereignisse ein.
Lösungsvorschlag 2:
a) ω = {AC ∩ B C ∩ C C }
C
C
b) ω = {A ∩ B
} ∪ {AC∩ B ∩ C C } ∪ {AC ∩ B C ∩ C} = M1
C∩ C C
c) ω = M1 ∪ A ∩ B ∩ C C = M2
d) ω = M2C = {A ∩ B/C} ∪ {A ∩ C/B} ∪ {B ∩ C/A} ∪ {A ∩ B ∩ C}
Aufgabe 3:
Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, €a, P ] und für die Ereignisse A, B, C die Wahrscheinlichkeiten P (A) =
P (B) = 21 , P (A ∪ B) = 43 und P (C) = 12 . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
1
3,
• AA ... Weder A noch B tritt ein
• BB ... es treten A und B ein
• CC ... das Ereignis C tritt nicht ein
• DD ... es tritt A aber nicht B ein
Lösungsvorschlag 3:
P (AA) = P (AC ∩ B C ) = 1 − P ((AC ∩ B C )C ) = 1 − P (A ∪ B) = 1 −
P (BB) = P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) =
P (CC) = P (C C ) = 1 − P (C) = 1 −
3
1
=
4
4
1 1 3
1
+ − =
2 3 4
12
1
1
=
2
2
P (DD) = P (A/B) = P (A/A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B) =
1
1
1
−
=
3 12
4
Aufgabe 4:
Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Geben Sie bei den folgenden Aufgaben immer zuerst einen passenden W.-Raum an,
beschreiben Sie anschließend das zu betrachtende Ereignis und berechnen Sie dann die gefragte Wahrscheinlichkeit.
a) Die Würfel seien unterscheidbar. Beide Augenzahlen werden beobachtet. Beschreiben Sie das Experiment durch einen
W.-Raum. Berechnen Sie die W. dafür, daß das Maximum der Augenzahlen gleich 3 ist.
b) Es wird nur das Maximum der Augenzahlen beobachtet. Beschreiben Sie das Experiment durch einen W.-Raum.
Berechnen Sie die W. dafür, daß das Maximum der Augenzahlen gleich 3 ist.
c) Die Würfel seien nicht unterscheidbar (und sie sollen auch nicht unterscheidbar gemacht werden). Beide Augenzahlen
werden beobachtet. Beschreiben Sie das Experiment durch einen W.- Raum. Berechnen Sie die W. dafür, daß das
Maximum der Augenzahlen gleich 3 ist.
d) Es wird nur die Summe der Augenzahlen beobachtet. Beschreiben Sie das Experiment durch einen W.-Raum. Berechnen
sie die W. dafür, daß die Summe der Augenzahlen kleiner oder gleich 3 ist.
Lösungsvorschlag 4:
a)
– Wahrscheinlichkeitsraum: [{1, ..., 6}2 , €p({1, ..., 6}2 ), P ]
– P ist Gleichverteilung auf 1, ..., 6
– Ereignis: A ... das Maximum der Augenzahlen ist 3
P (A) =
|{1, 2, 3}2 /{1, 2}2 |
9−4
5
|A|
=
=
=
|Ω|
36
36
36
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b)
3
– Wahrscheinlichkeitsraum: [{1, ..., 6}, €p({1, ..., 6}), P ]
– P ist Gleichverteilung auf 1, ..., 6
– Ereignis: A0 ... das Maximum der Augenzahlen ist 3
P (A0 ) = ... =
c)
5
36
– Wahrscheinlichkeitsraum: [{r1 , ..., r6 }, €p({1, ..., 6}), P ]
– P ist Maxwell-Boltzmann-Verteilung, Zustände: n = 6, Teilchenzahl: r = 2
– Ereignis: A00 ... das Maximum der Augenzahlen ist 3
P (A00 ) = P ({0, 0, 2, 0, 0, 0}, {0, 1, 1, 0, 0, 0}, {1, 0, 1, 0, 0, 0}) = P ({0, 0, 2, 0, 0, 0}) + P ({0, 1, 1, 0, 0, 0}) + P ({1, 0, 1, 0, 0, 0})
2!
2!
2!
1
1
1
5
= 2·
+ 2·
+ 2·
=
6 0! · 0! · 2! · 0! · 0! · 0! 6 0! · 1! · 1! · 0! · 0! · 0! 6 1! · 0! · 1! · 0! · 0! · 0!
36
d)
– Wahrscheinlichkeitsraum: [{2, ..., 12}, €p({2, ..., 12}), P ]
– Ereignis: B ... die Summe der Augenzahlen ist kleiner oder gleich 3
P (B) = P ({1, 1}, {2, 1}{1, 2}) =
1
1
1
1
+
+
=
36 36 36
12
Aufgabe 5:
Acht Kugeln fallen ”rein zufällig” und unabhängig voneinander in drei Fächer. Geben Sie einen passen- den W.-Raum an,
so daß Sie die folgende Frage beantworten können: Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt mindestens ein Fach leer?
Lösungsvorschlag 5:
• Wahrscheinlichkeitsraum: [{r1 , r2 , r3 }, €p({r1 , r2 , r3 }), P ]
• P ist Maxwell-Boltzmann-Verteilung
• Ereignis: A ... mindestens ein Fach bleibt leer
P (A) = 3 · P ({0, 0, 8}) + 6 · P ({0, 1, 7}) + 6 · P ({0, 2, 6}) + 6 · P ({0, 3, 5}) + 6 · P ({0, 4, 4})
8!
8!
8!
8!
1
8!
+6·
+3·
= 8 3· +6· +6·
3
8!
7!
2! · 6!
3! · 5!
4! · 4!
3 + 48 + 168 + 336 + 210
765
=
= 8 ≈ 0.117
38
3
Aufgabe 6:
Beim Wurf einer Münze erscheine mit Wahrscheinlichkeit 21 entweder Kopf oder Zahl. Bestimmen Sie die minimale Anzahl
von Würfen, bei der mit Wahrscheinlichkeit größer oder gleich 0, 95 wenigstens einmal Kopf und einmal Zahl erscheint.
Lösungsvorschlag 6:
• Wahrscheinlichkeitsraum: [{0, 1}n , €p({0, 1}n ), P ]
(
0
• P ist Bernpulli-Verteilung mit Erfolgswahrscheinlichkeit p=1/2 und
1
es fällt Kopf
es fällt Zahl
• Ereigis: A ... es fällt mindestens einmal Kopf und einmal Zahl
" n−0 n n−n #
0
1
1
1
1
!
P (A) = 1 − P (A ) = 1 −
1−
+
1−
= 0.95
2
2
2
2
n
0.05
1
ln(40)
⇒
=
⇒n=
≈ 5.32 Es muss 6 mal gewürfelt werden.
2
2
ln(2)
C
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4
Aufgabe 7:
Es seien [R, R, P ] ein Wahrscheinlichkeitsraum und F die Verteilungsfunktion zu P . Drücken Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten von Intervallen mit Hilfe der Verteilungsfunktion aus: P ((a, b)), P ((a, b]), P ([a, b)), P ([a, b]) wobei a, b ∈ R , a < b.
Wie können diese Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe einer Verteilungsdichte ausgedrückt werden, falls eine existiert?
Lösungsvorschlag 7:
• Wahrscheinlichkeitsraum: [R, R, P ]
• Verteilungsfunktion: F : R → [0, 1], F (x) = ((−∞, x])x ∈ R, F (x) =
Rx
f (t)dt
−∞
• Vorüberlegung: P ([a, a]) = P
∞
T
a−
n=1
1
n
, a = lim P
n→∞
a − n1 , a = lim F (a) − F a − n1
n→∞
1
P ((a, b)) = P ((a, b]) − P ({b}) = F (b) − F (a) − lim F (b) − F b −
n→∞
n
P ((a, b]) = F (b) − F (a)
1
1
P ([a, b)) = P ([a, a]) + P ((a, b]) − P ({b}) = lim F (a) − F a −
+ F (b) − F (a) − lim F (b) − F b −
n→∞
n→∞
n
n
1
P ([a, b]) = P ([a, a]) + P ((a, b]) = lim F (a) − F a −
+ F (b) − F (a)
n→∞
n
Aufgabe 8:
Zwei Volumina mit den Inhalten V1 , V2 kommunizieren durch eine Ö?nung. Sie enthalten insgesamt n Moleküle ohne Wechselwirkung. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich im Volumen V1 genau k Moleküle befinden, gleich
(1 + γ)−n n( k)γ k ist, wobei γ = VV12 und k = 1, ..., n
Lösungsvorschlag 8:
• insgesamt n Molekülen
• X ... Anzahl der Moleküle in V1
• Ereignis: A ... Es sind k Moleküle im Volumen V1
• P (X = k) = (1 + γ)−n nk γ k
(
1 i-tes Molekül ist inV1
• Xi neue Zufallsgröße mit
0 i-tes Molekül ist inV2
• Wahrscheinlichkeitsraum: [{0, 1}n , €p({0, 1}n ), P ] mit P Binomialverteilung
γ
V2
1
1
• P (Xi = 1) = V1V+V
=
1
+
=
1
+
V1
γ −1 = γ+1
2
• Xi ∼ Bn,p i.i.d. mit p =
γ+1
γ
und X =
n
P
Abbildung 1: Zwei durch eine Öffnung verbundene Volumina
Xi
i=1
k n−k
n
γ
γ
P (X = k) =
1−
k
γ+1
γ+1
k n−k
n
γ
1
=
k
γ+1
γ+1
n
n k
1
n k
=
γ
= (1 + γ)−n
γ
k
γ+1
k
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5
Aufgabe 9:
Die Spieler A und B würfeln abwechselnd mit einem Paar von (gleichmäßigen) Würfeln. A gewinnt, wenn seine Gesamtaugenzahl bei einem Wurf genau 6 ist, bevor B bei einem Wurf die Augenzahl 7 würfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass Spieler A gewinnt, wenn er beginnt?
Aufgabe 10:
Aus einem Skatblatt werden nacheinander zufällig zwei Karten gezogen (ohne Zurücklegen) und verdeckt hingelegt. Es wird
die als zweite gezogene Karte aufgedeckt. Wie groß ist die Wahrschein- lichkeit, daß die zuerst gezogene Karte ein As ist,
wenn die zweite Karte ein As ist? Geben Sie zunächst einen passenden W.-Raum und dann die betrachteten Ereignisse und
Wahr- scheinlichkeiten an.
Lösungsvorschlag 10:
• Wahrscheinlichkeitsraum: [{0, 1} , €p({0, 1} ), P ] mit
2
2
(
0
1
kein Ass
Ass
• alternativ: Wahrscheinlichkeitsraum: [{1, ..., 32}2 , €p({1, ..., 32}2 ), P ] wobei 1, ..., 4 die Asse sind
• Ereignis: A ... erste Karte ist ein Ass; B ... zweite Karte ein Ass ist
P (A|B) =
P (B|A) · P (A)
P (A ∩ B)
=
=
P (B)
P (B)
3
31
·
4
32
4
32
=
3
31
Aufgabe 11:
Für ein 10-gliedriges Bernoulli-Schema werden die Ereignisse
A1 ... es tritt keine ’1’ auf,
A2 ... es tritt höchstens eine ’1’ auf,
B ... in den ersten 5 Versuchen tritt keine ’1’ auf
betrachtet. Berechnen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten P (A1 |B), P (A2 |B), P (B|A1 ), P (B|A2 ).
Aufgabe 12:
Für ein Produkt sei bekannt folgendes bekannt: Von der Gesamtproduktion habe 5% das Merkmal D (z.B. ’Defekt’). Die
angewendete Untersuchungsmethode liefert in 80% der Fälle die richtige Diagnose, wenn das untersuchte Produkt nicht
das Merkmal D hat und in 90% der Fälle die richtige Diagnose, wenn das Produkt das Merkmal D hat. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig ausgewähltes Produkt das Merkmal D hat, wenn die Diagnosemethode das Ergebnis
liefert: ’Produkt hat Merkmal D’ ? Geben Sie einen passenden W.-Raum an und verwenden Sie die Bayessche Formel!
Lösungsvorschlag 12:
(
1
• Wahrscheinlichkeitsraum: [{w1 , w2 }, €p(w1 , w2 )] mit w1 Diagnose, w2 Zustand und
0
• Ereignis: A ... Produkt hat Merkmal ’D’; B ... Produkt ist defekt
• bekannt: P (A) = 0.05 P (B C |AC ) = 0.8
P (B|A) = 0.9
• gesucht: P (A|B)
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B|A) · P (A)
=
P (B)
P (B)
mit
P (B C ∩ AC )
P (B C ) + P (AC ) − P (B C ∪ AC )
=
C
P (A )
P (AC )
1 − P (B) + 1 − P (A) − (1 − P ((B C ∪ AC )C ))
=
1 − P (A)
1 − P (B) + 1 − P (A) − (1 − P (B ∩ A))
=
1 − P (A)
1 − P (B) + 1 − P (A) − (1 − P (B|A) · P (A))
=
1 − P (A)
P (B C |AC ) =
nicht defekt
defekt
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6
P (B) = 1 + P (B|A) · P (A) − P (A) − P (B C |AC )(1 − P (A))
⇒ P (A|B) =
P (B|A) · P (A)
≈ 0.1915
1 + P (B|A) · P (A) − P (A) − P (B C |AC )(1 − P (A))
Aufgabe 13:
Es seien X1 , X2 , ..., Xn unabhängige Zufallsgrößen. Jede von ihnen habe die Verteilungsfunktion F (d.h., die Zufallsgrößen
sind identisch verteilt).
a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktionen der Zufallsgrößen max{X1 , X2 , ..., Xn } und min{X1 , X2 , ..., Xn }.
b) Bestimmen Sie die Verteilungsdichte von Minimum und Maximum für den Fall, dass die Zu- fallsgrößen auf dem
Intervall (0, 1) gleichverteilt sind.
Lösungsvorschlag 13:
zu a)
– X1 , ..., Xn i.i.d. mit Verteilungsfunktion FX (x), d.h FX (x) = FX1 (x) = ... = FXn (x) = FXi (x) = P (Xi ≤ x)
Fmax{X1 ,...,Xn } (x) = P (max{X1 , ..., Xn } ≤ x)
= P (X1 ≤ x, ..., Xn ≤ x)
n
Y
=
P (Xi ≤ x)
i=1
n
Y
=
FX (x) = FX (x)n
i=1
Fmin{X1 ,...,Xn } (x) = P (min{X1 , ..., Xn } ≤ x)
= 1 − P (min{X1 , ..., Xn } > x)
= 1 − P (X1 > x, ..., Xn > x)
n
Y
=1−
P (Xi > x)
=1−
i=1
n
Y
(1 − FX (x)) = 1 − (1 − FX (x))n
i=1
zu b)


0 x ≤ 0
– Xi ∼ U (0, 1) also Verteilungsdichte FX (x) = x 0 ≤ x ≤ 1


1 x>1


0 x ≤ 0
n
Fmax{X1 ,...,Xn } (x) = FX (x) = xn 0 ≤ x ≤ 1


1 x>1


0 x ≤ 0
n
Fmin{X1 ,...,Xn } (x) = 1 − (1 − FX (x)) = 1 − (1 − x)n


1 x>1


0 x ≤ 0
⇒ f (x) = n · xn−1 0 ≤ x ≤ 1


0 x>1
0≤x≤1


0 x ≤ 0
⇒ f (x) = n · (1 − x)n−1


0 x>1
Aufgabe 14:
Zeigen Sie: Wenn X eine Cauchy-verteilte Zufallsgröße ist, dann ist auch die Zufallsgröße
1
X
Cauchy-verteilt.
0≤x≤1
Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
7
Aufgabe 15:
Die Zufallsgröße X sei gleichverteilt auf (0, 1). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, bei dem
a) die erste Dezimalstelle eine 1 ist?
b) die zweite Dezimalstelle eine 5 ist?
c) die erste Dezimalstelle der Quadratwurzel eine 3 ist?
Lösungsvorschlag 15:
• X ∼ U (0, 1)
• Ereignis: A ... erste Dezimalstelle ist eine ’1’
• Ereignis: B ... die zweite Dezimalstelle ist eine ’5’
• Ereignis: C ... die erste Dezimalstelle der Quadratwurzel ist eine ’3’
P (A) = P (X ≤ 0.2) − P (X ≤ 0.1) = FX (0.2) − FX (0.1) = 0.2 − 0.1 = 0.1
P (B) = (P (X ≤ 0.06) − P (X ≤ 0.05)) · 10 = 0.1
√
P (C) = P ( X ∈ [0.3, 0.4) = P (0.3 ≤
√
0.16
Z
X < 0.4) = P (0.09 ≤ X < 0.16) =
f (t)dt = 0.07
0.09
Aufgabe 16:
Die Zufallsgröße X sei gleichverteilt auf dem Intervall (0, 1), d.h. X ∼ U (0, 1). Berechnen Sie Verteilungsfunktionen und
1
Verteilungsdichten folgender Zufallsgrößen: 1 − X, X − 1, X 2 , X
, −2 ln X.
Lösungsvorschlag 16:


0 x ≤ 0
• FX (x) =
f (t)dt = x 0 ≤ x ≤ 1

−∞

1 x≥1
Rx


0 x ≤ 0
f (x) = 1 0 ≤ x ≤ 1


0 x≥1


0 x ≤ −1
F1−X (x) = P (1 − X ≤ x) = P (1 − x ≤ X) = 1 − P (X ≤ 1 − x) = 1 − FX (1 − x) = 1 − 1 − x − 1 ≤ x ≤ 0


1 x≥0




1 x ≥ 1
0 x ≥ 1
= x 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ f (x) = 1 0 ≤ x ≤ 1 ∼ U (0, 1)




0 x≤0
0 x≤0




0 x ≤ −1
0 x ≤ −1
FX−1 (x) = P (X − 1 ≤ x) = P (X ≤ 1 + x) = FX (1 + x) = 1 + x − 1 ≤ x ≤ 0 ⇒ f (x) = 1 − 1 ≤ x ≤ 0




1 x≥0
0 x≥0
 √

√
x≤0


x≤0
0√
0
√
√
√
√
2
1 √1
FX 2 (x) = P (X ≤ x) = P (X ≤ x) = FX ( x) =
x 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ f (x) = 2 x 0 ≤ x ≤ 1


√
 √

1
x≥1
0
x≥1
∼ U (−1, 0)
Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
8
Aufgabe 17:
Die Verteilung einer Zufallsgröße X heißt logarithmische Normalverteilung (oder Lognormalvertei- lung), wenn ln X normalverteilt ist. Bestimmen Sie die Dichtefunktionen aller Lognormalverteilun- gen.
Lösungsvorschlag 17:
• X logarithmisch normalverteilt, wenn ln X ∼ Nµ.σ2 , µ ∈ R, σ > 0
• Y = ln X → X = eY > 0 also P (X > 0) = 1 → Fln X (x) = f (x) = 0 für x ≤ 0
P (X ≤ x) = P (ln X ≤ ln x) = Fln X (ln x)
Zln x
(t−µ)2
1
ds
· e− 2σ2 dt Substitution: ln s = t ⇒ s = et , dt =
s
2πσ
−∞
(
Zx
0 s≤0
(ln s−µ)2
1
− 2σ2
√
ds ⇒ f (s) =
=
·e
(ln s−µ)2
− 2σ2
√ 1
2πσs
·
e
s>0
2πσs
=
√
−∞
Aufgabe 18:
Bei einem Fernseh-Gewinnspiel gibt es folgende Konstellation: Es sind drei geschlossene Türen aufgebaut, und hinter genau
einer dieser Türen steht ein Preis (’Ziege’). Ein Kandidat, der den Preis gewinnen möchte, aber natürlich die richtige Tür
nicht kennt, kann eine Tür auswählen, die aber zunächst nicht geöffnet wird. Daraufhin stellt sich der Quizmaster (der die
richtige Tür kennt), vor eine andere Tür und erklärt wahrheitsgemäß, dass der Preis nicht dahinter steht. Nun kann der
Kandidat sich entscheiden: Er kann die Tür öffnen, vor der er bereits steht, oder er kann noch einmal wechseln und die
andere Tür öffnen, vor der weder er steht noch der Quizmaster. Der Kandidat bekommt den Preis, wenn er die richtige Tür
öffnet. Was ist für den Kandidaten die bessere Strategie: Die Tür noch einmal zu wechseln oder die anfangs gewählte Tür
zu öffnen?
Lösungsvorschlag 18:
• Wahrscheinlichkeitsraum: [{Z, N1 , N2 }, €p({Z, N1 , N2 }), P ] P ist Gleichverteilung auf Ω mit P ({ω}) =
1
3
• Ereignis: A ... Spieler gewinnt mit Strategie ’nicht-wechseln’
• Ereignis: B ... Spieler gewinnt mit Strategie ’wechseln’
P (A) =
1
3
P (B) =
2
3
Aufgabe 19:
Aus einem gut durchmischten Teig, der genau 100 Rosinen enthält, wird ein Kuchen gebacken, der in 20 Stücke gleicher
Größe zerschnitten wird. Unter der Annahme, dass die Orte der als punktförmig vorgestellten Rosinen voneiander unabhängig
und jeweils gleichverteilt im gesamten Kuchenvolumen sind, soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass ein zufällig
ausgewähltes Stück Kuchen genau 5 Rosinen enthält.
Lösungsvorschlag 19:
(
• Zufallsgröße X ... Anzahl der Rosinen im Stück, Zufallsgröße Xi =
• i = 1, ...100, P (Xi = 1) = 1 − P (Xi = 0) =
1
20
nun X =
100
P
0 i-te Rosine nicht im Stück
1 i-te Rosine im Stück
Xi
i=1
• X binomialverteilt mit Parameter n = 100, p = 0.05; X ∼ Bn,p
P (X = k) =
5 95
n k
100
1
19
p (1 − p)n−k =
≈ 0.18
k
5
20
20
Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
9
Aufgabe 20:
Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ 2 . Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
a) P (µ − σ < X < µ + σ)
b) P (µ − 2σ < X < µ + 2σ)
c) P (µ − 3σ < X < µ + 3σ)
Lösungsvorschlag 20:
P (µ − λ · σ < X < µ + λ · σ ) = FX (µ + λ · σ) − FX (µ − λ · σ)
|
{z
}
A
µ+λ·σ−µ
µ−λ·σ−µ
=Φ
−Φ
= Φ(λ) − Φ(−λ)
σ
σ
= Φ(λ) − (1 − Φ(λ)) = 2Φ(λ) − 1
P (A(λ = 1)) ≈ 0.683
P (A(λ = 2)) ≈ 0.955
P (A(λ = 3)) ≈ 0.997
P (A(λ = 4)) ≈ 1
Aufgabe 21:
Es sei X eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert µ = 3 und der Varianz σ 2 = 4. Bestimmen Sie mit Hilfe
einer Tabelle der Stadardnormalverteilung
a) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X im Intervall (−1, 2) liegt
b) ein Intervall endlicher Länge, in dem X mit Wahrscheinlichkeit 0.95 liegt
c) die Zahl c, für die gilt, dass X mit Wahrscheinlichkeit 0.8 in (c, ∞) liegt
d) Geben Sie mit Hilfe der Verteilungsfunktion Φ der Standard-Normalverteilung eine Formel für den Wert a an, für den
gilt, dass P (µ − aσ < X < µ + aσ) = 1 − α, α ∈ (0, 1). Welcher Wert a ergibt sich für α = 0.05?
Lösungsvorschlag 21:
• X ∼ Nµ,σ2 , µ = 3, σ 2 = 4, σ = 2
a)
P (X ∈ [−1, 2]) = P (−1 ≤ X ≤ 2) = FX (2) − FX (−1) = Φ
2−µ
σ
−Φ
−1 − µ
σ
= Φ(−0.5) − Φ(2) = 0.3085 − 0.0228 = 0.2857
b)
P (X ∈ [µ − c, µ + c]) = P (µ − c ≤ X ≤ µ + c) = F − X(µ + c) − FX (µ − c)
c
3−c−3
3+c−3
!
=Φ
−Φ
= 2Φ
− 1 = 0.95
2
2
2
⇒ c = 2 · Φ−1 (0.975) = 3.92
c)
d)
α α=0.05
P (µ − aσ < X < µ + aσ) = 2Φ(a) − 1 = 1 − α ⇒ a = Φ−1 1 −
≈ 1.96
2
Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
10
Aufgabe 22:
Eine Fluggesellschaft hat die langjährige Erfahrung gemacht, dass nur 95% der Gesamtzahl der Personen, die sich
einen Platz reservieren ließen, zum Abflug erschienen. Deshalb verkauft die Gesellschaft für ein Flugzeug, das 95
Plätze hat, 100 Tickets. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Personen, die zu einem bestimmten Abflug
erscheinen, einen Platz bekommen? Bestimmen Sie sowohl die exakte Lösung (unter der Annahme, dass alle TicketInhaber ihre Entscheidungen unabhängig voneinander und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit treffen) als auch eine
Näherungslösung mit Hilfe des Poissonschen Grenzwertsatzes.
Aufgabe 23:
Bestmmen Sie die Verteilung des Minimums von n i.i.d. exponentialverteilten Zufallsgrößen.
Lösungsvorschlag 23:
Aufgabe 24:
Aufgabe 25:
Aufgabe 26:
Ein Stab der Länge 1 werde an zwei Stellen zerbrochen. Dabei seien die Koordinaten der Bruch- stellen unabhängig voneinander und jeweils gleichverteilt auf dem Intervall (0, 1). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus den drei Bruchstücken
ein Dreieck zusammengelegt werden kann?
Lösungsvorschlag 26:
• Koordinaten der zwei Bruchstellen sind X, Y ∼ U (0, 1)
• damit Ereignis: A ... ’Dreieck kann gelegt werden’ eintritt, müssen zwei Seiten
je länger sein als die Dritte
1
2
1
(Y − X) + (1 − Y ) > X ⇒ X <
2
1
(1 − Y ) + X > (Y − X ⇒ X + > Y
2
X + (Y − X) > 1 − Y ⇒ Y >
• die Skizze im Parameterraum führt zum Ergebnis
P (A) =
0
X
1
Y
Y
1
0
1
X
|A|
1 1
1
= + =
|Ω|
8 8
4
Aufgabe 27:
Für das zweimalige Würfeln mit einem Würfel bezeichne die Zufallsgröße Xmin das Minimum der beiden Augenzahlen und
die Zufallsgröße Xmax das Maximum. Geben Sie das gemeinsame Vertei- lungsgesetz und die Randverteilungen des zufälligen
Vektors (Xmin , Xmax ) an.
Lösungsvorschlag
Xmin \Xmax
1
1
1
36
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
1
36
26:
2
2
36
1
36
0
0
0
0
1
12
3
4
5
6
2
36
2
36
1
36
2
36
2
36
2
36
1
36
2
36
2
36
2
36
2
36
1
36
2
36
2
36
2
36
2
36
2
36
1
36
11
36
0
0
0
5
36
0
0
7
36
0
1
4
11
36
1
4
7
36
5
36
1
12
1
36
Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
11
Aufgabe 28:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Flugzeug auf einer bestimmten Strecke ein Motor ausfällt, sei p. Bei mehrmotorigen Flugzeugen wird angenommen, dass die Motoren unabhängig voneinander ausfallen. Ein Flugzeug ist flugfähig, wenn
wenigstens die Hälfte seiner Motoren arbeitet. Für welche Werte von p ist ein zweimotoriges Flugzeug einem viermotorigen
vorzuziehen?
Lösungsvorschlag 28:
(
• neue Zufallsgröße Xi =
1
0
i-ter Motor kaputt
i-ter Motar ganz
, nun Anzahl der kaputten Motoren X =
n
P
Xi ∼ Bn,p
i=1
• Ereignis: A ... zweimotorige Maschine ist noch flugfähig
n
P (A) = P (X ≤ ) = P (X = 0) + P (X = 1) =
2
2 0
2 1
2
p (1 − p) +
p (1 − p)
0
1
= (1 − p)2 + 2p(1 − p) = (1 − p)(1 + p) = 1 − p2
• Ereignis: B ... viermotorige Maschine ist noch flugfähig
4 1
4 2
4 0
4
3
p (1 − p) +
p (1 − p)2
p (1 − p) +
P (B) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
1
2
0
= (1 − p)4 + 4p(1 − p)3 + 6p2 (1 − p)2
• wann ist ein zweimotoriges Flugzeug einem viermotorigen Flugzeug vorzuziehen?
P (A) ≥ P (B)
(1 − p)(1 + p) ≥ (1 − p)(1 − p)(1 + 2p + 3p2 ) ⇒ p = 1
...
0 ≥ p(1 − 3p) ⇒ p = 0, p =
• für p ≥
1
3
1
3
ist eine zweimotorige Maschine vorzuziehen
Aufgabe 29:
Es sei (X, Y ) ein stetiger zufälliger Vektor. Bestimmen Sie Verteilungsdichten für das Produkt X · Y und den Quotienten
X/Y . Welche Formeln ergeben sich, wenn X und Y unabhängig sind?
Lösungsvorschlag 29:
Z∞ Z∞
FX·Y (x) = P (X · Y ≤ x) =
1(−∞,x] (t1 · t2 )fX (t1 , t2 )dt1 dt2
Substitution: s = t1 · t2 , ds = t2 dt1
−∞ −∞
Z∞ Z∞
1(−∞,x] (s)fX
=
−∞ −∞
s
, t2
t2
1
dt2 ds ⇒ X · Y hat Verteilungsdichte
|t2 |
Z∞
sind X und Y unabhängig gilt fX·Y (s) =
fX
s
t
fY (t)
Z∞
fX·Y (s) =
fX
s 1
,t
dt
t
|t|
−∞
1
dt
|t|
−∞
F X (x) = P
Y
X
≤x
Y
Z∞ Z∞
=
1(−∞,x]
−∞ −∞
Z∞ Z∞
=
t1
t2
fX (t1 , t2 )dt1 dt2
Substitution: s =
t1
1
, ds = dt1
t2
t2
X
1(−∞,x] (s) fX (s · t2 , t2 ) · |t2 |dt2 ds ⇒
hat die Verteilungsdichtef X (s) =
Y
Y
−∞ −∞
Z∞
fX (s · t, t) · |t|dt
−∞
Z∞
fX (s · t)fY (t)|t|dt
sind X und Y unabhängig gilt f X (s) =
Y
−∞
Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
12
Aufgabe 30:
Die Zufallsgrößen X1 , X2 seien unabhängig und identisch gleichverteilt auf dem Intervall (0, 1). Berechnen Sie Verteilungsdichten der Zufallsgrößen X1 + X2 und X1 − X2 .
Aufgabe 31:
Die Zufallsgrößen X1 , ..., Xn seien unabhängig und identisch standardnormalverteilt.
a) Bestimmen Sie eine Verteilungsdichte der Zufallsgröße X12 . Zu welcher Familie von Verteilungen gehört die Verteilung
von X12 ?
b) Bestimmen Sie eine Verteilungsdichte der Zufallsgröße S 2 =
n
P
Xi2 . (Das Verteilungsgesetz dieser Summe von Quadra-
i=1
ten heißt Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden.)
√
c) Bestimmen Sie eine Verteilungsdichte der Zufallsgröße S 2 . (Für n = 3 wird das Verteilungsgesetz dieser Zufal lsgröße
als Maxwell-Verteilung bezeichnet.)
Lösungsvorschlag 31:
• X1 , ..., Xn ∼ N0,1 , Standardnormalverteilung fX (x) =
• Gamma-Verteilung mit Parameter a, b > 0 fX (x) =
2
x
√1 e− 2
2π
ba
a−1 −bx
e 1(0,∞) (x)
Γ(a) x
a)
(
0 x≤0
√
P (|X1 | ≤ x) x > 0
√
√
√
√
x>0
= P (− x ≤ X1 ≤ x) = P (X1 ∈ [− x, 0]) + P (X1 ∈ [0, x])
FX12 (x) =
P (X12
≤ x) =
√
Zx
=
t2
1
√ e− 2 dt +
2π
0
Zx
=
√
Z0
√
− x
√
t2
1
1
√ e− 2 dt Substitution: u = t2 , t = u, dt = √ du
2 u
2π
u
x
1
1
e− 2 du ⇒ fX 2 (x) = √
e− 2 ∼ Γ 12 , 21
2πu
2πx
0
b)
– sind X1 und X2 unabhängige Zufallsgrößen und Xi ∼ Γai ,b , a1 , a2 , b > 0 dann gilt
X1 + X2 ∼ Γa1 +a2 ,b
2
S =
n
X
Xi2
i=1
∼ Γ n2 , 12 =
1
2
Γ
n2
n
x
( 2 −1) e− 2 1(0,∞) (x)
n x
2
c)
√
F√S 2 (x) = P ( S 2 ≤ x) =
(
0 x≤0
P (S 2 ≤ x2 ) x > 0
d
= P (S 2 ≤ x2 ) = FS 2 (x2 ) ⇒ f√S 2 (x) =
FS 2 (x2 ) = fS 2 (x2 ) · 2x
dx
n
n
1 2
1 2
x2
x2
−1
−
2 (n
2
)
√
2
(n−1) e− 2 1(0,∞) (x)
⇒ f S 2 (x) =
e 2 1(0,∞) (x) · 2x =
n x
n 2x
Γ 2
Γ 2
x>0
– n = 3 Maxwell-Verteilung, Γ
3
2
=Γ
1
2
√
+ 1 = 12 Γ(1/2) = 2π
r
2 2 − x2
√
f S 2 (x) =
u e 2
π
Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
13
Aufgabe 32:
Die Zufallsgrößen X und Y seien unabhängig und identisch standard-normalverteilt. Bestimmen Sie die Verteilung des
Quotienten X/Y .
Lösungsvorschlag 32:
2
x
√1 e− 2
2π
• X, Y ∼ N0,1 i.i.d., fX (x) =
nutzen Resultat aus Aufgabe 29
Z∞
fX (s · t)fY (t)|t|dt =
f X (s) =
Y
−∞
|t|e−
(s·t)2
2
t2
e− 2 dt
−∞

1 
−
=
2π
Z0
2
− t2
t·e
−∞
Z∞
=
Z∞
1
2π
1 2
π 1 + s2
0
2
(s +1)
Z∞

t·e
dt +
2
− t2
2
(s +1)
Substitution: u2 =
dt
t2 2
(s + 1)
2
0
2
1 1
u
e−u} du =
| · {z
π 1 + s2
−x
−e 2
Standard-Cauchy-Verteilung
2
Aufgabe 33:
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X , falls dieser existiert, wenn
a) X auf dem Intervall (0, 1) gleichverteilt ist,
b) X auf dem Intervall (a, b), −∞ < a < b < ∞, gleichverteilt ist (verwenden Sie zur Vereinfachung der Rechnung
möglichst das Resultat aus a)),
c) X Cauchy-verteilt ist,
d) X geometrisch verteilt ist mit dem Parameter p ∈ (0, 1).
e) X gammaverteilt ist mit den Parametern (a, b), a > 0, b > 0.
Lösungsvorschlag 33:
a) X ∼ U (0, 1)
Z∞
Z1
x · 1(0,1) (x)dx =
EX =
−∞
xdx =
1
2
0
b) X ∼ U (a, b), es sei Y ∼ U (0, 1) dann sei X = (b − a)Y + a
EX = E((b − a)Y + a) = (b − a)EY + a =
b−a
a+b
+a=
2
2
c) X ∼ Cauchyverteielt, Prüfung auf Existenz des Erwartungswertes
Z∞
Z∞
|x| · fX (x)dx =
−∞
|x|
1
1
2
=
π (1 + x2 )
π
−∞
Z∞
0
∞
x
1
2 dx
=
(1
+
x
)
= ∞ EX existiert nicht
2
1+x
π
0
d) X ∼ geometrische Verteilung, p ∈ (0, 1), P (X = k) = (1 − p)k · p, k = 0, 1, 2, ...
EX =
∞
X
k(1 − p)k p = p · (1 − p)
k=0
= p · (1 − p)
∞
X
k(1 − p)k−1 · p
Substitution: q = 1 − p
k=0
∞
∞
X
d k
d X k
d 1
q = p · (1 − p)
q = p · (1 − p)
dq
dq
dq 1 − q
k=0
k=0
1
1
1−p
1
= p(1 − p)
= p(1 − p) 2 =
= −1
2
(1 − q)
p
p
p
Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
14
Aufgabe 34:
Es seien X1 , ..., Xn i.i.d. Zufallsgrößen, deren Varianzen existieren und endlich sind.
a) Drücken Sie Erwartungswert und Varianz des arithmetischen Mittels X =
1
n
n
P
Xi durch die entsprechenden Parameter
i=1
von X1 aus.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße σ̃ 2 =
1
n
n
P
(Xi − X)2
i=1
Lösungsvorschlag 34:
a)
n
1X
Xi
n i=1
EX = E
n
varX = var
!
1X
Xi
n i=1
n
=
1X
EX1 = EX1
n i=1
!
=
n
1 X
varX1
varX1 =
2
n i=1
n
b)
n
Eσ̃ 2 =
1X
2
E(Xi − X)2 = E(Xi2 − 2Xi X + X )
n i=1


=
EXi2


n
n

2X
2
2
 X
2
2
+ EX −
EXi EXj + E(Xi ) 
E(Xi Xj ) = EXi + EX − 

n j=1
n

j = 1
j 6= i
2
(da für i 6= j unabhängig)
2
2(n − 1)
(EX1 )2 − E(Xi )2
n
n
2(1 − n)
E(Xi )2 + E(X)2 +
(EX1 )2
| {z }
| {z }
n
2
= E(Xi )2 + EX −
=
n−2
n
varX1 +(EX1 )2
varX1
n
+(EX1 )2
n−2
varX1
2
(varX1 + (EX1 )2 ) +
+ (EX1 )2 + (EX1 )2 − 2(EX1 )2
n
n
n
n−1
=
varX1
n
=
Aufgabe 35:
Es seien X eine Zufallsgröße und k ∈ N mit E|X|k < ∞. Zeigen Sie (für die beiden Fälle, dass X diskret oder stetig ist),
dass dann E|X|l < ∞ für alle l ∈ N, l < k.
Lösungsvorschlag 35:
• X Zufallsgröße, k, l ∈ N, l < k; zu zeigen: wenn E|X|k < ∞ dann auch E|X|l < ∞
(
(
1, falls |X| < 1
1, für x ≤ 1
l
l
• |X| ≤
⇒ 1 − F|X|l (x) = P (|X| > x) ≤
k
|X| , falls|X| ≥ 1
1 − F|X|k (x), für x > 1
l
Z∞
1 − F|X|l (x)dx ≤
E|X| =
0
Z∞
Z1
1 − F|X|k (x)dx ≤ 1 +
1dx
0
Z∞
1
0
1 − F|X|k (x)dx = 1 + E|X|k < ∞
Stochastik für Physiker: Aufgaben und Lösungsvorschläge
15
Aufgabe 36:
Berechnen Sie die Varianzen, sofern diese existieren, für die Zufallsgrößen aus Aufgabe 33 und außerdem die Varianzen
binomialverteilter und exponentialverteilter Zufallsgrößen.
Lösungsvorschlag 36:
• X ∼ U (0, 1)
varX = E((X − EX)2 ) = E(X 2 ) − (EX)2 =
Z∞
x2 · 1(0,1) dx −
−∞
• X ∼ U (a, b), f (x) =
1
1
1
x3 1
− =
=
4
3 0 4
12
1
b−a 1[a,b] (x)
2
2
2
Z∞
varX = E((X − EX) ) = E(X ) − (EX) =
−∞
Zb
=
a
x2 dx −
a+b
2
2
b
(a + b)2
x3 −
=
3 a
x2 · 1[a,b] (x)dx −
a+b
2
2