Der Laser
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Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Der Laser Florentin Reiter 23. Mai 2007 Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Die Idee des Lasers A. Einstein (1916): Formulierung der stimulierten Emission von Licht als Umkehrprozess der Absorption Vorschlag zur Nutzung dieses Effektes zur Lichtverstärkung Realisierung einer einzigartigen monochromatischen Lichtquelle, dem Laser ( Light Amplification by ” Stimulated Emission of Radiation“) Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Spontane und stimulierte Emission Zugrunde liegendes Modell: Zwei-Energieniveau-Schema mit EU und EL L Dipolübergang mit ω = EU −E ~ gültig für Atome, Moleküle u. v. m. Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Spontane und stimulierte Emission Übergangswahrscheinlichkeit des Abregungsprozesses: p(U → L) = AUL + BUL · W (ω) AUL : Wahrscheinlichkeit für spontane Emission (pro Zeit) ohne jede Einwirkung von Licht BUL : Einstein-Koeffizient für stimulierte (induzierte) Emission Prozess proportional zur Intensität des einfallenden Lichtes W (ω) Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Absorption Übergangswahrscheinlichkeit des Anregungsprozesses: p(L → U) = BLU · W (ω) BLU : Einstein-Koeffizient für Absorption ebenfalls proportional zur Intensität des einfallenden Lichtes W (ω) Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Entartung I Für nicht entartete Eigenzustände EU und EL gilt BUL = BLU I und für entartete gU · BUL = gL · BLU im Folgenden aber Beschreibung ohne Entartung zudem: BUL = B und AUL = A Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Leistung bei Emission und Absorption I Für NL Atome im unteren Niveau lautet die absorbierte Leistung pro Zeit: Pabs = ~ω · B · W (ω) · NL I Für NU Atome im oberen Niveau lautet die emittierte Leistung pro Zeit: Pemi = ~ω · [A + B · W (ω)] · NU Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Besetzung der Niveaus I I I I I Befindet sich das System bei T im thermischen Gleichgewicht ergibt sich mit der Boltzmann-Verteilung NU = NL · exp(− k~ω ), also NU < NL (wichtig!) BT Gleichgewicht zwischen Atomen und Schwarzkörperstrahlung W (ω) = Wth (ω) Emittierte und absorbierte Leistung sind gleich Pabs = Pemi U Man erhält Wth (ω) = BA · NLN−N U Verwenden der Verteilung: Wth (ω) = A B · 1 exp( k~ωT )−1 B Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Vergleich mit der Störungstheorie I Wahrscheinlichkeit für Emission eines Photons p(U → L) = (n + 1) · A I Wahrscheinlichkeit für Absorption eines Photons p(L → U) = n · A I Energiedichte der Strahlung für im Schnitt n Photonen pro Mode W (ω) = m(ω) · n~ω Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Vergleich mit der Störungstheorie I I I I Einsetzen für n ergibt A p(U → L) = m(ω)~ω W (ω) + A A p(L → U) = m(ω)~ω W (ω) Vergleich mit den zu Beginn aufgestellten AUL und BUL A B = m(ω)~ω Verwenden der Modendichte BA = m(ω)~ω = 1 Einsetzen in Wth = BA · exp( ~ω ergibt )−1 kB T Wth (ω) = ~ω 3 π2 c 3 · 1 exp( k~ωT )−1 B ~ω 3 π2 c 3 Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Deutung des Ergebnisses I Es ergibt sich das Plancksche Strahlungsgesetz 3 1 Wth (ω) = π~ω 2c 3 · exp( ~ω )−1 I Entsteht sonst aus der Forderung, dass Photonen einer kanonischen Verteilung für Bosonen folgen Entsteht hier durch Annahme, dass Photonen sich mit Boltzmann-verteilten Atomen im Gleichgewicht befinden Dies bestätigt nicht nur Quantenhypothese, sondern auch das Vorhandensein von spontaner und stimulierter Emission bei angeregten Atomen kB T I I Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Weitere Interpretationen I I I Absorption und stimulierte Emission nur in der einen Mode ω des einfallenden Lichtes spontane Emission dagegen in allen m(ω)dω Moden innerhalb von dω unter Vernachlässigung aller anderen Niveaus: nur monochromatisches Licht der Frequenz ω für andere Frequenzen keine Interaktion mit den Atomen (A = B = 0) Atom-System ist also sonst perfekt transparent alles in allem: Lichtverstärkung machbar! ... selbst für eine kontinuierliche Verteilung von ω Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Realisierung des Lasers I I Lichtverstärkung durch stimulierte Emission nur möglich bei Besetzungsinversion“ (NU > NL ) ” Pumpen“ nötig ” Fabry-Perot-Resonator schließt Energie ein, geringe Auskopplung selektiert eine Frequenz und eine Richtung Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Mehr-Niveau-Systeme Spontane und stimulierte Emission Realisierung des Lasers Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Formulierung Der Laser im stationären Zustand Die Theorie der Ratengleichungen I Ziel: Emissionscharakteristik des Lasers Man weiß: diese ist bedingt durch Interaktion zwischen Licht und Atomen I Die Theorie der Ratengleichungen“ behandelt ” ... die Atome quantenmechanisch ... das Licht als Energie ohne Phase und beschreibt so zeitliche Veränderung der atomaren Population, der Lichtenergie und der Photonenzahl während des Laserbetriebs“ ” Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Formulierung Der Laser im stationären Zustand Ratengleichungen des Lasers I Atome des Lasermediums im Feld der Energiedichte W Laserübergang E2 → E1 mit der Frequenz ω dN2 = Φ2 − γ2 · N2 − (N2 − N1 ) · B(ω) · W dt dN1 dt I I = Φ1 − γ1 · N1 + (N2 − N1 ) · B(ω) · W Φ1,2 : Anregungsraten, γ1,2 : Relaxationsraten Optische Energiedichte des Resonators dW = −2κ · W + ~ω · (N2 − N1 ) · B(ω) · W dt Man erhält die drei Grundgleichungen der Theorie der Ratengleichungen Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Formulierung Der Laser im stationären Zustand Besetzungsinversion I Besetzung ohne Laserleistung W = 0 (Pumpen) (0) I I I I (0) N2 = Φγ22 und N1 = Φγ11 Für thermisches Gleichgewicht nur thermische Anregung Verhältnis der thermischen Anregung und der Relaxation ( Φγ22 )T ∝ exp(− kEB 2T ), ( Φγ11 )T ∝ exp(− kEB 1T ) Verhältnis der atomaren Besetzung N2 1 = exp(− Ek2B−E ) N1 T (0) (0) Besetzungsinversion ∆N (0) ≡ N2 − N1 Bedingung zum Anschwingen des Lasers ( dW = 0) dt 2κ ∆Nth = ~ω·B(ω) Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Formulierung Der Laser im stationären Zustand Der Laser im stationären Zustand I Ratengleichungen dN2 = 0 = Φ2 − γ2 · N2 − (N2 − N1 ) · B(ω) · W dt dN1 dt dW dt I I = 0 = Φ1 − γ1 · N1 + (N2 − N1 ) · B(ω) · W = 0 = −2κ · W + ~ω · (N2 − N1 ) · B(ω) · W Man erhält ∆N (0) − ∆N − 2τ · ∆N · B(ω) · W = 0 mit ∆N = N2 − N1 und τ = 12 ( γ1 + γ1 ) 2 1 ∆N (0) Umstellen ergibt ∆N = 1+2τ ·B(ω)·W 2κ Wiederum Schwelle bei ∆N = ~ω·B(ω) = ∆Nth Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Formulierung Der Laser im stationären Zustand Der Laser im stationären Zustand I I Anschwingen erfolgt bei ∆Nth Einsetzen ergibt optische Energiedichte Ws (0) (0) ~ω 1 Ws = 4κτ (∆N (0) − ∆Nth ) = 2τ B(ω) ( ∆N (0) − 1) ∆Nth Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Semiklassische Beschreibung Quantenmechanische Beschreibung Nachteile der Ratengleichungen und Abhilfe I I Vernachlässigung der Phase des elektromagnetischen Feldes verhindert Beschreibung vieler Phänomene der Laserschwingung (z. B. Multi-Moden-Schwingung) Abhilfe: Richtige“ Semiklassische Theorie unter ” Berücksichtigung der Phase des elektromagnetischen Feldes Betrachtung nicht mehr nur der Wahrscheinlichkeit stimulierter Emission, sondern auch kohärenter, nichtlinearer Wechselwirkung von Atomen und Licht mit Hilfe der zeitabhängigen Störungstheorie Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Semiklassische Beschreibung Quantenmechanische Beschreibung Semiklassische Theorie I I I I Vorgehen: Formulierung von EM-Wellen passend zu Schwingungsmoden mit Polarisation; Maxwellgleichungen ergeben Amplitude und Frequenz Es ergeben sich Grundgleichungen“ der Semiklassik ” Beide semiklassischen Herangehensweisen konsistent: Annahme nur einer Schwingungsmode führt auf das selbe Ergebnis wie die Ratengleichungen Darüber hinaus weitere Erkenntnisse: Multi-Moden-Schwingungen Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Semiklassische Beschreibung Quantenmechanische Beschreibung Quantenmechanische Beschreibung I I I I I Semiklassik vernachlässigt Fluktuation des elektromagnetischen Feldes und daher Effekte wie Laser ” Noise“ und bietet keine Diskussion von Photonenstatistik und Korrelationen höherer Ordnung Vorgehen: quantisieren des Strahlungsfeldes quantenmechanische Beschreibung berücksichtigt Wechselwirkungen zwischen Laser und Pumpquelle, sowie Kopplung des Lasers mit der Außenwelt Letztenendes wird der Laser als offenes und nichtlineares Nicht-Gleichgewichtssystem beschrieben Quantenmechanische Beschreibung ermöglicht Ansätze, die in der Semiklassik fehlende Elemente in guter Übereinstimmung mit dem Experiment beschreiben Einführung Grundlagen Die Theorie der Ratengleichungen Verfeinerte Theorien Semiklassische Beschreibung Quantenmechanische Beschreibung Quellen & Literatur K. Shimoda, Introduction to Laser Physics, Springer (1984) K. Shimoda, T. C. Wang, C. H. Townes: Phys. Rev. 102, 1308 (1956) M. O. Scully & M. S. Zubairy, Quantum Optics, Cambridge University Press (1997)