Blatt 13

Jun.Prof. Dr. Valentin Blomer
Analytische Zahlentheorie
Übungsblatt 13
Aufgabe. Wiederhole die folgenden Sätze und Resultate:
• partielle Summation: Seien y ∈ N, x ∈ R, a n ∈ C, g ∈ C1 ([y, x]). Dann
gilt




Z x
X
X
X

an g(n) = 
an  g(x) −
an  g 0 (t)dt
y≤n≤x
y
y≤n≤x
y≤n≤t
• Ring der arithmetischen Funktionen mit Dirichlet-Faltung,
multiplikative Funktionen, Möbius-Inversion, Dirichlet-Reihen mit Eulerprodukt
• Einige Mittelwerte und Abschätzungen:
X
√
τ (n) = x log x + (2γ − 1)x + O( x),
n≤x
τ (n) nε ,
ω(n) ≤ (1 + o(1))
X
n≤x
log n
,
log log n
√
6
x + O( x)
2
π
Y
1
1+
log x
p
µ2 (n) =
p≤x
• Charaktere χ : (Z/qZ)∗ → S 1 , primitive Charaktere, Orthogonalität
und das “Einfärben” von Restklassen
X
X
1 X
f (n) =
χ̄(a)
χ(n)f (n)
φ(q)
n
n≡a (q)
χ (q)
P
für (a, q) = 1, Gauss’sche Summen τ (χ, n) = qa=1 χ(a)e(an/q) und
√
ihre Transformationsformel, |τ (χ, n)| = q für (n, q) = 1 und χ primitiv
• Ungleichung von Polya-Vinogradov
X
≤ 2√q log q
χ(n)
n≤N
für χ 6= χ0 (beinahe scharf)
• Analytisches Verhalten der ζ-Funktion: Funktionalgleichung
Γ(s/2)π −s/2 ζ(s) = Γ((1 − s)/2)π −(1−s)/2 ζ(1 − s),
holomorph in C bis auf einfachen Pol bei s = 1 mit Residuum 1, Wachstum auf vertikalen Streifen mit dem Satz von Phragmen-Lindelöf, z.B.
ζ(1/2 + it) (|t| + 1)1/4+ε , Ähnliches für L(s, χ)
• Nullstellen: triviale Nullstellen bei −2, −4, . . ., weitere Nullstellen im
kritischen Streifen mit
#{ρ | ζ(ρ) = 0, T − 1 ≤ =ρ ≤ T + 1} log(T + 2)
Riemann’sche Vermutung <ρ = 1/2 für alle nichttrivialen Nullstellen
ρ, nullstellenfreies Gebiet:
<ρ < 1 − c min(1, (log|=ρ|)−1 )
Methode: Cosinus-Ungleichung 3 + 4 cos α + cos(2α) ≥ 0, Partialbruchentwicklung für ζ 0 (s)/ζ(s) oder (einfacher und etwas schächer)
Abschätzung von ζ nach unten in <s > 1 und Abschätzung von ζ 0
nach oben
• Mellin-Transformation
F (s) =
Z
∞
f (t)ts−1 dt
0
mit Umkehrformel
Z X
X
a(n)
1
F (s)ds
a(n)f (n) =
2πi (c)
ns
unter geeigneten Voraussetzungen, insbesondere Perrons Formel:
Z c+iT X
X
1
a(n) xs
a(n) =
ds + Fehler,
2πi c−iT
ns
s
n≤x
wobei häufig c = 1 +
1
log x
und F ehler x(log x)2 /T .
• Primzahlsatz: Vorläufer sind
X1
X log p
= log x+O(1),
= log log x+A+O(1/ log x),
p
p
p≤x
p≤x
π(x) (Tschbyscheff und Mertens); der echte Satz:
Z x
p
dt
π(x) =
+ O(x exp(−c log x))
2 log t
(Hadamard und de la Vallee-Poussin); Methode: Perrons Formel für
ζ 0 (s)/ζ(s).
x
log x
• Primzahlen in arithmetischen Progressionen: Dirichlet’scher
Primzahlsatz: Es gibt unendlich viele Primzahlen p ≡ a (q) für (a, q) =
1; Hauptzutat: L(1, χ) 6= 0; quantitative Version: Satz von Siegel
L(1, χ) q −ε (ineffektiv), dies liefert
Z x
p
dt
1
+ O(x exp(−cB log x))
π(x, a, q) =
φ(q) 2 log t
gleichmäßig in q ≤ (log x)B (B beliebig)
• Summen von zwei Quadraten:
X
n≤x
n=a2 +b2
x
1 ∼ c√
;
log x
das sind im wesentlichen Zahlen n mit p | n ⇒ p 6≡ 3 (4)
• Siebmethoden: Eratosthenes (Einschluß- Ausschluß-Prinzip), Brun (Abschneiden der Siebformel an geraden oder ungerade Stellen), großes
Sieb
N + Q2
,
S(A, P, Ωp ) ≤ P
q≤Q g(q)
g(q) = µ2 (q)
Y
p|q
ω(p)
,
p − ω(p)
Selbergs Sieb
• Anwendungen (Abschätzungen nach oben):
#{Primzahlzwillige ≤ x} π(x + y, a, q) − π(x, a, q) x
,
log x2
y
φ(k) log(y/k)
für k < y (Brun-Titchmarsh-Ungleichung),
Y
2
n
#{(p1 , p2 )|n = p1 + p2 } 1+
p (log n)2
p|n