1 Die Menge der ganzen Zahlen

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Die Menge der ganzen Zahlen
Mithilfe eines Thermometers lässt sich die Temperatur leicht bestimmen. Da es im Winter oft kälter als null Grad ist, reichen hier
die positiven Zahlen nicht aus. Bei Temperaturen unter null Grad
schreibt man vor die Zahl ein Minuszeichen. Diese Zahlen werden
als negative Zahlen bezeichnet.
Wird die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null durch
die negativen Zahlen ergänzt, so entsteht die Menge der ganzen Zahlen,
die mit einem 9 abgekürzt wird:
9 = {…; –3; –2; –1; 0; 1; 2; …}
Es gilt: 7 ⊂ 9 und 70 ⊂ 9
Auch die negativen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen, für die folgendes Symbol verwendet wird:
9 – = {…, –3; –2; –1}
Sprechweise: „Menge der negativen Zahlen“
Enthält die Zahlenmenge auch die Null, so wird dies durch eine kleine 0 kenntlich
gemacht:
9−0 = {…, –3; –2; –1, 0}
Sprechweise: „Menge der negativen Zahlen einschließlich der Null“
Beispiel
Entscheide jeweils, welches der Zeichen ∈, ∉, ⊂, ⊄ oder = in die Lücke
gehört.
a) {–2; –1; 0; 1} k 9
b) {– 4; –3; –2; …} k 9 –
d) 7 k 9 +
c) 0 k {–8; – 6; – 4; …}
Lösung:
a) {–2; –1; 0; 1} ist eine Zahlenmenge, die genau vier Elemente enthält.
Jede dieser vier Zahlen ist in 9 enthalten. Deshalb gilt:
{–2; –1; 0; 1} ⊂ 9
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b) Die drei Punkte in {– 4; –3; –2; …} deuten an, dass diese Zahlenmenge
zusätzlich zu den aufgeführten drei Zahlen noch unendlich viele weitere
Zahlen enthält. Weil – 4, –3 und –2 direkt aufeinanderfolgen, stehen die
drei Punkte für sämtliche folgende Zahlen. Die Zahlenmenge enthält daher
auch die Null sowie alle natürlichen Zahlen und ist deshalb keine Teilmenge der negativen Zahlen:
{– 4, –3, –2, …} ⊄ 9 –
c) Wieder deuten die drei Punkte an, dass die Zahlenmenge weitere Zahlen
enthält. Da zwischen den drei aufgeführten Zahlen jeweils eine Zahl fehlt,
stehen die drei Punkte für die unendlich vielen Zahlen –2, 0, 2, 4, 6, …
Die Null ist somit in der angegebenen Zahlenmenge enthalten. Sie ist ein
Element dieser Zahlenmenge:
0 ∈ {–8; – 6; – 4; …}
d) 9 + bedeutet, dass aus der Menge der ganzen Zahlen 9 nur die positiven
Zahlen betrachtet werden. Das sind aber genau die natürlichen Zahlen,
weshalb in die Lücke ein Gleichheitszeichen gesetzt werden kann:
7 = 9+
Auch das Teilmengenzeichen wäre hier korrekt, weil jede in 7 enthaltene
Zahl eine positive ganze Zahl ist und daher in 9 + enthalten ist:
7 ⊂ 9+
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Welche Zeichen ∈, ∉, ⊂, ⊄ oder = können jeweils in die Lücke gesetzt werden?
a) {…; –5; – 4; –3; –2; –1} k 90− b) {…; –5; – 4; –3; –2; –1; 0} k 9 –
c) 3 k 9
d) 9 – k 90−
e) 70 k 9 +
f) {–7; 0; 3} k 90−
Gib jeweils eine Zahlenmenge an, die du einsetzen kannst und für die du die
Symbolschreibweise kennst.
a) 90− ⊂ k
b) {–5; –3; 2; 5} ⊂ k
c) –8 ∉ k
d) 70 ⊄ k
Gabi behauptet: „Die Teilermenge von 8 ist eine Teilmenge der negativen ganzen
Zahlen einschließlich der Null.“
Schreibe Gabis Behauptung in mathematischer Kurzform auf und begründe, ob
sie recht hat.