Lösungen

Karnaugh-Pläne
1. Zwei-aus-Drei-Schaltung: Bei einer mit Risiken behafteten Anlage (automatische
Personenbeförderung, Kraftwerk, Flugzeug) soll zur Erhöhung der Sicherheit ein
Gefahrenmelder dreifach angebracht werden. Die Auslösung des Alarms (y) soll erfolgen,
wenn mindestens zwei der drei Melder (x3, x2 und x1) eine Grenzwertüberschreitung
anzeigen (y=1). Entwickeln Sie aus der Wahrheitstabelle die KDNF. Vereinfachen Sie mit
Hilfe des Karnaugh-Planes, lesen Sie die vereinfachte Gleichung aus und geben Sie den
Logikplan an.
KDNF:
Lösung mittels Karnaugh-Plan:
2. Gegeben sei folgende Schaltung:
a)
b)
c)
d)
e)
Ermitteln Sie die Schaltgleichung aus der Schaltung.
Stellen Sie die Wahrheitstabelle auf.
Vereinfachen Sie die Schaltung auf Basis der Wahrheitstabelle mittels Karnaugh-Plan.
Stellen Sie die vereinfachte Schaltung mit NAND-Gattern dar.
Vereinfachen Sie die Schaltgleichung aus a), so dass Sie die in c) ermittelte Lösung
erhalten (Zusatzaufgabe).
Lösung.
a)
b)
𝑦 = 𝑥3 𝑥2 𝑥1 + 𝑥3 𝑥2 𝑥1 + 𝑥3 𝑥2 𝑥1
𝑦 = 𝑥3 𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 + 𝑥3 𝑥2
(
)(
y = ( x4 ⋅ ( x1 + x2 )) ⋅ ( x1 + x2 ) ⋅ x3 ⋅ ( x1 + x2 ) ⋅ x3 ⋅ x4
x4
0
0
0
0
0
0
0
0
x3
0
0
0
0
1
1
1
1
x2
0
0
1
1
0
0
1
1
x1
0
1
0
1
0
1
0
1
y
1
1
1
1
1
1
1
1
x4
1
1
1
1
1
1
1
1
)
x3
0
0
0
0
1
1
1
1
c) Es entstehen zwei 8er-Blöcke und ein 4er-Block.
𝑦 = 𝑥4 + 𝑥1 𝑥2 + 𝑥3
d) doppelt negieren und 1x de Morgan anwenden
y = x4 x1 x2 x3
x2
0
0
1
1
0
0
1
1
x1
0
1
0
1
0
1
0
1
y
1
0
0
0
1
1
1
1
e)
y = x4 + x1 x2 + x3
Hinweis: die letzte Umformung erfordert möglicherweise die Anwendung von Satz 4.
3. Zu entwerfen ist eine Funktionsgruppe zur Umkodierung des Gray-Codes für die
Zählwerte 0..9 in den Dualcode. Die Lösung soll mittels Karnaugh-Plan ermittelt und als
DNF dargestellt werden.
g0
g1
g2
g3
G/D
d0
d1
d2
d3
Lösung:
Die beste Lösung erhält man durch Aufstellen der Wahrheitstabelle unter Beachtung der
don’t-care-Bedingungen, da nur die Codes für 0..9 gefordert sind.
d3 = g3
d 2 = g3 g 2
d1 = g 2 g1 + g 3 g 2 g1
d 0 = g 3 g 0 + g 2 g1 g 0 + g 2 g1 g 0 + g 2 g1 g 0 + g 3 g 2 g1 g 0
4. Leiten Sie für folgende Ausdrücke aus der Wahrheitstabelle die KDNF ab. Vereinfachen
Sie mit Hilfe eines Karnaugh-Plans.
a) y = a ⋅ x + a ⋅ b ⋅ x + b ⋅ x
KDNF:
𝑦 = 𝑎�𝑏�𝑥̅ + 𝑎�𝑏�𝑥 + 𝑎�𝑏𝑏 + 𝑎𝑏�𝑥̅ + 𝑎𝑏�𝑥 + 𝑎𝑎𝑎
Vereinfacht: 𝑦 = 𝑏� + 𝑥
(
b) y = a + b ⋅ a + b + c
)
KDNF:
𝑦 = 𝑎𝑏�𝑥̅ + 𝑎𝑏�𝑥 + 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑎𝑥 + 𝑎𝑎𝑎
Vereinfacht: 𝑦 = 𝑎
5. Entwickeln Sie eine Wechselschaltung, mit der die Lampen (y) von drei Stellen aus (x3, x2
und x1) ein- und ausgeschaltet werden kann. Die drei Schalter haben Schaltstellungen 0
oder 1 und bleiben nach dem Betätigen in der neuen Stellung stehen (wie normale
Lichtschalter). Bei jeder Betätigung eines Schalters soll sich y ändern. Gleichzeitiges
Schalten von mehr als einem Schalten kommt nicht vor.
Entwickeln Sie die Wahrheitstabelle und leiten Sie daraus die KDNF der Schaltfunktion
ab. Vereinfachen Sie die Schaltung. Geben Sie einen Logikplan an.
Lösung:
Da sich immer genau eine Schalterstellung ändert, sollte für das Aufstellen der
Wahrheitstabelle der Gray-Code verwendet werden. Die Funktionswerte sind dann
abwechselnd 0 und 1. Im Karnaugh-Plan ergibt sich ein Schachbrettmuster, das sich nicht
vereinfachen lässt. Derartige Schachbrettmuster weisen auf xor-Funktionen hin.
𝑦 =𝑐⊕𝑏⊕𝑎
6. Geradeschaltung: Zur Kontrolle der Korrektheit der Signalübertragung werden häufig dem
Nutzsignal sog. Paritätsbits hinzugefügt, so dass die Gesamtzahl der Variablen, die den
Wert 1 haben, stets geradzahlig ist. Das wird beim Empfänger überprüft.
Geben Sie die Wahrheitstabelle und KDNF einer Schaltung an, die für ein dualcodiertes 4Bit-Eingangssignal d, c, b, a das Ausgangssignal y=1 abgibt, damit die Gesamtzahl der
Bits (alle einschließlich Paritätsbit) jeweils geradzahlig wird.
Vereinfachen Sie mit Karnaugh-Plan und geben Sie den Logikplan an.
Lösung
Auch hier entsteht ein Schachbrettmuster, das sich nicht vereinfachen lässt. Die
resultierende Schaltfunktion lässt sich aber in eine xor-Form umformen.
𝑦 =𝑑⊕𝑐⊕𝑏⊕𝑎