Multiple-Choice-Aufgaben mit Lösungsansätzen Aussage wahr

Multiple-Choice-Aufgaben mit Lösungsansätzen
Aussage
wahr
falsch
1) Sei K ein Körper und V, W K-Vektroräume. Sei f : V → W linear. Dann
ist f surjektiv genau dann, wenn dimV ≤ dimW .
2
2
2) Jeder Vektorraum ist Bild eines Endomorphismus.
2
3) Zwei Vekttorräume über einem Körper K sind genau dann isomorph, wenn
sie dieselbe Dimension haben.
2
2
4) Eine lineare Abbildung F : V → W ist ein Isomorphismus, wenn die Vektorräume V und W zueinander isomorph sind.
2
2
2
ist die darstellende Matrix der Abbildung f : Q2 → Q2 mit
0
x
7→
bzgl. einer geeigneten Basis.
0
2
2
1 0
ist die darstellende Matrix der Abbildung f : Q2 → Q2 mit
1 −2
x
x
7→
bzgl. einer geeigneten Basis.
y
x−y
2
2
0 1
ist die darstellende Matrix der Abbildung f : Q2 → Q2 mit
−3
0
x
y
7→
bzgl. einer geeigneten Basis.
y
−x − y
2
2
1
2
8) Gibt es eine lineare Abbildung f : Q → Q mit f (
) = (
),
1
3
1
4
3
6
f(
)=(
), f (
)=(
)?
−1
5
0
9
2
2
2
2
2
2
5)
x
y
1
0
2
6)
7)
2
2
9) Gibt es eine lineare Abbildung f : Q5 → Q3 , so dass dimKern(f ) = 4?
10) Sei f : Q125 → Q61 surjektiv. Dann ist dimKern(f )=43.
11) Sei V ein Vektorraum. Definiere auf V eine Relation durch v ∼ w genau
dann, wenn v und w linear unabhängig sind. Ist ∼ eine Aquivalenzrelation?
1
2
2
Aussage
wahr
falsch
12) Ist die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W , wobei V , W
Vektorräume über einem Körper K sind, ein Vektorraum?
2
2
13) Ist die Menge aller surjektiven linearen Abbildungen von V nach W ein
Untervektorraum der linearen Abbildungen von V anch W ?
2
2
14) Sei A ∈ Mn,m (K) mit m > n. Dann ist die Dimension des Lösungsraums
des linearen Gleichungssystems Ax = 0 genau m − n.
2
2
15) Seien u, v ∈ K n mit u, v 6= 0. Ist der Rang von uT v ∈ Mn (K) gleich 1?
2
2
2
2
16) Die Zeilen einer Matrix spannen denselben Raum auf wie die Spalten.
17) Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der von Null verschiedenen Spalten.
2
2
18) Sei A ∈ Mn,m (K) vom Rang n und sei b ∈ K n . Dann hat das lineare
Gleichungssystem Ax = b eine Lösung.
2
2
19) Wenn von drei Vektoren zwei verschiedene jeweils linear unabhängig sind,
dann sind auch alle drei linear unabhängig.
2
2
20) Ist U ein Untervektorraum von V , so ist sp{U } = U .
2
2
21) Sei A eine invertierbare Matrix. Dann ist (A−1 )T = (AT )−1 .
2
2
2
Lösungsansätze
1) falsch, denn: Die Dimensionsformel liefert für surjektive lineare Abbildungen, dass dimV ≥ dimW ist.
Findet man nun eine Abbildung, für die dimV > dimW gilt, so ist die Aussage falsch. Betrachte hierzu
die simple Abbildung f : Q2 → Q mit f (x, y) → x.
Oder: Sei umgekehrt dimV ≥ dimW . Wähle f : Q3 → Q2 mit f (x, y, z) → (x, 0). Diese Abbildung
ist linear, erfüllt offensichtlich die Voraussetzung, ist aber nicht surjektiv.
2) wahr. Wähle z.B. die identische Abbildung.
3) wahr. Dies ist wahr für endlichdimensionale Vektorräume. Indem Basen auf Basen geschickt werden, erhält man auf natürliche Weise einen Isomorphismus. Im Unendlichen ist die Aussage i.A. falsch.
4) falsch. Dass zwei Vektorräume isomorph zueinander sind, bedeutet, dass es einen Isomorphismus
gibt. Das heißt nicht, dass jede beliebige lineare Abbildung zwischen diesen Vektorräumen ein Isomorphismus sein muss.
1
2
5) wahr. Wähle in beiden Räumen die Basis
,
.
0
1
1
0
1
0
6) wahr. Wähle im Ausgangsraum
,
und im Zielraum
,
als Basen.
0
2
0
1
7) falsch. Bezeichne
die angegebene Matrix mit A. Die darstellende Matrix von f bzgl. der Standardba
0
1
sen ist C =
. Angenommen, A wäre die darstellende Matrix von f bzgl. geeigneter Basen.
−1 −1
Dann gibt es eine invertierbare Matrix B mit B −1 AB = C (B ist eine Basistransformationsmatrix). Nach
Umformung: AB = BC. Versucht man nun, die Einträge von B mit Hilfe von A, C (Einträge gegeben!)
auszurechnen, so erhält man nur eine triviale Lösung. B ist also eine Nullmatrix, was im Widerpsruch
zur Invertierbarkeit von B steht.
1
1
3
1
1
3
3
+
) =
. Also: f ( 2 (
+
)) =
8) falsch. Man sieht sofort, dass 2 (
0
1 −1 1 −1
3
1
2
6
9
6
1
4
f(
=
6=
=
). ⇒ 32 (f (
) + f(
+
)) = 32 (
) = 23
8
12
9
0
−1
3
1
5
3
f(
)
0
9) wahr. Dimensionformel liefert: dimQ5 = 5 = dimKern(f )+dimBild(f ). Wenn der Kern 4-dimensional
sein soll, muss das Bild 1-dimensional sein. Wähle hierfür z.B.: f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (x1 , 0, 0).
10) falsch. Nach der Dimensionsformel ist dimKern(f ) = 64.
11) falsch. Diese Relation ist nicht transitiv. Seien u, v, w Vektoren mit: u ∼ v, v ∼ w. Dann müssten u, w linear unabhängig sein. Wähle w = 2u und Widerspruch.
12) wahr. Einfach nachrechnen mit Hilfe der Vektorraumaxiome.
13) falsch. Wähle f := idV − idV =Nullabbildung. Diese ist linear, aber sicher nicht surjektiv.
14) falsch. fA (x) := Ax definiert eine lineare Abbildung von K m → K n . Der Lösungsraum von Ax = 0
ist gerade der Kern(fA ). Nach der Dimensionsformel gilt: dimK m = dimKern(fA ) + dimBild(fA ). Also
ist: dimK m − dimBild(fA ) = dimKern(fA ). Also, da m > n n.V.:
m − n = dimK m − dimK n ≤ dimK m − dimBild(fA ) = dimKern(fA )
Wähle z.B. die Abbildung aus 9) und für A eine dazugehörige darstellende Matrix. Dann gilt: m − n <
dimKern(fA ).
15) falsch. u = (u1 , . . . , un ) und v = (v1 , . . . , vn ). Dann ist uT v = (u1 v, u2 v, . . . , un v) ∈ Mn (K). Die
Spalten dieser Matrix sind also lediglich Vielfache des Vektors v. Folglich ist der Rang gleich 1.
3
16) falsch. Nehme z.B. eine nichtquadratische Matrix.
17) falsch. Der Rang einer Matrix ist z.B. die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren.
18) falsch. Über die Gestalt der Matrix (Spalten, m) ist nichts gesagt. Da Rang gleich n ist, muss
die Anzahl der Zeilen mindestens n sein (Spaltenrang=Zeilenrang=Rang). Es ist m ≥ n. Also gibt es
bei Gleichheit genau eine Lösung, da dann die Matrix invertierbar ist. Ist m > n, so gibt es je nach
Lösungsvektor b eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
19) falsch. Betrachte: (1, 0), (0, 1), (1, 2).
20) wahr. Folgt direkt aus der Definition des Spanns und aus dem Fakt, dass U als Unterraum vorausgesetzt ist.
21) wahr. AT (AT )−1 = E = E T = (A−1 A)T = AT (A−1 )T . Der Rest folgt aus der Eindeutigkeit der
Inversen (Gruppentheorie).
4