Übungsblatt 4

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
SS 2007
Übungsblatt 4
Themen: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramme, Unabhängigkeit
Abgabetermin: Mittwoch, 18. April, bzw. Freitag, 20. April, bei der Übungsleiterin oder beim
Übungsleiter in der jeweiligen Übungsstunde.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 42 (◦). Xaver hat von Yvonne über eBay einen iPod ersteigert. Die beiden
wollen sich am Tag nach dem Auktionsende am «eBay Xchange-Point» am Hauptbahnhof
Zürich treffen um den Handel abzuschliessen. Dabei haben sie den Zeitpunkt des Treffens
dummerweise nur ungenau vereinbart:
Xaver trifft an einem zufälligen Zeitpunkt zwischen 12:00 Uhr und 13:00 Uhr ein und
wartet 20 Minuten auf Yvonne. Falls sie innerhalb dieser Zeitspanne nicht auftaucht, geht
Xaver wieder nach Hause. Genau dieselbe Strategie verfolgt Yvonne.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A: «Xaver trifft vor 12:30 und
Yvonne nach 12:30 ein»?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit eines Treffens unter der Bedingung, dass A eingetroffen ist?
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeiteines Treffens unter der Bedingung, dass beide
nach 12:45 Uhr eintreffen?
Aufgabe 43 (3 Punkte). In einer Schachtel liegen 500 gemischte Büroklammern, davon
sind 200 gross (G) und 300 klein (K). Von den grossen Büroklammern sind 100 rot (R)
und 80 blau (B), von den kleinen sind 150 rot und 90 blau. Der Rest ist jeweils orange (O).
Das Zufallsexperiment besteht in der zufälligen Auswahl einer Büroklammer. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten und überlegen Sie sich dabei ihre konkrete
Bedeutung:
a) P[O], b) P[K ∩ B], c) P[K ∪ B], d) P[K|B], e) P[B|G], f) P[G|O].
Aufgabe 44 (3 Punkte). In einem Laden ist nach Ostern eine grosse Zahl von Zuckereili
übrig geblieben, die alle zusammen in einer Schachtel gelandet sind. Nach Farben gibt
es rote (R), blaue (B) und weisse (W ), nach Grösse gibt es grosse (G) und kleine (K)
Zuckereili. Durch Schätzen wurden die folgenden (z. T. bedingten) Wahrscheinlichkeiten
bestimmt: P[R] = 0.4, P[B] = 0.5, P[K] = 0.6, P[R ∩ G] = 0.2, P[W |K] = 0.1.
Bestimmen Sie a) P[B ∩ K] und b) P[B|G].
Aufgabe 45 (3 Punkte). Ein roter und ein blauer Würfel werden gleichzeitig geworfen.
Das Ereignis E besteht darin, dass die Augensumme ≤ 6 ist. Wie gross ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit pk dafür, dass E eintritt, falls der rote Würfel die Augenzahl k zeigt?
Behandeln Sie alle möglichen Fälle, also k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Version vom 14. April 2007, 19:51 Uhr
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Aufgabe 46 (4 Punkte). Aus der Menge der ganzen Zahlen von 7 bis 35 wird eine Zahl
zufällig ausgewählt. Wir betrachten die folgenden Ereignisse: A: «die Zahl ist ungerade»,
B: «die Zahl ist durch 5 teilbar», C: «die Zahl ist eine Primzahl». Berechnen Sie die
folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten:
a) P[A|B], b) P[B|A], c) P[C|A], d) P[A|C].
Eines der Ergebnisse ist in einem gewissen Sinn speziell. Geben Sie eine Erklärung.
Aufgabe 47 (4 Punkte). Ein Geschäft ist durch eine Alarmanlage gesichert, welche im
Fall eines Einbruchs mit der Wahrscheinlichkeit 19/20 funktioniert. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem «einbruchsfreien» Tag ein Fehlalarm passiert, beträgt 1/100.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Einbruch verübt wird, beträgt 1/500. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird an einem bestimmten Tag der Alarm ausgelöst? b) Die
Alarmsirene hat losgeheult. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eingebrochen worden?
Baumdiagramme
Aufgabe 48 (4 Punkte). Bei einem Glücksspiel liegen in einem Korb 10 Nieten und
5 Gewinnlose. Drei Personen, Alex, Bettina und Christoph, wählen in alphabetischer
Reihenfolge je ein Los (natürlich ohne es zurückzulegen). Wie gross sind die Chancen
von Alex, ein Gewinnlos zu ziehen? Wie gross sind die Chancen von Bettina, und die von
Christoph?
Aufgabe 49 (4 Punkte). Bele und Lokai spielen gegeneinander. Sie ziehen abwechslungsweise und ohne Zurücklegen eine Kugel aus einem Gefäss, das anfänglich drei schwarze
und drei weisse Kugeln enthält. Bele beginnt das Spiel. Er gewinnt, sobald er eine schwarze Kugel zieht. Lokai andererseits gewinnt dann, wenn er eine weisse Kugel zieht. Sobald
der Sieger feststeht, wird das Spiel abgebrochen. a) Berechnen Sie die Siegeschancen der
beiden. b) Wie ist es möglich, dass das Spiel unentschieden endet? Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit dafür?
Aufgabe 50 (2 Punkte). Xaver und Yvonne haben sich am Hauptbahnhof tatsächlich
getroffen (vgl. Aufgabe 42), und Xaver hat den iPod von Yvonne erhalten. Zu Hause
kopiert Xaver 11 Songs von Porcupine Tree, 7 Songs von Pink Floyd und 10 Songs von
Goldfrapp auf seinen iPod und lässt sie in einer zufälligen Reihenfolge (ohne Wiederholung) abspielen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein erstes Lied von Goldfrapp
spätestens an vierter Stelle abgespielt wird?
Aufgabe 51 (3 Punkte). Wir würfeln solange mit zwei Würfeln, bis erstmals die Augensumme 8 auftritt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit pk dafür, dass dies im k-ten
Wurf passiert (k ∈ N)?
Unabhängigkeit
Aufgabe 52 (◦). Wir würfeln einmal mehr mit zwei Würfeln und betrachten die folgenden Ereignisse: E: «die Augensumme ist ≤ 3», F : «die Augensumme ist eine gerade
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Zahl ≤ 6», G: «die Augensumme ist durch 3 teilbar». Welche der Paare (E, F ), (E, G)
und (F, G) sind unabhängig, welche nicht?
Aufgabe 53 (2 Punkte). In einer Vorlesung sitzen 210 Frauen und 140 Männer. Eine
Person wird zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um einen
Mann, der im September Geburtstag hat?
Hinweis. Wir nehmen einfachheitshalber an, die Wahrscheinlichkeit, in einem bestimmten Monat Geburtstag zu haben, sei 1/12. Welche weitere (plausible) Annahme müssen
Sie treffen?
Aufgabe 54 (4 Punkte). Gehen wir zurück zu Xaver und Yvonne (Aufgabe 42) und
untersuchen die folgenden Ereignisse: T : «Die zwei treffen sich», E: «Yvonne kommt
vor 12:30 Uhr», F : «Yvonne kommt vor 12:30 Uhr und Xaver kommt nach 12:30 Uhr».
Untersuchen Sie die drei Paare (T, E), (T, F ) und (E, F ) auf Unabhängigkeit.
Aufgabe 55 (4 Punkte). In einem Gefäss befinden sich 20 Kugeln, die von 1 bis 20
nummeriert sind. Das Zufallsexperiment besteht im Ziehen einer Kugel. Ferner sei E :=
{1, 2, 3, 4, 5}, und F sei stets ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1/5.
a) Geben Sie ein F an, derart, dass E und F abhängig sind.
b) Geben Sie ein F an, derart, dass E und F unabhängig sind.
c) Wieviele Ereignisse F (nach wie vor mit P[F ] = 1/5) gibt es derart, dass E und F
unabhängig sind?
d) Gibt es ein Ereignis G mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 derart, dass E und G unabhängig
sind? Wenn ja, so geben Sie ein Beispiel, wenn nicht so begründen Sie warum!
Aufgabe 56 (5 Punkte). a) Weisen Sie nach, dass zwei unvereinbare Ereignisse, welche
beide eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit haben, stets voneinander abhängig
(d. h. nicht unabhängig) sind.
b) Für die Ereignisse E und F gelte E ⊂ F . Sind E und F abhängig oder unabhängig?
Diskutieren Sie mögliche Fälle!
Zum Schluss noch eine Aufgabe, deren Resultat evtl. ein wenig verblüfft:
Aufgabe 57 (2 Punkte). Ein Paar hat zwei Kinder. Eines davon ist ein Mädchen.
a) Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das andere Kind ein Knabe ist?
b) Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das andere Kind ein Knabe ist, wenn Sie
wissen, dass das erstgeborene Kind ein Mädchen ist?
Hinweis. i) Wir nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeit als Mädchen, bzw. als Knabe
auf die Welt zu kommen je 50% beträgt, obwohl dies, wie Sie aus der Vorlesung wissen,
nicht genau stimmt.
ii) Weiter nehmen wir an, dass das Geschlecht des zweitgeborenen Kindes unabhängig
vom Geschlecht des erstgeborenen Kindes ist.
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